ધારો કે ચાર ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ $a_1, a_2, a_3, a_4$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે $b_1 = a_1$,$b_2 = b_1 + a_2$,$b_3 = b_2 + a_3$ અને $b_4 = b_3 + a_4$.
વિધાન-$I$: સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ સમાંતર શ્રેણીમાં પણ નથી અને સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પણ નથી.
વિધાન-$II$: સંખ્યાઓ $b_1, b_2, b_3, b_4$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

$n^n \left( \frac{n+1}{2} \right)^{2n}$ એ

બધા $n \in N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે: $\frac{3^n-1}{2} \geq$ ?

ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,ધારો કે $a(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n - 1}$. તો:

ભૌમિતિક શ્રેણીમાં ત્રણ ક્રમિક પદોનો સરવાળો $14$ છે. જો પ્રથમ અને બીજા પદમાં $1$ ઉમેરવામાં આવે અને ત્રીજા પદમાંથી $1$ બાદ કરવામાં આવે,તો મળતા નવા પદો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય છે. તો મૂળ પદોમાં સૌથી નાનું પદ કયું છે?

ધારો કે $V_r$ એ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ ના પ્રથમ $r$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે,જેનું પ્રથમ પદ $r$ છે અને સામાન્ય તફાવત $(2r-1)$ છે. ધારો કે $T_r = V_{r+1} - V_r - 2$ અને $Q_r = T_{r+1} - T_r$ જ્યાં $r = 1, 2, \ldots$
$1.$ સરવાળો $V_1 + V_2 + \ldots + V_n$ શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{12} n(n+1)(3n^2-n+1)$
$(B)$ $\frac{1}{12} n(n+1)(3n^2+n+2)$
$(C)$ $\frac{1}{2} n(2n^2-n+1)$
$(D)$ $\frac{1}{3}(2n^3-2n+3)$
$2.$ $T_r$ હંમેશા શું છે?
$(A)$ એકી સંખ્યા
$(B)$ બેકી સંખ્યા
$(C)$ અવિભાજ્ય સંખ્યા
$(D)$ વિભાજ્ય સંખ્યા
$3.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ એ $5$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ માં છે
$(B)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ એ $6$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ માં છે
$(C)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ એ $11$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ માં છે
$(D)$ $Q_1 = Q_2 = Q_3 = \ldots$