यदि $a + 2b + 3c = 6$ है,तो $abc^2$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $a, b, c$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं)।

श्रेणी $101 + 99 + 97 + \dots + 47$ में पदों की संख्या है

$30$ गैर-ऋणात्मक पदों वाली एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) का प्रथम पद $\frac{10}{3}$ है। यदि इस समांतर श्रेणी का योग इसके अंतिम पद का घन है,तो इसका सार्व अंतर क्या है:

$150$ श्रमिकों को एक निश्चित दिनों में काम पूरा करने के लिए लगाया गया था। दूसरे दिन $4$ श्रमिक काम छोड़कर चले गए,तीसरे दिन $4$ और श्रमिक काम छोड़कर चले गए और इसी तरह आगे भी। काम पूरा करने में $8$ दिन अधिक लगे। वह दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें काम पूरा हुआ था।

कथन-$I$: यदि किसी अनुक्रम के $n$ पदों का योग $6n^2 + 3n + 1$ है,तो यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है।
कथन-$II$: समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग हमेशा $an^2 + bn$ के रूप में होता है।

यदि $n$ पद $a_1, a_2, \ldots, a_n$ सार्व अंतर $r$ के साथ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं,तो उनके वर्गों के माध्य और उनके माध्य के वर्ग के बीच का अंतर क्या है?