Odds in favor and odds against, Addition theorem on probability Questions in Hindi

(A) जहाज $A$ के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ है।
जहाज $B$ के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$ है।
जहाज $C$ के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता $P(C) = \frac{6}{6+11} = \frac{6}{17}$ है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए उन सभी के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$ होगी।
$P(A \cap B \cap C) = \frac{2}{7} \times \frac{3}{10} \times \frac{6}{17} = \frac{36}{1190} = \frac{18}{595}$.

(C) माना $P(C_1), P(C_2), P(C_3)$ तीन समीक्षकों के पुस्तक के पक्ष में होने की प्रायिकताएँ हैं।
पक्ष में होने की संभावना $(5: 2), (4: 3), (3: 4)$ दी गई है,अतः:
$P(C_1) = \frac{5}{7}, P(\bar{C}_1) = \frac{2}{7}$
$P(C_2) = \frac{4}{7}, P(\bar{C}_2) = \frac{3}{7}$
$P(C_3) = \frac{3}{7}, P(\bar{C}_3) = \frac{4}{7}$
बहुमत के पक्ष में होने के लिए,कम से कम दो समीक्षकों का पक्ष में होना आवश्यक है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(C_1)P(C_2)P(\bar{C}_3) + P(C_1)P(\bar{C}_2)P(C_3) + P(\bar{C}_1)P(C_2)P(C_3) + P(C_1)P(C_2)P(C_3)$
$= (\frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7})$
$= \frac{80+45+24+60}{343} = \frac{209}{343}$

(A) चूँकि $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$ होगा।
$A$ के पक्ष में ऑड्स $4:6$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{4}{4+6} = \frac{2}{5}$।
$B$ के विपक्ष में ऑड्स $7:3$ हैं,जिसका अर्थ है कि $B$ के पक्ष में ऑड्स $3:7$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{2}{5} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$।
$\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$ $\Rightarrow \frac{7}{10} + P(C) = 1$ $\Rightarrow P(C) = \frac{3}{10}$।
$C$ के विपक्ष में ऑड्स $\frac{1 - P(C)}{P(C)} = \frac{1 - \frac{3}{10}}{\frac{3}{10}} = \frac{7}{3}$ होंगे।
अतः,$C$ के विपक्ष में ऑड्स $7:3$ हैं।

(A) कुल पत्तों की संख्या $= 52$.
गड्डी में राजाओं की संख्या $= 4$.
राजा न होने वाले पत्तों की संख्या $= 52 - 4 = 48$.
किसी घटना $E$ के पक्ष में संयोगानुपात (odds) अनुकूल परिणामों और प्रतिकूल परिणामों का अनुपात होता है।
राजा निकालने के पक्ष में संयोगानुपात $= \frac{\text{राजाओं की संख्या}}{\text{राजा न होने वाले पत्तों की संख्या}} = \frac{4}{48} = \frac{1}{12}$.
अतः,पक्ष में संयोगानुपात $1:12$ है।

(A) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल परिणाम $6 \times 6 = 36$ होते हैं।
$3$ के गुणज वाले योग $3, 6, 9$ और $12$ हैं।
अनुकूल परिणाम हैं:
योग $3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ परिणाम)
योग $6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ ($5$ परिणाम)
योग $9$: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ($4$ परिणाम)
योग $12$: $(6, 6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 2 + 5 + 4 + 1 = 12$।
प्रतिकूल परिणाम $= 36 - 12 = 24$।
पक्ष में ऑड्स $= \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ या $1: 2$ है।

(A) द्वारा समस्या हल करने के विरुद्ध प्रतिकूल संयोगानुपात $3:2$ है,इसलिए $A$ के हल करने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ है। $A$ के विफल होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।
$B$ द्वारा समस्या हल करने के विरुद्ध प्रतिकूल संयोगानुपात $2:1$ है,इसलिए $B$ के हल करने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$ है। $B$ के विफल होने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
समस्या तब हल होती है यदि कम से कम एक व्यक्ति इसे हल कर ले। यह उस घटना की पूरक घटना है जिसमें दोनों विफल हो जाते हैं।
$P(\text{solved}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$
$P(\text{solved}) = 1 - (\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3}) = 1 - \frac{6}{15} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

(B) दिया गया है कि घटनाएँ $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$।
$A$ के प्रतिकूल ऑड्स $8:3$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{3}{8+3} = \frac{3}{11}$।
$B$ के प्रतिकूल ऑड्स $5:2$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$।
चूंकि $P(A) + P(B) + P(C) = 1$,इसलिए $P(C) = 1 - (\frac{3}{11} + \frac{2}{7}) = 1 - (\frac{21+22}{77}) = 1 - \frac{43}{77} = \frac{34}{77}$।
$C$ के प्रतिकूल ऑड्स $\frac{P(C^c)}{P(C)} = \frac{1 - P(C)}{P(C)} = \frac{1 - 34/77}{34/77} = \frac{43/77}{34/77} = \frac{43}{34}$ हैं।
$C$ के प्रतिकूल ऑड्स $43:17k$ दिए गए हैं,इसलिए $\frac{43}{17k} = \frac{43}{34}$।
अतः,$17k = 34$,जिसका अर्थ है $k = 2$।

(C) दिया गया है कि $A$ के पक्ष में ऑड्स $2:3$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ है।
दिया गया है कि $B$ के विपक्ष में ऑड्स $4:5$ हैं,इसलिए $B$ के पक्ष में ऑड्स $5:4$ होंगे,जिसका अर्थ है कि $P(B) = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$ है।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए उनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{2}{9}$ प्राप्त होता है।

(A) यह दिया गया है कि $A$,$B$,और $C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A) + P(B) + P(C) = 1$।
$A$ के पक्ष में ऑड्स $4 : 6$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10}$।
$B$ के विपक्ष में ऑड्स $7 : 3$ हैं,जिसका अर्थ है कि $B$ के पक्ष में ऑड्स $3 : 7$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$।
इन मानों को योग में रखने पर: $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + P(C) = 1$।
$\frac{7}{10} + P(C) = 1 \implies P(C) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$।
पूरक घटना $C'$ की प्रायिकता $P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ है।
$C$ के विपक्ष में ऑड्स $P(C') : P(C) = \frac{7}{10} : \frac{3}{10} = 7 : 3$ हैं।

(D) पहले समीक्षक के पुस्तक के पक्ष में होने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$ है।
$\therefore P(A') = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
दूसरे समीक्षक के पुस्तक के पक्ष में होने की प्रायिकता $P(B) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ है।
$\therefore P(B') = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
तीसरे समीक्षक के पुस्तक के पक्ष में होने की प्रायिकता $P(C) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$ है।
$\therefore P(C') = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$.
बहुमत पुस्तक के पक्ष में तब होगा यदि कम से कम दो समीक्षक पुस्तक के पक्ष में हों।
अतः,प्रायिकता $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ है।
$= P(A) \cdot P(B) \cdot P(C') + P(A) \cdot P(B') \cdot P(C) + P(A') \cdot P(B) \cdot P(C) + P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.
$= \left(\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}\right)$.
$= \frac{18}{343} + \frac{32}{343} + \frac{60}{343} + \frac{24}{343} = \frac{134}{343}$.

(B) मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
घटना $A$ के प्रतिकूल ऑड्स $5:2$ हैं,इसलिए $A$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$ है।
$A$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ है।
घटना $B$ के अनुकूल ऑड्स $6:5$ हैं,इसलिए $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(B) = \frac{6}{6+5} = \frac{6}{11}$ है।
$B$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$ है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A})P(\bar{B})$ है।
$P(A \cup B) = 1 - (\frac{5}{7} \times \frac{5}{11}) = 1 - \frac{25}{77} = \frac{77-25}{77} = \frac{52}{77}$.

(C) चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$।
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - 0$।
अतः,$P(B) = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6 - 5}{10} = \frac{1}{10}$।
हमें $P(B') = p$ दिया गया है।
चूँकि $P(B') = 1 - P(B)$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है: $P(A)=0.5$,$P(A \cup B)=0.6$,और $P(B)=K$।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए उनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.5K$ होगी।
प्रायिकता के योग के नियम का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.6 = 0.5 + K - 0.5K$।
समीकरण को सरल करने पर: $0.6 = 0.5 + 0.5K$।
दोनों पक्षों से $0.5$ घटाने पर: $0.1 = 0.5K$।
$K$ का मान ज्ञात करने पर: $K = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$।

(A) चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए प्रायिकता का योग नियम इस प्रकार है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
भिन्न को दशमलव में बदलने पर:
$\frac{4}{5} = 0.8$

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,प्रायिकता का योग नियम है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.65 = P(A) + P(B) - 0.15$
$P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.8$
हमें $P(\overline{A}) + P(\overline{B})$ ज्ञात करना है।
पूरक घटना नियम $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$ का उपयोग करते हुए:
$P(\overline{A}) + P(\overline{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B))$
$= 2 - (P(A) + P(B))$
$= 2 - 0.8 = 1.2$

(A) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
प्रतिदर्श समष्टि $n(S) = 52$ है।
मान लीजिए $A$ इक्का निकालने की घटना है और $B$ हुकुम (spade) का पत्ता निकालने की घटना है।
इक्कों की संख्या $n(A) = 4$ है।
हुकुम के पत्तों की संख्या $n(B) = 13$ है।
ऐसे पत्तों की संख्या जो इक्का और हुकुम दोनों हैं,$n(A \cap B) = 1$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $P(P)$ व्यक्ति $P$ के सच बोलने की प्रायिकता है और $P(R)$ व्यक्ति $R$ के सच बोलने की प्रायिकता है।
दिया गया है: $P(P) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ और $P(R) = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$.
अतः,उनके झूठ बोलने की प्रायिकताएँ $P(P') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ और $P(R') = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ हैं।
वे एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं जब एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
स्थिति $I$: $P$ सच बोलता है और $R$ झूठ बोलता है: $P(P) \times P(R') = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}$.
स्थिति $II$: $R$ सच बोलता है और $P$ झूठ बोलता है: $P(R) \times P(P') = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{20}$.
खंडन की कुल प्रायिकता $= \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$.

(B) मान लीजिए $P(A)$ उम्मीदवार $A$ के नौकरी पाने की प्रायिकता है और $P(B)$ उम्मीदवार $B$ के नौकरी पाने की प्रायिकता है।
दिया गया है: $P(A) = 0.8$ और $P(B) = 0.7$.
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,दोनों के नौकरी पाने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.8 \times 0.7 = 0.56$ है।
कम से कम एक के नौकरी पाने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$P(A \cup B) = 0.8 + 0.7 - 0.56 = 1.5 - 0.56 = 0.94$.

(B) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
चूँकि $P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{3}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + P(B)$.
$P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अतः,$P(B^C) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,प्रायिकता का योग प्रमेय इस प्रकार है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
इसकी तुलना दिए गए समीकरण से करने पर:
$P(A \cup B) = a P(A \cap B) + b P(A) + c P(B)$
हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = -1, b = 1, c = 1$
अब,इन मानों को $3a + 2b + 5c$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-1) + 2(1) + 5(1) = -3 + 2 + 5 = 4$
अतः,मान $4$ है।

(D) मान लीजिए $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ सच बोलता है और $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ सच बोलता है।
दिया गया है,$P(A) = \frac{4}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{4}$।
$A$ के सच न बोलने की प्रायिकता $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है।
$B$ के सच न बोलने की प्रायिकता $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
वे एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं यदि एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
अतः,खंडन की प्रायिकता $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \cdot P(\overline{B}) + P(\overline{A}) \cdot P(B)$ है।
मान रखने पर: $(\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4}) = \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$।

(C) माना $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ परीक्षा में अनुत्तीर्ण होता है और $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ परीक्षा में अनुत्तीर्ण होता है।
हमें $P(A) = 0.2$ और $P(B) = 0.3$ दिया गया है।
$A$ या $B$ में से किसी के भी अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता दोनों घटनाओं का संघ $P(A \cup B)$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
चूंकि $P(A \cap B) \geq 0$ है,इसलिए $P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) \leq 0.2 + 0.3$.
$P(A \cup B) \leq 0.5$.
अतः,$A$ या $B$ में से किसी के भी अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $\leq 0.5$ है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7$ हैं।
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
घटना $F = \{X < 4\}$ का अर्थ है $X \in \{1, 2, 3\}$।
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
सर्वनिष्ठ घटना $E \cap F$ में वे मान हैं जो अभाज्य भी हैं और $4$ से छोटे भी,अर्थात $\{2, 3\}$।
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
प्रायिकता के योग नियम के अनुसार,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$।
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(B) हमें दिया गया है: $P(A \cup B) = \frac{5}{6}$,$P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,और $P(B) = \frac{1}{3}$.
सबसे पहले,$P(A)$ की गणना करें:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर:
$\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} - P(A \cap B)$.
$\frac{5}{6} = \frac{13}{12} - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = \frac{13}{12} - \frac{5}{6} = \frac{1}{4}$.
अब,$P(A) \cdot P(B)$ की गणना करके स्वतंत्रता की जाँच करें:
$P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(B) दिया गया है कि $P(A) + P(B) = 2 P(A \cap B)$.
हम प्रायिकता के योग प्रमेय को जानते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दी गई शर्त को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) = 2 P(A \cap B) - P(A \cap B) = P(A \cap B)$.
चूंकि $P(A \cap B) \leq P(A) \leq P(A \cup B)$ और $P(A \cap B) \leq P(B) \leq P(A \cup B)$,इसलिए समानता $P(A \cup B) = P(A \cap B)$ का अर्थ है कि $P(A) = P(B) = P(A \cap B) = P(A \cup B)$.
अतः,$P(A) = P(B)$.

(D) प्रथम $30$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \dots, 30\}$ है,अतः कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 30$ है।
माना $A$ वह घटना है कि संख्या $4$ से विभाज्य है। ऐसी संख्याएँ $\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}$ हैं,अतः $n(A) = 7$ है।
माना $B$ वह घटना है कि संख्या $7$ से विभाज्य है। ऐसी संख्याएँ $\{7, 14, 21, 28\}$ हैं,अतः $n(B) = 4$ है।
घटना $A \cap B$ उन संख्याओं को दर्शाती है जो $4$ और $7$ दोनों से विभाज्य हैं (अर्थात $28$ से विभाज्य)। ऐसी एकमात्र संख्या $\{28\}$ है,अतः $n(A \cap B) = 1$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{7}{30} + \frac{4}{30} - \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$।

(A) दिया गया है कि $P(E_1 \cup E_2) = \frac{5}{8}$,$P(\bar{E}_1) = \frac{3}{4}$,और $P(E_2) = \frac{1}{2}$.
सबसे पहले,पूरक नियम का उपयोग करके $P(E_1)$ ज्ञात करें: $P(E_1) = 1 - P(\bar{E}_1) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$.
मान रखने पर: $\frac{5}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - P(E_1 \cap E_2)$.
$\frac{5}{8} = \frac{3}{4} - P(E_1 \cap E_2)$.
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{3}{4} - \frac{5}{8} = \frac{6-5}{8} = \frac{1}{8}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करें: $P(E_1) \times P(E_2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
चूंकि $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$,इसलिए घटनाएँ $E_1$ और $E_2$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।