Odds in favor and odds against, Addition theorem on probability Questions in Hindi

(D) माना दूसरी घटना की प्रायिकता $p$ है। तब पहली घटना की प्रायिकता $\frac{2}{3}p$ है।
चूंकि दो घटनाओं में से एक का होना आवश्यक है और वे परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ है:
$p + \frac{2}{3}p = 1$
$\frac{5}{3}p = 1 \Rightarrow p = \frac{3}{5}$.
पहली घटना की प्रायिकता $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।
दूसरी घटना के पक्ष में ऑड्स उसकी प्रायिकता और उसके पूरक (पहली घटना) की प्रायिकता का अनुपात है:
$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} = \frac{3/5}{2/5} = \frac{3}{2}$.
अतः,दूसरी घटना के पक्ष में ऑड्स $3:2$ हैं।

(C) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिनों के बराबर होते हैं।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए $7$ संभावित जोड़े हैं:
$(i)$ (रविवार,सोमवार),$(ii)$ (सोमवार,मंगलवार),$(iii)$ (मंगलवार,बुधवार),$(iv)$ (बुधवार,गुरुवार),$(v)$ (गुरुवार,शुक्रवार),$(vi)$ (शुक्रवार,शनिवार),$(vii)$ (शनिवार,रविवार)।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि लीप वर्ष में $53$ रविवार हैं।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि लीप वर्ष में $53$ सोमवार हैं।
प्रतिदर्श समष्टि से,$A$ के लिए अनुकूल परिणाम $(i)$ और $(vii)$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{2}{7}$।
$B$ के लिए अनुकूल परिणाम $(i)$ और $(ii)$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{2}{7}$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ ($53$ रविवार और $53$ सोमवार दोनों होने की स्थिति) केवल स्थिति $(i)$ में होती है,इसलिए $P(A \cap B) = \frac{1}{7}$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$।

(A) माना $p_1$ और $p_2$ क्रमशः पहली और दूसरी घटना की प्रायिकताएं हैं।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$p_1 = p_2^2$
किसी घटना के प्रतिकूल ऑड्स $\frac{1-p}{p}$ द्वारा दिए जाते हैं।
इसलिए,$\frac{1-p_1}{p_1} = \left(\frac{1-p_2}{p_2}\right)^3$.
यदि हम $p_1 = 1/9$ और $p_2 = 1/3$ लेते हैं,तो:
पहली घटना के प्रतिकूल ऑड्स $= \frac{1-1/9}{1/9} = 8$.
दूसरी घटना के प्रतिकूल ऑड्स $= \frac{1-1/3}{1/3} = 2$.
यहाँ $8 = 2^3$ है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(B) मान लीजिए $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
घटना $A$ के लिए,प्रतिकूल ऑड्स $5 : 2$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$ है।
घटना $A$ के न होने की प्रायिकता $P(A') = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ है।
घटना $B$ के लिए,अनुकूल ऑड्स $6 : 5$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{6}{6+5} = \frac{6}{11}$ है।
घटना $B$ के न होने की प्रायिकता $P(B') = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$ है।
कम से कम एक घटना के होने की प्रायिकता $1 - P(A' \cap B')$ है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{5}{7} \times \frac{5}{11} = \frac{25}{77}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{25}{77} = \frac{52}{77}$ है।

(C) माना $A$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता राजा है और $B$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता ईंट (डायमंड) है।
कुल पत्तों की संख्या = $52$.
राजाओं की संख्या $n(A) = 4$,इसलिए $P(A) = \frac{4}{52}$.
ईंट के पत्तों की संख्या $n(B) = 13$,इसलिए $P(B) = \frac{13}{52}$.
ईंट का राजा दोनों में उभयनिष्ठ है,इसलिए $n(A \cap B) = 1$,और $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

(C) प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार,किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,घटनाओं के संघ (union) की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।

(D) कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
ताश की गड्डी में $4$ राजा होते हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या (राजा प्राप्त करना) $m = 4$ है।
प्रतिकूल परिणामों की संख्या (राजा प्राप्त न करना) $n = 52 - 4 = 48$ है।
किसी घटना के पक्ष में अनुकूल संयोगानुपात अनुकूल परिणामों और प्रतिकूल परिणामों का अनुपात होता है,जो $m : n$ है।
अतः,अनुकूल संयोगानुपात $4 : 48$ है,जिसे सरल करने पर $1 : 12$ प्राप्त होता है।

(C) नवंबर के महीने में $30$ दिन होते हैं। कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 30$ है।
माना $A$ वह घटना है कि तारीख $5$ का गुणज है। ${1, 2, ..., 30}$ में $5$ के गुणज ${5, 10, 15, 20, 25, 30}$ हैं। अतः,$n(A) = 6$.
माना $B$ वह घटना है कि तारीख $6$ का गुणज है। ${1, 2, ..., 30}$ में $6$ के गुणज ${6, 12, 18, 24, 30}$ हैं। अतः,$n(B) = 5$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे तारीखें हैं जो $5$ और $6$ दोनों के गुणज हैं (अर्थात $30$ के गुणज)। अतः,$A \cap B = {30}$,और $n(A \cap B) = 1$.
प्रायिकता के लिए योग नियम का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{6}{30} + \frac{5}{30} - \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

(D) कुल पत्तों की संख्या $n(S) = 52$ है।
मान लीजिए $A$ रानी निकालने की घटना है और $B$ लाल रंग का पत्ता निकालने की घटना है।
रानी की संख्या $n(A) = 4$ है।
लाल पत्तों की संख्या $n(B) = 26$ है।
लाल रानी की संख्या $n(A \cap B) = 2$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{26}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52}$।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{28}{52} = \frac{7}{13}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: $P(A) = 0.25$,$P(B) = 0.50$,और $P(A \cap B) = 0.12$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.12 = 0.63$।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि कोई भी घटना घटित न हो,जो $P(A' \cap B')$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$।
अतः,$P(A' \cap B') = 1 - 0.63 = 0.37$।

(D) घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(E) = \frac{3}{8}$ दी गई है।
हम जानते हैं कि किसी घटना के घटित होने और न होने की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,अर्थात $P(E) + P(\text{not } E) = 1$।
अतः,घटना के घटित न होने की प्रायिकता $P(\text{not } E) = 1 - P(E)$ होगी।
$P(\text{not } E) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8-3}{8} = \frac{5}{8}$।

(D) मान लीजिए $P(A) = 1/3$ और $P(B) = 1/4$ क्रमशः $A$ और $B$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकताएँ हैं।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,समस्या के हल होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = (1/3) \times (1/4) = 1/12$.
इसलिए,$P(A \cup B) = 1/3 + 1/4 - 1/12 = (4 + 3 - 1)/12 = 6/12 = 1/2$.
कथन $- I$ में प्रायिकता $7/12$ होने का दावा किया गया है,जो गलत है।
कथन $- II$ बताता है कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,जो ऐसे प्रश्नों के लिए एक मानक धारणा है,इसलिए कथन $- II$ सत्य है।
अतः,कथन $- I$ असत्य है और कथन $- II$ सत्य है।

(C) माना $A$ के अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A) = 1/5$ है और $B$ के अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(B) = 3/10$ है।
यह मानते हुए कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,$A$ या $B$ में से किसी एक के अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$ होगी।
$P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times (1 - P(B)) = \frac{1}{5} \times (1 - \frac{3}{10}) = \frac{7}{50}$.
$P(\overline{A} \cap B) = (1 - P(A)) \times P(B) = (1 - \frac{1}{5}) \times \frac{3}{10} = \frac{12}{50}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{7}{50} + \frac{12}{50} = \frac{19}{50}$.

(D) दो घटनाओं $A$ और $B$ के संघ (union) की प्रायिकता योग प्रमेय द्वारा दी जाती है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
यह दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,और $P(AB) = 0$:
$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0$
$P(A \cup B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$

(C) माना $A$ राजा निकालने की घटना है और $B$ हुकुम का पत्ता निकालने की घटना है।
कुल पत्तों की संख्या $n(S) = 52$.
राजाओं की संख्या $n(A) = 4$.
हुकुम के पत्तों की संख्या $n(B) = 13$.
वह पत्ता जो राजा और हुकुम दोनों है,उसकी संख्या $n(A \cap B) = 1$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52}$.
$P(A \cup B) = \frac{4 + 13 - 1}{52} = \frac{16}{52}$.
भिन्न को सरल करने पर,हमें $P(A \cup B) = \frac{4}{13}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पत्ता लाल है और $B$ वह घटना है कि पत्ता एक रानी है।
कुल पत्तों की संख्या $= 52$।
लाल पत्तों की संख्या $n(A) = 26$।
रानी की संख्या $n(B) = 4$।
लाल रानी की संख्या $n(A \cap B) = 2$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{4}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52}$।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{28}{52} = \frac{7}{13}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि टिकट पर लिखी संख्या $3$ का गुणज है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि टिकट पर लिखी संख्या $5$ का गुणज है।
$100$ तक $3$ के गुणज $A = \{3, 6, 9, \dots, 99\}$ हैं,इसलिए $n(A) = 33$.
$100$ तक $5$ के गुणज $B = \{5, 10, 15, \dots, 100\}$ हैं,इसलिए $n(B) = 20$.
$3$ और $5$ दोनों के गुणज (अर्थात $15$ के गुणज) $A \cap B = \{15, 30, 45, 60, 75, 90\}$ हैं,इसलिए $n(A \cap B) = 6$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{33}{100} + \frac{20}{100} - \frac{6}{100} = \frac{47}{100}$.

(C) माना $P(A)$,$P(B)$ और $P(C)$ क्रमशः प्रथम,द्वितीय और तृतीय श्रेणी में उत्तीर्ण होने की प्रायिकताएँ हैं।
दिया गया है $P(A) = 1/10$,$P(B) = 3/5$ और $P(C) = 1/4$।
चूँकि ये घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं,किसी भी श्रेणी में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$ होगी।
$P(A \cup B \cup C) = 1/10 + 3/5 + 1/4 = (2 + 12 + 5) / 20 = 19/20$।
अनुत्तीर्ण (चौथी श्रेणी) होने की प्रायिकता $P(D) = 1 - P(A \cup B \cup C)$ है।
$P(D) = 1 - 19/20 = 1/20$।

(A) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
अंकों का योग $7$ प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम $E = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6$ है।
प्रतिकूल परिणामों की संख्या $n(S) - n(E) = 36 - 6 = 30$ है।
प्रतिकूल संयोगानुपात = (प्रतिकूल परिणाम) : (अनुकूल परिणाम) = $30 : 6 = 5 : 1$.

(A) प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{6}$.
$\frac{2}{3} = \frac{1}{6} + P(B) \implies P(B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4-1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करने पर: $P(A) \times P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6}$ है,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(A) दिया गया है कि कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = 0.6$ है और दोनों घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = 0.2$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.6 = P(A) + P(B) - 0.2$
अतः,$P(A) + P(B) = 0.6 + 0.2 = 0.8$.

(A) माना $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ सच बोलता है,इसलिए $P(A) = 75/100 = 3/4$ है।
तब $P(A') = 1 - 3/4 = 1/4$ वह प्रायिकता है कि $A$ झूठ बोलता है।
माना $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ सच बोलता है,इसलिए $P(B) = 80/100 = 4/5$ है।
तब $P(B') = 1 - 4/5 = 1/5$ वह प्रायिकता है कि $B$ झूठ बोलता है।
वे एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं जब एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
यह दो तरीकों से हो सकता है:
$1$. $A$ सच बोलता है और $B$ झूठ बोलता है: $P(A) \times P(B') = (3/4) \times (1/5) = 3/20$।
$2$. $A$ झूठ बोलता है और $B$ सच बोलता है: $P(A') \times P(B) = (1/4) \times (4/5) = 4/20$।
खंडन की कुल प्रायिकता इन प्रायिकताओं का योग है:
$P(\text{contradiction}) = 3/20 + 4/20 = 7/20$।

(C) माना $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ समस्या हल करता है और $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ समस्या हल करता है।
$A$ के प्रतिकूल संयोगानुपात $4:3$ दिए गए हैं,इसलिए $P(A') = 4/7$ और $P(A) = 1 - 4/7 = 3/7$ है।
$B$ के अनुकूल संयोगानुपात $7:5$ दिए गए हैं,इसलिए $P(B) = 7/(7+5) = 7/12$ और $P(B') = 1 - 7/12 = 5/12$ है।
केवल एक के समस्या हल करने की प्रायिकता $P(A \cap B') + P(A' \cap B)$ है।
$P(A \cap B') = P(A) \times P(B') = (3/7) \times (5/12) = 15/84$ है।
$P(A' \cap B) = P(A') \times P(B) = (4/7) \times (7/12) = 28/84$ है।
कुल प्रायिकता = $15/84 + 28/84 = 43/84$ है।

(B) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{6+4-3}{12} = \frac{7}{12}$।
अतः,$P(A' \cap B') = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$।

(C) एक पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए $n(S) = 6$.
घटना $A$ यह है कि प्राप्त संख्या $3$ से बड़ी है,इसलिए $A = \{4, 5, 6\}$। अतः,$P(A) = \frac{3}{6}$।
घटना $B$ यह है कि प्राप्त संख्या $5$ से कम है,इसलिए $B = \{1, 2, 3, 4\}$। अतः,$P(B) = \frac{4}{6}$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ वह घटना है कि संख्या $3$ से बड़ी और $5$ से कम है,इसलिए $A \cap B = \{4\}$। अतः,$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
मान रखने पर: $P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$।

(C) माना $A$ वह घटना है कि योग $7$ से कम है और $B$ वह घटना है कि योग विषम है।
दो पासे फेंकने पर कुल परिणाम $= 6 \times 6 = 36$.
$A$ के लिए परिणाम (योग $< 7$): $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (5,1)$. कुल $= 15$.
$P(A) = \frac{15}{36}$.
$B$ के लिए परिणाम (योग विषम है): योग $3, 5, 7, 9, 11$ हो सकता है। कुल $= 18$.
$P(B) = \frac{18}{36}$.
$A \cap B$ के लिए परिणाम (योग विषम और $7$ से कम है): योग $3, 5$ हो सकता है। परिणाम $(1,2), (2,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ हैं। कुल $= 6$.
$P(A \cap B) = \frac{6}{36}$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{15}{36} + \frac{18}{36} - \frac{6}{36} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$.

(C) माना $H$ वह घटना है कि पति $20$ वर्ष जीवित रहता है और $W$ वह घटना है कि पत्नी $20$ वर्ष जीवित रहती है।
पति के $20$ वर्ष जीवित रहने के विरुद्ध अनुपात $5:2$ है,अतः उसके जीवित न रहने की प्रायिकता $P(\overline{H}) = \frac{5}{7}$ है।
अतः,उसके जीवित रहने की प्रायिकता $P(H) = \frac{2}{7}$ है।
पत्नी के $20$ वर्ष जीवित रहने के विरुद्ध अनुपात $4:3$ है,अतः उसके जीवित न रहने की प्रायिकता $P(\overline{W}) = \frac{4}{7}$ है।
अतः,उसके जीवित रहने की प्रायिकता $P(W) = \frac{3}{7}$ है।
कम से कम एक के जीवित रहने की प्रायिकता $k = 1 - P(\overline{H} \cap \overline{W})$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$k = 1 - (\frac{5}{7} \times \frac{4}{7}) = 1 - \frac{20}{49} = \frac{29}{49}$।
अतः,$49k = 29$।

(A) दिया है $P(A) = 0.3$ और $P(A \cup B) = 0.8$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$0.8 = 0.3 + P(B) - 0.3P(B)$.
$0.5 = 0.7P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{5}{7}$.
कथन $A \to B$ का मान $\neg A \lor B$ के बराबर है,इसलिए $P(A \to B) = P(\neg A \cup B) = 1 - P(A \cap \neg B)$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$A$ और $\neg B$ भी स्वतंत्र हैं।
$P(A \cap \neg B) = P(A)P(\neg B) = 0.3 \times (1 - \frac{5}{7}) = 0.3 \times \frac{2}{7} = \frac{3}{35}$.
अतः,$P(A \to B) = 1 - \frac{3}{35} = \frac{32}{35}$.

(A) हमें दिया गया है कि $P(A)=\frac{6}{11}, P(B)=\frac{5}{11}$ और $P(A \cup B)=\frac{7}{11}.$
प्रायिकता के योग के प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11}$
$P(A \cap B) = \frac{11-7}{11} = \frac{4}{11}$

(A) हम जानते हैं कि $A$ और $B$ में से कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B)$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) P(B)$.
अतः,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)$.
हम $P(A) = 1 - P(A')$ लिख सकते हैं,इसलिए:
$P(A \cup B) = 1 - P(A') + P(B) - (1 - P(A')) P(B)$
$= 1 - P(A') + P(B) - P(B) + P(A') P(B)$
$= 1 - P(A') + P(A') P(B)$
$= 1 - P(A') [1 - P(B)]$
$= 1 - P(A') P(B')$.
अतः,यह कथन सत्य है।

(A) दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(A \cup B) = \frac{3}{5}$,और $P(B) = p$ है।
जब घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी होती हैं,तो $A \cap B = \phi$ होता है।
अतः,$P(A \cap B) = 0$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करने पर: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + p - 0$।
$p$ के लिए हल करने पर: $p = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6-5}{10} = \frac{1}{10}$।

(A) चूँकि घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} p$ होगा।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करने पर:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + p - \frac{1}{2} p$
$\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + \frac{p}{2}$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$ घटाने पर:
$\frac{p}{2} = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6-5}{10} = \frac{1}{10}$
$2$ से गुणा करने पर:
$p = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
मान रखने पर: $P(A \cap B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58$.

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.6$ है।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए,सर्वनिष्ठ की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होती है।
$P(A \cap B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$ है।
$A$ या $B$ की प्रायिकता योग प्रमेय द्वारा प्राप्त होती है: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = 0.3 + 0.6 - 0.18$ है।
$P(A \cup B) = 0.9 - 0.18 = 0.72$ है।

(A) चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$।
हमें $P(A \text{नहीं और} B\text{नहीं})$ ज्ञात करना है,जो $P(A' \cap B')$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$।
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) P(B) - P(A \cap B) = 0.3 0.6 - 0.18 = 0.72$।
अतः,$P(A' \cap B') = 1 - 0.72 = 0.28$।

(A) दिया है:
$P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{5}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{15}$
हम प्रायिकता के योग नियम को जानते हैं:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
मान रखने पर:
$P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{15}$
$3, 5, 15$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $15$ है:
$P(A \cup B) = \frac{5 + 3 - 1}{15} = \frac{7}{15}$

(A) हम प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मान $P(A) = 0.35$,$P(A \cap B) = 0.25$,और $P(A \cup B) = 0.6$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$0.6 = 0.35 + P(B) - 0.25$
समीकरण को सरल करने पर:
$0.6 = 0.1 + P(B)$
$P(B)$ के लिए हल करने पर:
$P(B) = 0.6 - 0.1 = 0.5$.

(A) यहाँ $P(A) = 0.5$,$P(B) = 0.35$,और $P(A \cup B) = 0.7$ दिया गया है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करने पर:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
मान रखने पर:
$0.7 = 0.5 + 0.35 - P(A \cap B)$
$0.7 = 0.85 - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = 0.85 - 0.7$
$P(A \cap B) = 0.15$

(A) दिया गया है कि $P(A) = \frac{3}{5}$ और $P(B) = \frac{1}{5}$।
चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,$A$ या $B$ की प्रायिकता योग प्रमेय द्वारा दी जाती है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(B) दिया गया है: $P(E) = \frac{1}{4}$,$P(F) = \frac{1}{2}$,और $P(E \cap F) = \frac{1}{8}$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
मान रखने पर:
$P(E \cup F) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8}$
हर $(8)$ समान करने पर:
$P(E \cup F) = \frac{2}{8} + \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{2 + 4 - 1}{8} = \frac{5}{8}$।

(A) दिया है: $P(E) = \frac{1}{4}$,$P(F) = \frac{1}{2}$,और $P(E \cap F) = \frac{1}{8}$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$।
$P(E \cup F) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2+4-1}{8} = \frac{5}{8}$।
हमें $P(\text{not } E \text{ and not } F)$ ज्ञात करना है,जो $P(E' \cap F')$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$E' \cap F' = (E \cup F)'$।
इसलिए,$P(E' \cap F') = P((E \cup F)') = 1 - P(E \cup F)$।
$P(E' \cap F') = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$।

(A) दिया गया है: $P(A)=0.42$,$P(B)=0.48$,और $P(A \cap B)=0.16$।
हम प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हैं:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cup B) = 0.42 + 0.48 - 0.16$।
$P(A \cup B) = 0.90 - 0.16 = 0.74$।

(A) माना $A$ वह घटना है जिसमें चुना गया छात्र गणित का अध्ययन करता है और $B$ वह घटना है जिसमें चुना गया छात्र जीव विज्ञान का अध्ययन करता है।
दिया गया है:
$P(A) = 40\% = 0.4$
$P(B) = 30\% = 0.3$
$P(A \cap B) = 10\% = 0.1$
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि छात्र गणित या जीव विज्ञान का अध्ययन करता है,जो कि $P(A \cup B)$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6$
अतः,चुने गए छात्र के गणित या जीव विज्ञान का अध्ययन करने की प्रायिकता $0.6$ है।

(A) मान लीजिए कि $A$ और $B$ क्रमशः पहली और दूसरी परीक्षा उत्तीर्ण करने की घटनाएं हैं।
दिया गया है: $P(A) = 0.8$,$P(B) = 0.7$,और $P(A \cup B) = 0.95$.
हम प्रायिकता के योग प्रमेय को जानते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.95 = 0.8 + 0.7 - P(A \cap B)$.
$0.95 = 1.5 - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 1.5 - 0.95 = 0.55$.
अतः,दोनों परीक्षाओं को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.55$ है।

$E = B \cup C$ मानिए,जिससे
$P(A \cup B \cup C) = P(A \cup E)$
$= P(A) + P(E) - P(A \cap E)$ ...... $(1)$
अब
$P(E) = P(B \cup C)$
$= P(B) + P(C) - P(B \cap C)$ ......... $(2)$
साथ ही $A \cap E = A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ [संघ पर प्रतिच्छेदन के वितरण गुण का उपयोग करते हुए]।
अतः,$P(A \cap E) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P[(A \cap B) \cap (A \cap C)]$
$= P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$ ......... $(3)$
$(2)$ और $(3)$ का $(1)$ में उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)$.

(A) दिया गया है: $P(A) = 0.54$,$P(B) = 0.69$,और $P(A \cap B) = 0.35$।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करने पर: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \cup B) = 0.54 + 0.69 - 0.35$।
$P(A \cup B) = 1.23 - 0.35 = 0.88$।

(A) दिया गया है: $P(A)=0.54$,$P(B)=0.69$,और $P(A \cap B)=0.35$।
प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = 0.54 + 0.69 - 0.35 = 0.88$।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cap B' = (A \cup B)'$।
अतः,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$।
$P(A' \cap B') = 1 - 0.88 = 0.12$।

(D) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि प्रवक्ता एक पुरुष है और $F$ वह घटना है कि प्रवक्ता $35$ वर्ष से अधिक आयु का है।
कुल व्यक्तियों की संख्या $5$ है।
पुरुष हरीश,रोहन और सलीम हैं। अतः,$P(E) = \frac{3}{5}$।
$35$ वर्ष से अधिक आयु के व्यक्ति शीतल $(46)$ और सलीम $(41)$ हैं। अतः,$P(F) = \frac{2}{5}$।
जो व्यक्ति पुरुष भी है और $35$ वर्ष से अधिक आयु का भी है,वह सलीम है। अतः,$P(E \cap F) = \frac{1}{5}$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$।
$P(E \cup F) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।
अतः,इस बात की प्रायिकता कि प्रवक्ता या तो पुरुष है या $35$ वर्ष से अधिक आयु का है,$\frac{4}{5}$ है।

(A) एक निष्पक्ष पासे को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें संख्या $4$ या $5$ आती है। अतः $E = \{4, 5\}$ और $n(E) = 2$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
पूरक घटना $E^c$ (अर्थात $4$ या $5$ न आने की घटना) की प्रायिकता $P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
किसी घटना $E$ के प्रतिकूल संयोगानुपात (odds against) का मान $P(E^c) : P(E)$ अनुपात द्वारा दिया जाता है।
अतः,$E$ के प्रतिकूल संयोगानुपात $\frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1$ हैं।

(D) मान लीजिए $A, B, C$ वे घटनाएँ हैं कि पहला,दूसरा और तीसरा समीक्षक पुस्तक के पक्ष में हैं।
प्रायिकताएँ हैं:
$P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}, P(A') = \frac{5}{7}$
$P(B) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}, P(B') = \frac{4}{7}$
$P(C) = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}, P(C') = \frac{3}{7}$
बहुमत तब होगा यदि कम से कम दो समीक्षक पुस्तक के पक्ष में हों।
प्रायिकता $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ है।
$= (\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{3}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{5}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7}) + (\frac{2}{7} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{7})$
$= \frac{18}{343} + \frac{32}{343} + \frac{60}{343} + \frac{24}{343} = \frac{134}{343}$.