Permutation and Combination based Probability Questions in Hindi

(A) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_2 = 1326$ हैं।
बिना इक्के वाले $2$ पत्ते निकालने के तरीके ($48$ गैर-इक्का पत्तों में से चयन) $^{48}C_2 = 1128$ हैं।
कोई इक्का न होने की प्रायिकता $P(\text{no ace}) = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$ है।
अतः,कम से कम एक इक्का होने की प्रायिकता $1 - P(\text{no ace}) = 1 - \frac{188}{221} = \frac{33}{221}$ है।

(A) $n$ पत्रों को $n$ लिफाफों में रखने के कुल तरीके $n!$ हैं।
प्रत्येक पत्र को उसके सही लिफाफे में रखने का केवल $1$ तरीका है।
इसलिए,प्रायिकता $P$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है।
$P = \frac{1}{n!}$

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 7 + 8 = 20$ है।
चूंकि चार गेंदें एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं,इसलिए चारों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता है:
$P = \frac{5}{20} \times \frac{4}{19} \times \frac{3}{18} \times \frac{2}{17}$
$P = \frac{1}{4} \times \frac{4}{19} \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{17}$
$P = \frac{1 \times 1 \times 1 \times 2}{19 \times 6 \times 17} = \frac{2}{1938} = \frac{1}{969}$.

(A) $1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली दो अंकों की कुल संख्याएँ (पुनरावृत्ति के साथ) $= 5 \times 5 = 25$ हैं।
$4$ से विभाज्य दो अंकों की संभावित संख्याएँ हैं:
$12, 24, 32, 44, 52$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 5$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ है।

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि एक पत्ता पान का इक्का है और दूसरा नहीं है।
दो परस्पर अपवर्जी स्थितियाँ हैं:
$(i)$ पहला पत्ता पान का इक्का है और दूसरा नहीं है: $P(E_1) = \frac{1}{52} \times \frac{51}{51} = \frac{1}{52}$.
$(ii)$ पहला पत्ता पान का इक्का नहीं है और दूसरा पान का इक्का है: $P(E_2) = \frac{51}{52} \times \frac{1}{51} = \frac{1}{52}$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E_1) + P(E_2) = \frac{1}{52} + \frac{1}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ है।

(D) $5$ घोड़ों में से $2$ घोड़ों को चुनने के कुल तरीके $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
केवल $1$ विजेता घोड़ा है। $2$ घोड़ों को इस प्रकार चुनने के तरीके कि विजेता घोड़ा शामिल हो,का अर्थ है विजेता घोड़े को चुनना और शेष $4$ घोड़ों में से एक अन्य घोड़े को चुनना,जो $^4C_1 = 4$ है।
अतः,$Mr. A$ द्वारा विजेता घोड़े को चुनने की प्रायिकता $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।

(C) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_2$ हैं।
$13$ हुकुम के पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के तरीके $^{13}C_2$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{^{13}C_2}{^{52}C_2}$ है।
$P = \frac{13 \times 12}{52 \times 51} = \frac{1}{17}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) $20$ क्रमागत पूर्णांकों में से $2$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके ${}^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ हैं।
दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो।
$20$ क्रमागत पूर्णांकों के किसी भी समूह में,ठीक $10$ सम संख्याएँ और $10$ विषम संख्याएँ होती हैं।
एक सम और एक विषम संख्या चुनने के तरीके ${}^{10}C_1 \times {}^{10}C_1 = 10 \times 10 = 100$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{100}{190} = \frac{10}{19}$ है।

(C) $25$ में से $2$ टिकट चुनने के कुल तरीके $^{25}C_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$ हैं।
दो संख्याओं का गुणनफल सम होने के लिए कम से कम एक संख्या का सम होना आवश्यक है।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: गुणनफल विषम तभी होगा यदि दोनों चुनी गई संख्याएँ विषम हों।
इस सेट में $13$ विषम संख्याएँ $(1, 3, 5, \dots, 25)$ और $12$ सम संख्याएँ $(2, 4, 6, \dots, 24)$ हैं।
$2$ विषम टिकट चुनने के तरीके $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ हैं।
दोनों के विषम होने की प्रायिकता $P(\text{odd}) = \frac{78}{300} = \frac{13}{50}$ है।
अतः,गुणनफल के सम होने की प्रायिकता $1 - P(\text{odd}) = 1 - \frac{13}{50} = \frac{37}{50}$ है।

(A) कुल छात्रों की संख्या $= 12 + 18 = 30$ है।
$30$ में से $2$ छात्रों को चुनने के तरीके $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 435$ हैं।
$12$ में से $2$ लड़कियों को चुनने के तरीके $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{^{12}C_2}{^{30}C_2} = \frac{66}{435} = \frac{22}{145}$।

(B) कुल अक्षरों की संख्या = $11$ है।
व्यंजनों की संख्या = $7$ है।
$11$ में से $2$ अक्षरों को चुनने के तरीकों की संख्या $^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$ है।
$7$ में से $2$ व्यंजनों को चुनने के तरीकों की संख्या $^{7}C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{^{7}C_2}{^{11}C_2} = \frac{21}{55}$ है।

(A) $20$ में से $3$ टिकट निकालने के कुल तरीके $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $7$ और $11$ अंकित टिकट चयन में शामिल हों।
यदि $7$ और $11$ पहले से ही चुन लिए गए हैं,तो हमें शेष $18$ टिकटों में से केवल $1$ और टिकट चुनना है।
इस $3^{rd}$ टिकट को चुनने के तरीके $^{18}C_1 = 18$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ है।

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 4 + 5 + 6 = 15$ है।
$15$ में से $2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $= ^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$ हैं।
हमें प्रायिकता ज्ञात करनी है कि एक गेंद सफेद हो। इसका अर्थ है कि एक गेंद सफेद है और दूसरी गैर-सफेद (लाल या काली) है।
सफेद गेंदों की संख्या $= 4$ है।
गैर-सफेद गेंदों की संख्या $= 5 + 6 = 11$ है।
$1$ सफेद और $1$ गैर-सफेद गेंद चुनने के तरीके $= ^4C_1 \times ^{11}C_1 = 4 \times 11 = 44$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{44}{105}$।

(A) कुल टिकटों की संख्या $= 50$ है।
इनामी टिकटों की संख्या $= 14$ है।
खाली टिकटों की संख्या $= 50 - 14 = 36$ है।
व्यक्ति $2$ टिकट खरीदता है।
$50$ में से $2$ टिकट चुनने के कुल तरीके ${}^{50}C_2 = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 1225$ हैं।
$2$ टिकट ऐसे चुनने के तरीके जिनमें कोई भी इनाम न हो (दोनों खाली हों) ${}^{36}C_2 = \frac{36 \times 35}{2 \times 1} = 630$ हैं।
कोई इनाम न जीतने की प्रायिकता $P(\text{no prize}) = \frac{630}{1225} = \frac{18}{35}$ है।
कम से कम एक इनाम जीतने की प्रायिकता $P(\text{at least one prize}) = 1 - \frac{18}{35} = \frac{17}{35}$ है।

(C) $1, 2, 3$ और $4$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई जा सकने वाली तीन अंकों की कुल संख्याएँ $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ हैं।
एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
${1, 2, 3, 4}$ में से तीन अंकों के ऐसे समूह जिनका योग $3$ से विभाज्य है:
$1 + 2 + 3 = 6$
$2 + 3 + 4 = 9$
${1, 2, 3}$ समूह के लिए,व्यवस्थाओं की संख्या $3! = 6$ है।
${2, 3, 4}$ समूह के लिए,व्यवस्थाओं की संख्या $3! = 6$ है।
कुल अनुकूल परिणाम = $6 + 6 = 12$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$।

(A) कुल टिकटों की संख्या $20$ है। $20$ में से $2$ टिकट निकालने के तरीकों की संख्या $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ है।
$1$ से $20$ के बीच अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ हैं। ऐसी कुल $8$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
इन $8$ में से $2$ अभाज्य संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ है।
दोनों संख्याओं के अभाज्य होने की प्रायिकता $\frac{28}{190} = \frac{14}{95}$ है।

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 6 + 5 + 4 = 15$ है।
लाल न होने वाली गेंदों की संख्या $= 5 + 4 = 9$ है।
हमें $9$ गैर-लाल गेंदों में से $2$ गेंदें चुननी हैं।
$15$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $= ^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$ हैं।
$9$ गैर-लाल गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $= ^{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{36}{105} = \frac{12}{35}$ है।

(B) $m$ रुपये के सिक्के और $n$ दस पैसे के सिक्कों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके: $\frac{(m + n)!}{m! n!}$ हैं।
यदि अंतिम सिरों पर दस पैसे के सिक्के हैं,तो शेष $(m + n - 2)$ सिक्कों में $m$ रुपये के सिक्के और $(n - 2)$ दस पैसे के सिक्के हैं।
इन शेष सिक्कों को व्यवस्थित करने के तरीके: $\frac{(m + n - 2)!}{m! (n - 2)!}$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता:
$P = \frac{\frac{(m + n - 2)!}{m! (n - 2)!}}{\frac{(m + n)!}{m! n!}} = \frac{n(n - 1)}{(m + n)(m + n - 1)}$.

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 4 + 3 = 7$.
पहली लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{3}{7}$.
चूंकि प्रतिस्थापन के बिना चयन किया गया है,इसलिए शेष लाल गेंदों की संख्या $2$ है और कुल शेष गेंदों की संख्या $6$ है।
दूसरी लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अतः,दोनों गेंदों के लाल होने की प्रायिकता $= \frac{3}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{7}$.

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 5 + 7 + 4 = 16$ है।
$16$ में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $= ^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560$ है।
$5$ में से $3$ सफेद गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $= ^{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{^{5}C_3}{^{16}C_3} = \frac{10}{560} = \frac{1}{56}$ है।

(A) $100$ में से दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके ${}^{100}C_2 = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ हैं।
मान लीजिए $S = {1, 2, \dots, 100}$ है। $S$ में $3$ से विभाज्य संख्याएँ ${3, 6, \dots, 99}$ हैं,जो कुल $33$ हैं। $3$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $100 - 33 = 67$ हैं।
दो संख्याओं का गुणनफल $3$ से विभाज्य होता है यदि कम से कम एक संख्या $3$ से विभाज्य हो।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: गुणनफल $3$ से विभाज्य नहीं होगा यदि दोनों चुनी गई संख्याएँ $3$ से विभाज्य न हों।
दोनों संख्याओं के $3$ से विभाज्य न होने के तरीके ${}^{67}C_2 = \frac{67 \times 66}{2} = 2211$ हैं।
गुणनफल के $3$ से विभाज्य होने के तरीके $4950 - 2211 = 2739$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2739}{4950} = 0.5533\dots$ है,जो दशमलव के दो स्थानों तक $0.55$ है।

(D) कुल मोज़ों की संख्या $= 5 + 4 = 9$.
$9$ में से $2$ मोज़े चुनने के कुल तरीके $= ^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.
$2$ भूरे मोज़े चुनने के तरीके $= ^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$2$ सफेद मोज़े चुनने के तरीके $= ^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
दोनों मोज़ों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता $= \frac{^5C_2 + ^4C_2}{^9C_2} = \frac{10 + 6}{36} = \frac{16}{36}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,अंश और हर को $3$ से गुणा करने पर: $\frac{16 \times 3}{36 \times 3} = \frac{48}{108}$.

(C) $38$ लोगों में से $3$ लोगों की समिति चुनने के कुल तरीके $\binom{38}{3}$ हैं।
यदि आप समिति में हैं,तो शेष $2$ सदस्यों को शेष $37$ लोगों में से चुना जाना चाहिए।
समिति को इस तरह चुनने के तरीके कि आप उसमें शामिल हों,$\binom{37}{2}$ हैं।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{\binom{37}{2}}{\binom{38}{3}}$ है।

(B) $4$ लड़कों और $3$ लड़कियों को कतार में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $7!$ हैं।
उनके एकांतर स्थिति में होने के लिए,व्यवस्था $B G B G B G B$ होनी चाहिए।
$4$ लड़कों को $4$ निर्धारित स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $4!$ हैं।
$3$ लड़कियों को $3$ निर्धारित स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $3!$ हैं।
अनुकूल स्थितियाँ $= 4! \times 3!$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{4! \times 3!}{7!} = \frac{24 \times 6}{5040} = \frac{144}{5040} = \frac{1}{35}$.

(C) $30$ क्रमागत पूर्णांकों में से $2$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2} = 435$ हैं।
$30$ क्रमागत पूर्णांकों में $15$ सम संख्याएँ और $15$ विषम संख्याएँ होती हैं।
दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो।
एक सम और एक विषम संख्या चुनने के तरीके $^{15}C_1 \times ^{15}C_1 = 15 \times 15 = 225$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{225}{435} = \frac{15}{29}$ है।

(D) $6$ संख्याओं में से $2$ संख्याओं को बिना प्रतिस्थापन के चुनने के कुल तरीके $P(6, 2) = 6 \times 5 = 30$ हैं।
मान लीजिए दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं। हमें $\min(x, y) < 4$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
पूरक घटना की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है: $\min(x, y) \geq 4$ होना।
इसका अर्थ है कि दोनों संख्याएँ समुच्चय $\{4, 5, 6\}$ से चुनी जानी चाहिए।
$\{4, 5, 6\}$ से $2$ संख्याएँ चुनने के तरीके $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ हैं।
$\min(x, y) \geq 4$ होने की प्रायिकता $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ है।
अतः,$\min(x, y) < 4$ होने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(B) कुल गेंदों की संख्या $= 6 + 7 + 5 = 18$.
$18$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या ${}^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$ है।
$6$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या ${}^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{20}{816}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{20}{816} = \frac{5}{204}$.

(B) कुल गेंदों की संख्या $= 10 + 15 = 25$.
हमें दो प्रयासों में एक लाल और एक हरी गेंद निकालनी है।
संभावित स्थितियाँ (लाल,हरी) या (हरी,लाल) हैं।
प्रायिकता $= P(RG) + P(GR) = \left( \frac{10}{25} \times \frac{15}{24} \right) + \left( \frac{15}{25} \times \frac{10}{24} \right)$.
प्रायिकता $= \left( \frac{150}{600} \right) + \left( \frac{150}{600} \right) = \frac{300}{600} = \frac{1}{2}$.

(C) $5$ व्यक्तियों को कतार में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
अनुकूल तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ $A$ और $E$ हमेशा साथ हों,हम $(AE)$ को एक इकाई मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4$ इकाइयाँ हैं: $(AE), B, C, D$।
इन $4$ इकाइयों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(AE)$ इकाई के भीतर,$A$ और $E$ को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल अनुकूल तरीके $= 2! \times 4! = 2 \times 24 = 48$।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल तरीके}}{\text{कुल तरीके}} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$।

(A) $n$ व्यक्तियों में से $2$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ हैं।
उनके साथ होने के तरीके खोजने के लिए,हम $2$ व्यक्तियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। ऐसी $(n-1)$ इकाइयाँ हैं,इसलिए उनके साथ होने के तरीकों की संख्या $(n-1)$ है।
उनके साथ होने की प्रायिकता $P(\text{together}) = \frac{n-1}{^nC_2} = \frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n}$ है।
उनके साथ न होने की प्रायिकता $P(\text{not together}) = 1 - P(\text{together}) = 1 - \frac{2}{n}$ है।

(B) $10$ लोगों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n = 10!$ हैं।
लड़कों और लड़कियों के एकांतर बैठने के लिए,उन्हें $(B, G, B, G, B, G, B, G, B, G)$ या $(G, B, G, B, G, B, G, B, G, B)$ जैसी स्थितियों पर बैठना होगा।
स्थिति $1$: लड़के से शुरू करने पर,व्यवस्थाओं की संख्या $5! \times 5!$ है।
स्थिति $2$: लड़की से शुरू करने पर,व्यवस्थाओं की संख्या $5! \times 5!$ है।
कुल अनुकूल तरीके $m = 2 \times (5! \times 5!)$ हैं।
आवश्यक प्रायिकता $P = \frac{m}{n} = \frac{2 \times 5! \times 5!}{10!} = \frac{1}{126}$.

(B) मान लीजिए कि चार मशीनें $M_1, M_2, F_1, F_2$ हैं,जहाँ $F$ एक खराब मशीन को दर्शाता है और $M$ एक कार्यशील मशीन को दर्शाता है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि दोनों खराब मशीनें ठीक दो परीक्षणों में पहचानी जाती हैं।
इसका मतलब है कि पहले परीक्षण में एक खराब मशीन मिलनी चाहिए और दूसरे परीक्षण में भी एक खराब मशीन मिलनी चाहिए।
पहले दो परीक्षणों के लिए $4$ में से $2$ मशीनों को चुनने के कुल तरीके $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ हैं।
पहले दो परीक्षणों के लिए $2$ में से $2$ खराब मशीनों को चुनने के तरीके $^2P_2 = 2 \times 1 = 2$ हैं।
अतः,आवश्यक प्रायिकता $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ है।

(A) उपलब्ध अंकों का समूह $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ है,जिसमें कुल $7$ अंक हैं।
इनमें सम अंक $\{2, 4, 6, 8\}$ हैं,अर्थात $4$ सम और $3$ विषम अंक हैं।
कुल $5$ अंकों की संख्याएँ जो इन $7$ अंकों से बनाई जा सकती हैं,वे $P(7, 5) = 2520$ हैं।
दोनों सिरों पर सम अंक होने के लिए,हमें $4$ सम अंकों में से $2$ को चुनकर व्यवस्थित करना होगा,जिसके तरीके $P(4, 2) = 12$ हैं।
शेष $3$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $P(5, 3) = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $12 \times 60 = 720$ है।
प्रायिकता $= \frac{720}{2520} = \frac{2}{7}$ है।

(A) मान लीजिए पत्र $L_1, L_2, L_3$ हैं और उनके संबंधित लिफाफे $E_1, E_2, E_3$ हैं।
$3$ पत्रों को $3$ लिफाफों में रखने के कुल तरीके $3! = 6$ हैं।
संभावित व्यवस्थाएं: $(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)$ हैं।
हम चाहते हैं कि केवल एक पत्र सही लिफाफे में हो।
यदि $L_1, E_1$ में है,तो $L_2$ और $L_3$ को आपस में बदलना होगा ($L_2, E_3$ में,$L_3, E_2$ में)। यह $1$ तरीका है।
यदि $L_2, E_2$ में है,तो $L_1$ और $L_3$ को आपस में बदलना होगा। यह $1$ तरीका है।
यदि $L_3, E_3$ में है,तो $L_1$ और $L_2$ को आपस में बदलना होगा। यह $1$ तरीका है।
कुल अनुकूल तरीके $= 1 + 1 + 1 = 3$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल तरीके}}{\text{कुल तरीके}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 5 + 3 = 8$ है।
$8$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $= ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ हैं।
$5$ सफेद गेंदों में से $1$ सफेद और $3$ काली गेंदों में से $1$ काली गेंद चुनने के तरीके $= ^5C_1 \times ^3C_1 = 5 \times 3 = 15$ हैं।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{15}{28}$ है।

(B) $7$ लोगों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $7!$ हैं।
लड़कों और लड़कियों के एकांतर स्थितियों में खड़े होने के लिए,व्यवस्था $B G B G B G B$ होनी चाहिए।
$4$ लड़कों को $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $4!$ हैं।
$3$ लड़कियों को $3$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $3!$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $= 4! \times 3!$.
प्रायिकता $= \frac{4! \times 3!}{7!} = \frac{24 \times 6}{5040} = \frac{144}{5040} = \frac{1}{35}$.

(A) $100$ में से किन्हीं $2$ संख्याओं को चुनने के कुल तरीके = $^{100}C_2 = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$.
$1$ से $100$ तक,$3$ से विभाज्य संख्याएँ $3, 6, 9, \dots, 99$ हैं,जो कुल $33$ हैं।
$3$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $100 - 33 = 67$ हैं।
दो संख्याओं का गुणनफल $3$ से विभाज्य तब होता है जब चुनी गई संख्याओं में से कम से कम एक संख्या $3$ का गुणज हो।
यह दो स्थितियों में हो सकता है:
स्थिति $1$: एक संख्या $3$ का गुणज हो और दूसरी न हो। तरीके = $^{33}C_1 \times ^{67}C_1 = 33 \times 67 = 2211$.
स्थिति $2$: दोनों संख्याएँ $3$ की गुणज हों। तरीके = $^{33}C_2 = \frac{33 \times 32}{2} = 528$.
कुल अनुकूल परिणाम = $2211 + 528 = 2739$.
प्रायिकता = $\frac{2739}{4950} = 0.55$.

(A) $52$ पत्तों की गड्डी में से $2$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $n(S) = \binom{52}{2} = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ हैं।
ताश की गड्डी में $4$ राजा होते हैं। $4$ राजाओं में से $2$ राजा चुनने के तरीके $n(E) = \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
अतः,दोनों पत्तों के राजा होने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$ है।

(D) कुल चॉक की संख्या = $5 + 4 = 9$ है।
$9$ में से $2$ चॉक चुनने के कुल तरीके $n(S) = _9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें दोनों चॉक सफेद हैं। $4$ में से $2$ सफेद चॉक चुनने के तरीके $n(A) = _4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
मान लीजिए $B$ वह घटना है जिसमें दोनों चॉक नीले हैं। $5$ में से $2$ नीले चॉक चुनने के तरीके $n(B) = _5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,इसलिए दोनों चॉक के एक ही रंग के होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ है।
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
$P(B) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।
$P(A \cup B) = \frac{6}{36} + \frac{10}{36} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$।

(A) कुल पत्तों की संख्या = $16$। $16$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $\binom{16}{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ हैं।
इक्कों की संख्या = $4$। गैर-इक्का पत्तों की संख्या = $12$।
कोई इक्का न मिलने की प्रायिकता $12$ गैर-इक्का पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने की प्रायिकता है।
$P(\text{कोई इक्का नहीं}) = \frac{\binom{12}{2}}{\binom{16}{2}} = \frac{66}{120} = \frac{11}{20}$।
कम से कम एक इक्का मिलने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई इक्का नहीं})$ है।
$P(\text{कम से कम एक इक्का}) = 1 - \frac{11}{20} = \frac{9}{20}$।

(B) $MISSISSIPPI$ शब्द में $11$ अक्षर हैं,जिसमें $4$ $S$,$4$ $I$,$2$ $P$ और $1$ $M$ हैं।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{11!}{4!4!2!1!} = 34650$ है।
जब सभी $4$ $S$ एक साथ आते हैं,तो $(SSSS)$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $8$ इकाइयाँ होती हैं: $(SSSS), I, I, I, I, P, P, M$।
इन $8$ इकाइयों की व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{8!}{4!2!1!} = 840$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{840}{34650} = \frac{4}{165}$ है।

(A) $1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके बनने वाली कुल $5$-अंकीय संख्याएँ $= 5! = 120$ हैं।
एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य हो।
दिए गए अंकों से बनने वाले $4$ से विभाज्य जोड़े $12, 24, 32, 52$ हैं।
इनमें से प्रत्येक $4$ जोड़ों के लिए,शेष $3$ अंकों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 4 \times 6 = 24$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$।

(C) $30$ क्रमागत पूर्णांकों में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n = \binom{30}{2} = \frac{30 \times 29}{2} = 15 \times 29$ हैं।
दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो।
$30$ क्रमागत पूर्णांकों में $15$ सम और $15$ विषम संख्याएँ होती हैं।
एक सम और एक विषम संख्या चुनने के तरीके $r = \binom{15}{1} \times \binom{15}{1} = 15 \times 15$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{15 \times 15}{15 \times 29} = \frac{15}{29}$ है।

(A) $13$ लोगों में से $2$ लोगों को चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}_{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$ हैं।
माना $A$ वह घटना है जिसमें कम से कम एक महिला चुनी जाती है।
कम से कम एक महिला को चुनने के तरीके:
$n(A) = ({}_5C_1 \times {}_8C_1) + ({}_5C_2 \times {}_8C_0) = (5 \times 8) + (10 \times 1) = 40 + 10 = 50$.
अतः,प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{50}{78} = \frac{25}{39}$.

(D) माना $A$ दो भूरे मोज़े निकालने की घटना है और $B$ दो सफेद मोज़े निकालने की घटना है।
$9$ में से $2$ मोज़े निकालने के कुल तरीके $^{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
$2$ भूरे मोज़े निकालने की प्रायिकता: $P(A) = \frac{^{5}C_{2}}{^{9}C_{2}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।
$2$ सफेद मोज़े निकालने की प्रायिकता: $P(B) = \frac{^{4}C_{2}}{^{9}C_{2}} = \frac{6}{36} = \frac{3}{18}$।
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{5}{18} + \frac{3}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ है।

(D) $ASSASSIN$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $A(2), S(4), I(2), N(1)$.
कुल व्यवस्थाएं = $\frac{8!}{2!4!2!} = 420$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो $S$ एक साथ न आएं,पहले शेष अक्षरों $A, A, I, N$ को व्यवस्थित करें।
$A, A, I, N$ को व्यवस्थित करने के तरीके = $\frac{4!}{2!} = 12$.
ये $4$ अक्षर $5$ रिक्त स्थान बनाते हैं: $\_ L \_ L \_ L \_ L \_$.
इन $5$ रिक्त स्थानों में $4$ $S$ को रखने के तरीके = $^5C_4 = 5$.
अनुकूल परिणाम = $12 \times 5 = 60$.
प्रायिकता = $\frac{60}{420} = \frac{1}{7}$.

(B) $20$ क्रमागत पूर्णांकों में $10$ सम संख्याएँ और $10$ विषम संख्याएँ होती हैं।
$20$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ हैं।
दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो।
अनुकूल परिणामों की संख्या $^{10}C_1 \times ^{10}C_1 = 10 \times 10 = 100$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{100}{190} = \frac{10}{19}$ है।

(A) $1$ से $20$ तक में से $2$ टिकट चुनने के कुल तरीके $n = \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ हैं।
$1$ से $20$ के बीच अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ हैं,जो कुल $8$ हैं।
इनमें से $2$ अभाज्य संख्याएँ चुनने के तरीके $r = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ हैं।
अतः,घटना की प्रायिकता $P = \frac{r}{n} = \frac{28}{190} = \frac{14}{95}$ है।

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 5 + 7 + 4 = 16$ है।
$16$ गेंदों में से $3$ गेंदों को चुनने के तरीके $= ^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560$ हैं।
$5$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदों को चुनने के तरीके $= ^{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{^{5}C_3}{^{16}C_3} = \frac{10}{560} = \frac{1}{56}$।

(C) कुल व्यक्तियों की संख्या = $3 + 2 + 4 = 9$.
हमें $9$ में से $3$ व्यक्तियों का एक समूह चुनना है।
कुल चयन के तरीके $n = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
हमें समूह में ठीक $2$ बच्चे चाहिए।
इसका मतलब है कि हम $4$ बच्चों में से $2$ बच्चे और शेष $5$ व्यक्तियों में से $1$ व्यक्ति चुनते हैं।
अनुकूल तरीके $r = \binom{4}{2} \times \binom{5}{1} = 6 \times 5 = 30$.
प्रायिकता $P(A) = \frac{r}{n} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}$.