Set Based probability Questions in Hindi

(C) $4$ पासे फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^4 = 1296$ है।
उन परिणामों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें कम से कम एक पासा $2$ दर्शाता है,हम कुल परिणामों में से उन परिणामों को घटाते हैं जिनमें किसी भी पासे पर $2$ नहीं आता है।
उन परिणामों की संख्या जिनमें किसी भी पासे पर $2$ नहीं आता है,$5^4 = 625$ है।
अतः,कम से कम एक $2$ वाले परिणामों की संख्या $1296 - 625 = 671$ है।

(A) कुल पत्तों की संख्या $n(S) = 52$ है।
ईंट के पत्तों की संख्या $n(A) = 13$ है,इसलिए $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$।
इक्के के पत्तों की संख्या $n(B) = 4$ है,इसलिए $P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$।
ईंट के इक्के की संख्या $n(A \cap B) = 1$ है,इसलिए $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$।
अब,स्वतंत्रता की जाँच करें: $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}$।
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र (Independent) हैं।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें $7$ से अधिक योग प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है कि योग $8, 9, 10, 11,$ या $12$ हो सकता है।
अनुकूल परिणाम हैं:
योग $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ परिणाम)
योग $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 12$: $(6,6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।

(A) थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 3 \text{ (काली)} + 4 \text{ (सफेद)} = 7 \text{ गेंदें}$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (सफेद गेंदें) $= 4$.
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
$\text{प्रायिकता} = \frac{\text{सफेद गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{4}{7}$.

(D) चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(H) = \frac{1}{2}$ है और चित न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(T) = \frac{1}{2}$ है।
$A$ जीतता है यदि वह अपनी पहली बारी में चित प्राप्त करता है,या यदि $A$ और $B$ दोनों विफल हो जाते हैं और $A$ अपनी दूसरी बारी में चित प्राप्त करता है,इत्यादि।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $P(A \text{ wins}) = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^4 \cdot \frac{1}{2} + \dots$
$P(A \text{ wins}) = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^5 + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/2}{1 - 1/4} = \frac{2}{3}$ है।

(C) जब दो संतुलित पासों को उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि ऊपरी फलकों पर पूर्णांकों का योग $9$ है।
योग $9$ होने के लिए संभावित परिणाम $(3, 6), (4, 5), (5, 4), \text{ और } (6, 3)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।

(A) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$।
इक्कों की संख्या = $4$।
इक्का निकालने की प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $PROBABILITY$ शब्द में कुल $11$ अक्षर हैं: $P, R, O, B, A, B, I, L, I, T, Y$.
शब्द में स्वर $O, A, I, I$ हैं।
कुल $4$ स्वर हैं।
स्वर चुनने की प्रायिकता स्वरों की संख्या और कुल अक्षरों की संख्या का अनुपात है।
$\text{प्रायिकता} = \frac{\text{स्वरों की संख्या}}{\text{कुल अक्षरों की संख्या}} = \frac{4}{11}$.

(A) कुल पृष्ठों की संख्या $100$ है,इसलिए प्रतिदर्श समष्टि $\{1, 2, 3, \dots, 100\}$ है।
हमें उन पृष्ठ संख्याओं को खोजना है जिनके अंकों का योग $11$ है।
दो अंकों की संख्या $xy$ के लिए,योग $x + y = 11$ है। संभावित जोड़े $(x, y)$ हैं: $(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2)$।
ये पृष्ठ संख्याएँ $29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92$ हैं।
ऐसे कुल $8$ पृष्ठ हैं।
ध्यान दें कि पृष्ठ संख्या $100$ के लिए,अंकों का योग $1 + 0 + 0 = 1 \neq 11$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $8$ है।
प्रायिकता $\frac{8}{100} = \frac{2}{25}$ है।

(C) एक परिवार में दो बच्चों के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ है,जहाँ $B$ का अर्थ लड़का और $G$ का अर्थ लड़की है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
दोनों लड़कों के होने की घटना $E = \{BB\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$ है।

(C) जब एक पासे को दो बार फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E_1$ पहली बार में $1$ प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$ हैं।
मान लीजिए $E_2$ दूसरी बार में $1$ न प्राप्त करने की घटना है। दूसरी बार के लिए परिणाम $2, 3, 4, 5, 6$ हो सकते हैं।
हमें पहली बार में $1$ और दूसरी बार में $1$ न प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
अनुकूल परिणाम $(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$ हैं,जो कुल $5$ परिणाम हैं।
अपेक्षित प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{36}$ है।

(B) सिक्का उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S_1 = \{H, T\}$ है,इसलिए $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ है।
पासा फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए $P(6) = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए दोनों के एक साथ होने की प्रायिकता $P(\text{Head} \cap 6) = P(\text{Head}) \times P(6) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ है।

(B) एक सिक्के को दो बार उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
माना $E$ दोनों बार चित आने की घटना है,इसलिए $E = \{(H, H)\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $2$ प्राप्त करने का $1$ तरीका है: $(1, 1)$।
योग $8$ प्राप्त करने के $5$ तरीके हैं: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$।
योग $12$ प्राप्त करने का $1$ तरीका है: $(6, 6)$।
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $1 + 5 + 1 = 7$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{7}{36}$ है।

(B) माना $A$ पहली बार में $4, 5$ या $6$ प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है। कुल परिणाम = $6$.
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
माना $B$ दूसरी बार में $1, 2, 3$ या $4$ प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है। कुल परिणाम = $6$.
$P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
चूंकि दोनों फेंक स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए दोनों के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होगी।
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(A) माना $A$ पहले पैकेट से पान का इक्का निकालने की घटना है,और $B$ दूसरे पैकेट से पान का इक्का निकालने की घटना है।
एक पैकेट से पान का इक्का निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{52}$ है।
एक पैकेट से पान का इक्का न निकालने की प्रायिकता $P(A') = 1 - \frac{1}{52} = \frac{51}{52}$ है।
दोनों में से कोई भी कार्ड पान का इक्का न होने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{51}{52} \times \frac{51}{52} = \frac{2601}{2704}$ है।
कम से कम एक कार्ड के पान का इक्का होने की प्रायिकता $1 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{2601}{2704} = \frac{2704 - 2601}{2704} = \frac{103}{2704}$ है।

(C) कुल वस्तुओं की संख्या $= 6 + 10 = 16$.
माना $N$ वह घटना है कि वस्तु एक कील है और $R$ वह घटना है कि वस्तु जंग लगी हुई है।
कीलों की संख्या $n(N) = 6$.
जंग लगी वस्तुओं की संख्या $n(R) = \frac{6}{2} + \frac{10}{2} = 3 + 5 = 8$.
जंग लगी कीलों की संख्या $n(N \cap R) = \frac{6}{2} = 3$.
हमें $N \cup R$ की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
सूत्र $P(N \cup R) = P(N) + P(R) - P(N \cap R)$ का उपयोग करने पर:
$P(N \cup R) = \frac{6}{16} + \frac{8}{16} - \frac{3}{16} = \frac{11}{16}$.

(A) जब एक सिक्के को $4$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ होती है।
माना $E$ कम से कम एक पट आने की घटना है।
पूरक घटना $E'$ एक भी पट न आने की घटना है,जिसका अर्थ है कि सभी बार चित (head) आए।
$E'$ के लिए एकमात्र परिणाम $(H, H, H, H)$ है,इसलिए $E'$ के परिणामों की संख्या $1$ है।
$E'$ की प्रायिकता $P(E') = \frac{1}{16}$ है।
अतः,कम से कम एक पट आने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि प्राप्त संख्याओं का योग $10$ से अधिक है।
योग $10$ से अधिक होने के संभावित परिणाम $(5, 6), (6, 5), (6, 6)$ हैं।
ऐसे $3$ परिणाम हैं।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ है।

(B) $2$ पासों को फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
योग $5$ प्राप्त करने वाले परिणाम $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ हैं,जो कुल $4$ हैं।
योग $6$ प्राप्त करने वाले परिणाम $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ हैं,जो कुल $5$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $4 + 5 = 9$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।

(B) एक निश्चित घटना वह घटना है जिसका घटित होना तय है।
परिभाषा के अनुसार,प्रतिदर्श समष्टि $S$ की प्रायिकता $P(S) = 1$ होती है।
अतः,एक निश्चित घटना की प्रायिकता $1$ होती है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
विषम योग तब प्राप्त होता है जब एक पासे पर विषम संख्या और दूसरे पर सम संख्या हो।
विषम योग के लिए संभावित परिणाम $(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)$ हैं।
इन्हें गिनने पर,हमें $18$ अनुकूल परिणाम मिलते हैं।
प्रायिकता $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ है।

(C) कुल टिकटों की संख्या $= 10,000$.
$20$ से विभाज्य टिकटों की संख्या $= \frac{10,000}{20} = 500$.
$20$ से विभाज्य टिकट निकालने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{500}{10,000} = \frac{1}{20}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ पहले पासे पर $2$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है: $A = \{2, 4, 6\}$,इसलिए $n(A) = 3$ है।
मान लीजिए $B$ दूसरे पासे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है: $B = \{3, 6\}$,इसलिए $n(B) = 2$ है।
वे परिणाम जहाँ पहले पासे पर $2$ का गुणज और दूसरे पर $3$ का गुणज हो: $(2,3), (2,6), (4,3), (4,6), (6,3), (6,6)$। ऐसे $3 \times 2 = 6$ परिणाम हैं।
वे परिणाम जहाँ पहले पासे पर $3$ का गुणज और दूसरे पर $2$ का गुणज हो: $(3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4), (6,6)$। ऐसे $2 \times 3 = 6$ परिणाम हैं।
परिणाम $(6,6)$ दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $6 + 6 - 1 = 11$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{11}{36}$ है।

(D) माना $A, B,$ और $C$ उन तीन छात्रों द्वारा समस्या हल करने की घटनाएं हैं।
दी गई प्रायिकताएं $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,और $P(C) = \frac{1}{5}$ हैं।
उनके द्वारा समस्या हल न कर पाने की प्रायिकताएं $P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,और $P(C') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ हैं।
किसी के भी द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता $P(A' \cap B' \cap C') = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$ है।
अतः,समस्या के हल होने की प्रायिकता $1 - P(A' \cap B' \cap C') = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।

(C) एक निष्पक्ष पासे में $6$ फलक होते हैं,जिन पर $1, 2, 3, 4, 5, 6$ अंकित होते हैं।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
संख्या $5$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है (क्योंकि पासे पर $5$ केवल एक बार आता है)।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{6}$.

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
चिड़ी की बेगम निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{52}$ है।
पान का बादशाह निकालने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{52}$ है।
चूंकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,इसलिए चिड़ी की बेगम या पान का बादशाह प्राप्त करने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ होगी।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{52} + \frac{1}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ है।

(C) जब तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
हमें कम से कम $2$ पट (tails) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
अनुकूल परिणाम $\{HTT, THT, TTH, TTT\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(B) एक निष्पक्ष पासे को फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $E$,$7$ से कम संख्या प्राप्त करने की घटना है।
प्रतिदर्श समष्टि के सभी परिणाम $7$ से कम हैं,इसलिए $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{6} = 1$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $E$ योग $11$ से कम प्राप्त करने की घटना है।
पूरक घटना $E'$ ज्ञात करना आसान है,जो $11$ या उससे अधिक का योग प्राप्त करना है।
योग $\ge 11$ के लिए परिणाम हैं: $(5, 6), (6, 5), (6, 6)$।
ऐसे $3$ परिणाम हैं।
इसलिए,$E$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $36 - 3 = 33$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$ है।

(B) एक साधारण या गैर-लीप वर्ष में $365$ दिन होते हैं।
$365$ दिन $= 52$ सप्ताह और $1$ दिन।
यह शेष $1$ दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है: {रविवार,सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार}।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,शेष $1$ दिन का रविवार होना आवश्यक है।
कुल $7$ संभावित परिणामों में से $1$ अनुकूल परिणाम है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{1}{7}$।

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
कोर्ट कार्ड (फेस कार्ड) में प्रत्येक सूट के गुलाम,बेगम और बादशाह शामिल होते हैं।
कुल $4$ सूट होते हैं,इसलिए कोर्ट कार्ड की कुल संख्या $= 4 \times 3 = 12$ है।
कोर्ट कार्ड निकालने की प्रायिकता $= \frac{\text{कोर्ट कार्ड की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{12}{52}$ है।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{12}{52} = \frac{3}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $4$ का गुणज है।
$4$ के गुणज वाले संभावित योग $4, 8, 12$ हैं।
योग $= 4$ के लिए परिणाम $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$ हैं।
योग $= 8$ के लिए परिणाम $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ हैं।
योग $= 12$ के लिए परिणाम $(6, 6)$ है।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $3 + 5 + 1 = 9$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।

(A) कुल परिणामों की संख्या = $5 \text{ (पुरस्कार)} + 20 \text{ (खाली)} = 25$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (पुरस्कार प्राप्त करना) = $5$.
पुरस्कार प्राप्त करने की प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

(B) जब एक पासा फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होती है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $E$,$2$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $E = \{3, 4, 5, 6\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर समान संख्या आने वाले परिणाम $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं,जो कुल $6$ परिणाम हैं।
संख्याएँ अलग-अलग होने वाले परिणामों की संख्या $36 - 6 = 30$ है।
योग $6$ होने वाले परिणाम $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ हैं।
चूँकि हमें दिया गया है कि संख्याएँ अलग होनी चाहिए,इसलिए हम $(3,3)$ को हटा देंगे।
अनुकूल परिणाम $(1,5), (2,4), (4,2), (5,1)$ हैं,जो कुल $4$ परिणाम हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ है।

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि पुरुष का चयन होता है और $E_2$ वह घटना है कि महिला का चयन होता है।
दिया गया है $P(E_1) = 1/4$ और $P(E_2) = 1/3$।
पुरुष के चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{E_1}) = 1 - P(E_1) = 1 - 1/4 = 3/4$ है।
महिला के चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{E_2}) = 1 - P(E_2) = 1 - 1/3 = 2/3$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए उनमें से किसी के भी चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{E_1} \cap \bar{E_2}) = P(\bar{E_1}) \times P(\bar{E_2})$ है।
अतः,$P(\bar{E_1} \cap \bar{E_2}) = (3/4) \times (2/3) = 6/12 = 1/2$।

(D) गेंदों की कुल संख्या $= 4 + 5 + 6 = 15$.
सफेद गेंदों की संख्या $= 4$.
लाल गेंदों की संख्या $= 6$.
चूंकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए सफेद या लाल गेंद निकालने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग है।
$P(\text{सफेद या लाल}) = P(\text{सफेद}) + P(\text{लाल}) = \frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

(B) कुल पत्तों की संख्या = $52$।
पान (heart) के पत्तों की संख्या = $13$।
राजा (king) के पत्तों की संख्या = $4$।
जो पत्ता पान और राजा दोनों है (पान का राजा) उसकी संख्या = $1$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,पान या राजा होने वाले पत्तों की संख्या = $13 + 4 - 1 = 16$।
न तो पान और न ही राजा होने वाले पत्तों की संख्या = $52 - 16 = 36$।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{36}{52} = \frac{9}{13}$।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो अधिकतम योग $6 + 6 = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि योग $13$ प्राप्त करना असंभव है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $0$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{0}{36} = 0$ है।

(C) जब तीन पासों को फेंका जाता है तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
$17$ का योग निम्नलिखित तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है: $(5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5)$। ऐसे $3$ परिणाम हैं।
$18$ का योग निम्नलिखित तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: $(6, 6, 6)$। ऐसा $1$ परिणाम है।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $3 + 1 = 4$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ है।

(D) कुल वस्तुओं की संख्या $= 10 + 6 = 16$.
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चुनी गई वस्तु या तो अच्छी है या दोषपूर्ण है।
चूंकि बॉक्स में प्रत्येक वस्तु या तो अच्छी है या दोषपूर्ण,यह एक निश्चित घटना है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 10 + 6 = 16$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{16}{16} = 1$.

(B) एक असंभव घटना वह घटना है जो कभी घटित नहीं हो सकती है।
परिभाषा के अनुसार,एक असंभव घटना की प्रायिकता हमेशा $0$ होती है।
इसके विपरीत,एक निश्चित घटना की प्रायिकता हमेशा $1$ होती है।

(B) जब दो पासे उछाले जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
संभावित योग $2$ से $12$ तक होते हैं। इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ हैं।
प्रत्येक अभाज्य योग के लिए परिणामों की संख्या गिनते हैं:
- योग $= 2$: $(1, 1)$ $\rightarrow 1$ परिणाम
- योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ $\rightarrow 2$ परिणाम
- योग $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ $\rightarrow 4$ परिणाम
- योग $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ $\rightarrow 6$ परिणाम
- योग $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ $\rightarrow 2$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(A) मान लीजिए कि तीनों व्यक्तियों द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकताएं $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$ और $P(C) = \frac{1}{5}$ हैं।
चूंकि वे स्वतंत्र रूप से काम करते हैं,इसलिए समस्या हल न कर पाने की प्रायिकता $P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ और $P(C') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
प्रायिकता कि उनमें से कोई भी समस्या हल न कर सके,$P(A' \cap B' \cap C') = P(A') \times P(B') \times P(C')$ है।
$P(A' \cap B' \cap C') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
वे परिणाम जिनमें अंकों का योग $7$ है,वे हैं: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36}$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें कम से कम $9$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है कि योग $9, 10, 11,$ या $12$ हो सकता है।
अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $9$ के लिए: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ परिणाम)
योग $10$ के लिए: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ परिणाम)
योग $11$ के लिए: $(5,6), (6,5)$ ($2$ परिणाम)
योग $12$ के लिए: $(6,6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 4 + 3 + 2 + 1 = 10$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।

(B) $POSSESSIVE$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $P, O, S, S, E, S, S, I, V, E$।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 10$ है।
अक्षर $S$ शब्द में $4$ बार आता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{10}$ है।

(B) जब तीन पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
अनुकूल परिणाम जहाँ प्रत्येक पासे पर समान संख्या आती है,वे $(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), \text{ और } (6, 6, 6)$ हैं।
ऐसे $6$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ है।