Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Gujarati

(A) આપણે $1! + 2! + 3! + \dots + 11!$ ના સરવાળાને $12$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
નોંધો કે કોઈપણ $n \ge 4$ માટે,$n!$ માં $4 \times 3 = 12$ અવયવો હોય છે.
તેથી,તમામ $n \ge 4$ માટે $n!$ એ $12$ વડે વિભાજ્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $4!, 5!, 6!, \dots, 11!$ બધા $12$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી તેમને $12$ વડે ભાગતા શેષ $0$ મળે છે.
સરવાળો $S \equiv 1! + 2! + 3! + 0 + \dots + 0 \pmod{12}$ થાય છે.
$S \equiv 1 + 2 + 6 \pmod{12}$.
$S \equiv 9 \pmod{12}$.
આમ,શેષ $9$ છે.

(D) પદાવલિ $(n+24)(n+25)(n+26)(n+27)$ એ $4$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા $k!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અહીં,$k = 4$ છે,તેથી ગુણાકાર $4!$ વડે વિભાજ્ય છે.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
તેથી,આ પદાવલિ હંમેશા $24$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n \ge 10$ માટે,$n!$ ના છેલ્લા બે અંક $00$ હોય છે.
તેથી,$10!, 12!, 13!, 15!, 16!, \text{ અને } 17!$ ના છેલ્લા બે અંક $00$ છે.
આમ,આપેલ સરવાળા $1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!$ નો દશકનો અંક એ $1! + 4! + 7!$ ના દશકના અંક જેટલો જ થાય.
સરવાળો કરતા: $1! + 4! + 7! = 1 + 24 + 5040 = 5065$.
$5065$ માં દશકનો અંક $6$ છે.
કારણ કે $3! = 6$,તેથી દશકનો અંક $3!$ વડે વિભાજ્ય છે.
આથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) કોઈ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તો તેના અંકોનો સરવાળો પણ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આપેલ અંકો $4, 6, 9, 5, 3, x, y$ છે.
અંકોનો સરવાળો $= 4 + 6 + 9 + 5 + 3 + x + y = 27 + x + y$.
સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે $(27 + x + y)$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$27$ એ $3$ નો ગુણક હોવાથી,$(x + y)$ પણ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
અંકો ભિન્ન હોવા જોઈએ,તેથી $x, y \in \{0, 1, 2, 7, 8\}$.
શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ જ્યાં $x + y$ એ $3$ નો ગુણક હોય:
જો $x = 1$,તો $y = 2, 8$. જોડીઓ: $(1, 2), (1, 8)$.
જો $x = 2$,તો $y = 1, 7$. જોડીઓ: $(2, 1), (2, 7)$.
જો $x = 7$,તો $y = 2, 8$. જોડીઓ: $(7, 2), (7, 8)$.
જો $x = 8$,તો $y = 1, 7$. જોડીઓ: $(8, 1), (8, 7)$.
કુલ $8$ જોડીઓ શક્ય છે.

(C) ક્રમચયનું સૂત્ર ${}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
આપણે ${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,${}^6P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
ત્યારબાદ,${}^6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3 = 360 + 4 \times 120 = 360 + 480 = 840$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $8 \cdot {}^{7}P_{r} = 7 \cdot {}^{8}P_{r-1}$
${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$8 \cdot \frac{7!}{(7-r)!} = 7 \cdot \frac{8!}{(9-r)!} $
$8! = 8 \cdot 7!$ હોવાથી:
$\frac{8 \cdot 7!}{(7-r)!} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 7!}{(9-r)!} $
$\frac{1}{(7-r)!} = \frac{7}{(9-r)(8-r)(7-r)!} $
$(9-r)(8-r) = 7 $
$r^2 - 17r + 65 = 0 $
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{17 \pm \sqrt{29}}{2} $
$r$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી અહીં કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $INCONVENIENCE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે. ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય તેવા પાંચ અક્ષરોના શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ શબ્દોમાંથી બધા અક્ષરો ભિન્ન હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા બાદ કરીશું. ગણતરી મુજબ સાચો જવાબ $3265$ છે.

(C) $COMBINATION$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે. $C$ અને $N$ ને અંતમાં ગોઠવવાના $2$ પ્રકાર છે. મધ્યમાં સ્વર ન આવે તેવા કુલ શબ્દોની સંખ્યા $2(8!)$ છે.

(D) $ASSIGNMENT$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $A, S, S, I, G, N, M, E, N, T$. ભિન્ન અક્ષરો $\{A, S, I, G, N, M, E, T\}$ ($8$ અક્ષરો) છે અને પુનરાવર્તિત અક્ષરો $S$ (બે વાર) અને $N$ (બે વાર) છે.
કિસ્સો $1$: ચારેય અક્ષરો ભિન્ન હોય.
$8$ માંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{4} = 70$. ગોઠવણીની સંખ્યા $70 \times 4! = 1680$.
કિસ્સો $2$: $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ ભિન્ન હોય.
$S$ અથવા $N$ ની જોડી ($2$ પસંદગી). બાકીના $7$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરો: $\binom{7}{2} = 21$. ગોઠવણી: $2 \times 21 \times \frac{4!}{2!} = 504$.
કિસ્સો $3$: $2$ સમાન અક્ષરોની જોડી હોય.
જોડીઓ $S$ અને $N$ છે ($1$ પસંદગી). ગોઠવણી: $\frac{4!}{2!2!} = 6$.
કુલ શબ્દો = $1680 + 504 + 6 = 2190$.

(B) પગલું $1$: $8$ માંથી $4$ વિદ્યાર્થીઓને ટેબલની આસપાસ ગોઠવવા માટે પસંદ કરો. તેમને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{8}C_{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ છે.
પગલું $2$: આ $4$ વિદ્યાર્થીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. ગોળાકાર ગોઠવણીઓની સંખ્યા $(4-1)! = 3! = 6$ છે.
પગલું $3$: બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓને એક હરોળમાં ગોઠવો. રેખીય ગોઠવણીઓની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા આ મૂલ્યોનો ગુણાકાર છે: $70 \times 6 \times 24 = 420 \times 24 = 10080$.

(C) ગણ $\{1, 2, 3, 5, 8\}$ માંથી $4$ અલગ-અલગ અંકો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ છે.
દરેક અંક દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો,હજાર) પર સમાન સંખ્યામાં આવે છે.
અહીં $5$ અંકો છે અને આપણે $4$ પસંદ કરીએ છીએ,તેથી દરેક અંક ચોક્કસ સ્થાન પર $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ વખત આવે છે.
અંકોનો સરવાળો $S = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 19$ છે.
કોઈપણ એક સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $24 \times 19 = 456$ થાય છે.
આવી તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો $456 \times (1 + 10 + 100 + 1000) = 456 \times 1111 = 506616$ થાય છે.

(C) $10000$ કરતા નાની એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ શોધવા માટે જેમાં અંક $5$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે,આપણે પૂરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$10000$ કરતા નાની કુલ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $9999$ છે.
આપણે એવી સંખ્યાઓની ગણતરી કરીએ છીએ જેમાં અંક $5$ બિલકુલ આવતો નથી.
આ સંખ્યાઓને $d_1 d_2 d_3 d_4$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે જ્યાં દરેક અંક $d_i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ છે.
દરેક સ્થાન માટે $9$ વિકલ્પો છે (અંક $5$ સિવાય).
$4$-અંકના નિરૂપણ માટે (જેમાં $1000$ કરતા નાની સંખ્યાઓ માટે અગ્રણી શૂન્યોનો સમાવેશ થાય છે),કુલ $9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^4 = 6561$ સંયોજનો છે.
આપણે ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ શોધી રહ્યા છીએ,તેથી આપણે એ કિસ્સો બાકાત રાખીએ છીએ જ્યાં બધા અંકો $0$ $(0000)$ હોય,તેથી $6561 - 1 = 6560$ એવી સંખ્યાઓ છે જેમાં અંક $5$ આવતો નથી.
ઓછામાં ઓછો એક $5$ ધરાવતી સંખ્યાઓની સંખ્યા $9999 - 6560 = 3439$ છે.

(D) '$CURVE$' શબ્દમાં $5$ અલગ અક્ષરો છે: $C, U, R, V, E$.
ઓછામાં ઓછા $2$ અક્ષરો લઈને શબ્દો બનાવતા:
$r=2$ માટે: $P(5, 2) = 20$.
$r=3$ માટે: $P(5, 3) = 60$.
$r=4$ માટે: $P(5, 4) = 120$.
$r=5$ માટે: $P(5, 5) = 120$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $20 + 60 + 120 + 120 = 320$.
$3$ અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા $60$ છે.
સંભાવના = $\frac{60}{320} = \frac{3}{16}$.

(C) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોય, તો તે સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોય છે। $0$ થી $9$ ના તમામ અંકોનો સરવાળો $45$ છે। આપણે $8$ અંકો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે તેમનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોય। ધારો કે બાકાત રાખેલા બે અંકો $x$ અને $y$ છે। તો $45 - (x + y)$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $(x + y)$ એ $0, 9$ અથવા $18$ હોવું જોઈએ।
કેસ $1$: બાકાત જોડી $(0, 9)$ હોય, તો બાકીના $8$ અંકો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ છે। ગોઠવણીની રીતો $= 8! = 8 \times 7!$.
કેસ $2$: બાકાત જોડી $(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)$ માંથી એક હોય, તો બાકીના $8$ અંકોમાં $0$ નો સમાવેશ થાય છે। પ્રથમ સ્થાને $0$ ન આવી શકે, તેથી રીતો $= 7 \times 7!$.
કુલ રીતો $= 8 \times 7! + 4 \times (7 \times 7!) = 8 \times 7! + 28 \times 7! = 36 \times 7!$.

(A) "$MATHEMATICS$" શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$.
અહીં $3$ સમાન અક્ષરોની જોડી છે: $(M, M), (A, A), (T, T)$ અને $5$ અલગ અક્ષરો છે: $H, E, I, C, S$.
$4$ અક્ષરોની શ્રેણી બનાવવા માટે જેમાં બે અક્ષરો સમાન અને બે અલગ હોય:
$1$. $3$ જોડીમાંથી $1$ જોડી પસંદ કરો: $^3C_1 = 3$ રીતે.
$2$. બાકીના $7$ પ્રકારના અક્ષરોમાંથી $2$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરો: $^7C_2 = 21$ રીતે.
$3$. આ $4$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો: $\frac{4!}{2!} = 12$ રીતે.
કુલ રીતો = $3 \times 21 \times 12 = 756$.

(C) $4$-અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે આપણે $3$ અને $7$ અંકોનો એક જ વાર ઉપયોગ કરવો પડે. બાકીના $2$ સ્થાન બાકીના $8$ અંકો $(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9)$ માંથી પુનરાવર્તન વગર ભરી શકાય.
$4$ માંથી $3$ અને $7$ માટે $2$ સ્થાન પસંદ કરવાની રીતો $^4C_2 = 6$ છે. $3$ અને $7$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય.
બાકીના $2$ સ્થાન $8$ અંકો વડે $P(8, 2) = 8 \times 7 = 56$ રીતે ભરી શકાય.
શૂન્યથી શરૂ થતી સંખ્યાઓ સહિત કુલ રીતો $= 6 \times 2 \times 56 = 672$.
હવે,જે સંખ્યા $0$ થી શરૂ થાય છે તે બાદ કરતા ($3$-અંકની સંખ્યાઓ).
જો પ્રથમ અંક $0$ હોય,તો બાકીના $3$ સ્થાનમાંથી $3$ અને $7$ માટે $2$ સ્થાન પસંદ કરવાની રીતો $^3C_2 = 3$ છે. તેમને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય. છેલ્લું સ્થાન બાકીના $7$ અંકોમાંથી $7$ રીતે ભરી શકાય.
$0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ $= 3 \times 2 \times 7 = 42$.
જરૂરી સંખ્યા $= 672 - 42 = 630$.

(A) $7$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી ચાર અંકની કુલ સંખ્યાઓ $p = P(7, 4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ છે.
$q$ ($3400$ થી મોટી સંખ્યાઓ) શોધવા માટે:
કિસ્સો $1$: $4, 5, 6, 7$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ. પ્રથમ અંક $4$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે,અને બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $6$ અંકોમાંથી $P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ રીતે ભરી શકાય છે. કુલ $= 4 \times 120 = 480$.
કિસ્સો $2$: $3$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ. બીજો અંક $\geq 4$ હોવો જોઈએ.
જો બીજો અંક $4$ હોય,તો બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકોમાંથી $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય છે.
જો બીજો અંક $5, 6, 7$ ($3$ વિકલ્પો) હોય,તો બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકોમાંથી $P(5, 2) = 20$ રીતે ભરી શકાય છે. કુલ $= 3 \times 20 = 60$.
આમ,$q = 480 + 20 + 60 = 560$.
તેથી,$p: q = 840: 560 = 3: 2$.

(D) જો સંખ્યાનો છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોય,તો તે સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય છે. આપણે પુનરાવર્તન વગર $1, 2, 3$ અથવા $4$ અંકની સંખ્યાઓ વિચારીએ.
કિસ્સો $1$: $0$ માં અંત પામતી સંખ્યાઓ.
- $1$ અંક: $0$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી,તેથી $0$.
- $2$ અંક: પ્રથમ અંક માટે $9$ વિકલ્પો,છેલ્લા માટે $1$. કુલ $= 9 \times 1 = 9$.
- $3$ અંક: પ્રથમ માટે $9$,બીજા માટે $8$,છેલ્લા માટે $1$. કુલ $= 9 \times 8 \times 1 = 72$.
- $4$ અંક: પ્રથમ માટે $9$,બીજા માટે $8$,ત્રીજા માટે $7$,છેલ્લા માટે $1$. કુલ $= 9 \times 8 \times 7 \times 1 = 504$.
કિસ્સો $1$ નો સરવાળો $= 9 + 72 + 504 = 585$.
કિસ્સો $2$: $5$ માં અંત પામતી સંખ્યાઓ.
- $1$ અંક: ${5}$. કુલ $= 1$.
- $2$ અંક: પ્રથમ માટે $8$ વિકલ્પો,છેલ્લા માટે $1$. કુલ $= 8 \times 1 = 8$.
- $3$ અંક: પ્રથમ માટે $8$,બીજા માટે $7$,છેલ્લા માટે $1$. કુલ $= 8 \times 7 \times 1 = 56$.
- $4$ અંક: પ્રથમ માટે $7$,બીજા માટે $7$,ત્રીજા માટે $6$,છેલ્લા માટે $1$. કુલ $= 7 \times 7 \times 6 \times 1 = 294$.
કિસ્સો $2$ નો સરવાળો $= 1 + 8 + 56 + 294 = 359$.
કુલ $= 585 + 359 = 944$.

(A) "$INTERMEDIATE$" શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $I, N, T, E, R, M, E, D, I, A, T, E$.
સ્વર છે: $I, E, E, I, A, E$ (કુલ $6$ સ્વર: $3$ $E, 2$ $I, 1$ $A$).
વ્યંજન છે: $N, T, R, M, D, T$ (કુલ $6$ વ્યંજન: $2$ $T, 1$ $N, 1$ $R, 1$ $M, 1$ $D$).
પ્રથમ,$6$ વ્યંજનોને ગોઠવો. ગોઠવણીની રીતો $\frac{6!}{2!}$ છે.
આ $6$ વ્યંજનો $7$ જગ્યાઓ (ખાલી જગ્યાઓ) બનાવે છે જ્યાં $6$ સ્વરોને એવી રીતે મૂકી શકાય કે જેથી કોઈ પણ બે સ્વર સાથે ન આવે.
$7$ જગ્યાઓમાં $6$ સ્વરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{^7P_6}{3!2!} = \frac{7!}{3!2!}$ છે.
કુલ ગોઠવણી = $\frac{6!}{2!} \times \frac{7!}{3!2!}$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે $ANIMAL$ શબ્દનો ક્રમ શોધીએ. અક્ષરો $A, A, I, L, M, N$ છે. તેમને મૂળાક્ષર પ્રમાણે ગોઠવતા: $A, A, I, L, M, N$.
ક્રમની ગણતરી:
$AA... : 4! = 24$
$AI... : 4! = 24$
$AL... : 4! = 24$
$AM... : 4! = 24$
$ANA... : 3! = 6$
$ANIA... : 2! = 2$
$ANIL... : 2! = 2$
$ANIMAL : 1$
સરવાળો $= 24+24+24+24+6+2+2+1 = 107$. તેથી,$x = 107$.
હવે,$PERSON$ શબ્દ માટે,અક્ષરો $E, N, O, P, R, S$ છે. તેમને મૂળાક્ષર પ્રમાણે ગોઠવતા: $E, N, O, P, R, S$.
આપણને $107$ મો શબ્દ જોઈએ છે:
$EN... : 4! = 24$
$EO... : 4! = 24$
$EP... : 4! = 24$
$ER... : 4! = 24$
અત્યાર સુધીનો કુલ સરવાળો $= 96$.
$ESN... : 3! = 6$ (કુલ $102$)
$ESON... : 2! = 2$ (કુલ $104$)
$ESOP... : 2! = 2$ (કુલ $106$)
$ESORNP : 1$ (કુલ $107$)
આમ,$107$ મો શબ્દ $ESORNP$ છે.

(B) $0, 3, 5, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર ચાર અંકની બેકી સંખ્યા બનાવવા માટે,છેલ્લો અંક $0$ અથવા $4$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: છેલ્લો અંક $0$ છે. બાકીના $3$ સ્થાન $3, 5, 4$ દ્વારા $3! = 6$ રીતે ભરી શકાય છે. સંખ્યાઓ $3540, 5340, 3450, 4350, 5430, 4530$ છે. તેમનો સરવાળો $26640$ છે.
કિસ્સો $2$: છેલ્લો અંક $4$ છે. પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે. શક્ય સંખ્યાઓ $3054, 3504, 5034, 5304$ છે. તેમનો સરવાળો $16896$ છે.
કુલ સરવાળો $= 26640 + 16896 = 43536$.

(D) $20001$ થી $59999$ સુધીની સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લો. આ શ્રેણીમાં કુલ સંખ્યાઓ $39999$ છે.
દરેક $10$ ક્રમિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં,બરાબર $5$ સંખ્યાઓનો અંકોનો સરવાળો બેકી હોય છે.
કુલ $39990$ સંખ્યાઓ માટે,અડધી સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી હશે,એટલે કે $19995$.
બાકીની $9$ સંખ્યાઓ ($59991$ થી $59999$) માટે,પ્રથમ ચાર અંકોનો સરવાળો $32$ (બેકી) છે,તેથી છેલ્લો અંક બેકી $(2, 4, 6, 8)$ હોય તો કુલ સરવાળો બેકી થાય.
આમ,કુલ સંખ્યા $= 19995 + 4 = 19999$.

(C) સંકેત બનાવવા માટે,આપણે એક સમયે $1, 2, 3, 4, 5, 6,$ અથવા $7$ શીટ્સ પસંદ કરી શકીએ છીએ.
સંકેતમાં શીટ્સનો ક્રમ મહત્વનો હોવાથી,આપણે ક્રમચયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
કુલ સંકેતોની સંખ્યા દરેક કિસ્સા માટે ક્રમચયનો સરવાળો છે:
$S = P(7, 1) + P(7, 2) + P(7, 3) + P(7, 4) + P(7, 5) + P(7, 6) + P(7, 7)$
$S = 7 + 42 + 210 + 840 + 2520 + 5040 + 5040 = 13699$

(A) ચાર અંકની કુલ સંખ્યાઓ $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$ છે.
ચાર અંકની એવી સંખ્યાઓ કે જેમાં ચાર અલગ-અલગ અંકો ન હોય તે શોધવા માટે,આપણે કુલ સંખ્યામાંથી ચાર અલગ-અલગ અંકો ધરાવતી સંખ્યાઓ બાદ કરીશું.
ચાર અલગ-અલગ અંકો ધરાવતી ચાર અંકની સંખ્યાઓ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
પ્રથમ અંક (હજારનું સ્થાન) $1$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે ($9$ વિકલ્પો).
બીજો અંક બાકીના $9$ અંકોમાંથી કોઈપણ હોઈ શકે ($9$ વિકલ્પો).
ત્રીજો અંક બાકીના $8$ અંકોમાંથી કોઈપણ હોઈ શકે ($8$ વિકલ્પો).
ચોથો અંક બાકીના $7$ અંકોમાંથી કોઈપણ હોઈ શકે ($7$ વિકલ્પો).
અલગ-અલગ અંકો ધરાવતી કુલ સંખ્યાઓ = $9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$.
તેથી,ચાર અંકની એવી સંખ્યાઓ કે જેમાં ચાર અલગ-અલગ અંકો ન હોય = $9000 - 4536 = 4464$.

(C) આપેલ અંકો $2, 3, 4, 5, 6$ છે. કુલ $n = 5$ અંકો છે.
પુનરાવર્તન વગર $4$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
આવી કુલ સંખ્યાઓ $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 120$ છે.
દરેક સ્થાન (હજાર,સો,દશક,એકમ) પર દરેક અંક સમાન સંખ્યામાં આવે છે.
દરેક અંક ચોક્કસ સ્થાન પર $\frac{120}{5} = 24$ વખત આવે છે.
અંકોનો સરવાળો $S = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો:
સરવાળો $= 24 \times S \times (10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)$
સરવાળો $= 24 \times 20 \times (1111)$
સરવાળો $= 480 \times 1111 = 533280$.

(B) આપેલ અંકો $0, 2, 4, 5$ છે.
પુનરાવર્તન વગર બનતી ચાર અંકની કુલ સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં,તેથી $3$ વિકલ્પો $(2, 4, 5)$ છે.
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.
જો કોઈ સંખ્યા $0$ અથવા $5$ પર સમાપ્ત થાય તો તે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
કિસ્સો $1$: સંખ્યા $0$ પર સમાપ્ત થાય છે.
છેલ્લો અંક $0$ તરીકે નિશ્ચિત છે. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો $(2, 4, 5)$ દ્વારા $3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
કિસ્સો $2$: સંખ્યા $5$ પર સમાપ્ત થાય છે.
છેલ્લો અંક $5$ તરીકે નિશ્ચિત છે. પ્રથમ અંક $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે નહીં,તેથી $2$ વિકલ્પો $(2, 4)$ છે. બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $2$ અંકો દ્વારા $2 \times 1 = 2$ રીતે ભરી શકાય છે.
$5$ પર સમાપ્ત થતી કુલ સંખ્યાઓ $= 2 \times 2 \times 1 = 4$.
$5$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $= 6 + 4 = 10$.
$5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી કુલ સંખ્યાઓ $= 18 - 10 = 8$.

(A) ધારો કે $T$ શિક્ષકોની સંખ્યા છે,$F$ પિતાઓની સંખ્યા છે અને $S$ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે. આપણે $7$ સભ્યો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી $T \ge 1, F \ge 1, S \ge 1$ અને $T > F+S$ થાય.
$T+F+S = 7$ હોવાથી,$T > F+S$ શરત સૂચવે છે કે $T > 7-T$,એટલે કે $2T > 7$,જેનો અર્થ છે કે $T \ge 4$.
કિસ્સો $1$: $T=4$. તો $F+S=3$. શક્ય $(F, S)$ જોડીઓ $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{6}{4} \times [\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} + \binom{5}{2} \times \binom{4}{1}] = 15 \times [5 \times 6 + 10 \times 4] = 15 \times [30 + 40] = 15 \times 70 = 1050$.
કિસ્સો $2$: $T=5$. તો $F+S=2$. શક્ય $(F, S)$ જોડી $(1, 1)$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{6}{5} \times [\binom{5}{1} \times \binom{4}{1}] = 6 \times [5 \times 4] = 6 \times 20 = 120$.
કિસ્સો $3$: $T=6$. તો $F+S=1$. આ શક્ય નથી કારણ કે $F \ge 1$ અને $S \ge 1$ હોવાથી $F+S \ge 2$ થવું જોઈએ.
કુલ રીતો = $1050 + 120 = 1170$.

(B) આપેલ છે કે $xyz = 24$.
$24$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^3 \times 3^1$ છે.
ધારો કે $x = 2^{x_1} \times 3^{y_1}$,$y = 2^{x_2} \times 3^{y_2}$,અને $z = 2^{x_3} \times 3^{y_3}$,જ્યાં $x_i, y_i \ge 0$.
તેથી $x_1 + x_2 + x_3 = 3$ અને $y_1 + y_2 + y_3 = 1$.
$x_1 + x_2 + x_3 = 3$ માટે અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1} = \binom{3+3-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10$ છે.
$y_1 + y_2 + y_3 = 1$ માટે અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ છે.
તેથી,કુલ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $10 \times 3 = 30$ છે.

(B) અંકોની સંખ્યા $n = 4$ છે. અંકોનો સરવાળો $S = 2 + 3 + 5 + 7 = 17$ છે.
દરેક અંક દરેક સ્થાન પર $(n-1)! = 3! = 6$ વખત આવે છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $Sum = (n-1)! \times S \times (1111)$.
$Sum = 6 \times 17 \times 1111$.
$Sum = 102 \times 1111 = 113322$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$33 \times 34 \times 101 = 1122 \times 101 = 113322$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) દરેક જોડીમાં એક સફેદ અને એક કાળો દડો હોય તેવી રીતે $n$ જોડીઓ કાઢવાની કુલ રીતો એ દરેક ક્રમિક પસંદગી માટેની રીતોનો ગુણાકાર છે.
પ્રથમ પસંદગી માટે,$n$ સફેદ અને $n$ કાળા દડા છે. એક સફેદ અને એક કાળો દડો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{n}{1} \times \binom{n}{1} = n^2$ છે.
બીજી પસંદગી માટે,$(n-1)$ સફેદ અને $(n-1)$ કાળા દડા બાકી રહે છે. રીતોની સંખ્યા $(n-1)^2$ છે.
આ રીતે છેલ્લી જોડી સુધી,કુલ રીતો $(n \times (n-1) \times \dots \times 1)^2 = (n!)^2$ થશે.
આપેલ છે કે $(n!)^2 = 14400$,તેથી $n! = \sqrt{14400} = 120$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $5! = 120$,તેથી $n = 5$.

(B) દરેક પ્રશ્નના $4$ વિકલ્પો છે. $3$ પ્રશ્નો હોવાથી,કસોટીના જવાબ આપવાની કુલ શક્ય રીતો $4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ બધા સાચા જવાબો લખ્યા નથી,તેથી આપણે બધા જવાબો સાચા હોય તે કિસ્સો બાદ કરીએ છીએ.
આમ,અલગ-અલગ જવાબની પેટર્નની સંખ્યા $64 - 1 = 63$ છે.
કોઈ પણ બે વિદ્યાર્થીઓએ સમાન જવાબ આપ્યા ન હોવાથી,વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા એ અલગ-અલગ જવાબની પેટર્નની સંખ્યા જેટલી એટલે કે $63$ છે.

(D) $40,000$ થી મોટી $5$-અંકી એકી સંખ્યાઓ જેમાં ઓછામાં ઓછો એક અંક પુનરાવર્તિત થાય તે શોધવા માટે: (કુલ $5$-અંકી એકી સંખ્યાઓ $> 40,000$) - (પુનરાવર્તન વગરની કુલ $5$-અંકી એકી સંખ્યાઓ $> 40,000$).
પગલું $1$: કુલ $5$-અંકી એકી સંખ્યાઓ $> 40,000$ (પુનરાવર્તન સાથે).
પ્રથમ અંક $4, 5, 6,$ અથવા $7$ હોઈ શકે ($4$ વિકલ્પો).
છેલ્લો અંક $3, 5,$ અથવા $7$ હોઈ શકે ($3$ વિકલ્પો).
બીજો,ત્રીજો અને ચોથો અંક $6$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે ($6$ વિકલ્પો).
કુલ $= 4 \times 6 \times 6 \times 6 \times 3 = 2592$.
પગલું $2$: પુનરાવર્તન વગરની કુલ $5$-અંકી એકી સંખ્યાઓ $> 40,000$.
કિસ્સો $1$: છેલ્લો અંક $3$ હોય. પ્રથમ અંક $4, 5, 6, 7$ ($4$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાન માટે $4$ અંકો: $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$.
કિસ્સો $2$: છેલ્લો અંક $5$ અથવા $7$ હોય ($2$ વિકલ્પો).
જો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો પ્રથમ અંક $4, 6, 7$ ($3$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાન: $3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.
જો છેલ્લો અંક $7$ હોય,તો પ્રથમ અંક $4, 5, 6$ ($3$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાન: $3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.
પુનરાવર્તન વગરની કુલ સંખ્યા $= 96 + 72 + 72 = 240$.
પગલું $3$: જરૂરી સંખ્યા $= 2592 - 240 = 2352$.

(D) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આપણે ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ માંથી $5$ અંકો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે તેમનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય. તમામ અંકોનો સરવાળો $15$ છે. $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય તે માટે,આપણે એવા અંકોને બાકાત રાખવા પડશે જેનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય. બાકાત રાખવા માટેના શક્ય અંકો ${0}$ અથવા ${3}$ છે.
$(i)$ ${0}$ ને બાકાત રાખતા: અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
(ii) ${3}$ ને બાકાત રાખતા: અંકો ${0, 1, 2, 4, 5}$ છે. પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે. આ ગોઠવણીની સંખ્યા $4 \times 4! = 4 \times 24 = 96$ છે.
કુલ રીતો $= 120 + 96 = 216$.

(C) $TABLE$ શબ્દના અક્ષરો $A, B, E, L, T$ છે. કુલ અક્ષરો = $5$.
શબ્દકોશનો ક્રમ: $A, B, E, L, T$.
$BLATE$ નો ક્રમ: $24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 41$.
$TABLE$ નો ક્રમ: $118$.
તફાવત $= 118 - 41 = 77$.

(B) $X$ માટે (કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે): $6$ છોકરીઓને $6!$ રીતે ગોઠવો. $7$ જગ્યાઓ બને છે: $\_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_ G \_$. $5$ છોકરાઓ માટે $^7C_5$ રીતે જગ્યાઓ પસંદ કરો. તેથી,$X = ^7C_5 \times 5! \times 6! = 21 \times 5! \times 6!$.
$Y$ માટે (કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે): $5$ છોકરાઓને $5!$ રીતે ગોઠવો. $6$ જગ્યાઓ બને છે: $\_ B \_ B \_ B \_ B \_ B \_$. $6$ છોકરીઓ માટે $^6C_6$ રીતે જગ્યાઓ પસંદ કરો. તેથી,$Y = ^6C_6 \times 5! \times 6! = 1 \times 5! \times 6!$.
$Z$ માટે (ગોળાકાર ગોઠવણી,કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે): $6$ છોકરીઓને વર્તુળમાં $(6-1)! = 5!$ રીતે ગોઠવો. તેમની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ છે. $5$ છોકરાઓ માટે $^6C_5$ રીતે જગ્યાઓ પસંદ કરો અને તેમને $5!$ રીતે ગોઠવો. તેથી,$Z = ^6C_5 \times 5! \times 5! = 6 \times 5! \times 5!$.
હવે,$X: Y: Z = (21 \times 5! \times 6!) : (1 \times 5! \times 6!) : (6 \times 5! \times 5!) = 21: 1: 1$.

(B) $2000$ અને $5000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા $4$ અંકની હોય છે.
સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોય તે માટે તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય તેવો હોવો જોઈએ.
અંકોના સમૂહ ${0, 1, 2, 3}$ માટે,હજારના સ્થાને $2$ અથવા $3$ આવી શકે ($2$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાનો $3!$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 2 \times 3! = 12$.
અંકોના સમૂહ ${0, 2, 3, 4}$ માટે,હજારના સ્થાને $2, 3$ અથવા $4$ આવી શકે ($3$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાનો $3!$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 3 \times 3! = 18$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 12 + 18 = 30$.

(D) જો સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ અને $3$ વડે પણ વિભાજ્ય હોવી જોઈએ,તેથી અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
છેલ્લો અંક $0, 2$ અથવા $4$ વડે ભરી શકાય છે ($3$ વિકલ્પો).
પ્રથમ સ્થાન $5$ વિકલ્પો ($0$ સિવાય) વડે ભરી શકાય છે.
બીજું અને ત્રીજું સ્થાન $6$ વિકલ્પો વડે ભરી શકાય છે.
ચોથું સ્થાન એવી રીતે ભરવામાં આવે છે કે જેથી કુલ સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય બને,તેથી $2$ વિકલ્પો મળે છે.
કુલ સંખ્યા $= 5 \times 6 \times 6 \times 2 \times 3 = 1080$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) ત્રણ અંકની સંખ્યા $abc$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
કિસ્સો $1$: $9$ સોના સ્થાન પર હોય $(a=9)$.
ત્યારે $b \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ વિકલ્પો) અને $c \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ વિકલ્પો).
આવી સંખ્યાઓ $= 1 \times 9 \times 9 = 81$.
કિસ્સો $2$: $9$ દશકના સ્થાન પર હોય $(b=9)$.
ત્યારે $a \in \{1, 2, \dots, 8\}$ ($8$ વિકલ્પો) અને $c \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ વિકલ્પો).
આવી સંખ્યાઓ $= 8 \times 1 \times 9 = 72$.
કિસ્સો $3$: $9$ એકમના સ્થાન પર હોય $(c=9)$.
ત્યારે $a \in \{1, 2, \dots, 8\}$ ($8$ વિકલ્પો) અને $b \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ વિકલ્પો).
આવી સંખ્યાઓ $= 8 \times 9 \times 1 = 72$.
કુલ સંખ્યા $= 81 + 72 + 72 = 225$.

(D) ધારો કે પ્રથમ ત્રણ વિષયોમાં ગુણ $x_1, x_2, x_3$ $(0 \leq x_i \leq n)$ છે અને ચોથા વિષયમાં ગુણ $x_4$ $(0 \leq x_4 \leq 2n)$ છે.
આપણે $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3n$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
આ $(1+x+\dots+x^n)^3(1+x+\dots+x^{2n})$ ના વિસ્તરણમાં $x^{3n}$ નો સહગુણક છે.
આ પદાવલિ $\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)^3 \left(\frac{1-x^{2n+1}}{1-x}\right) = (1-x^{n+1})^3(1-x^{2n+1})(1-x)^{-4}$ બરાબર છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(1 - 3x^{n+1} + 3x^{2n+2} - x^{3n+3})(1 - x^{2n+1})(1-x)^{-4}$ મળે છે.
$= (1 - 3x^{n+1} + 3x^{2n+2} - x^{3n+3} - x^{2n+1} + 3x^{3n+2} - 3x^{4n+3} + x^{5n+4})(1-x)^{-4}$.
આ ગુણાકારમાં $x^{3n}$ નો સહગુણક શોધતા,આપણને $\frac{1}{6}(n+1)(5n^2+10n+6)$ મળે છે.

(C) $8$ વિષયો માટે કુલ પરિણામોની સંખ્યા,જ્યાં દરેક વિષયમાં પાસ અથવા નાપાસ થઈ શકાય,તે $2^8 = 256$ છે.
વિદ્યાર્થી ત્યારે જ નાપાસ થાય છે જો તે ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થાય.
વિદ્યાર્થી નાપાસ ન થાય તેવી એકમાત્ર સ્થિતિ એ છે કે તે બધા $8$ વિષયોમાં પાસ થાય.
બધા વિષયોમાં પાસ થવાની રીતોની સંખ્યા $^8C_0 = 1$ છે.
તેથી,તે જે રીતે નાપાસ થઈ શકે છે તેની સંખ્યા:
$2^8 - ^8C_0 = 256 - 1 = 255$.

(A) ધારો કે પતિના સંબંધીઓમાંથી આમંત્રિત સ્ત્રીઓ અને પુરુષોની સંખ્યા $(L_m, G_m)$ છે અને પત્નીના સંબંધીઓમાંથી $(L_w, G_w)$ છે.
આપણે $L_m + L_w = 3$ અને $G_m + G_w = 3$ જોઈએ છે,જ્યાં $L_m + G_m = 3$ અને $L_w + G_w = 3$ છે.
$(L_m, G_m)$ અને $(L_w, G_w)$ માટે શક્ય કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: $(L_m, G_m) = (0, 3)$ અને $(L_w, G_w) = (3, 0)$.
રીતો $= {^4C_0} \times {^3C_3} \times {^3C_3} \times {^4C_0} = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$.
કિસ્સો $2$: $(L_m, G_m) = (1, 2)$ અને $(L_w, G_w) = (2, 1)$.
રીતો $= {^4C_1} \times {^3C_2} \times {^3C_2} \times {^4C_1} = 4 \times 3 \times 3 \times 4 = 144$.
કિસ્સો $3$: $(L_m, G_m) = (2, 1)$ અને $(L_w, G_w) = (1, 2)$.
રીતો $= {^4C_2} \times {^3C_1} \times {^3C_1} \times {^4C_2} = 6 \times 3 \times 3 \times 6 = 324$.
કિસ્સો $4$: $(L_m, G_m) = (3, 0)$ અને $(L_w, G_w) = (0, 3)$.
રીતો $= {^4C_3} \times {^3C_0} \times {^3C_0} \times {^4C_3} = 4 \times 1 \times 1 \times 4 = 16$.
કુલ રીતો $= 1 + 144 + 324 + 16 = 485$.

(A) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $12$ છે ($3$ વિભાગ $\times$ દરેકના $4$ પ્રશ્નો). ઉમેદવારે $5$ પ્રશ્નો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રશ્ન પસંદ થાય.
$5$ પ્રશ્નોની $3$ વિભાગોમાં વહેંચણી નીચે મુજબ થઈ શકે:
કિસ્સો $1$: $(2, 2, 1)$ કોઈપણ ક્રમમાં. રીતોની સંખ્યા = $3 \times (^4C_2 \times ^4C_2 \times ^4C_1) = 3 \times (6 \times 6 \times 4) = 432$.
કિસ્સો $2$: $(3, 1, 1)$ કોઈપણ ક્રમમાં. રીતોની સંખ્યા = $3 \times (^4C_3 \times ^4C_1 \times ^4C_1) = 3 \times (4 \times 4 \times 4) = 192$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $432 + 192 = 624$.

(D) આપેલ ગણ $S = \{0, 1, 2, \ldots, 100\}$ છે.
આપણે એવા ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ શોધવાની છે કે જ્યાં $x, y \in S$,$x \neq y$,અને $x + y = 100$ થાય.
શક્ય જોડ $(x, y)$ આ મુજબ છે:
$(0, 100), (1, 99), (2, 98), \ldots, (49, 51)$.
અહીં $(50, 50)$ જોડને બાકાત રાખવી પડે કારણ કે $x \neq y$ શરત છે.
વધુમાં,$(51, 49), (52, 48), \ldots, (100, 0)$ જોડ પણ અલગ ગણાય કારણ કે $x$ અને $y$ ની પસંદગીમાં ક્રમ મહત્વનો છે.
$x = 0$ થી $x = 49$ સુધીની કુલ $50$ જોડ મળે છે.
$x = 51$ થી $x = 100$ સુધીની કુલ $50$ જોડ મળે છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $50 + 50 = 100$.

(C) દરેક પ્રશ્ન માટે,જવાબ આપવા માટે $4$ વિકલ્પો છે,અને પ્રશ્ન ખાલી છોડવા માટે $1$ વિકલ્પ છે.
દરેક $4$ પ્રશ્નો માટે,ઉમેદવાર પાસે $5$ શક્યતાઓ છે: કાં તો $4$ જવાબોમાંથી એક પસંદ કરવો અથવા પ્રશ્નનો જવાબ ન આપવો.
$4$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાની કુલ રીતો (કેટલાક ખાલી છોડવા સહિત) $5^4 = 625$ છે.
ઉમેદવારે 'એક અથવા વધુ' પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરવો પડશે જેમાં ઉમેદવાર બધા $4$ પ્રશ્નો ખાલી છોડે છે.
કુલ રીતો = $5^4 - 1 = 625 - 1 = 624$.

(A) ધારો કે $x_1, x_2, x_3$ એ $A, B, C$ દ્વારા દાનમાં આપેલા સિક્કાઓની સંખ્યા છે. આપણે $x_1 + x_2 + x_3 = 10$ માટે $0 \le x_1 \le 6, 0 \le x_2 \le 7, 0 \le x_3 \le 8$ ની શરતો સાથે ઉકેલો શોધવાના છે.
કોઈપણ મર્યાદા વગર કુલ ઉકેલો ${ }^{12} C_2 = 66$ છે.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P_1: x_1 \ge 7$ માટે ઉકેલો: ${ }^5 C_2 = 10$.
$P_2: x_2 \ge 8$ માટે ઉકેલો: ${ }^4 C_2 = 6$.
$P_3: x_3 \ge 9$ માટે ઉકેલો: ${ }^3 C_2 = 3$.
કુલ માન્ય રીતો $= 66 - (10 + 6 + 3) = 47$.

(D) $xyz=30$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા માટે,પ્રથમ $30$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ:
$30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$.
ધારો કે $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,અને $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$,જ્યાં $a_i, b_i, c_i \ge 0$.
તેથી $a_1+a_2+a_3 = 1$,$b_1+b_2+b_3 = 1$,અને $c_1+c_2+c_3 = 1$.
$x_1+x_2+x_3 = n$ સ્વરૂપના સમીકરણ માટે અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2}$ દ્વારા મળે છે.
$n=1$ માટે,ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{1+2}{2} = \binom{3}{2} = 3$ છે.
ત્રણ સ્વતંત્ર ચલો $(a, b, c)$ હોવાથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 = 27$ થાય.

(A) ધારો કે $x_A, x_B, x_C$ એ વ્યક્તિઓ $A, B, C$ ને આપેલા સફરજનની સંખ્યા છે. આપણી પાસે $x_A + x_B + x_C = 15$ છે,જ્યાં $x_A \ge 2, x_C \ge 2$ અને $0 \le x_B \le 5$.
ધારો કે $x_A = y_A + 2$ અને $x_C = y_C + 2$,જ્યાં $y_A, y_C \ge 0$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(y_A + 2) + x_B + (y_C + 2) = 15 \implies y_A + x_B + y_C = 11$.
રીતોની સંખ્યા એ $(1+x+x^2+\dots)^2(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)$ ના વિસ્તરણમાં $x^{11}$ નો સહગુણક છે.
આ $(1-x)^{-2} \times \frac{1-x^6}{1-x} = (1-x^6)(1-x)^{-3}$ માં $x^{11}$ નો સહગુણક છે.
$(1-x^6) \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2} x^n$ નું વિસ્તરણ કરતા,$x^{11}$ નો સહગુણક $\binom{13}{2} - \binom{7}{2}$ મળે.
$= 78 - 21 = 57$.

(B) આપણે નિત્યસમ $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sum_{r=0}^{4} {^{(33-r)}C_4} = ^{33}C_4 + ^{32}C_4 + ^{31}C_4 + ^{30}C_4 + ^{29}C_4$.
હવે,પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$^{29}C_5 + ^{29}C_4 + ^{30}C_4 + ^{31}C_4 + ^{32}C_4 + ^{33}C_4$.
નિત્યસમ $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{29}C_5 + ^{29}C_4 = ^{30}C_5$.
$^{30}C_5 + ^{30}C_4 = ^{31}C_5$.
$^{31}C_5 + ^{31}C_4 = ^{32}C_5$.
$^{32}C_5 + ^{32}C_4 = ^{33}C_5$.
$^{33}C_5 + ^{33}C_4 = ^{34}C_5$.
આમ,અંતિમ જવાબ $^{34}C_5$ છે.