Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Gujarati

(C) $n!$ માં અંતિમ શૂન્યોની સંખ્યા $n!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $5$ ના ઘાતાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,કારણ કે $2$ નો ઘાતાંક હંમેશા $5$ ના ઘાતાંક કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોય છે.
$n!$ માં $5$ નો ઘાતાંક લેજેન્ડ્રના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_5(n!) = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots = 13$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$n = 57$ માટે: $E_5(57!) = \lfloor \frac{57}{5} \rfloor + \lfloor \frac{57}{25} \rfloor = 11 + 2 = 13$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $n!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં અવિભાજ્ય $p$ નો ઘાતાંક લેજેન્ડ્રના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$.
$n = 37$ અને $p = 3$ માટે:
$\alpha_3 = \lfloor \frac{37}{3} \rfloor + \lfloor \frac{37}{9} \rfloor + \lfloor \frac{37}{27} \rfloor = 12 + 4 + 1 = 17$.
$n = 37$ અને $p = 5$ માટે:
$\alpha_5 = \lfloor \frac{37}{5} \rfloor + \lfloor \frac{37}{25} \rfloor = 7 + 1 = 8$.
આમ,ગુણોત્તર $\alpha_3 : \alpha_5 = 17 : 8$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(n) = n! (31-n)!$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(n) = \frac{31!}{\binom{31}{n}}$.
$f(n)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે દ્વિપદી સહગુણક $\binom{31}{n}$ ને મહત્તમ બનાવવો પડે.
દ્વિપદી સહગુણક $\binom{N}{n}$ ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે $n = \lfloor N/2 \rfloor$ અથવા $n = \lceil N/2 \rceil$ હોય.
$N = 31$ માટે,મહત્તમ કિંમત $n = 15$ અને $n = 16$ પર મળે છે.
તેથી,$f(n)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $f(15) = 15! (31-15)! = 15! 16!$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $S = ^{37}C_4 + \sum_{r=1}^{5} {^{(42-r)}C_r}$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = ^{37}C_4 + ^{41}C_1 + ^{40}C_2 + ^{39}C_3 + ^{38}C_4 + ^{37}C_5$.
પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ જવાબ $^{42}C_4$ મળે છે.

(C) ધારો કે $b = \sum_{r=0}^n \frac{r}{{}^n C_r}$ ....$(i)$
$r$ ને $n-r$ વડે બદલતા:
$b = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{{}^n C_{n-r}}$
કારણ કે ${}^n C_r = {}^n C_{n-r}$,તેથી:
$b = \sum_{r=0}^n \frac{n-r}{{}^n C_r}$ ....$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2b = \sum_{r=0}^n \frac{r + n - r}{{}^n C_r} = \sum_{r=0}^n \frac{n}{{}^n C_r}$
$2b = n \sum_{r=0}^n \frac{1}{{}^n C_r}$
$a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{{}^n C_r}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$2b = n \cdot a_n \Rightarrow b = \frac{n}{2} \cdot a_n$

(A) $VARIABLE$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $V, A, R, I, A, B, L, E$. જેમાં $4$ વ્યંજન $(V, R, B, L)$ અને $4$ સ્વર $(A, A, I, E)$ છે.
$8$ અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરોવાળો શબ્દ બનાવવાની કુલ રીતો $P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$ છે.
વચ્ચે વ્યંજન હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે વચ્ચેની જગ્યાએ $4$ વ્યંજનમાંથી કોઈ એકને ગોઠવીએ છીએ. આ $4$ રીતે કરી શકાય છે.
બાકીની $2$ જગ્યાઓ બાકી રહેલા $7$ અક્ષરોમાંથી $P(7, 2) = 7 \times 6 = 42$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ સાનુકૂળ શબ્દો = $4 \times 42 = 168$.
સંભાવના = $\frac{168}{336} = \frac{1}{2}$.
નોંધ: ગણતરી કરેલ સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાં આ જવાબ ઉપલબ્ધ નથી,જે પ્રશ્નમાં ક્ષતિ સૂચવે છે.

(B) $0, 1, 2, 3, 4, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી ચાર અંકની કુલ સંખ્યાઓ: પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે,તેથી $5$ વિકલ્પો છે. બાકીના ત્રણ સ્થાનો $5 \times 4 \times 3 = 60$ રીતે ભરી શકાય. કુલ સંખ્યાઓ $= 5 \times 60 = 300$.
જો છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય છે. શક્ય જોડીઓ: $\{04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 60, 64\}$.
કિસ્સો $1$: $0$ ધરાવતી જોડીઓ $(\{04, 20, 40, 60\})$: $4$ જોડીઓ છે. બાકીના $2$ સ્થાનો $4 \times 3 = 12$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 4 \times 12 = 48$.
કિસ્સો $2$: $0$ ન ધરાવતી જોડીઓ $(\{12, 16, 24, 32, 36, 64\})$: $6$ જોડીઓ છે. પ્રથમ અંક $0$ કે વપરાયેલા અંકો ન હોઈ શકે,તેથી $3 \times 3 = 9$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 6 \times 9 = 54$.
સાનુકૂળ પરિણામો $= 48 + 54 = 102$.
સંભાવના $= \frac{102}{300} = \frac{17}{50}$.

(B) '$SENSELESSNESS$' શબ્દમાં કુલ $13$ અક્ષરો છે: $S$ ($6$ વખત),$E$ ($4$ વખત),$N$ ($2$ વખત),અને $L$ ($1$ વખત).
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{13!}{6!4!2!} = 180180$.
બધા $E$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે,આપણે $4$ $E$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $10$ એકમો છે: $(EEEE)$,$S$ ($6$ વખત),$N$ ($2$ વખત),અને $L$ ($1$ વખત).
બધા $E$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{10!}{6!2!1!} = \frac{3628800}{720 \times 2} = 2520$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{2520}{180180} = \frac{252}{18018} = \frac{2}{143}$.

(C) ધારો કે $f(n) = n^4-2n^3-n^2+2n-26$.
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા:
$f(n) = n^3(n-2) - n(n-2) - 26$
$f(n) = (n^3-n)(n-2) - 26$
$f(n) = n(n^2-1)(n-2) - 26$
$f(n) = (n-2)(n-1)n(n+1) - 26$.
ચાર ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $4! = 24$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
ધારો કે $(n-2)(n-1)n(n+1) = 24k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી $f(n) = 24k - 26$.
$24$ વડે ભાગતા શેષ શોધવા માટે:
$f(n) = 24k - 48 + 22$
$f(n) = 24(k-2) + 22$.
આમ,શેષ $22$ છે.

(C) આપેલ અંકો $1, 2, 0, 2, 4, 2, 4$ છે. કુલ $7$ અંકો છે,જેમાં $2$ ત્રણ વાર,$4$ બે વાર,$1$ એક વાર અને $0$ એક વાર આવે છે.
કુલ $7$ અંકની સંખ્યાઓ $\frac{7!}{3!2!} = 420$ રીતે બનાવી શકાય.
$0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ $7$ અંકની નથી. બાકીના $6$ અંકો $(1, 2, 2, 2, 4, 4)$ ને ગોઠવતા $\frac{6!}{3!2!} = 60$ મળે.
$1000000$ થી મોટી કુલ સંખ્યાઓ $420 - 60 = 360$ છે.
એકી સંખ્યાઓ શોધવા માટે,છેલ્લો અંક $1$ હોવો જોઈએ. છેલ્લે $1$ રાખીને બાકીના $6$ અંકો $(0, 2, 2, 2, 4, 4)$ ને ગોઠવતા:
કુલ ગોઠવણી = $\frac{6!}{3!2!} = 60$.
પ્રથમ સ્થાને $0$ હોય તેવી સ્થિતિ બાદ કરતા: $\frac{5!}{3!2!} = 10$.
તેથી,કુલ એકી સંખ્યાઓ = $60 - 10 = 50$.
કુલ બેકી સંખ્યાઓ = (કુલ સંખ્યાઓ) - (કુલ એકી સંખ્યાઓ) = $360 - 50 = 310$.

(B) આપેલ છે કે,${}^n P_r = 30240$ અને ${}^n C_r = 252$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^n P_r = {}^n C_r \times r!$.
કિંમતો મુકતા,$30240 = 252 \times r!$.
$r! = \frac{30240}{252} = 120$.
$120 = 5!$ હોવાથી,$r = 5$ મળે.
હવે,${}^n P_5 = \frac{n!}{(n-5)!} = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 30240$.
$n$ માટે કિંમતો ચકાસતા,$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ મળે છે.
આમ,$n = 10$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(10, 5)$ છે.

(C) $15$ સ્ટેશનમાંથી $5$ સ્ટેશન પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${ }^{15} C_5$ છે.
કોઈપણ બે સ્ટેશન ક્રમિક ન હોય તેવી રીતો શોધવા માટે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ.
ધારો કે $10$ સ્ટેશન જ્યાં ટ્રેન રોકાતી નથી તેને $X$ તરીકે દર્શાવીએ.
$X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10}$
અહીં $11$ સંભવિત ગેપ છે જ્યાં આપણે $5$ સ્ટેશન મૂકી શકીએ છીએ.
$11$ માંથી $5$ ગેપ પસંદ કરવાની રીતો ${ }^{11} C_5$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછા બે ક્રમિક સ્ટેશન પર ટ્રેન રોકાય તેવી રીતોની સંખ્યા = કુલ રીતો - કોઈ પણ બે સ્ટેશન ક્રમિક ન હોય તેવી રીતો
$= { }^{15} C_5 - { }^{11} C_5$.

(B) $CABINET$ શબ્દમાં $7$ અલગ અક્ષરો છે: $C, A, B, I, N, E, T$. કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $7! = 5040$ છે.
ધારો કે $S$ એ તમામ ગોઠવણીઓનો સમૂહ છે. $|S| = 5040$.
ધારો કે $X$ એ $CAB$ ધરાવતી ગોઠવણીઓનો સમૂહ છે. $CAB$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $(CAB), I, N, E, T$. આને $5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
ધારો કે $Y$ એ $NET$ ધરાવતી ગોઠવણીઓનો સમૂહ છે. $NET$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $C, A, B, I, (NET)$. આને $5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
ધારો કે $X \cap Y$ એ $CAB$ અને $NET$ બંને ધરાવતી ગોઠવણીઓનો સમૂહ છે. $CAB$ અને $NET$ ને બે એકમો તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $3$ એકમો છે: $(CAB), I, (NET)$. આને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત મુજબ,$CAB$ અથવા $NET$ ધરાવતી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $|X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y| = 120 + 120 - 6 = 234$ છે.
જે ગોઠવણીઓમાં $CAB$ કે $NET$ ન આવતા હોય તેની સંખ્યા $|S| - |X \cup Y| = 5040 - 234 = 4806$ છે.

(A) $ACADEMICIAN$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, C, A, D, E, M, I, C, I, A, N$.
વ્યંજનો: $C, D, M, C, N$ (કુલ $5$). સ્વરો: $A, A, A, E, I, I$ (કુલ $6$).
વ્યંજનોને એક બ્લોક તરીકે લેતા,ગોઠવણીની રીતો = $\frac{5!}{2!} = 60$.
$A$ સિવાયના સ્વરો $(E, I, I)$ અને વ્યંજન બ્લોક $X$ ને ગોઠવવાની રીતો = $\frac{4!}{2!} = 12$.
$5$ જગ્યાઓમાંથી $3$ $A$ ગોઠવવાની રીતો = $^5C_3 = 10$.
કુલ ગોઠવણી = $60 \times 12 \times 10 = 7200$.

(C) '$INTELLIGENCE$' શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે. '$GENTLE$' ને એક બ્લોક તરીકે ગણતા,બાકી રહેલા અક્ષરો $I, I, N, I, E, C$ છે. કુલ $7$ વસ્તુઓની ગોઠવણી $\frac{7!}{3!} = 840$ રીતે થાય છે. '$GENTLE$' પ્રથમ $9$ સ્થાનમાં આવે તે માટે તે $1, 2, 3, 4$ સ્થાનથી શરૂ થઈ શકે. ગણતરી મુજબ સાચો જવાબ $2520$ છે.

(C) અંકો ${2, 3, 5, 7}$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
દરેક અંક દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો,હજાર) પર સમાન સંખ્યામાં આવે છે,જે $\frac{24}{4} = 6$ વખત છે.
અંકોનો સરવાળો $S = 2 + 3 + 5 + 7 = 17$ છે.
દરેક સ્થાન પરના મૂલ્યોનો સરવાળો $S \times 6 = 17 \times 6 = 102$ છે.
કુલ સરવાળો $102 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 102 \times 1111 = 113322$ થાય.

(A) સંખ્યાઓ $\{3, 5, 6, 7, 8\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $4$-અંકી સંખ્યાઓ છે.
સંખ્યાઓ $6000$ અને $10000$ ની વચ્ચે હોવાથી,પ્રથમ અંક $6, 7$ અથવા $8$ હોવો જોઈએ.
કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ $= 3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.
બેકી સંખ્યા માટે,છેલ્લો અંક $6$ અથવા $8$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $6$ છે. છેલ્લો અંક $8$ હોવો જોઈએ. બાકીની $2$ જગ્યાઓ $3$ અંકો વડે $^3 P_2 = 6$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $7$ છે. છેલ્લો અંક $6$ અથવા $8$ ($2$ રીતે) હોઈ શકે. બાકીની $2$ જગ્યાઓ $3$ અંકો વડે $^3 P_2 = 6$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 2 \times 6 = 12$.
કિસ્સો $3$: પ્રથમ અંક $8$ છે. છેલ્લો અંક $6$ હોવો જોઈએ. બાકીની $2$ જગ્યાઓ $3$ અંકો વડે $^3 P_2 = 6$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ બેકી સંખ્યાઓ $= 6 + 12 + 6 = 24$.
કુલ એકી સંખ્યાઓ $= 72 - 24 = 48$.
તફાવત $= 48 - 24 = 24$.
કારણ કે ${ }^4 P_3 = 24$,તેથી તફાવત ${ }^4 P_3$ છે.

(B) $0, 3, 6, 9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી તમામ $4$-અંકી સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ આપણે જાણીએ છીએ કે આવી કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$ છે.
પગલું $1$: ${0, 3, 6, 9}$ દ્વારા બનતી તમામ $4$-અંકી સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો (જેમાં $0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ પણ સામેલ છે).
અંકોનો સરવાળો $0+3+6+9 = 18$ છે. દરેક અંક દરેક સ્થાન પર $3! = 6$ વખત આવે છે.
દરેક સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $6 \times 18 = 108$ છે.
કુલ સરવાળો $108 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 108 \times 1111 = 119988$ છે.
પગલું $2$: ${3, 6, 9}$ દ્વારા બનતી તમામ $3$-અંકી સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો (આ તે સંખ્યાઓ છે જે $4$-અંકી સેટમાં $0$ થી શરૂ થાય છે).
અંકોનો સરવાળો $3+6+9 = 18$ છે. દરેક અંક દરેક સ્થાન પર $2! = 2$ વખત આવે છે.
દરેક સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $2 \times 18 = 36$ છે.
આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $36 \times (100 + 10 + 1) = 36 \times 111 = 3996$ છે.
પગલું $3$: કુલ સરવાળામાંથી $0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો બાદ કરો.
સરવાળો $= 119988 - 3996 = 115992$.

(A) પ્રશ્નપત્રમાં $3$ ભાગ છે,દરેક ભાગમાં $4$ પ્રશ્નો છે. આપણે કુલ $8$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ પ્રશ્નો હોય.
ધારો કે $n_1, n_2, n_3$ એ ભાગ $1, 2$ અને $3$ માંથી પસંદ કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા છે.
$n_1 + n_2 + n_3 = 8$,જ્યાં $2 \le n_i \le 4$.
શક્ય સમૂહો $(4, 2, 2)$ અને $(3, 3, 2)$ ના ક્રમચયો છે.
કિસ્સો $1$: $(4, 2, 2)$ ના $3$ પ્રકારો: $(4, 2, 2), (2, 4, 2), (2, 2, 4)$.
રીતોની સંખ્યા $= 3 \times (^{4}C_4 \times ^{4}C_2 \times ^{4}C_2) = 3 \times 36 = 108$.
કિસ્સો $2$: $(3, 3, 2)$ ના $3$ પ્રકારો: $(3, 3, 2), (3, 2, 3), (2, 3, 3)$.
રીતોની સંખ્યા $= 3 \times (^{4}C_3 \times ^{4}C_3 \times ^{4}C_2) = 3 \times 96 = 288$.
કુલ રીતો $= 108 + 288 = 396$.

(C) ત્રણ-અંકની સંખ્યા માટે,પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં. તેથી,સોના સ્થાન માટે $5$ વિકલ્પો છે $(1, 2, 3, 4, 5)$.
દશકના સ્થાન માટે,આપણી પાસે $5$ વિકલ્પો છે ($0$ સહિત પરંતુ સોના સ્થાનમાં વપરાયેલ અંક સિવાય).
એકમના સ્થાન માટે,આપણી પાસે $4$ વિકલ્પો છે.
કુલ ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ $= 5 \times 5 \times 4 = 100$.
પાંચ-અંકની સંખ્યા માટે,પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં. તેથી,દસ-હજારના સ્થાન માટે $5$ વિકલ્પો છે $(1, 2, 3, 4, 5)$.
બાકીના ચાર સ્થાનો માટે,આપણી પાસે અનુક્રમે $5, 4, 3, 2$ વિકલ્પો છે.
કુલ પાંચ-અંકની સંખ્યાઓ $= 5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 600$.
તેથી,જરૂરી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 100 + 600 = 700$.

(C) ઉપલબ્ધ એકી અંકો $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે.
આ $5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
જો સંખ્યાનો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો તે સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય ગણાય.
જો છેલ્લો અંક $5$ નિશ્ચિત હોય,તો બાકીના $4$ સ્થાન બાકીના $4$ અંકો $\{1, 3, 7, 9\}$ દ્વારા $4!$ રીતે ભરી શકાય.
$5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $5$ અંકની સંખ્યાઓ $= 4! = 24$.
તેથી,$5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી $5$ અંકની સંખ્યાઓ $= 5! - 4! = 120 - 24 = 96$.

(A) $ACCOMMODATION$ શબ્દમાં $13$ અક્ષરો છે: $A-2, C-2, O-3, M-2, D-1, T-1, I-1, N-1$. કુલ $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: ${A, C, O, M, D, T, I, N}$.
$4$ અક્ષરો પસંદ કરવા માટે નીચેના કિસ્સાઓ ઉદ્ભવે છે:
$1$. $3$ સમાન અને $1$ ભિન્ન: ${O}$ માંથી $1$ અક્ષર અને બાકીના $7$ માંથી $1$ અક્ષર પસંદ કરતા: ${}^{1}C_{1} \times {}^{7}C_{1} = 7$.
$2$. $2$ સમાન અને $2$ સમાન: $4$ જોડીઓ ${A, C, O, M}$ માંથી $2$ પસંદ કરતા: ${}^{4}C_{2} = 6$.
$3$. $2$ સમાન અને $2$ ભિન્ન: $4$ જોડીઓમાંથી $1$ અને બાકીના $7$ માંથી $2$ પસંદ કરતા: ${}^{4}C_{1} \times {}^{7}C_{2} = 4 \times 21 = 84$.
$4$. બધા $4$ ભિન્ન: $8$ માંથી $4$ પસંદ કરતા: ${}^{8}C_{4} = 70$.
કુલ રીતો $= 7 + 6 + 84 + 70 = 167$.

(C) આપેલ અંકોનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 5, 6, 8\}$ છે. કુલ $6$ અંકો છે. આપણે $5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને $5$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની છે.
બધા $6$ અંકોનો સરવાળો $1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 25$ થાય છે.
$5$-અંકી સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે એક અંક બાકાત રાખવો પડશે. ધારો કે બાકાત રાખેલ અંક $x$ છે. બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $25 - x$ થશે.
સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
જો $x = 1$ હોય,તો સરવાળો $= 24$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
આમ,$3$ વડે વિભાજ્ય સરવાળો ધરાવતો એકમાત્ર $5$ અંકોનો ગણ $\{2, 3, 5, 6, 8\}$ છે.
આ $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $5$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $5! = 120$ છે.
સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તે બેકી હોવી જોઈએ અને $3$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
આ બધી સંખ્યાઓ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,આપણે ફક્ત તે જ સંખ્યાઓ ગણવાની છે જે એકી હોય (જેથી તે $6$ વડે વિભાજ્ય ન હોય).
ગણ $\{2, 3, 5, 6, 8\}$ માં એકી અંકો $\{3, 5\}$ છે.
જો છેલ્લો અંક $3$ હોય,તો બાકીના $4$ સ્થાન $4! = 24$ રીતે ભરી શકાય.
જો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો બાકીના $4$ સ્થાન $4! = 24$ રીતે ભરી શકાય.
$3$ વડે વિભાજ્ય પરંતુ $6$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી કુલ સંખ્યાઓ $= 24 + 24 = 48$.

(A) ધારો કે ત્રણ વિભાગો $S_1, S_2, S_3$ છે,જેમાં દરેકના $4$ પ્રશ્નો છે. ઉમેદવારે $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે જેથી દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રશ્ન આવે. શક્ય વિતરણો $(1, 1, 3)$ અથવા $(1, 2, 2)$ છે.
કિસ્સો $1$: વિતરણ $(1, 1, 3)$.
વિભાગો પસંદ કરવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_1 \times ^4C_1 \times ^4C_3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
કુલ રીતો $= 3 \times 64 = 192$.
કિસ્સો $2$: વિતરણ $(1, 2, 2)$.
વિભાગો પસંદ કરવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_1 \times ^4C_2 \times ^4C_2 = 4 \times 6 \times 6 = 144$.
કુલ રીતો $= 3 \times 144 = 432$.
કુલ રીતો $= 192 + 432 = 624$.

(A) $3$ સમાન લાલ,$4$ સમાન વાદળી અને $5$ સમાન લીલા દડામાંથી ઓછામાં ઓછો એક દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$x = (3+1)(4+1)(5+1) - 1 = 4 \times 5 \times 6 - 1 = 120 - 1 = 119$.
પરીક્ષા માટે,વિદ્યાર્થી $5$ વિષયોમાંથી દરેક વિષયમાં પાસ અથવા નાપાસ થઈ શકે છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^5 = 32$ છે. વિદ્યાર્થી ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થાય તો તે પરીક્ષામાં નાપાસ ગણાય. નાપાસ થવાની રીતોની સંખ્યા એ કુલ પરિણામોમાંથી વિદ્યાર્થી બધા $5$ વિષયોમાં પાસ થાય તે બાદ કરતાં મળે છે:
$y = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.
તેથી,$x + y = 119 + 31 = 150$.

(D) પ્રશ્નપત્રમાં ત્રણ ભાગ $A, B, C$ છે જેમાં અનુક્રમે $4, 5, 6$ પ્રશ્નો છે. આપણે $7$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે જેથી દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ પ્રશ્નો પસંદ થાય.
શક્ય વિતરણો $(n_A, n_B, n_C)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. $(3, 2, 2)$: $\binom{4}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{6}{2} = 4 \times 10 \times 15 = 600$
$2$. $(2, 3, 2)$: $\binom{4}{2} \times \binom{5}{3} \times \binom{6}{2} = 6 \times 10 \times 15 = 900$
$3$. $(2, 2, 3)$: $\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{6}{3} = 6 \times 10 \times 20 = 1200$
કુલ રીતો = $600 + 900 + 1200 = 2700$.

(B) દરેક પ્રશ્ન માટે,$4$ વિકલ્પો છે. કારણ કે એક અથવા એકથી વધુ જવાબો સાચા હોઈ શકે છે,એક પ્રશ્ન માટે સાચા જવાબ(ઓ) પસંદ કરવાની કુલ રીતો એ $4$ વિકલ્પોના ગણના ખાલી ન હોય તેવા ઉપગણોની સંખ્યા છે.
આ $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$ રીતો દ્વારા મળે છે.
આવા $15$ પ્રશ્નો હોવાથી અને દરેકનો જવાબ સ્વતંત્ર રીતે આપવામાં આવતો હોવાથી,આખા પેપરનો જવાબ આપવાની કુલ રીતો $15 \times 15 \times \dots \times 15$ ($15$ વખત) છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $15^{15}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણક ${}^{11}C_n = \frac{11!}{n!(11-n)!}$ એ $n$ ની મધ્ય કિંમત માટે મહત્તમ હોય છે.
અહીં $11$ એકી સંખ્યા હોવાથી,${}^{11}C_n$ ની મહત્તમ કિંમત $n = 5$ અને $n = 6$ માટે મળે છે.
આમ,$n!(11-n)!$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $n = 5$ અથવા $n = 6$ માટે મળે છે.

(C) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આપણે ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માંથી પુનરાવર્તન વગર $3$ અંકની એકી સંખ્યા બનાવવાની છે. છેલ્લો અંક $1, 3,$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: છેલ્લો અંક $1$ છે. બાકીના બે અંકોનો સરવાળો $x+y$ એ $3k-1$ હોવો જોઈએ. ${2, 3, 4, 5, 6}$ માંથી શક્ય જોડીઓ ${2, 3}, {2, 6}, {3, 5}, {4, 5}$ છે. દરેક જોડી $2$ ક્રમચયો આપે છે. કુલ $= 4 \times 2 = 8$.
કિસ્સો $2$: છેલ્લો અંક $3$ છે. બાકીના બે અંકોનો સરવાળો $x+y$ એ $3k-3$ હોવો જોઈએ. ${1, 2, 4, 5, 6}$ માંથી શક્ય જોડીઓ ${1, 2}, {1, 5}, {2, 4}, {4, 5}$ છે. દરેક જોડી $2$ ક્રમચયો આપે છે. કુલ $= 4 \times 2 = 8$.
કિસ્સો $3$: છેલ્લો અંક $5$ છે. બાકીના બે અંકોનો સરવાળો $x+y$ એ $3k-5$ હોવો જોઈએ. ${1, 2, 3, 4, 6}$ માંથી શક્ય જોડીઓ ${1, 3}, {1, 6}, {2, 4}, {3, 6}$ છે. દરેક જોડી $2$ ક્રમચયો આપે છે. કુલ $= 4 \times 2 = 8$.
કુલ સંખ્યા $= 8 + 8 + 8 = 24$.

(C) આપેલ અંકો $\{1, 3, 5, 6, 8\}$ છે. બેકી અંકો $\{6, 8\}$ છે અને એકી અંકો $\{1, 3, 5\}$ છે.
$\bullet$ $e_1$ ની ગણતરી ($3$-અંકની બેકી સંખ્યાઓ,પુનરાવર્તન વગર):
છેલ્લો અંક બેકી હોવો જોઈએ ($2$ પસંદગીઓ: $6$ અથવા $8$). બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો વડે $P(4, 2)$ રીતે ભરી શકાય.
$e_1 = 2 \times (4 \times 3) = 24$.
$\bullet$ $e_2$ ની ગણતરી ($4$-અંકની બેકી સંખ્યાઓ,પુનરાવર્તન વગર):
છેલ્લો અંક બેકી હોવો જોઈએ ($2$ પસંદગીઓ). બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો વડે $P(4, 3)$ રીતે ભરી શકાય.
$e_2 = 2 \times (4 \times 3 \times 2) = 48$.
$\bullet$ $O_1$ ની ગણતરી ($3$-અંકની એકી સંખ્યાઓ,પુનરાવર્તન વગર):
છેલ્લો અંક એકી હોવો જોઈએ ($3$ પસંદગીઓ: $1, 3, 5$). બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો વડે $P(4, 2)$ રીતે ભરી શકાય.
$O_1 = 3 \times (4 \times 3) = 36$.
$\bullet$ $O_2$ ની ગણતરી ($4$-અંકની એકી સંખ્યાઓ,પુનરાવર્તન વગર):
છેલ્લો અંક એકી હોવો જોઈએ ($3$ પસંદગીઓ). બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો વડે $P(4, 3)$ રીતે ભરી શકાય.
$O_2 = 3 \times (4 \times 3 \times 2) = 72$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
$\frac{e_1+e_2}{2} = \frac{24+48}{2} = \frac{72}{2} = 36$.
$\frac{O_1+O_2}{3} = \frac{36+72}{3} = \frac{108}{3} = 36$.
કારણ કે $36 = 6^2$,સાચો સંબંધ $\frac{e_1+e_2}{2} = \frac{O_1+O_2}{3} = 6^2$ છે.

(C) $MATHEMATICS$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M(2), A(2), T(2), H(1), E(1), I(1), C(1), S(1)$.
કુલ ક્રમચયો $= \frac{11!}{2!2!2!} = 4989600$.
જ્યારે કોઈ પણ સમાન અક્ષરો સાથે ન હોય તેવા ક્રમચયો શોધવા માટે,આપણે સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરીએ છીએ.
આ ચોક્કસ સમસ્યા માટે,ગણતરી $90 \times 21600 = 1944000$ તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,$X = 21600$.

(A) $5$ બેન્ચ છે,દરેક પર $2$ બેઠકો છે,એટલે કે હરોળમાં કુલ $10$ બેઠકો છે.
કોઈ પણ બે છોકરાઓ કે છોકરીઓ સાથે ન બેસે તે માટે,જાતિઓ એકાંતરે હોવી જોઈએ: $B G B G B G B G B G$ અથવા $G B G B G B G B G B$.
કિસ્સો $1$: ભાત $B G B G B G B G B G$ છે.
$5$ છોકરાઓને $5!$ રીતે અને $5$ છોકરીઓને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
વ્યવસ્થાઓની સંખ્યા $= 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.
કિસ્સો $2$: ભાત $G B G B G B G B G B$ છે.
$5$ છોકરીઓને $5!$ રીતે અને $5$ છોકરાઓને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
વ્યવસ્થાઓની સંખ્યા $= 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.
કુલ વ્યવસ્થાઓ $= 14400 + 14400 = 28800$.

(C) $ATRAPATRAM$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $A(4), T(2), R(2), P(1), M(1)$.
$(i)$ જો બધા $A$ સાથે હોય,તો $(AAAA)$ બ્લોકને એક એકમ તરીકે ગણતા,બાકીના $6$ અક્ષરો અને આ $1$ એકમ મળીને કુલ $7$ વસ્તુઓ થાય. ગોઠવણીની સંખ્યા $x = \frac{7!}{2!2!}$ છે.
(ii) જો કોઈ પણ બે $A$ સાથે ન હોય,તો પહેલા બાકીના $6$ અક્ષરો $(T, T, R, R, P, M)$ ને $\frac{6!}{2!2!}$ રીતે ગોઠવી શકાય. આ $6$ અક્ષરો દ્વારા $7$ જગ્યાઓ બને છે. $4$ $A$ ને $^7C_4$ રીતે ગોઠવી શકાય. તેથી,$y = ^7C_4 \times \frac{6!}{2!2!}$.
તેથી,$x+y = \frac{7!}{2!2!} + ^7C_4 \times \frac{6!}{2!2!} = \frac{6!}{2!2!} (7 + 35) = \frac{6!}{2!2!} \times 42$.

(D) $m$ છોકરાઓ અને $m$ છોકરીઓને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે,તે $x = (m+1)! m!$ છે.
$m$ છોકરાઓ અને $m$ છોકરીઓને એક હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી તેઓ એકાંતરે બેસે,તે $y = m! \times m! \times 2$ છે.
$m$ છોકરાઓ અને $m$ છોકરીઓને એક ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી તેઓ એકાંતરે બેસે,તે $z = (m-1)! m!$ છે.
આમ,ગુણોત્તર:
$x: y: z = (m+1)! m! : 2(m! m!) : (m-1)! m!$
$(m-1)! m!$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x: y: z = (m+1)m : 2m : 1$.

(D) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ લઈને બનતા વર્તુળાકાર ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{n!}{r(n-r)!}$ છે.
$n_1$ માટે,$n=9$ અને $r=5$:
$n_1 = \frac{9!}{5(9-5)!} = \frac{9!}{5 \cdot 4!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
$n_2$ માટે,$8$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $4$ વસ્તુઓ લઈને બનતા રેખીય ક્રમચયોની સંખ્યા $P(8, 4) = \frac{8!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680$.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{9}{5}$.

(A) કુલ ગુલાબ: $10$ લાલ અને $5$ પીળા. કુલ ફૂલો = $15$.
માળાઓ માટે,$n$ ભિન્ન વસ્તુઓની ગોઠવણી $\frac{(n-1)!}{2}$ છે.
$x$: કોઈ પણ બે પીળા ગુલાબ સાથે ન આવે. પહેલા,$10$ લાલ ગુલાબને વર્તુળાકારમાં $\frac{(10-1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ રીતે ગોઠવો. તેમની વચ્ચે $10$ જગ્યાઓ બને છે. આપણે $5$ પીળા ગુલાબને આ $10$ જગ્યાઓમાં $P(10, 5)$ રીતે ગોઠવી શકીએ.
$x = \frac{9!}{2} \times P(10, 5) = \frac{9!}{2} \times \frac{10!}{5!}$.
$y$: બધા લાલ ગુલાબ સાથે આવે. $10$ લાલ ગુલાબને $1$ એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $1$ લાલ ગુલાબનો એકમ અને $5$ અલગ પીળા ગુલાબ છે,કુલ $6$ વસ્તુઓ. તેમને વર્તુળાકારમાં $\frac{(6-1)!}{2} = \frac{5!}{2}$ રીતે ગોઠવો. $10$ લાલ ગુલાબ પોતાની વચ્ચે $10!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$y = \frac{5!}{2} \times 10!$.
હવે,$\frac{2(x-y)}{10!} = \frac{2}{10!} \left( \frac{9! \times 10!}{2 \times 5!} - \frac{5! \times 10!}{2} \right) = \frac{9!}{5!} - 5!$.

(B) રેખીય ગોઠવણી માટે,$p$ પુરુષોને એક એકમ તરીકે ગણો. ત્યાં $q$ સ્ત્રીઓ અને $1$ પુરુષોનો એકમ છે,જે કુલ $q+1$ વસ્તુઓ બનાવે છે. આને $(q+1)!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. $p$ પુરુષોને તેમની વચ્ચે $p!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. તેથી,$\alpha = p!(q+1)!$.
વર્તુળાકાર ગોઠવણી માટે,$p$ પુરુષોને એક એકમ તરીકે ગણો. ત્યાં $q$ સ્ત્રીઓ અને $1$ પુરુષોનો એકમ છે,જે કુલ $q+1$ વસ્તુઓ બનાવે છે. આને વર્તુળમાં $(q+1-1)! = q!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. $p$ પુરુષોને તેમની વચ્ચે $p!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. તેથી,$\beta = p!q!$.
તેથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p!(q+1)!}{p!q!} = \frac{(q+1) \times q!}{q!} = q+1$.
આમ,$\alpha : \beta = (q+1) : 1$.

(A) ધારો કે ભાગ $A, B, C$ માંથી આપેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા અનુક્રમે $a, b, c$ છે,જ્યાં $a+b+c=7$ અને $0 \le a \le 4, 0 \le b \le 3, 0 \le c \le 2$.
શક્ય સંયોજનો $(a, b, c)$ નીચે મુજબ છે:
$(4, 3, 0): \binom{7}{4} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{0} = 350$
$(4, 2, 1): \binom{7}{4} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} = 1050$
$(4, 1, 2): \binom{7}{4} \times \binom{5}{1} \times \binom{3}{2} = 525$
$(3, 3, 1): \binom{7}{3} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{1} = 1050$
$(3, 2, 2): \binom{7}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{2} = 1050$
$(2, 3, 2): \binom{7}{2} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{2} = 630$
કુલ રીતો $= 350 + 1050 + 525 + 1050 + 1050 + 630 = 4655$.

(C) ધારો કે $m_L, m_G$ એ માણસના સંબંધીઓમાંથી આમંત્રિત સ્ત્રીઓ અને પુરુષોની સંખ્યા છે,અને $w_L, w_G$ એ પત્નીના સંબંધીઓમાંથી આમંત્રિત સ્ત્રીઓ અને પુરુષોની સંખ્યા છે.
આપણે $m_L + w_L = 3$ અને $m_G + w_G = 3$ જોઈએ છે,જ્યાં $0 \le m_L, m_G \le 3$ અને $0 \le w_L, w_G \le 3$.
માણસ પાસે $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે. પત્ની પાસે $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે.
$(m_L, m_G)$ અને $(w_L, w_G)$ માટે શક્ય કિસ્સાઓ:
$1$. $(m_L, m_G) = (0, 3)$ અને $(w_L, w_G) = (3, 0)$: રીતો $= {^4C_0} \times {^3C_3} \times {^3C_3} \times {^4C_0} = 1$.
$2$. $(m_L, m_G) = (1, 2)$ અને $(w_L, w_G) = (2, 1)$: રીતો $= {^4C_1} \times {^3C_2} \times {^3C_2} \times {^4C_1} = 144$.
$3$. $(m_L, m_G) = (2, 1)$ અને $(w_L, w_G) = (1, 2)$: રીતો $= {^4C_2} \times {^3C_1} \times {^3C_1} \times {^4C_2} = 324$.
$4$. $(m_L, m_G) = (3, 0)$ અને $(w_L, w_G) = (0, 3)$: રીતો $= {^4C_3} \times {^3C_0} \times {^3C_0} \times {^4C_3} = 16$.
કુલ રીતો $= 1 + 144 + 324 + 16 = 485$.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $(n-r)$ વસ્તુઓ પસંદ ન કરવાની રીતોની સંખ્યા એ $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવા સમાન છે,જે ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$ છે. તેથી,$(A) \rightarrow (V)$.
$(B)$ આપણી પાસે $(n-r+1) \cdot { }^n C_{r-1} = (n-r+1) \cdot \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \cdot r = r \cdot { }^n C_r$ છે. તેથી,$(B) \rightarrow (III)$.
$(C)$ $n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી ઓછામાં ઓછી $(n-r)$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${ }^n C_{n-r} + { }^n C_{n-r+1} + \ldots + { }^n C_n$ છે. આ $2^n - ({ }^n C_0 + { }^n C_1 + \ldots + { }^n C_{n-r-1})$ ને સમાન છે. કારણ કે ${ }^n C_k = { }^n C_{n-k}$,આ અભિવ્યક્તિ $2^n - 1 - n - { }^n C_2 - \ldots - { }^n C_r$ સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,$(C) \rightarrow (IV)$.
$(D)$ $(n-r)({ }^{n-1} C_{r-1} + { }^{n-1} C_r) = (n-r)({ }^n C_r) = (n-r) \cdot \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{r!(n-r-1)!} = (r+1) \cdot \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!} = (r+1) \cdot { }^n C_{r+1}$ છે. તેથી,$(D) \rightarrow (II)$.

(A) આપેલ છે $m = (9n^2 + 54n + 80)(9n^2 + 45n + 54)(9n^2 + 36n + 35)$.
દરેક પદના અવયવ પાડતા:
$9n^2 + 54n + 80 = (3n + 8)(3n + 10)$
$9n^2 + 45n + 54 = 9(n^2 + 5n + 6) = 9(n + 2)(n + 3) = (3n + 6)(3n + 9)$
$9n^2 + 36n + 35 = (3n + 5)(3n + 7)$
આમ,$m = (3n + 5)(3n + 6)(3n + 7)(3n + 8)(3n + 9)(3n + 10)$.
આ $6$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે.
$k$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $k!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$m$ એ $6! = 720$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) ઉપલબ્ધ અંકો ${2, 3, 4, 4}$ છે.
$1.$ એક-અંકની સંખ્યાઓ: ${2, 3, 4}$. કુલ = $3$.
$2.$ બે-અંકની સંખ્યાઓ: ${2, 3, 4, 4}$ નો ઉપયોગ કરીને,શક્ય સંખ્યાઓ ${23, 24, 32, 34, 42, 43, 44}$ છે. કુલ = $7$.
$3.$ ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ: ${2, 3, 4, 4}$ નો ઉપયોગ કરીને,શક્ય સંખ્યાઓ ${234, 243, 244, 324, 342, 344, 423, 424, 432, 434, 442, 443}$ છે. કુલ = $12$.
$4.$ ચાર-અંકની સંખ્યાઓ: $324$ નો ક્રમ $3 + 7 + (\text{324 પહેલા 2 અથવા 3 થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ})$ છે.
$2$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: ${2344, 2434, 2443}$ ($3$ સંખ્યાઓ).
$3$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: ${3244, 3424, 3442}$ ($3$ સંખ્યાઓ).
$324$ નો ક્રમ = $3 + 7 + 3 + 1 = 14$.
$5.$ $4324$ નો ક્રમ:
$1, 2, 3$ અંકની સંખ્યાઓ = $3 + 7 + 12 = 22$.
$2$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: ${3, 4, 4}$ ના $3$ ક્રમચયો = $3$.
$3$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: ${2, 4, 4}$ ના $3$ ક્રમચયો = $3$.
$42$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: ${3, 4}$ ના $2$ ક્રમચયો = $2$.
$4324$ થી શરૂ થતી સંખ્યા = $1$.
$4324$ નો ક્રમ = $22 + 3 + 3 + 2 + 1 = 31$.
તેથી,$x - y = 31 - 14 = 17$.

(C) $4$ અલગ-અલગ વસ્તુઓને $6$ વ્યક્તિઓમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $= 6^4 = 1296$ છે.
દરેક વ્યક્તિ કોઈપણ સંખ્યામાં વસ્તુઓ મેળવી શકે છે.
કોઈ એક ચોક્કસ વ્યક્તિને બધી $4$ વસ્તુઓ મળે તેવી રીતોની સંખ્યા $1$ છે.
કુલ $6$ વ્યક્તિઓ હોવાથી,એવી $6$ પરિસ્થિતિઓ છે જેમાં એક વ્યક્તિને બધી વસ્તુઓ મળે.
તેથી,કોઈ પણ વ્યક્તિને બધી વસ્તુઓ ન મળે તેવી રીતોની સંખ્યા $= 1296 - 6 = 1290$ છે.

(C) આપણે $2$ ભિન્ન સ્વરો અને $2$ ભિન્ન વ્યંજનો સાથે $4$-અક્ષરનો શબ્દ બનાવવો છે,જ્યાં પુનરાવર્તનની છૂટ છે.
ધારો કે $V$ એ $5$ સ્વરોનો સમૂહ છે અને $C$ એ $21$ વ્યંજનોનો સમૂહ છે.
કિસ્સો $1$: આપણે $1$ સ્વર અને $1$ વ્યંજન પસંદ કરીએ છીએ,અને દરેકનું એકવાર પુનરાવર્તન થાય છે.
$1$ સ્વર અને $1$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{1} \times \binom{21}{1} = 5 \times 21 = 105$ છે.
આ $4$ અક્ષરોની ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ $= 105 \times 6 = 630$.
કિસ્સો $2$: આપણે $2$ ભિન્ન સ્વરો અને $2$ ભિન્ન વ્યંજનો પસંદ કરીએ છીએ.
$2$ સ્વરો અને $2$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{2} \times \binom{21}{2} = 10 \times 210 = 2100$ છે.
આ $4$ ભિન્ન અક્ષરોની ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ $= 2100 \times 24 = 50400$.
કુલ ક્રમચયો $= 630 + 50400 = 51030$.
$51030 = 729 \times 70 = 3^6 \times 70$.

(A) આપણે $4$-અંકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $d_1d_2d_3d_4$ શોધી રહ્યા છીએ જેથી $d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 30$,જ્યાં $1 \le d_1 \le 9$ અને $0 \le d_2, d_3, d_4 \le 9$.
ગણતરી કરતા,આપણને $84$ મળે છે.