Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Gujarati

(A) $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી $4$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $5$ ભિન્ન અંકોમાંથી $4$ અંકો લઈને બનતા ક્રમચયોની સંખ્યા જેટલી છે.
આ ગણતરી $^5P_4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{120}{1} = 120$ છે.
સંખ્યા બેકી હોવા માટે,એકમના સ્થાને બેકી અંક હોવો જોઈએ,જે આ ગણમાં $2$ અથવા $4$ છે.
એકમના સ્થાન માટે $2$ વિકલ્પો છે.
એકવાર એકમનું સ્થાન ભરાઈ જાય પછી,બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને ભરવાના રહે છે.
આ $3$ સ્થાનો ભરવાની રીતો $^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$ છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,બેકી $4$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $2 \times 24 = 48$ છે.

(A) $8$ વ્યક્તિઓની સમિતિમાંથી,અધ્યક્ષ અને ઉપાધ્યક્ષ એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે એક વ્યક્તિ એકથી વધુ પદ સંભાળી શકે નહીં.
અહીં,અધ્યક્ષ અને ઉપાધ્યક્ષ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા એ $8$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી એકસાથે $2$ વસ્તુઓ લઈને બનતા ક્રમચયો (permutations) છે.
આમ,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= ^{8}P_{2} = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56$.

(A) આપેલ ગુણોત્તર $^{n-1}P_{3} : ^{n}P_{4} = 1 : 9$ છે.
$^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{^{n-1}P_{3}}{^{n}P_{4}} = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{\frac{(n-1)!}{(n-1-3)!}}{\frac{n!}{(n-4)!}} = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{(n-1)!}{(n-4)!} \times \frac{(n-4)!}{n!} = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{(n-1)!}{n \times (n-1)!} = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{1}{n} = \frac{1}{9}$
$\therefore n = 9$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $^{5}P_{r} = 2 \times ^{6}P_{r-1}$
$^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{5!}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6!}{(7-r)!}$
$\frac{5!}{(5-r)!} = \frac{12 \times 5!}{(7-r)(6-r)(5-r)!}$
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$1 = \frac{12}{(7-r)(6-r)}$
$(7-r)(6-r) = 12$
$r^{2} - 13r + 30 = 0$
$(r-10)(r-3) = 0$
તેથી,$r = 10$ અથવા $r = 3$.
પરંતુ $^{5}P_{r}$ માટે $r \leq 5$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,$r = 3$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ છે: $^{5}P_{r} = ^{6}P_{r-1}$
સૂત્ર $^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6!}{(6-(r-1))!}$
$\frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6 \times 5!}{(7-r)!}$
$\frac{1}{(5-r)!} = \frac{6}{(7-r)(6-r)(5-r)!}$
$1 = \frac{6}{(7-r)(6-r)}$
$(7-r)(6-r) = 6$
$42 - 7r - 6r + r^{2} = 6$
$r^{2} - 13r + 36 = 0$
$(r-4)(r-9) = 0$
$r = 4$ અથવા $r = 9$
કારણ કે $^{n}P_{r}$ એ $0 \leq r \leq n$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,$^{5}P_{r}$ માટે $r \leq 5$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$r = 9$ શક્ય નથી.
આમ,$r = 4$.

(A) $EQUATION$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $E, Q, U, A, T, I, O, N$.
બધા અક્ષરો અલગ હોવાથી,આ $8$ અક્ષરોને એકસાથે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $n!$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 8$.
તેથી,બનાવી શકાય તેવા કુલ શબ્દોની સંખ્યા $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$ છે.

(A) $MONDAY$ શબ્દમાં $6$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $M, O, N, D, A, Y$.
અક્ષરોના પુનરાવર્તન વગર $6$ અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરો લઈને બનતા શબ્દોની સંખ્યા એ $6$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $4$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (ક્રમચય) છે,જેને $^{6}P_{4}$ વડે દર્શાવાય છે.
ક્રમચયનું સૂત્ર $^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
$n=6$ અને $r=4$ લેતા:
$^{6}P_{4} = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.
આમ,કુલ $360$ શબ્દો બનાવી શકાય છે.

(A) $MONDAY$ શબ્દમાં $6$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $M, O, N, D, A, Y$.
$MONDAY$ શબ્દના તમામ અક્ષરોનો એકસાથે ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા શબ્દોની સંખ્યા એ $6$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $6$ વસ્તુઓ લઈને બનતા ક્રમચયોની સંખ્યા છે.
આ સંખ્યા $^{6}P_{6} = 6!$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ગણતરી: $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
આમ,જરૂરી શબ્દોની સંખ્યા $720$ છે.

(B) $MONDAY$ શબ્દમાં $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $M, O, N, D, A, Y$.
આ શબ્દમાં $2$ સ્વર છે: $O$ અને $A$.
આપણે $6$ અક્ષરોનો શબ્દ બનાવવો છે જેમાં પ્રથમ અક્ષર સ્વર હોય.
પ્રથમ સ્થાન $O$ અથવા $A$ વડે ભરી શકાય,જે $2$ રીતે થઈ શકે.
અક્ષરોનું પુનરાવર્તન થતું ન હોવાથી,બાકીના $5$ સ્થાન બાકીના $5$ અક્ષરો વડે $5!$ રીતે ભરી શકાય.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $2 \times 120 = 240$ થાય.

(A) $MISSISSIPPI$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M(1), I(4), S(4), P(2)$.
કુલ ભિન્ન ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{11!}{4!4!2!} = 34650$ છે.
જ્યારે ચાર $I$ સાથે આવે,ત્યારે તેમને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $8$ વસ્તુઓ રહે છે: $(IIII), M, S, S, S, S, P, P$.
આ $8$ વસ્તુઓની ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{8!}{4!2!} = 840$ છે.
તેથી,ચાર $I$ સાથે ન આવે તેવા ક્રમચયોની સંખ્યા $= 34650 - 840 = 33810$ છે.

(A) $PERMUTATIONS$ શબ્દમાં કુલ $12$ અક્ષરો છે,જેમાં $T$ બે વાર આવે છે અને બાકીના બધા અક્ષરો એકવાર આવે છે.
જો શબ્દ $P$ થી શરૂ થાય અને $S$ પર પૂરો થાય,તો આપણે આ બે અક્ષરોને છેડા પર નિશ્ચિત કરીએ છીએ.
આમ,વચ્ચે ગોઠવવા માટે $10$ અક્ષરો બાકી રહે છે.
આ $10$ અક્ષરોમાં $T$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,જરૂરી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{10!}{2!} = \frac{3628800}{2} = 1814400$ છે.

(A) $PERMUTATIONS$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $P, E, R, M, U, T, A, T, I, O, N, S$.
સ્વરો $E, U, A, I, O$ છે ($5$ સ્વરો,બધા અલગ).
વ્યંજનો $P, R, M, T, T, N, S$ છે ($7$ વ્યંજનો,જેમાં $T$ બે વાર આવે છે).
બધા $5$ સ્વરો સાથે હોવા જોઈએ,તેથી આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. આ એકમ અને બાકીના $7$ વ્યંજનો મળીને કુલ $8$ વસ્તુઓ થાય.
આ $8$ વસ્તુઓમાં $2$ $T$ હોવાથી,ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{8!}{2!}$ છે.
$5$ અલગ સ્વરોને અંદરની બાજુએ $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ ગોઠવણી $= \frac{8!}{2!} \times 5! = 2419200$.

(A) $PERMUTATIONS$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $P, E, R, M, U, T, A, T, I, O, N, S$. $T$ અક્ષર $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
$P$ અને $S$ ની વચ્ચે $4$ અક્ષરો રાખવા માટે,જો $P$ ને $i$ સ્થાન પર મૂકીએ,તો $S$ ને $i+5$ સ્થાન પર મૂકવો પડે.
આવા શક્ય જોડાણો $(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10), (6, 11), (7, 12)$ છે,એટલે કે $7$ જોડાણો.
$P$ અને $S$ અદલાબદલી કરી શકાય છે,તેથી $7 \times 2 = 14$ રીતે તેમને ગોઠવી શકાય.
બાકીના $10$ અક્ષરોને $\frac{10!}{2!}$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ ગોઠવણી $= 14 \times \frac{10!}{2!} = 7 \times 10! = 25401600$.

(A) $INVOLUTE$ શબ્દમાં $4$ સ્વરો $(I, O, U, E)$ અને $4$ વ્યંજનો $(N, V, L, T)$ છે.
$4$ માંથી $3$ સ્વરો પસંદ કરવાની રીતો $^{4}C_{3} = 4$ છે.
$4$ માંથી $2$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો $^{4}C_{2} = 6$ છે.
$3$ સ્વરો અને $2$ વ્યંજનોના કુલ સંચયો $4 \times 6 = 24$ છે.
દરેક $5$ અક્ષરોના સંચયને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,શબ્દોની કુલ સંખ્યા $24 \times 5! = 24 \times 120 = 2880$ છે.

(A) $AGAIN$ શબ્દમાં $5$ અક્ષરો છે,જેમાં $A$ બે વાર આવે છે. કુલ શબ્દોની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} = 60$ છે.
$50^{\text{th}}$ શબ્દ શોધવા માટે,અક્ષરોને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવો: $A, A, G, I, N$.
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $A$ ને પ્રથમ સ્થાને નિશ્ચિત કરો. બાકીના અક્ષરો $A, G, I, N$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $= 4! = 24$.
$2$. $G$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $G$ ને પ્રથમ સ્થાને નિશ્ચિત કરો. બાકીના અક્ષરો $A, A, I, N$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{4!}{2!} = 12$.
$3$. $I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $I$ ને પ્રથમ સ્થાને નિશ્ચિત કરો. બાકીના અક્ષરો $A, A, G, N$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{4!}{2!} = 12$.
અત્યાર સુધીના કુલ શબ્દો $= 24 + 12 + 12 = 48$.
$4$. $49^{\text{th}}$ શબ્દ $N$ થી શરૂ થાય છે. બાકીના અક્ષરો $A, A, G, I$ છે. તેમને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવતા: $AA GI, AA IG, ...$
$49^{\text{th}}$ શબ્દ: $NAAGI$
$50^{\text{th}}$ શબ્દ: $NAAIG$

(A) આપેલ અંકો $0, 1, 2, 2, 2, 4, 4$ છે. કુલ $7$ અંકો છે.
$1000000$ એ $7$ અંકની સંખ્યા હોવાથી,આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી કોઈપણ $7$ અંકની સંખ્યા $1000000$ થી મોટી હશે,જો તે $0$ થી શરૂ ન થતી હોય.
કુલ $7$ અંકોની ગોઠવણી $\frac{7!}{3!2!} = \frac{5040}{6 \times 2} = 420$ થાય.
પરંતુ,આપણે $0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓને બાદ કરવી પડશે. જો $0$ ને પ્રથમ સ્થાને રાખવામાં આવે,તો બાકીના $6$ અંકો $1, 2, 2, 2, 4, 4$ વધે.
આવી ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ છે.
તેથી,$1000000$ થી મોટી $7$ અંકની સંખ્યાઓ $420 - 60 = 360$ છે.

(A) પ્રથમ,$5$ છોકરીઓને એક હારમાં ગોઠવો. આ $5!$ રીતે કરી શકાય છે.
છોકરીઓની વચ્ચે અને છેડે $6$ ખાલી જગ્યાઓ મળે છે,જેને $\times$ દ્વારા દર્શાવેલ છે:
$\times G_1 \times G_2 \times G_3 \times G_4 \times G_5 \times$
કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન હોય તે માટે,આપણે $3$ છોકરાઓને આ $6$ જગ્યાઓમાંથી પસંદ કરીને બેસાડવા પડશે.
આ $^6P_3$ રીતે કરી શકાય છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 5! \times ^6P_3 = 120 \times (6 \times 5 \times 4) = 120 \times 120 = 14400$.

(A) $DAUGHTER$ શબ્દમાં $3$ સ્વર $(A, U, E)$ અને $5$ વ્યંજન $(D, G, H, T, R)$ છે.
$3$ સ્વરમાંથી $2$ સ્વર પસંદ કરવાની રીતો $\binom{3}{2} = 3$ છે.
$5$ વ્યંજનમાંથી $3$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{3} = 10$ છે.
$2$ સ્વર અને $3$ વ્યંજનના કુલ સંચયો $= 3 \times 10 = 30$ છે.
દરેક $5$ અક્ષરોના સંચયને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 30 \times 5! = 30 \times 120 = 3600$.

(A) $EQUATION$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $5$ સ્વરો $(A, E, I, O, U)$ અને $3$ વ્યંજનો $(Q, T, N)$.
સ્વરો સાથે રહેવા જોઈએ અને વ્યંજનો સાથે રહેવા જોઈએ,તેથી આપણે સ્વરોના સમૂહ $(AEIOU)$ ને $1$ એકમ અને વ્યંજનના સમૂહ $(QTN)$ ને $1$ એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
આ $2$ એકમોને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
સ્વરોના સમૂહમાં,$5$ સ્વરોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
વ્યંજનના સમૂહમાં,$3$ વ્યંજનોને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $2! \times 5! \times 3! = 2 \times 120 \times 6 = 1440$ છે.

(B) $EXAMINATION$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, A, I, I, N, N, E, X, M, T, O$.
શબ્દકોશમાં શબ્દો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવાયેલા હોય છે. શબ્દના અક્ષરો $A, E, I, M, N, O, T, X$ છે.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો પહેલા આવશે.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ સ્થાને $A$ ને નિશ્ચિત કરીએ છીએ.
બાકીના $10$ અક્ષરો $A, I, I, N, N, E, X, M, T, O$ છે.
આ $10$ અક્ષરોમાં,$I$ બે વાર અને $N$ બે વાર આવે છે.
આ $10$ અક્ષરોના ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{10!}{2!2!} = \frac{3628800}{4} = 907200$ છે.
આમ,$E$ થી શરૂ થતા પ્રથમ શબ્દ પહેલાં $A$ થી શરૂ થતા $907200$ શબ્દો હશે.

(B) જો કોઈ સંખ્યાનો એકમનો અંક $0$ હોય,તો તે સંખ્યા $10$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આપેલ $6$ અંકો $(0, 1, 3, 5, 7, 9)$ માંથી $6$ અંકની સંખ્યા બનાવવાની હોવાથી,એકમના સ્થાને $0$ નિશ્ચિત છે.
બાકીના $5$ અંકો $(1, 3, 5, 7, 9)$ ને બાકીની $5$ ખાલી જગ્યાઓમાં ગોઠવવાના પ્રકારો $5!$ થાય.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
આમ,કુલ $120$ સંખ્યાઓ બનાવી શકાય.

(A) હારમાં કુલ $9$ બેઠકો છે ($5$ પુરુષો માટે અને $4$ સ્ત્રીઓ માટે).
બેકી સ્થાનો $2, 4, 6,$ અને $8$ છે,જે કુલ $4$ છે.
$4$ સ્ત્રીઓને આ $4$ બેકી સ્થાનો પર $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$5$ પુરુષોને બાકીના $5$ એકી સ્થાનો $(1, 3, 5, 7, 9)$ પર $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$.

(A) $ASSASSINATION$ શબ્દમાં કુલ $13$ અક્ષરો છે. અક્ષરોની આવૃત્તિ આ મુજબ છે: $A: 3, S: 4, I: 2, N: 2, T: 1, O: 1$.
બધા $4$ $S$ ને સાથે રાખવા માટે,આપણે $(SSSS)$ બ્લોકને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે $9$ બાકીના અક્ષરો અને $(SSSS)$ નો $1$ એકમ છે,જે કુલ $10$ વસ્તુઓ બનાવે છે.
આ $10$ વસ્તુઓમાં $3$ $A$,$2$ $I$ અને $2$ $N$ નો સમાવેશ થાય છે.
ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{10!}{3!2!2!}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ગણતરી: $\frac{3628800}{6 \times 2 \times 2} = \frac{3628800}{24} = 151200$.

ધારો કે વાદળી પાસા પર $1$ અને લાલ પાસા પર $2$ આવે છે. આપણે આ પરિણામને ક્રમયુક્ત જોડ $(1, 2)$ દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. તેવી જ રીતે,જો વાદળી પાસા પર $3$ અને લાલ પાસા પર $5$ આવે,તો પરિણામને ક્રમયુક્ત જોડ $(3, 5)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સામાન્ય રીતે,દરેક પરિણામને ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $x$ એ વાદળી પાસા પરની સંખ્યા છે અને $y$ એ લાલ પાસા પરની સંખ્યા છે.
તેથી,નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(x, y) : x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$
આ નિદર્શાવકાશમાં ઘટકોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
નિદર્શાવકાશ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$

ધારો કે પ્રથમ પસંદ કરેલી ચિઠ્ઠી $x$ છે અને બીજી પસંદ કરેલી ચિઠ્ઠી $y$ છે. ચિઠ્ઠીઓ બદલ્યા વગર પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$x \neq y$ થાય.
જો પ્રથમ ચિઠ્ઠી $1$ હોય,તો બીજી ચિઠ્ઠી $2, 3,$ અથવા $4$ હોઈ શકે. આથી પરિણામો $(1, 2), (1, 3), (1, 4)$ મળે.
જો પ્રથમ ચિઠ્ઠી $2$ હોય,તો બીજી ચિઠ્ઠી $1, 3,$ અથવા $4$ હોઈ શકે. આથી પરિણામો $(2, 1), (2, 3), (2, 4)$ મળે.
જો પ્રથમ ચિઠ્ઠી $3$ હોય,તો બીજી ચિઠ્ઠી $1, 2,$ અથવા $4$ હોઈ શકે. આથી પરિણામો $(3, 1), (3, 2), (3, 4)$ મળે.
જો પ્રથમ ચિઠ્ઠી $4$ હોય,તો બીજી ચિઠ્ઠી $1, 2,$ અથવા $3$ હોઈ શકે. આથી પરિણામો $(4, 1), (4, 2), (4, 3)$ મળે.
આમ,આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)\}$

(A) નંબર લોકમાં $4$ વ્હીલ છે,દરેક પર $0$ થી $9$ સુધીના $10$ અંકો છે.
$10$ માંથી $4$ અલગ અંકો પસંદ કરીને ગોઠવવાની કુલ રીતો ક્રમચયના સૂત્ર $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 4$.
કુલ શક્ય ક્રમ $= P(10, 4) = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$.
સૂટકેસ ખોલવા માટે માત્ર $1$ જ સાચો ક્રમ હોવાથી,સંભાવના $\frac{1}{5040}$ છે.

(D) $MOTHER$ શબ્દના અક્ષરોને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવતા: $E, H, M, O, R, T$ મળે છે.
$E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$ME$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$MH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$MOE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$MOH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$MOR$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$MOTE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$MOTHER$ શબ્દનું સ્થાન: $1$
કુલ ક્રમ = $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 309$.

(D) '$SYLLABUS$' શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $S, S, L, L, Y, A, B, U$.
અહીં $2$ સમાન અક્ષરોની જોડી ($S, S$ અને $L, L$) અને $4$ અલગ અક્ષરો $(Y, A, B, U)$ છે.
$2$ સમાન અને $2$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરીને $4$ અક્ષરનો શબ્દ બનાવવો છે.
પગલું $1$: સમાન અક્ષરોની જોડી પસંદ કરો. $2$ જોડીમાંથી $1$ જોડી પસંદ કરવાના $^2C_1 = 2$ પ્રકાર છે.
પગલું $2$: બાકીના $5$ પ્રકારના અક્ષરોમાંથી $2$ અલગ અક્ષરો પસંદ કરવાના $^5C_2 = 10$ પ્રકાર છે.
પગલું $3$: $4$ અક્ષરોની ગોઠવણી (જ્યાં $2$ સમાન છે): $\frac{4!}{2!} = 12$.
કુલ શબ્દો = $2 \times 10 \times 12 = 240$.

(C) $LETTER$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $L, E, T, T, E, R$.
સ્વરો $E, E$ છે અને વ્યંજનો $L, T, T, R$ છે.
પ્રથમ,વ્યંજનો $L, T, T, R$ ને ગોઠવો. આ ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
આ $4$ વ્યંજનો દ્વારા $5$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે (છેડા સહિત) જ્યાં $2$ સ્વરો મૂકી શકાય: $\_ L \_ T \_ T \_ R \_$.
$5$ માંથી $2$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{5}C_{2} = 10$ છે.
$2$ સ્વરો $(E, E)$ સમાન હોવાથી,તેમને પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં $\frac{2!}{2!} = 1$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $12 \times 10 \times 1 = 120$.

(B) ધારો કે ત્રણ પરિવારો $F_1, F_2,$ અને $F_3$ છે. આ પરિવારોમાં સભ્યોની સંખ્યા અનુક્રમે $3, 3,$ અને $4$ છે.
એક જ પરિવારના સભ્યો સાથે રહેવા જોઈએ,તેથી આપણે દરેક પરિવારને એક એકમ તરીકે ગણી શકીએ.
આવા $3$ એકમો (પરિવારો) છે જેમને પોતાની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
દરેક પરિવારની અંદર,સભ્યો પોતાની વચ્ચે ગોઠવી શકાય છે:
- પરિવાર $1$ ($3$ સભ્યો) ને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
- પરિવાર $2$ ($3$ સભ્યો) ને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
- પરિવાર $3$ ($4$ સભ્યો) ને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $3! \times (3! \times 3! \times 4!) = (3!)^2 \times 3! \times 4!$ છે.

(A) આપેલ અંકો $1, 2, 2, 3$ છે. કુલ અલગ $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો,હજાર) પર દરેક અંક કેટલી વાર આવે છે તે શોધીએ:
- અંક $1$: $\frac{3!}{2!} = 3$ વાર.
- અંક $2$: $\frac{3!}{1!} = 6$ વાર.
- અંક $3$: $\frac{3!}{2!} = 3$ વાર.
કોઈપણ સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $= (1 \times 3) + (2 \times 6) + (3 \times 3) = 3 + 12 + 9 = 24$.
કુલ $4$ સ્થાન હોવાથી,કુલ સરવાળો $= 24 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 24 \times 1111 = 26664$ થાય.

(B) ત્રણ અંકની બેકી સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાને બેકી અંક $(0, 4, 6)$ હોવો જોઈએ. પુનરાવર્તન શક્ય ન હોવાથી,આપણે બે કિસ્સાઓ વિચારીએ:
કિસ્સો $(i)$: જ્યારે એકમના સ્થાને $0$ હોય.
એકમના સ્થાનને ભરવાની $1$ રીત છે. બાકીના બે સ્થાનો (સો અને દશક) બાકીના $5$ અંકો $(1, 3, 4, 6, 7)$ વડે $5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય છે.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે એકમના સ્થાને $4$ અથવા $6$ હોય.
એકમના સ્થાનને ભરવાની $2$ રીતો છે. સોના સ્થાને $0$ ન હોઈ શકે અને એકમના સ્થાને વપરાયેલ અંક પણ ન હોઈ શકે,તેથી સોના સ્થાન માટે $6 - 2 = 4$ વિકલ્પો છે. દશકના સ્થાનને બાકીના $4$ અંકો (જેમાં $0$ નો સમાવેશ થાય છે) વડે ભરી શકાય છે,જે દરેક એકમના અંક માટે $4 \times 4 = 16$ રીતો આપે છે. કુલ રીતો $= 2 \times 16 = 32$ રીતો.
કુલ બેકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= 20 + 32 = 52$.

(A) $VOWELS$ શબ્દમાં $6$ અલગ અક્ષરો છે: $V, O, W, E, L, S$.
તેમાં $2$ સ્વર $(O, E)$ અને $4$ વ્યંજન $(V, W, L, S)$ છે.
તમામ $6$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $6! = 720$ છે.
બધા વ્યંજનો સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે $4$ વ્યંજનોને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. આ એકમ અને $2$ સ્વરો મળીને કુલ $1 + 2 = 3$ વસ્તુઓ થાય,જેને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$4$ વ્યંજનોને અંદરોઅંદર $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,બધા વ્યંજનો સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ છે.
બધા વ્યંજનો ક્યારેય સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા = (કુલ ગોઠવણી) - (બધા વ્યંજનો સાથે હોય તેવી ગોઠવણી).
$= 720 - 144 = 576$.

(D) આપણે અંકો $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $10,000$ થી મોટી સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. આપણી પાસે $5$ અલગ-અલગ અંકો હોવાથી,$10,000$ થી મોટી કોઈપણ સંખ્યા $5$ અંકની સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$5$ અંકની સંખ્યા માટે,પ્રથમ અંક (દસ હજારનું સ્થાન) $0$ હોઈ શકે નહીં. આમ,પ્રથમ અંક $\{2, 4, 6, 8\}$ માંથી પસંદ કરી શકાય છે,જે $4$ વિકલ્પો આપે છે.
બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $P(4, 4) = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,આવી કુલ સંખ્યાઓ $4 \times 24 = 96$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ ગણ છે જ્યારે $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ ક્રમિક હોય.
$n(A) = 97 \times 98 = 9506$ (અંદાજિત ગણતરી મુજબ).
કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $= 18915$ છે.

(A) '$MANKIND$' શબ્દમાં અક્ષરો $A, D, I, K, M, N, N$ છે. કુલ અક્ષરો = $7$. '$N$' અક્ષર $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે. ક્રમ શોધવા માટે,આપણે અક્ષરોને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ: $A, D, I, K, M, N, N$. ગણતરી મુજબ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $a, b, c$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને ચાર અક્ષરનો શબ્દ બનાવવા માટે જેમાં ત્રણેય અક્ષરો આવે,આપણે એક અક્ષરને બે વાર પસંદ કરવો પડે અને બાકીના બે અક્ષરો એક-એક વાર આવે.
પગલું $1$: $\{a, b, c\}$ માંથી પુનરાવર્તિત થનાર અક્ષર પસંદ કરવાની રીત $^3C_1 = 3$ છે.
પગલું $2$: ચાર અક્ષરોની ગોઠવણી કરવાની રીત $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
પગલું $3$: કુલ શબ્દોની સંખ્યા $3 \times 12 = 36$ થાય.

(B) ધારો કે બાળકો $C_1, C_2, C_3$ છે અને તેમના સંબંધિત વાલીઓ $G_1, G_2, G_3$ છે.
કુલ $6$ વ્યક્તિઓ છે.
શરત એ છે કે દરેક જોડી $(G_i, C_i)$ માટે,વાલી $G_i$ નો ઇન્ટરવ્યુ બાળક $C_i$ પહેલા લેવો જોઈએ.
$6$ વ્યક્તિઓની કોઈપણ ગોઠવણીમાં,જોડી $(G_i, C_i)$ ને ગોઠવવાની $2!$ રીતો છે જેમાં $G_i$ પહેલા આવે અથવા $C_i$ પહેલા આવે.
આવી $3$ જોડીઓ હોવાથી,કુલ અનિયંત્રિત ગોઠવણીઓ $6!$ છે.
દરેક જોડી માટે,$2!$ ગોઠવણીઓમાંથી માત્ર $1$ જ માન્ય છે (એટલે કે $G_i$ એ $C_i$ પહેલા).
આમ,માન્ય રીતોની સંખ્યા $\frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{720}{8} = 90$ છે.

(B) કારણ કે કાળા કવરવાળા તમામ $m$ પુસ્તકો એકસાથે રાખવાના છે,તેથી આપણે તેમને એક એકમ અથવા બ્લોક તરીકે ગણીએ છીએ.
અહીં $n$ વાદળી કવરવાળા પુસ્તકો અને $1$ કાળા કવરવાળા પુસ્તકોનો બ્લોક છે,આમ કુલ $(n+1)$ વસ્તુઓ ગોઠવવાની થાય.
આ $(n+1)$ વસ્તુઓને $(n+1)!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બ્લોકની અંદર,$m$ અલગ-અલગ કાળા કવરવાળા પુસ્તકોને $m!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $m! (n+1)!$ છે.

(A) $EDUCATION$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $5$ સ્વરો $(E, U, A, I, O)$ અને $4$ વ્યંજનો $(D, C, T, N)$.
પ્રથમ,$5$ સ્વરોને આપેલ ક્રમમાં ગોઠવો: $E, U, A, I, O$. આ $1$ રીતે કરી શકાય છે.
કોઈ પણ બે વ્યંજનો એકબીજાની બાજુમાં ન હોય તે શરત પૂરી કરવા માટે,આપણે વ્યંજનોને સ્વરો દ્વારા બનાવેલી જગ્યાઓમાં મૂકીએ છીએ. સ્વરોની ગોઠવણી $6$ સંભવિત જગ્યાઓ બનાવે છે (છેડાઓ સહિત):
$ \_ V \_ 1 \_  V \_ 2   \_  V \_ 3  \_  V \_ 4  \_  V \_ 5 \_ $
આપણે $4$ વ્યંજનોને મૂકવા માટે ઉપલબ્ધ $6$ જગ્યાઓમાંથી $4$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
કારણ કે વ્યંજનો નિશ્ચિત ક્રમમાં $(D, C, T, N)$ દેખાવા જોઈએ,એકવાર $4$ જગ્યાઓ પસંદ થઈ જાય પછી તેમને ગોઠવવાની માત્ર $1$ રીત છે.
$6$ માંથી $4$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $\binom{6}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
તેથી,આવી $15$ ગોઠવણીઓ છે.

(C) આપેલ સંખ્યા $123412341$ છે. અંકો ${1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}$ છે.
અહીં $5$ એકી અંકો ${1, 1, 1, 3, 3}$ અને $4$ બેકી અંકો ${2, 2, 4, 4}$ છે.
$9$ અંકની સંખ્યામાં $9$ સ્થાનો હોય છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ છે (કુલ $4$ સ્થાનો).
એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7, 9$ છે (કુલ $5$ સ્થાનો).
શરત મુજબ,$4$ બેકી અંકો $4$ બેકી સ્થાનો પર હોવા જોઈએ.
$4$ બેકી અંકો ${2, 2, 4, 4}$ ને $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
$5$ એકી અંકો ${1, 1, 1, 3, 3}$ ને $5$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{3!2!} = 10$ છે.
કુલ સંખ્યા $= 6 \times 10 = 60$.

(B) $3, 5, 6, 7, 8$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $7000$ થી મોટી સંખ્યા બનાવવા માટે આપણે $4$-અંકની અથવા $5$-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકીએ.
$1$. $4$-અંકની સંખ્યાઓ માટે:
પ્રથમ અંક (હજારનું સ્થાન) $7$ અથવા $8$ હોવો જોઈએ (કારણ કે સંખ્યા $> 7000$ હોવી જોઈએ).
જો પ્રથમ અંક $7$ અથવા $8$ ($2$ વિકલ્પો) હોય,તો બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $4$-અંકની સંખ્યાઓ $= 2 \times 24 = 48$.
$2$. $5$-અંકની સંખ્યાઓ માટે:
આ $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી તમામ $5$-અંકની સંખ્યાઓ $7000$ થી મોટી જ હોય છે,તેથી આવી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $5! = 120$ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 48 + 120 = 168$.

(D) $5000$ અને $10000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા બનાવવા માટે,તે $4$ અંકની સંખ્યા હોવી જોઈએ.
પ્રથમ અંક (હજારનું સ્થાન) $5$ કરતા મોટો અથવા $5$ જેટલો હોવો જોઈએ. આપેલ અંકો $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ માંથી,હજારના સ્થાન માટે શક્ય વિકલ્પો $5, 7, 9$ ($3$ વિકલ્પો) છે.
પુનરાવર્તન માન્ય ન હોવાથી,સોના સ્થાન માટે $4$ બાકી રહેલા અંકો,દશકના સ્થાન માટે $3$ બાકી રહેલા અંકો અને એકમના સ્થાન માટે $2$ બાકી રહેલા અંકો છે.
કુલ સંખ્યા $= 3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.

(A) $OUGHT$ શબ્દના અક્ષરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં $G, H, O, T, U$ છે.
$G$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$O$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$TG$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$TH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$TO G$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$TO H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$TO U G H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1! = 1$
કુલ ક્રમ $= 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89$.

(B) આપેલા અંકો $1, 2, 2, 2, 3, 3, 5$ છે. કુલ અંકો $= 7$.
સંખ્યા એકી હોવા માટે,એકમનો અંક $1, 3,$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: એકમનો અંક $5$ હોય.
બાકી રહેલા અંકો $1, 2, 2, 2, 3, 3$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ છે.
કિસ્સો $2$: એકમનો અંક $3$ હોય.
બાકી રહેલા અંકો $1, 2, 2, 2, 3, 5$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$ છે.
કિસ્સો $3$: એકમનો અંક $1$ હોય.
બાકી રહેલા અંકો $2, 2, 2, 3, 3, 5$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3!2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$ છે.
કુલ એકી સંખ્યાઓ $= 60 + 120 + 60 = 240$.

(D) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{{}^{2n+1}P_{n-1}}{{}^{2n-1}P_n} = \frac{11}{21}$
સૂત્ર ${}^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(2n+1)!}{(n+2)!} \times \frac{(n-1)!}{(2n-1)!} = \frac{11}{21}$
ફેક્ટોરિયલનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(2n+1)(2n)}{(n+2)(n+1)n} = \frac{11}{21}$
$\frac{2(2n+1)}{(n+2)(n+1)} = \frac{11}{21}$
$84n + 42 = 11n^2 + 33n + 22$
$11n^2 - 51n - 20 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $n = 5$ મળે છે.
$n^2 + n + 15$ ની કિંમત:
$5^2 + 5 + 15 = 45$.

(C) $ASSASSINATION$ શબ્દમાં $13$ અક્ષરો છે: $A, S, S, A, S, S, I, N, A, T, I, O, N$.
સ્વરો: $A, A, A, I, I, O$ (કુલ $6$ સ્વરો).
વ્યંજનો: $S, S, S, S, N, N, T$ (કુલ $7$ વ્યંજનો).
$6$ સ્વરોને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $7$ વ્યંજનો + $1$ એકમ = $8$ વસ્તુઓ છે.
આ $8$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (જ્યાં $S$ ચાર વાર અને $N$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) = $\frac{8!}{4!2!} = 840$.
હવે,એકમની અંદર $6$ સ્વરોની ગોઠવણી (જ્યાં $A$ ત્રણ વાર અને $I$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) = $\frac{6!}{3!2!} = 60$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $840 \times 60 = 50400$.

(B) $PUBLIC$ શબ્દના અક્ષરો $B, C, I, L, P, U$ છે.
શબ્દકોશ મુજબ ગણતરી કરતા,$PUBLIC$ શબ્દનો ક્રમ $582$ મળે છે.

(A) $INDEPENDENCE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $I, N, D, E, P, E, N, D, E, N, C, E$.
સ્વરો $I, E, E, E, E$ છે (કુલ $5$ સ્વરો).
વ્યંજનો $N, N, N, D, D, P, C$ છે (કુલ $7$ વ્યંજનો).
બધા સ્વરો સાથે હોવાથી,આપણે $(IEEEE)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
હવે,આપણી પાસે $7$ વ્યંજનો + $1$ સ્વર જૂથ = $8$ એકમો છે.
આ $8$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો,જેમાં $N$ ત્રણ વાર અને $D$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે,તે $\frac{8!}{3!2!}$ છે.
સ્વર જૂથ $(IEEEE)$ માં,$4$ $E$ સમાન છે. સ્વરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{4!} = 5$ છે.
કુલ ગોઠવણીઓ = $\frac{8!}{3!2!} \times \frac{5!}{4!} = 16800$.

(D) $MATHEMATICS$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$.
કુલ ગોઠવણી = $\frac{11!}{2! 2! 2!} = 4989600$.
$C$ અને $S$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,$(CS)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $10$ એકમો છે: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, (CS)$.
$C$ અને $S$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી = $\frac{10!}{2! 2! 2!} \times 2! = 907200$.
$C$ અને $S$ સાથે ન આવે તેવા શબ્દોની સંખ્યા = $4989600 - 907200 = 4082400$.
આપણને આપેલ છે કે આ સંખ્યા $(6!) k = 720k$ છે.
$720k = 4082400$.
$k = 5670$.