Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Gujarati

(A) $MATHS$ શબ્દના અક્ષરો $A, H, M, S, T$ છે. કુલ અક્ષરો $= 5$.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$M$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$S$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$T$ થી શરૂ થતા શબ્દો પહેલાના કુલ શબ્દો $24 \times 4 = 96$.
હવે,$T$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$TA...$: $3! = 6$.
$THAMS$:
$THA...$: $2! = 2$.
$THAM...$: $1! = 1$.
$THAMS$: $1$.
ક્રમ $= 96 + 6 + 1 = 103$.

(A) પાંચ અંકની સંખ્યા $40000$ થી મોટી હોય જો તેનો પ્રથમ અંક $5, 7$ અથવા $9$ હોય.
સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $5$ છે. છેલ્લો અંક $0$ હોવો જોઈએ. બાકીના $3$ સ્થાન બાકીના $4$ અંકો $(1, 3, 7, 9)$ વડે $^4P_3 = 24$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $7$ છે. છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે.
- જો છેલ્લો અંક $0$ હોય,તો રીતો $= 24$.
- જો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો રીતો $= 24$.
કુલ રીતો $= 24 + 24 = 48$.
કિસ્સો $3$: પ્રથમ અંક $9$ છે. છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે.
- જો છેલ્લો અંક $0$ હોય,તો રીતો $= 24$.
- જો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો રીતો $= 24$.
કુલ રીતો $= 24 + 24 = 48$.
કુલ સંખ્યા $= 24 + 48 + 48 = 120$.

(A) $MONDAY$ શબ્દના અક્ષરો $A, D, M, N, O, Y$ છે. મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, D, M, N, O, Y$.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$D$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$MA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$MD$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$MN$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$MOA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$MOD$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$MONA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$.
ત્યારબાદ $MONDAY$ શબ્દ આવે છે: $1$.
કુલ ક્રમ = $120 + 120 + 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 1 = 327$.

(B) $GTWENTY$ શબ્દમાં અક્ષરો $G, T, W, E, N, T, Y$ છે. કુલ અક્ષરો = $7$. $T$ બે વાર આવે છે.
અક્ષરોને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવતા: $E, G, N, T, T, W, Y$.
$1$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{6!}{2!} = 360$ રીતે.
$2$. $G$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $GE$: $\frac{5!}{2!} = 60$ રીતે.
- $GN$: $\frac{5!}{2!} = 60$ રીતે.
- $GT$:
- $GTE$: $4! = 24$ રીતે.
- $GTN$: $4! = 24$ રીતે.
- $GTT$: $4! = 24$ રીતે.
- $GTWENTY$ સુધી ગણતરી કરતા કુલ સરવાળો $553$ થાય છે.

(C) $'DISTRIBUTION'$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $D, I, S, T, R, I, B, U, T, I, O, N$.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ: $I: 3, T: 2, D: 1, S: 1, R: 1, B: 1, U: 1, O: 1, N: 1$.
કુલ $9$ ભિન્ન અક્ષરો છે: ${D, I, S, T, R, B, U, O, N}$.
આપણે $4$ લંબાઈના શબ્દો બનાવવાના છે.
કિસ્સો $1$: બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{9}C_{4} \times 4! = 126 \times 24 = 3024$.
કિસ્સો $2$: $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ ભિન્ન હોય.
પેટા-કિસ્સો $2a$: $I$ પુનરાવર્તિત થાય ($2$ $I$) અને બાકીના $8$ માંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{8}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 28 \times 12 = 336$.
પેટા-કિસ્સો $2b$: $T$ પુનરાવર્તિત થાય ($2$ $T$) અને બાકીના $8$ માંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{8}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 28 \times 12 = 336$.
કિસ્સો $3$: $2$ સમાન અક્ષરોની જોડી.
માત્ર $I$ અને $T$ જોડી બનાવી શકે છે.
રીતોની સંખ્યા $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
કિસ્સો $4$: $3$ અક્ષરો સમાન અને $1$ ભિન્ન હોય.
માત્ર $I$ ને $3$ વાર પસંદ કરી શકાય.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{8}C_{1} \times \frac{4!}{3!} = 8 \times 4 = 32$.
શબ્દોની કુલ સંખ્યા $= 3024 + 336 + 336 + 6 + 32 = 3734$.

(C) શબ્દ $BHBJO$ છે. અક્ષરો $B, B, H, J, O$ છે. કુલ અક્ષરો = $5$. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ છે.
$50$ મો શબ્દ શોધવા માટે,આપણે તેમને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવીએ: $B, B, H, J, O$.
$1$. $B$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{1!} = 24$ શબ્દો.
$2$. $H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{2!} = 12$ શબ્દો. (કુલ = $24 + 12 = 36$)
$3$. $J$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{2!} = 12$ શબ્દો. (કુલ = $36 + 12 = 48$)
$4$. $O$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $OBBHJ$ ($49$ મો)
- $OBBJH$ ($50$ મો)
આમ,$50$ મો શબ્દ $OBBJH$ છે.

(C) $NAGPUR$ શબ્દના અક્ષરો $A, G, N, P, R, U$ છે. કુલ અક્ષરો = $6$. કુલ ગોઠવણી = $6! = 720$.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$G$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
કુલ શબ્દો = $120 + 120 = 240$.
$NA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$NG$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$NP$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
કુલ શબ્દો = $240 + 24 + 24 + 24 = 312$.
આપણને $315^{\text{th}}$ શબ્દ જોઈએ છે. બાકીના શબ્દો $NR$ થી શરૂ થાય છે.
$NRA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$313^{\text{th}}$ શબ્દ: $NRAGPU$
$314^{\text{th}}$ શબ્દ: $NRAGUP$
$315^{\text{th}}$ શબ્દ: $NRAPGU$

(C) $COCHIN$ શબ્દના અક્ષરો $C, C, H, I, N, O$ છે. મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $C, C, H, I, N, O$.
$C$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $CC...$: $4! = 24$
- $CH...$: $4! = 24$
- $CI...$: $4! = 24$
- $CN...$: $4! = 24$
- $COC...$: $3! = 6$
કુલ શબ્દો = $24 + 24 + 24 + 24 + 6 = 96$.

(A) કુલ ઉપલબ્ધ અક્ષરોની સંખ્યા $10$ છે.
$x$ માટે,આપણે કોઈ પુનરાવર્તન વગર $10$ લંબાઈના શબ્દો બનાવીએ છીએ,જે $10$ ભિન્ન અક્ષરોનો ક્રમચય છે: $x = 10!$.
$y$ માટે,આપણે $10$ અક્ષરોમાંથી બે વાર પુનરાવર્તિત થવા માટે $1$ અક્ષરને $^{10}C_1$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
ત્યારબાદ આપણે બાકીના $9$ અક્ષરોમાંથી $8$ અન્ય અક્ષરોને $^{9}C_8$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
આ $10$ અક્ષરોની ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા (જ્યાં એક અક્ષર બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) $\frac{10!}{2!}$ છે.
આમ,$y = {}^{10}C_1 \times {}^{9}C_8 \times \frac{10!}{2!}$.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{y}{9x} = \frac{{}^{10}C_1 \times {}^{9}C_8 \times \frac{10!}{2!}}{9 \times 10!} = \frac{10 \times 9}{9 \times 2} = 5$.

(A) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકો $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આપેલ અંકોના ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી બનતી બે અંકી સંખ્યાઓ જે $4$ વડે વિભાજ્ય હોય તે: $12, 24, 32, 44, 52$ છે.
આમ,છેલ્લા બે અંકો માટે $5$ શક્યતાઓ છે.
$5$-અંકી સંખ્યામાં,પ્રથમ $3$ સ્થાનો કોઈપણ $5$ અંકો દ્વારા ભરી શકાય છે કારણ કે પુનરાવર્તન માન્ય છે.
પ્રથમ $3$ સ્થાનો ભરવાની રીતોની સંખ્યા = $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$.
છેલ્લા બે અંકો માટે $5$ શક્યતાઓ હોવાથી,કુલ $5$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા = $125 \times 5 = 625$ થાય.

(C) $\text{DAUGHTER}$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $D, A, U, G, H, T, E, R$.
તેમાં $3$ સ્વરો છે: $A, U, E$ અને $5$ વ્યંજનો છે: $D, G, H, T, R$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 8! = 40320$.
બધા સ્વરો સાથે ન આવે તેવા શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ શબ્દોમાંથી એવા શબ્દો બાદ કરીશું જેમાં બધા સ્વરો સાથે હોય.
$3$ સ્વરો $(A, U, E)$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ વ્યંજનો $+ 1$ એકમ $= 6$ ઘટકો છે.
આ $6$ ઘટકોને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
એકમની અંદરના $3$ સ્વરોને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
સ્વરો સાથે હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા $= 6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$.
સ્વરો ક્યારેય સાથે ન આવે તેવા શબ્દોની સંખ્યા $= 8! - (6! \times 3!) = 40320 - 4320 = 36000$.

(B) ધારો કે અંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \in \{1, 2, 3\}$ છે જેથી $\sum_{i=1}^{7} x_i = 11$ થાય.
ધારો કે $n_1, n_2, n_3$ એ અનુક્રમે $1, 2$ અને $3$ અંકો કેટલી વાર આવે છે તે દર્શાવે છે.
તો $n_1 + n_2 + n_3 = 7$ અને $1n_1 + 2n_2 + 3n_3 = 11$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા: $n_2 + 2n_3 = 4$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $n_3 = 0$,તો $n_2 = 4$ અને $n_1 = 3$. ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{7!}{3!4!0!} = 35$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_3 = 1$,તો $n_2 = 2$ અને $n_1 = 4$. ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{7!}{4!2!1!} = 105$ છે.
કિસ્સો $3$: જો $n_3 = 2$,તો $n_2 = 0$ અને $n_1 = 5$. ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{7!}{5!0!2!} = 21$ છે.
$P$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $= 35 + 105 + 21 = 161$ થાય.

(B) $KANPUR$ શબ્દના અક્ષરો $A, K, N, P, R, U$ છે (મૂળાક્ષર ક્રમમાં).
કુલ અક્ષરો = $6$. કુલ ક્રમચયો = $6! = 720$.
શબ્દો જે નીચેના અક્ષરોથી શરૂ થાય છે:
$A$: $5! = 120$
$K$: $5! = 120$
$N$: $5! = 120$
કુલ સરવાળો = $360$.
$P$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$PA$: $4! = 24$
$PK$: $4! = 24$
$PN$: $4! = 24$
કુલ સરવાળો = $432$.
$PR$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$PRA$: $3! = 6$ (કુલ $438$)
$PRK$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, N, U$ છે. શબ્દો:
$PRKAUN$ $(439^{th})$
$PRKANU$ $(440^{th})$
આમ,$440^{th}$ શબ્દ $PRKANU$ છે.

(A) ક્રમચય ${}^{n}P_{r}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$n \ge r \ge 0$ હોવું જોઈએ અને $n, r$ અઋણ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ.
અહીં,$n = 7-x$ અને $r = x-1$.
શરત $1$: $n \ge r \implies 7-x \ge x-1 \implies 8 \ge 2x \implies x \le 4$.
શરત $2$: $r \ge 0 \implies x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
શરત $3$: $n \ge 0 \implies 7-x \ge 0 \implies x \le 7$.
આ શરતોને જોડતા,આપણને $1 \le x \le 4$ મળે છે.
ક્રમચય સંકેત માટે $x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી પ્રદેશ $\{1, 2, 3, 4\}$ છે.

(B) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંક $25, 50,$ અથવા $75$ હોય તો તે સંખ્યા $25$ વડે વિભાજ્ય છે.
આપેલ અંકો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ માંથી,$25$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવા છેલ્લા બે અંક $25$ અને $75$ છે (કારણ કે $0$ આપેલ ગણમાં નથી).
કિસ્સો $1$: સંખ્યા $25$ થી પૂરી થાય છે.
છેલ્લા બે અંક $2$ અને $5$ નિશ્ચિત છે.
બાકીના $2$ સ્થાન બાકી રહેલા $5$ અંકો $\{1, 3, 4, 6, 7\}$ વડે $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: સંખ્યા $75$ થી પૂરી થાય છે.
છેલ્લા બે અંક $7$ અને $5$ નિશ્ચિત છે.
બાકીના $2$ સ્થાન બાકી રહેલા $5$ અંકો $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ વડે $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ રીતે ભરી શકાય.
$25$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $= 20 + 20 = 40$.

(B) આપેલ અંકો $2, 3, 0, 3, 4, 2, 3$ છે. કુલ $7$ અંકો છે,જેમાં $2$ બે વાર,$3$ ત્રણ વાર,$0$ એક વાર અને $4$ એક વાર આવે છે.
આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી તમામ $7$ અંકની સંખ્યાઓ એક મિલિયનથી મોટી હોય છે.
દશ લાખના સ્થાન પર $0$ ન હોઈ શકે.
તેથી,દશ લાખના સ્થાન પર $2, 3,$ અથવા $4$ આવી શકે.
કિસ્સો $I$: દશ લાખના સ્થાન પર $2$ હોય.
બાકીના અંકો $3, 0, 3, 4, 2, 3$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3!} = 120$ છે.
કિસ્સો $II$: દશ લાખના સ્થાન પર $3$ હોય.
બાકીના અંકો $2, 0, 3, 4, 2, 3$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{2! \times 2!} = 180$ છે.
કિસ્સો $III$: દશ લાખના સ્થાન પર $4$ હોય.
બાકીના અંકો $2, 3, 0, 3, 2, 3$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3! \times 2!} = 60$ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 120 + 180 + 60 = 360$.

(B) બે મહિલાઓને $1$ થી $4$ નંબરની ખુરશીઓ પર ${ }^4 P_2$ રીતે બેસાડી શકાય છે.
મહિલાઓ બેસી ગયા પછી,$8 - 2 = 6$ ખુરશીઓ બાકી રહે છે.
ત્રણ પુરુષોને આ $6$ ઉપલબ્ધ ખુરશીઓ પર ${ }^6 P_3$ રીતે બેસાડી શકાય છે.
તેથી,શક્ય ગોઠવણીઓની કુલ સંખ્યા ${ }^4 P_2 \times { }^6 P_3$ છે.

(D) $ABRACADABRA$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A$ ($5$ વખત),$B$ ($2$ વખત),$R$ ($2$ વખત),$C$ ($1$ વખત),$D$ ($1$ વખત).
અહીં $5$ સ્વરો છે,જે બધા $A$ છે. આપણે આ $5$ $A$ ને એક એકમ $(AAAAA)$ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે કુલ $7$ વસ્તુઓ છે: $(AAAAA), B, B, R, R, C, D$.
અહીં $B$ બે વાર અને $R$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{7!}{2!2!} = \frac{5040}{4} = 1260$ થાય.

(C) ભૌતિકવિજ્ઞાનના $3$ પુસ્તકો,રસાયણવિજ્ઞાનના $2$ પુસ્તકો અને ગણિતના $4$ પુસ્તકો છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનના બધા પુસ્તકો સાથે હોવાથી,આપણે તેમને $1$ એકમ તરીકે ગણીશું.
ગણિતના બધા પુસ્તકો સાથે હોવાથી,આપણે તેમને $1$ એકમ તરીકે ગણીશું.
રસાયણવિજ્ઞાનના $2$ અલગ પુસ્તકો છે.
આમ,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $1$ (ભૌતિકવિજ્ઞાન એકમ) + $1$ (ગણિત એકમ) + $2$ (રસાયણવિજ્ઞાન પુસ્તકો) = $4$ એકમો છે.
આ $4$ એકમોને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$3$ ભૌતિકવિજ્ઞાનના પુસ્તકોને તેમની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$4$ ગણિતના પુસ્તકોને તેમની વચ્ચે $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$\therefore \text{કુલ ગોઠવણીઓ} = 4! \times 3! \times 4! = 24 \times 6 \times 24 = 3456$.

(C) આપેલ સંખ્યા $223355888$ છે,જેમાં $9$ અંકો છે: $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$.
અહીં $4$ એકી અંકો $(3, 3, 5, 5)$ અને $5$ બેકી અંકો $(2, 2, 8, 8, 8)$ છે.
$9$-અંકી સંખ્યામાં બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ છે (કુલ $4$ સ્થાનો).
એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7, 9$ છે (કુલ $5$ સ્થાનો).
$4$ એકી અંકોને $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
$5$ બેકી અંકોને $5$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{2!3!} = 10$ છે.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓ $= 6 \times 10 = 60$ થાય.

(A) $MANAMA$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $M$ બે વાર,$A$ ત્રણ વાર અને $N$ એક વાર આવે છે.
પ્રથમ,$M$ સિવાયના અક્ષરો $A, A, A, N$ ને ગોઠવતા.
આ $4$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{3!1!} = 4$ છે.
આ $4$ અક્ષરો $5$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે જ્યાં $2$ $M$ ને એવી રીતે મૂકી શકાય કે જેથી તેઓ પાસપાસે ન આવે.
$5$ માંથી $2$ ખાલી જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{2} = 10$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $4 \times 10 = 40$ છે.

(C) કુલ $5$ સ્થાનો છે. છોકરો $B_1$ બીજા સ્થાને નિશ્ચિત છે.
બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓ છે (જેમાં $G_1$ અને $G_2$ નો સમાવેશ થાય છે).
$G_1$ અને $G_2$ હંમેશા સાથે હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $(G_1, G_2)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ.
હવે આપણી પાસે બાકીના $4$ સ્થાનોમાં ગોઠવવા માટે $3$ એકમો છે: એકમ $(G_1, G_2)$ અને અન્ય $2$ વિદ્યાર્થીઓ.
જોકે,બીજું સ્થાન $B_1$ દ્વારા રોકાયેલું છે. ઉપલબ્ધ સ્થાનો $1, 3, 4, 5$ છે.
જો આપણે એકમ $(G_1, G_2)$ ને $(3, 4)$ અથવા $(4, 5)$ સ્થાનો પર મૂકીએ,તો એકમને મૂકવાની $2$ રીતો છે.
એકમની અંદર,$G_1$ અને $G_2$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બાકીના $2$ વિદ્યાર્થીઓને બાકીના $2$ સ્થાનોમાં $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ ગોઠવણી $= 2 \times 2 \times 2 = 8$.

(C) કુલ $5$ સ્થાનો છે. છોકરો $B_1$ બીજા સ્થાને નિશ્ચિત છે.
બાકીના સ્થાનો $1, 3, 4, 5$ છે.
ધારો કે $5$ વિદ્યાર્થીઓ $B_1, G_1, G_2, S_1, S_2$ છે.
$G_1$ અને $G_2$ હંમેશા સાથે હોવા જોઈએ,તેથી તેમને એક એકમ $(G_1G_2)$ તરીકે ગણીએ.
હવે આપણી પાસે $(G_1G_2), S_1, S_2$ એકમો છે જે બાકીના $4$ સ્થાનોમાં ગોઠવવાના છે.
કિસ્સો $1$: $(G_1G_2)$ સ્થાનો $(3, 4)$ પર હોય.
બાકીના સ્થાનો $1$ અને $5$ માં $S_1, S_2$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય. $G_1, G_2$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
રીતોની સંખ્યા $= 2! \times 2! = 4$.
કિસ્સો $2$: $(G_1G_2)$ સ્થાનો $(4, 5)$ પર હોય.
બાકીના સ્થાનો $1$ અને $3$ માં $S_1, S_2$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય. $G_1, G_2$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
રીતોની સંખ્યા $= 2! \times 2! = 4$.
કુલ ગોઠવણી $= 4 + 4 = 8$.

(C) $CALCULATE$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે.
જેમાં $C$ બે વાર,$A$ બે વાર,$L$ બે વાર અને $E, U, T$ એક વાર આવે છે.
અહીં $5$ વ્યંજનો $(C, C, L, L, T)$ અને $4$ સ્વરો $(A, A, U, E)$ છે.
$5$ વ્યંજનોમાંથી બે વ્યંજનો શરૂઆત અને અંતના સ્થાન પર $P(5, 2)$ રીતે ગોઠવી શકાય.
પુનરાવર્તિત અક્ષરોને ધ્યાનમાં લેતા,કુલ ગોઠવણી $= \frac{P(5, 2) \times 7!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{20 \times 7!}{8} = \frac{5 \times 7!}{2}$.

(C) હારમાં કુલ $9$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7, 9$ છે,જે કુલ $5$ છે.
$5$ પુરુષોને આ $5$ એકી સ્થાનો પર $5! = 120$ રીતે બેસાડી શકાય.
બાકીના $4$ બેકી સ્થાનો $(2, 4, 6, 8)$ પર $4$ સ્ત્રીઓને $4! = 24$ રીતે બેસાડી શકાય.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 120 \times 24 = 2880$.

(C) $MACHINE$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $3$ સ્વરો $(A, I, E)$ અને $4$ વ્યંજનો $(M, C, H, N)$.
કુલ $7$ સ્થાનો છે,જે $1$ થી $7$ ક્રમાંકિત છે. એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ છે,જે કુલ $4$ છે.
આપણે $4$ એકી સ્થાનોમાં $3$ સ્વરોને ગોઠવવાના છે,જે $^4P_3$ રીતે કરી શકાય.
$^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$ રીતો.
બાકીના $4$ અક્ષરો (વ્યંજનો) બાકીના $4$ સ્થાનોમાં $^4P_4$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$^4P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતો.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= ^4P_3 \times ^4P_4 = 24 \times 24 = 576$.

(B) આપેલ સંખ્યા $445577888$ છે. અંકો છે: $4, 4, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8$.
અહીં $4$ એકી અંકો $(5, 5, 7, 7)$ અને $5$ બેકી અંકો $(4, 4, 8, 8, 8)$ છે.
કુલ $9$ સ્થાનો છે. બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ છે,જેની સંખ્યા $4$ છે.
$4$ એકી અંકોને આ $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
બાકીના $5$ સ્થાનો (એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7, 9$) પર $5$ બેકી અંકો $(4, 4, 8, 8, 8)$ ગોઠવવાના છે.
આ $5$ અંકોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{2!3!} = 10$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $6 \times 10 = 60$ છે.

(A) આપણી પાસે $6$ પિરિયડ અને $5$ વિષયો છે. દરેક વિષય ઓછામાં ઓછો એકવાર ભણાવવો જરૂરી હોવાથી,એક વિષય બે વાર અને બાકીના $4$ વિષયો એક-એક વાર ભણાવવા પડશે.
પ્રથમ,જે વિષયનું પુનરાવર્તન કરવાનું છે તેને $^5C_1 = 5$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
હવે,આપણી પાસે $6$ પિરિયડમાં ગોઠવવા માટે $6$ વિષયો (પુનરાવર્તન સાથે) છે.
ગોઠવણીની સંખ્યા: $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $5 \times 360 = 1800$ છે.

(B) આપેલ અંકો $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4$ છે. જેમાં $4$ એકી અંકો $(1, 1, 3, 3)$ અને $3$ બેકી અંકો $(2, 2, 4)$ છે.
$7$ અંકની સંખ્યામાં,એકી સ્થાનો $1, 3, 5$ અને $7$ છે (કુલ $4$ સ્થાનો).
બેકી સ્થાનો $2, 4$ અને $6$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
એકી અંકો હંમેશા એકી સ્થાનો પર હોવા જોઈએ,તેથી $4$ એકી અંકોને $4$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
હવે,$3$ બેકી અંકોને $3$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $= 6 \times 3 = 18$ થાય.

(B) ચાર અંકની સંખ્યા બેકી હોય જો તેનો એકમનો અંક $0$ અથવા $2$ હોય. પુનરાવર્તન શક્ય ન હોવાથી,આપણે બે કિસ્સાઓ વિચારીએ:
કિસ્સો $1$: એકમનો અંક $0$ હોય.
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો $(1, 2, 3)$ વડે $3! = 6$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: એકમનો અંક $2$ હોય.
હજારના સ્થાન પર $0$ કે $2$ ન આવી શકે. તેથી,હજારનું સ્થાન $1$ અથવા $3$ વડે ($2$ રીતે) ભરી શકાય.
બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $2$ અંકો વડે $2! = 2$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ રીતો = $2 \times 2 = 4$ રીતો.
કુલ બેકી સંખ્યાઓ = $6 + 4 = 10$.

(A) $3$ મહિલાઓ અને $2$ પુરુષો છે.
પ્રથમ,મહિલાઓ $1$ થી $6$ નંબરની ખુરશીઓમાંથી પસંદગી કરે છે.
ખુરશીઓ ક્રમાંકિત હોવાથી,$3$ મહિલાઓ માટે $6$ માંથી $3$ ખુરશીઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{6}P_{3}$ છે.
ત્યારબાદ,પુરુષો બાકીની ખુરશીઓમાંથી પસંદગી કરે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પુરુષો બાકીની $4$ ખુરશીઓમાંથી પસંદગી કરે છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $^{4}P_{2}$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= ^{6}P_{3} \times ^{4}P_{2}$.

(B) $MASK$ શબ્દના અક્ષરોનો મૂળાક્ષર ક્રમ $A, K, M, S$ છે.
કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$ શબ્દો ($1$ થી $6$).
$K$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$ શબ્દો ($7$ થી $12$).
$M$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$ શબ્દો ($13$ થી $18$).
$S$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$SAKM$ ($19$ મો શબ્દ),
$SAMK$ ($20$ મો શબ્દ),
$SKAM$ ($21$ મો શબ્દ),
$SKMA$ ($22$ મો શબ્દ),
$SMAK$ ($23$ મો શબ્દ),
$SMKA$ ($24$ મો શબ્દ).
આમ,$19$ મો શબ્દ $SAKM$ છે.

(D) કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન હોય તે માટે,આપણે પહેલા $5$ છોકરીઓને હરોળમાં ગોઠવીશું. $5$ છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતો $5! = 120$ છે.
$5$ છોકરીઓ દ્વારા $6$ ખાલી જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે: $\_ G_1 \_ G_2 \_ G_3 \_ G_4 \_ G_5 \_$.
આપણે $6$ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને તેમાં $3$ છોકરાઓને બેસાડવાના છે. $6$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{6}C_{3} = 20$ છે.
$3$ છોકરાઓને આ $3$ પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $5! \times ^{6}C_{3} \times 3! = 120 \times 20 \times 6 = 14400$ થાય.

(A) $5$ અંકનો ટેલિફોન નંબર $67$ થી શરૂ થાય છે.
પ્રથમ બે અંકો $6$ અને $7$ નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે બાકીના $3$ સ્થાન ભરવાના છે.
ઉપલબ્ધ અંકો ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9}$ છે,જે કુલ $8$ અંકો છે.
કોઈ પણ અંકનું પુનરાવર્તન થઈ શકતું નથી,તેથી આપણે આ $8$ ઉપલબ્ધ અંકોમાંથી $3$ અંકોની ગોઠવણી કરવાની છે.
$8$ માંથી $3$ અંકોની ગોઠવણી કરવાની રીતો ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 3$ છે.
$^8P_3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

(B) $MULTIPLE$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $M, U, L, T, I, P, L, E$.
સ્વરો $U, I, E$ છે અને વ્યંજનો $M, L, T, L$ છે.
સ્વરો $2, 5, 8$ સ્થાન પર છે. આ સ્થાનોને સ્થિર રાખીને,$3$ સ્વરોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બાકીના $5$ સ્થાનો પર વ્યંજનો $M, L, T, L$ આવે છે.
આ $5$ વ્યંજનોને ગોઠવવાની રીતો (જ્યાં $L$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે) $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $3! \times 60 = 6 \times 60 = 360$ છે.

(B) "$MOTHER$" શબ્દના અક્ષરો $M, O, T, H, E, R$ છે. બધા અક્ષરો ભિન્ન છે. કુલ ગોઠવણી $= 6! = 720$.
અક્ષરોનો મૂળાક્ષર ક્રમ: $E, H, M, O, R, T$.
$1$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$2$. $H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$3$. $ME$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$4$. $MH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$5$. $MOE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$6$. $MOH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$7$. $MOR$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$8$. $MOT E H R$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1! = 1$.
$9$. $MOT E R H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1! = 1$.
$10$. $MOT H E R$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1$.
સરવાળો: $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 1 + 1 + 1 = 309$.
તેથી,"$MOTHER$" શબ્દનો ક્રમ $309$ છે.

(D) આપેલ છે કે ${}^n P_4 = 1680$.
${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(n-1)(n-2)(n-3) = 1680$.
આપણે ચાર ક્રમિક પૂર્ણાંકો શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $1680$ થાય.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણ દ્વારા: $1680 = 8 \times 7 \times 6 \times 5$.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 8$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે,${ }^{15} P_8 = A + 8 \cdot { }^{14} P_7$
$\Rightarrow \frac{15!}{7!} = A + 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{15!}{7!} - 8 \cdot \frac{14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{15 \cdot 14!}{7!} - \frac{8 \cdot 14!}{7!}$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{7!} (15 - 8)$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{7!} \cdot 7$
$\Rightarrow A = \frac{14!}{6!} = { }^{14} P_8$

(B) $PERFECTION$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $P, E, R, F, E, C, T, I, O, N$.
સ્વરો $E, E, I, O$ છે ($4$ સ્વરો).
વ્યંજનો $P, R, F, C, T, N$ છે ($6$ વ્યંજનો).
કોઈપણ બે સ્વરોની વચ્ચે બરાબર બે વ્યંજનો હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $3! \times 6!$ થાય છે.

(C) $LETTER$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $E, E, L, R, T, T$. અક્ષરોની આવૃત્તિ $E: 2, L: 1, R: 1, T: 2$ છે.
શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવતા,$TETLER$ નો ક્રમ $141$ મળે છે.

(A) ઉપલબ્ધ અંકો ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ છે. $5$-અંકી સંખ્યા $0$ થી શરૂ થઈ શકે નહીં.
$1$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
$2$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
$3$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
$5$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
$1, 2, 3, 5$ થી શરૂ થતી કુલ સંખ્યાઓ $120 \times 4 = 480$ છે.
હવે,$7$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લો:
$70123, 70125, 70132, 70135, 70152, 70153, 70213, 70215, 70231, 70235, 70251, 70253, 70312, 70315, 70321, 70325, 70351, 70352, 70512, 70513$.
આ ગણતરી કરતા,$70513$ એ $7$ થી શરૂ થતી $20$મી સંખ્યા છે.
ક્રમ $= 480 + 20 = 500$.

(D) આપેલ સમીકરણ ${}^{27}P_{r+7} = 7722 \times {}^{25}P_{r+4}$ છે.
સૂત્ર ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{27!}{(27-(r+7))!} = 7722 \times \frac{25!}{(25-(r+4))!}$
$\frac{27!}{(20-r)!} = 7722 \times \frac{25!}{(21-r)!}$
$\frac{27 \times 26 \times 25!}{(20-r)!} = 7722 \times \frac{25!}{(21-r)(20-r)!}$
$27 \times 26 = \frac{7722}{21-r}$
$702 = \frac{7722}{21-r}$
$21-r = \frac{7722}{702} = 11$
$r = 21 - 11 = 10$.
આમ,$r = 10$.

(D) '$AGAIN$' શબ્દમાં $5$ અક્ષરો છે: $A, A, G, I, N$. કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} = 60$ છે.
શબ્દકોશના ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, A, G, I, N$.
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, G, I, N$ છે. ગોઠવણી = $4! = 24$.
$2$. $G$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, A, I, N$ છે. ગોઠવણી = $\frac{4!}{2!} = 12$. કુલ = $24 + 12 = 36$.
$3$. $I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, A, G, N$ છે. ગોઠવણી = $\frac{4!}{2!} = 12$. કુલ = $36 + 12 = 48$.
$4$. $N$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $NAAIG$ એ $49^{th}$ શબ્દ છે.
- $NAAGI$ એ $50^{th}$ શબ્દ છે.

(B) $6000$ થી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે $4$-અંકની અથવા $5$-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $6000$ થી મોટી $4$-અંકની સંખ્યાઓ.
પ્રથમ અંક $6, 7, 8,$ અથવા $9$ હોઈ શકે ($4$ વિકલ્પો).
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકો દ્વારા $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $4$-અંકની સંખ્યાઓ $= 4 \times 60 = 240$.
કિસ્સો $2$: $5$-અંકની સંખ્યાઓ.
આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી તમામ $5$-અંકની સંખ્યાઓ $6000$ થી મોટી જ હોય છે.
પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો).
બાકીના $4$ સ્થાનો માટે $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ $5$-અંકની સંખ્યાઓ $= 5 \times 120 = 600$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 240 + 600 = 840$.

(B) $CRICKET$ શબ્દના અક્ષરો $C, C, E, I, K, R, T$ છે. કુલ $7$ અક્ષરો છે,જેમાં $C$ બે વાર આવે છે.
શબ્દકોશના ક્રમ મુજબ ગોઠવતા,$CRICKET$ શબ્દનો ક્રમ $531$ મળે છે.

(C) $MASTER$ શબ્દના અક્ષરોને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, E, M, R, S, T$.
$MASTER$ શબ્દનો ક્રમ શોધવા માટે,આપણે તેના પહેલા આવતા શબ્દોની ગણતરી કરીએ:
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$2$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$3$. $MA E...$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$4$. $MA R...$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$5$. $MA S E...$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$6$. $MA S R...$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$
$7$. ત્યારબાદનો શબ્દ $MASTER$ છે: $1$
કુલ ક્રમ $= 120 + 120 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 257$.

(C) '$REPETITION$' શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $R, E, E, P, E, T, I, T, I, O, N$. ભિન્ન અક્ષરો ${R, E, P, T, I, O, N}$ છે,જેમાં $E, I, T$ બે વાર આવે છે.
કિસ્સો-$I$: બધા $4$ અક્ષરો અલગ હોય.
$7$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરીને ગોઠવતા: $^7P_4 = 840$.
કિસ્સો-$II$: $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ અક્ષરો અલગ હોય.
$3$ જોડીઓ ${E, E}, {I, I}, {T, T}$ માંથી $1$ જોડી અને બાકીના $6$ અક્ષરોમાંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરતા: $^3C_1 \times ^6C_2 \times \frac{4!}{2!} = 3 \times 15 \times 12 = 540$.
કિસ્સો-$III$: $2$ અક્ષરો એક પ્રકારના અને $2$ અક્ષરો બીજા પ્રકારના હોય.
$3$ જોડીઓમાંથી $2$ જોડી પસંદ કરતા: $^3C_2 \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times 6 = 18$.
કુલ ક્રમચયો $= 840 + 540 + 18 = 1398$.

(B) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય છે. ઉપલબ્ધ અંકો $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.
$4$-અંકી સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4$ માટે,$d_1 \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ વિકલ્પો),$d_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ વિકલ્પો).
છેલ્લા બે અંકો $d_3 d_4$ એવી સંખ્યા બનાવવી જોઈએ જે $4$ વડે વિભાજ્ય હોય. શક્ય જોડીઓ $(d_3, d_4)$ છે:
$00, 04, 12, 20, 24, 32, 40, 44$.
આવી $8$ જોડીઓ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 4 \times 5 \times 8 = 160$.

(D) આપણે $\{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને છ-અંકી સંખ્યા બનાવવાની છે.
કુલ $8$ અંકો ઉપલબ્ધ છે.
છ-અંકી સંખ્યા માટે,પ્રથમ અંક (લાખના સ્થાને) $0$ હોઈ શકે નહીં. તેથી,પ્રથમ અંક માટે $7$ વિકલ્પો છે $(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\})$.
અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાતું હોવાથી,બાકીના $5$ સ્થાનોમાંથી દરેકને $8$ ઉપલબ્ધ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે.
તેથી,છ-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા:
$7 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 7 \times 8^5$
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.
આમ,આવી છ-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $7 \times 2^{15}$ છે.