Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Gujarati

(B) $1^{st}$ રિંગમાં $10$ અંકો $(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ છે.
$2^{nd}$ રિંગમાં $2$ કરતા મોટા અને $30$ કરતા નાના અવિભાજ્ય અંકો છે: ${3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}$. આવા કુલ $9$ અંકો છે.
$3^{rd}$ રિંગમાં બધા સ્વરો છે: ${a, e, i, o, u}$. આવા કુલ $5$ સ્વરો છે.
લોક ખોલવાની કુલ રીતો $= 10 \times 9 \times 5 = 450$.
લોક ખોલવા માટે માત્ર $1$ જ સાચું સંયોજન હોવાથી,નિષ્ફળ પ્રયાસોની કુલ સંખ્યા $= 450 - 1 = 449$.

(B) $1, 2, 3, 4$ અંકોના કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
આપણે એવા કિસ્સાઓ બાકાત રાખવા માંગીએ છીએ જ્યાં $n+1$ એ $n$ ની તરત પછી આવે. આ પેટર્ન $12, 23, 34$ છે.
ધારો કે $S$ એ તમામ ક્રમચયોનો સમૂહ છે. ધારો કે $A$ એ $12$ ધરાવતા ક્રમચયોનો સમૂહ છે,$B$ એ $23$ ધરાવતા,અને $C$ એ $34$ ધરાવતા ક્રમચયોનો સમૂહ છે.
આપણે $24 - |A \cup B \cup C|$ શોધવા માંગીએ છીએ.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા:
$|A| = |B| = |C| = 3! = 6$.
$|A \cap B|$ ($123$ ધરાવે છે) = $2! = 2$.
$|B \cap C|$ ($234$ ધરાવે છે) = $2! = 2$.
$|A \cap C|$ ($12$ અને $34$ ધરાવે છે) = $2! = 2$.
$|A \cap B \cap C|$ ($1234$ ધરાવે છે) = $1! = 1$.
$|A \cup B \cup C| = (6+6+6) - (2+2+2) + 1 = 18 - 6 + 1 = 13$.
કુલ માન્ય સંખ્યાઓ = $24 - 13 = 11$.

(D) $n$-અંકી સંખ્યાના દરેક સ્થાનને $3$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $2, 5$ અથવા $7$ નો ઉપયોગ કરીને).
તેથી,કુલ ભિન્ન $n$-અંકી સંખ્યાઓ $3^n$ છે.
આપણે $n$ ની એવી નાનામાં નાની પૂર્ણાંક કિંમત શોધવાની છે જેના માટે $3^n \geq 900$ થાય.
$3$ ના ઘાતની ગણતરી કરતા:
$3^6 = 729$
$3^7 = 2187$
$3^6 = 729 < 900$ અને $3^7 = 2187 \geq 900$ હોવાથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે.

(A) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય,તો તે સંખ્યા પોતે $3$ વડે ભાગી શકાય છે.
હજારના સ્થાન પર $2, 3$ અથવા $4$ આવી શકે કારણ કે સંખ્યા $2,000$ અને $5,000$ ની વચ્ચે છે.
કિસ્સો $1$: હજારના સ્થાન પર $2$ હોય.
બાકીના $3$ અંકો ${0, 1, 3, 4}$ માંથી પસંદ કરવાના છે જેથી સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય:
- ${0, 1, 3}$ (સરવાળો $= 6$)
- ${0, 3, 4}$ (સરવાળો $= 9$)
દરેક સમૂહ $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય. કુલ $= 2 \times 6 = 12$.
કિસ્સો $2$: હજારના સ્થાન પર $3$ હોય.
બાકીના $3$ અંકો ${0, 1, 2, 4}$ માંથી પસંદ કરવાના છે:
- ${0, 1, 2}$ (સરવાળો $= 6$)
- ${0, 2, 4}$ (સરવાળો $= 9$)
કુલ $= 2 \times 6 = 12$.
કિસ્સો $3$: હજારના સ્થાન પર $4$ હોય.
બાકીના $3$ અંકો ${0, 1, 2, 3}$ માંથી પસંદ કરવાના છે:
- ${0, 2, 3}$ (સરવાળો $= 9$)
કુલ $= 1 \times 6 = 6$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 12 + 12 + 6 = 30$.

(C) $QUEEN$ શબ્દના અક્ષરો $E, E, N, Q, U$ છે. મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $E, E, N, Q, U$.
$(i)$ $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, N, Q, U$ છે. શબ્દોની સંખ્યા $= 4! = 24$.
$(ii)$ $N$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, E, Q, U$ છે. શબ્દોની સંખ્યા $= \frac{4!}{2!} = 12$.
$(iii)$ $QE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, N, U$ છે. શબ્દોની સંખ્યા $= 3! = 6$.
$(iv)$ $QN$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $E, E, U$ છે. શબ્દોની સંખ્યા $= \frac{3!}{2!} = 3$.
$(v)$ ત્યારબાદનો શબ્દ $QUEEN$ પોતે છે,જે $1$ સ્થાન ધરાવે છે.
તેથી,$QUEEN$ શબ્દનો ક્રમ $= 24 + 12 + 6 + 3 + 1 = 46^{th}$.

(B) $MEDITERRANEAN$ શબ્દમાં $13$ અક્ષરો છે: $M(1), E(3), D(1), I(1), T(1), R(2), A(2), N(2)$.
આપણે $R \_ \_ E$ સ્વરૂપના $4$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવાના છે.
વચ્ચેની બે જગ્યાઓ બે રીતે ભરી શકાય:
$1$. બંને અક્ષરો સમાન હોય: ઉપલબ્ધ જોડીઓ $(E, E), (A, A), (N, N)$ છે. આવી $3$ જોડીઓ છે.
$2$. બંને અક્ષરો ભિન્ન હોય: આપણે ${M, E, D, I, T, R, A, N}$ ગણમાંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરીએ છીએ. કુલ $8$ ભિન્ન અક્ષરો ઉપલબ્ધ છે. વચ્ચેની $2$ જગ્યાઓમાં $2$ ભિન્ન અક્ષરો ગોઠવવાની રીતો $^8P_2 = 8 \times 7 = 56$ છે.
શબ્દોની કુલ સંખ્યા = $3 56 = 59$.

(B) $3, 4, 5,$ અને $6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $4-$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણી પાસે કુલ $4! = 24$ સંખ્યાઓ છે.
જો આપણે એકમના સ્થાન પર કોઈ એક અંક નિશ્ચિત કરીએ,તો બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3! = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,દરેક અંક $3, 4, 5,$ અને $6$ એકમના સ્થાન પર બરાબર $6$ વખત આવે છે.
એકમના સ્થાનના અંકોનો સરવાળો:
$= (6 \times 3) + (6 \times 4) + (6 \times 5) + (6 \times 6)$
$= 6 \times (3 + 4 + 5 + 6)$
$= 6 \times 18$
$= 108$

(B) કુલ $8$ અંકો છે. એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ ($4$ સ્થાનો) છે અને બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ ($4$ સ્થાનો) છે.
આપેલા અંકો $1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ છે. એકી અંકો $1, 1, 3$ (કુલ $3$ અંકો) છે અને બેકી અંકો $2, 2, 2, 4, 4$ (કુલ $5$ અંકો) છે.
શરત મુજબ એકી અંકો એકી સ્થાનો પર ન હોવા જોઈએ,એટલે કે $3$ એકી અંકો $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે.
$3$ એકી અંકોને $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
બાકીના $5$ અંકોને બાકીના $5$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{3!2!} = 10$ છે.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓ $12 \times 10 = 120$ થાય.

(D) અંકોનો સમૂહ $\{2, 3, 5, 7, 9\}$ છે. પુનરાવર્તન વગર બનતી કુલ $5$-અંકી સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
$p$ માટે: સંખ્યાઓ $20000$ થી મોટી હોવી જોઈએ. આપેલા તમામ અંકો $\ge 2$ હોવાથી,આ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી કોઈપણ $5$-અંકી સંખ્યા $\ge 23579$ હશે,જે $20000$ થી મોટી છે. તેથી,$p = 5! = 120$.
$q$ માટે: સંખ્યાઓ $30000$ અને $90000$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ અંક $3, 5,$ અથવા $7$ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ અંક માટે $3$ વિકલ્પો છે. બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $4!$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,$q = 3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$.
ગુણોત્તર $p : q = 120 : 72$.
બંનેને $24$ વડે ભાગતા,આપણને $120/24 : 72/24 = 5 : 3$ મળે છે.

(A) અક્ષરોનો સમૂહ $\{a, b, c, d, e, f\}$ છે,જેમાં $2$ સ્વર $(\{a, e\})$ અને $4$ વ્યંજન $(\{b, c, d, f\})$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય તેવી $3$ અક્ષરોની ગોઠવણી બનાવવાની છે.
ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય તેવી કુલ ગોઠવણી = (કુલ $3$ અક્ષરોની ગોઠવણી) - (એક પણ સ્વર ન હોય તેવી ગોઠવણી).
$6$ અલગ અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણી = $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
એક પણ સ્વર ન હોય તેવી ગોઠવણી (માત્ર વ્યંજનો) = $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા = $120 - 24 = 96$.

(B) આપણે ${0, 1, 3, 7, 9}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $7,000$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
કિસ્સો $1$: $1, 2$ અથવા $3$ અંકની સંખ્યાઓ.
$1$ અંકની સંખ્યા માટે $4$ વિકલ્પો છે: ${1, 3, 7, 9}$.
$2$ અંકની સંખ્યા માટે પ્રથમ અંકના $4$ અને બીજા અંકના $5$ વિકલ્પો છે: $4 \times 5 = 20$.
$3$ અંકની સંખ્યા માટે પ્રથમ અંકના $4$ અને બાકીના બે અંકના $5$ વિકલ્પો છે: $4 \times 5 \times 5 = 100$.
કુલ $= 4 + 20 + 100 = 124$.
કિસ્સો $2$: $7,000$ થી નાની $4$ અંકની સંખ્યાઓ.
પ્રથમ અંક $1$ અથવા $3$ હોઈ શકે ($2$ વિકલ્પો).
બાકીના ત્રણ સ્થાન માટે $5$ અંકોમાંથી કોઈ પણ આવી શકે ($5 \times 5 \times 5 = 125$ વિકલ્પો).
કુલ $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 2 \times 125 = 250$.
કુલ સંખ્યા $= 124 + 250 = 374$.

(A) કુલ અંકોની સંખ્યા $9$ છે. અંકો $1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ છે.
એકી અંકો $1, 1, 3$ છે (કુલ $3$ એકી અંકો).
બેકી અંકો $2, 2, 2, 2, 4, 4$ છે (કુલ $6$ બેકી અંકો).
$4$ બેકી સ્થાનો $(2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, 8^{th})$ અને $5$ એકી સ્થાનો $(1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, 7^{th}, 9^{th})$ છે.
$4$ બેકી સ્થાનોમાંથી $3$ સ્થાનો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_3$ છે.
$3$ એકી અંકોને આ $3$ સ્થાનોમાં ગોઠવવાની રીતો $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
બાકીના $6$ અંકોને બાકીના $6$ સ્થાનોમાં ગોઠવવાની રીતો $\frac{6!}{4!2!} = 15$ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= ^4C_3 \times \frac{3!}{2!} \times \frac{6!}{4!2!} = 4 \times 3 \times 15 = 180$.

(C) આપણે $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $4321$ થી મોટી ચાર અંકની સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
કિસ્સો $1$: $5$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $5$ છે. બાકીના $3$ સ્થાનો $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે.
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times 6 \times 6 \times 6 = 216$.
કિસ્સો $2$: $44$ અથવા $45$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $4$ છે. બીજો અંક $4$ અથવા $5$ ($2$ વિકલ્પો) છે. બાકીના $2$ સ્થાનો $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે.
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times 2 \times 6 \times 6 = 72$.
કિસ્સો $3$: $43$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ:
પ્રથમ બે અંકો $43$ છે. ત્રીજો અંક $2$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ,એટલે કે $3, 4, 5$ ($3$ વિકલ્પો).
ચોથો અંક $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ હોઈ શકે છે.
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times 1 \times 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $4$: $432$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ:
પ્રથમ ત્રણ અંકો $432$ છે. ચોથો અંક $1$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ,એટલે કે $2, 3, 4, 5$ ($4$ વિકલ્પો).
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times 1 \times 1 \times 4 = 4$.
કુલ સંખ્યા $= 216 + 72 + 18 + 4 = 310$.

(A) $6$-અંકી સંખ્યા બનાવવા માટે જેમાં પાંચેય અંકો $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ નો ઉપયોગ થાય,એક અંક બે વાર અને બાકીના ચાર અંકો એક-એક વાર આવવા જોઈએ.
પગલું $1$: $5$ અંકોમાંથી પુનરાવર્તિત થતો અંક પસંદ કરવાની રીત $^5C_1 = 5$ છે.
પગલું $2$: આ $6$ અંકોની ગોઠવણી $\frac{6!}{2!}$ રીતે થઈ શકે.
પગલું $3$: કુલ સંખ્યાઓ $^5C_1 \times \frac{6!}{2!} = 5 \times 360 = 1800$ થાય.
નોંધ: $\frac{5}{2}(6!) = 1800$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પાંચ અંકની સંખ્યાને $\_ \;\_\;\_\;\underline{2}\;\_$. તરીકે દર્શાવી શકાય.
$10$ નું સ્થાન $2$ તરીકે નિશ્ચિત છે.
$10,000$ ના સ્થાન માટે,આપણે $0$ અથવા $2$ નો ઉપયોગ કરી શકતા નથી,તેથી $8$ વિકલ્પો $(1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ છે.
$1,000$ ના સ્થાન માટે,આપણે $0$ અને બાકીના $7$ અંકોમાંથી કોઈ પણ વાપરી શકીએ છીએ,તેથી $8$ વિકલ્પો છે.
$100$ ના સ્થાન માટે,બાકીના $7$ વિકલ્પો છે.
એકમના સ્થાન માટે,બાકીના $6$ વિકલ્પો છે.
આવી પાંચ અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 8 \times 8 \times 7 \times 6 = 2688$.
આપેલ છે કે આ સંખ્યા $336k$ છે,તેથી $336k = 2688$.
તેથી,$k = \frac{2688}{336} = 8$.

(A) $ROSE$ શબ્દમાં $4$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $R, O, S, E$.
પુનરાવર્તન વગર $4$ અક્ષરનો શબ્દ બનાવવા માટે,આપણે આ $4$ અક્ષરોને $4$ ખાલી જગ્યાઓમાં ગોઠવવાના છે.
પ્રથમ જગ્યા $4$ રીતે ભરી શકાય છે.
બીજી જગ્યા $3$ રીતે ભરી શકાય છે.
ત્રીજી જગ્યા $2$ રીતે ભરી શકાય છે.
ચોથી જગ્યા $1$ રીતે ભરી શકાય છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.

(A) $4$ અલગ-અલગ રંગના ધ્વજ દ્વારા ક્રમિક રીતે $2$ ખાલી જગ્યાઓ ભરવાની જેટલી રીતો હશે,તેટલા જ સંકેતો બનશે.
ઉપરની ખાલી જગ્યા $4$ ધ્વજમાંથી કોઈપણ એક દ્વારા $4$ અલગ-અલગ રીતે ભરી શકાય છે.
ત્યારબાદ,નીચેની ખાલી જગ્યા બાકી રહેલા $3$ અલગ-અલગ ધ્વજમાંથી કોઈપણ એક દ્વારા $3$ અલગ-અલગ રીતે ભરી શકાય છે.
આમ,ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,જરૂરી સંકેતોની સંખ્યા $= 4 \times 3 = 12$.

(A) $2$ અંકની સંખ્યામાં દશકનું સ્થાન અને એકમનું સ્થાન હોય છે.
સંખ્યા બેકી હોવા માટે,એકમના સ્થાન પર $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ગણમાંથી બેકી અંક હોવો જોઈએ.
ઉપલબ્ધ બેકી અંકો $2$ અને $4$ છે. તેથી,એકમનું સ્થાન $2$ રીતે ભરી શકાય છે.
અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય હોવાથી,દશકનું સ્થાન આપેલા $5$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5)$ માંથી કોઈપણ અંક વડે ભરી શકાય છે. તેથી,દશકનું સ્થાન $5$ રીતે ભરી શકાય છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ $2$ અંકની બેકી સંખ્યાઓ $5 \times 2 = 10$ થાય.

(A) આપેલ $5$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5)$ વડે $3$ ખાલી જગ્યાઓ ભરવાની છે.
અંકોનું પુનરાવર્તન માન્ય હોવાથી,દરેક $3$ જગ્યાઓ $5$ અલગ અલગ રીતે ભરી શકાય છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ $3$-અંકી સંખ્યાઓ $5 \times 5 \times 5 = 125$ થશે.

(A) $1, 2, 3, 4$ અને $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $3$-અંકી સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે $3$ સ્થાન (સો,દશક અને એકમ) ભરવાની જરૂર છે.
સોનું સ્થાન $5$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $1, 2, 3, 4, 5$ માંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરીને).
પુનરાવર્તનની મંજૂરી ન હોવાથી,દશકનું સ્થાન બાકીના $4$ અંકોમાંથી ભરી શકાય છે.
ત્યારબાદ એકમનું સ્થાન બાકીના $3$ અંકોમાંથી ભરી શકાય છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ $3$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $5 \times 4 \times 3 = 60$ છે.

(A) $3$ અંકની બેકી સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાને આપેલ ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માંથી બેકી અંક હોવો જોઈએ.
ઉપલબ્ધ બેકી અંકો $2, 4, 6$ છે. તેથી,એકમનું સ્થાન $3$ રીતે ભરી શકાય છે.
અંકોનું પુનરાવર્તન શક્ય હોવાથી,દશકનું સ્થાન $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ રીતે $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
તે જ રીતે,સોનું સ્થાન $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ રીતે $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ $3$ અંકની બેકી સંખ્યાઓ $6 \times 6 \times 3 = 108$ છે.

(A) $4$-અક્ષરી કોડ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા એ પ્રથમ $10$ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને ક્રમશઃ $4$ ખાલી જગ્યાઓ ભરવાની રીતો જેટલી છે,જ્યાં પુનરાવર્તનની મંજૂરી નથી.
પ્રથમ સ્થાન $10$ રીતે ભરી શકાય છે.
બીજું સ્થાન $9$ રીતે ભરી શકાય છે.
ત્રીજું સ્થાન $8$ રીતે ભરી શકાય છે.
ચોથું સ્થાન $7$ રીતે ભરી શકાય છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ રીતોની સંખ્યા $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ છે.
આમ,$5040$ ચાર-અક્ષરી કોડ બનાવી શકાય છે.

(A) $5$-અંકી ટેલિફોન નંબર $67$ થી શરૂ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ બે સ્થાન $6$ અને $7$ તરીકે નિશ્ચિત છે.
કોઈ પણ અંકનું પુનરાવર્તન થઈ શકતું ન હોવાથી,બાકીના $3$ સ્થાન ભરવા માટે આપણી પાસે $10 - 2 = 8$ અંકો બાકી રહે છે.
ત્રીજું સ્થાન $8$ રીતે ભરી શકાય છે.
ચોથું સ્થાન $7$ રીતે ભરી શકાય છે.
પાંચમું સ્થાન $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,આવા કુલ ટેલિફોન નંબરની સંખ્યા $8 \times 7 \times 6 = 336$ છે.

(B) જ્યારે એક સિક્કાને એકવાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે પરિણામોની સંખ્યા $2$ (છાપ અને કાંટો) હોય છે.
સિક્કાને $3$ વખત ઉછાળવામાં આવતો હોવાથી,ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 = 8$ થાય.

(A) દરેક સંકેત માટે $2$ ધ્વજનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે,એકબીજાની નીચે.
સંકેતોની સંખ્યા એ $5$ અલગ-અલગ રંગના ધ્વજનો ઉપયોગ કરીને ક્રમશઃ $2$ ખાલી જગ્યાઓ ભરવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે.
ઉપરની ખાલી જગ્યા $5$ ધ્વજમાંથી કોઈપણ એક દ્વારા $5$ અલગ-અલગ રીતે ભરી શકાય છે.
ઉપરની જગ્યા ભર્યા પછી,નીચેની ખાલી જગ્યા બાકી રહેલા $4$ ધ્વજમાંથી કોઈપણ એક દ્વારા $4$ અલગ-અલગ રીતે ભરી શકાય છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,બનાવી શકાય તેવા કુલ અલગ-અલગ સંકેતોની સંખ્યા $5 \times 4 = 20$ છે.

(A) કોઈ સંખ્યા $n$ નો ફેક્ટોરિયલ,જેને $n!$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $1$ થી $n$ સુધીની તમામ ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

(A) કોઈ સંખ્યા $n$ નો ફેક્ટોરિયલ,જેને $n!$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે $1$ થી $n$ સુધીની તમામ ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે.
$7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5040$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1$.
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
તેથી,$7! - 5! = 5040 - 120 = 4920$.

(A) આપણી પાસે $\frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!}$ છે.
અંશ અને છેદમાંથી $5!$ ને રદ કરતા,આપણને $7 \times 6$ મળે છે.
તેથી,$\frac{7!}{5!} = 42$.

(A) કોઈ સંખ્યા $n$ નો ફેક્ટોરિયલ $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$n = 8$ માટે,આપણને મળે છે:
$8! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 = 40320$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સંખ્યા $n$ નો ફેક્ટોરિયલ $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રથમ,$4!$ ની ગણતરી કરો:
$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.
ત્યારબાદ,$3!$ ની ગણતરી કરો:
$3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$.
અંતે,કિંમતોની બાદબાકી કરો:
$4! - 3! = 24 - 6 = 18$.

(B) $3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$
$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
$\therefore 3! + 4! = 6 + 24 = 30$
$7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5040$
$\therefore 3! + 4! \neq 7!$

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
$n=6$ અને $r=2$ મૂકતા:
$\frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!}$
$= \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!}$
$= 6 \times 5 = 30$.

(A) અહીં $n=9$ અને $r=5$ આપેલ છે.
$\frac{n!}{(n-r)!}$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{9!}{(9-5)!} = \frac{9!}{4!}$
$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!}$
$= 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5$
$= 15120$.

(A) $ALLAHABAD$ શબ્દમાં કુલ $9$ અક્ષરો છે.
તેમાં અક્ષરોની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$A: 4$
$L: 2$
$H: 1$
$B: 1$
$D: 1$
ક્રમચયના સૂત્ર મુજબ,ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{9!}{4! 2!} = \frac{362880}{24 \times 2} = 7560$.

(A) અંકોનો ક્રમ મહત્વનો હોવાથી,આપણે $9$ ભિન્ન અંકોમાંથી એકસાથે $4$ અંકો લઈને બનતા ક્રમચયોની સંખ્યા શોધવાની છે.
$4$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 9$ અને $r = 4$ છે.
તેથી,$4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^9P_4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$.

(A) $100$ અને $1000$ ની વચ્ચેની દરેક સંખ્યા $3$ અંકની હોય છે.
$3$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,સોના સ્થાન પર $0$ ન હોઈ શકે.
સોનું સ્થાન $5$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5)$ માંથી કોઈ પણ એક વડે ભરી શકાય,તેથી $5$ વિકલ્પો છે.
દશકનું સ્થાન બાકીના $5$ અંકો ($0$ સહિત) માંથી કોઈ પણ એક વડે ભરી શકાય,તેથી $5$ વિકલ્પો છે.
એકમનું સ્થાન બાકીના $4$ અંકોમાંથી કોઈ પણ એક વડે ભરી શકાય,તેથી $4$ વિકલ્પો છે.
તેથી,આવી $3$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5 \times 5 \times 4 = 100$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $^{n}P_{5} = 42 \, ^{n}P_{3}$.
$^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 42 \, n(n-1)(n-2)$.
$n > 4$ હોવાથી,$n(n-1)(n-2) \neq 0$. બંને બાજુ $n(n-1)(n-2)$ વડે ભાગતા:
$(n-3)(n-4) = 42$.
$n^{2} - 7n + 12 = 42$.
$n^{2} - 7n - 30 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n-10)(n+3) = 0$.
આથી $n = 10$ અથવા $n = -3$ મળે.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $n > 4$ હોવાથી,$n = -3$ શક્ય નથી.
તેથી,$n = 10$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{^{n}P_{4}}{^{n-1}P_{4}} = \frac{5}{3}$ છે.
સૂત્ર $^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{n!}{(n-4)!}}{\frac{(n-1)!}{(n-5)!}} = \frac{5}{3}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{n \times (n-1)!}{(n-4) \times (n-5)!} \times \frac{(n-5)!}{(n-1)!} = \frac{5}{3}$ મળે.
$\frac{n}{n-4} = \frac{5}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $3n = 5(n-4)$.
$3n = 5n - 20$.
$2n = 20$.
$n = 10$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $5 \times ^{4}P_{r} = 6 \times ^{5}P_{r-1}$
$^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$5 \times \frac{4!}{(4-r)!} = 6 \times \frac{5!}{(6-r)!}$
$5! = 5 \times 4!$ હોવાથી:
$5 \times \frac{4!}{(4-r)!} = 6 \times \frac{5 \times 4!}{(6-r)(5-r)(4-r)!}$
બંને બાજુ $5 \times 4!$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{6}{(6-r)(5-r)}$
$(6-r)(5-r) = 6$
$r^{2} - 11r + 24 = 0$
$(r-8)(r-3) = 0$
આમ,$r = 8$ અથવા $r = 3$.
પરંતુ $^{4}P_{r}$ માટે,$r \leq 4$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,$r = 8$ શક્ય નથી.
આમ,$r = 3$.

(A) $DAUGHTER$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $D, A, U, G, H, T, E, R$.
તેમાં $3$ સ્વરો છે: $A, U, E$ અને $5$ વ્યંજનો છે: $D, G, H, T, R$.
સ્વરો સાથે રહેવા જોઈએ,તેથી આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ: $(AUE)$.
હવે,$5$ વ્યંજનો અને $1$ સ્વરનો એકમ મળીને કુલ $6$ વસ્તુઓ થાય છે.
આ $6$ વસ્તુઓને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
સ્વરના એકમમાં,$3$ સ્વરો $(A, U, E)$ ને અંદરોઅંદર $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ ગોઠવણીઓ $= 6! \times 3!$.
$6! = 720$ અને $3! = 6$.
કુલ ગોઠવણીઓ $= 720 \times 6 = 4320$.

(A) $DAUGHTER$ શબ્દમાં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $D, A, U, G, H, T, E, R$. સ્વરો $A, U, E$ ($3$ સ્વરો) છે અને વ્યંજનો $D, G, H, T, R$ ($5$ વ્યંજનો) છે.
$8$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણી $= 8! = 40320$.
બધા સ્વરો સાથે હોય તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,$(A, U, E)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $5$ વ્યંજનો $+ 1$ એકમ $= 6$ વસ્તુઓ છે,જેને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય. એકમની અંદરના $3$ સ્વરોને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
સ્વરો સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $= 6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$.
સ્વરો સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $=$ કુલ ગોઠવણી $-$ સ્વરો સાથે હોય તેવી ગોઠવણી.
$= 40320 - 4320 = 36000$.

(A) તકતીઓની કુલ સંખ્યા $4 + 3 + 2 = 9$ છે.
સમાન રંગની તકતીઓ એકબીજાથી અલગ ન પાડી શકાય તેવી હોવાથી,આપણે ક્રમચયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3!}$.
અહીં,$n = 9$,$n_1 = 4$ (લાલ),$n_2 = 3$ (પીળી),અને $n_3 = 2$ (લીલી).
તેથી,ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{9!}{4! 3! 2!} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260$ છે.

(A) $INDEPENDENCE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $I(1), N(3), D(2), E(4), P(1), C(1)$.
$P$ થી શરૂ થતી ગોઠવણીની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $P$ ને પ્રથમ સ્થાને નિશ્ચિત કરીએ છીએ.
હવે,આપણે બાકીના $11$ અક્ષરોને ગોઠવવાની જરૂર છે: $I(1), N(3), D(2), E(4), C(1)$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! ...}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 11$,$n_1 = 3$ ($N$ માટે),$n_2 = 2$ ($D$ માટે),અને $n_3 = 4$ ($E$ માટે).
ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{11!}{3! 2! 4!} = \frac{39916800}{6 \times 2 \times 24} = \frac{39916800}{288} = 138600$.

(A) $INDEPENDENCE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $I(1), N(3), D(2), E(4), P(1), C(1)$.
અહીં $5$ સ્વરો છે: $E, E, E, E, I$.
$5$ સ્વરોને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $7$ વ્યંજનો અને $1$ સ્વર-સમૂહ છે,એટલે કે કુલ $8$ વસ્તુઓ છે.
આ $8$ વસ્તુઓની ગોઠવણી,જેમાં $N$ ત્રણ વાર અને $D$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે,તે $\frac{8!}{3!2!}$ રીતે થઈ શકે.
$5$ સ્વરો $(E, E, E, E, I)$ પોતાની વચ્ચે $\frac{5!}{4!}$ રીતે ગોઠવી શકાય.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{8!}{3!2!} \times \frac{5!}{4!} = 16800$ છે.

(B) $INDEPENDENCE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $I(1), N(3), D(2), E(4), P(1), C(1)$.
કુલ ગોઠવણી $= \frac{12!}{3! \times 2! \times 4!} = 1663200$.
બધા સ્વરો $(I, E, E, E, E)$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $8$ વ્યંજનો અને $1$ સ્વર એકમ છે. કુલ એકમો $= 9$.
સ્વરો સાથે હોય તેવી ગોઠવણી $= \frac{9!}{3! \times 2!} \times \frac{5!}{4!} = 151200$.
સ્વરો ક્યારેય સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $= 1663200 - 151200 = 1512000$.

(A) $INDEPENDENCE$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $I(2), N(3), D(2), E(4), P(1)$.
$I$ થી શરૂ થતી અને $P$ પર સમાપ્ત થતી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે,આપણે $I$ ને પ્રથમ સ્થાને અને $P$ ને છેલ્લા સ્થાને નિશ્ચિત કરીએ છીએ.
બાકી રહેલા $10$ અક્ષરો છે: $I(1), N(3), D(2), E(4)$.
ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{10!}{1! 3! 2! 4!} = 12600$.

(A) $1$ થી $9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $3$-અંકી સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે $9$ માંથી $3$ અલગ અંકોની ગોઠવણી કરવાની જરૂર છે.
અંકોનો ક્રમ મહત્વનો છે,તેથી આપણે ક્રમચયનું સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ વાપરીએ છીએ.
અહીં,$n = 9$ અને $r = 3$.
જરૂરી $3$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^9P_3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!}$.
$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

(A) $4$-અંકી સંખ્યામાં ચાર સ્થાન હોય છે: હજાર,સો,દશક અને એકમ.
હજારનું સ્થાન ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ માંથી કોઈપણ અંક દ્વારા ભરી શકાય છે. આમ,હજારના સ્થાન માટે $9$ વિકલ્પો છે.
સોનું સ્થાન બાકીના $9$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે ($0$ સહિત,પરંતુ હજારના સ્થાનમાં વપરાયેલ અંક સિવાય). આમ,સોના સ્થાન માટે $9$ વિકલ્પો છે.
દશકનું સ્થાન બાકીના $8$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે. આમ,દશકના સ્થાન માટે $8$ વિકલ્પો છે.
એકમનું સ્થાન બાકીના $7$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે. આમ,એકમના સ્થાન માટે $7$ વિકલ્પો છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,અંકોનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય તેવી કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ $9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$ છે.

(C) $3$-અંકી બેકી સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાન પર $\{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$ ગણમાંથી બેકી અંક હોવો જોઈએ.
ઉપલબ્ધ બેકી અંકો $2, 4,$ અને $6$ છે. તેથી,એકમનું સ્થાન $3$ રીતે ભરી શકાય છે.
અંકોનું પુનરાવર્તન થઈ શકતું નથી,તેથી એકમનું સ્થાન ભર્યા પછી,સોના અને દશકના સ્થાન ભરવા માટે $5$ અંકો બાકી રહે છે.
બાકીના $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને સોના અને દશકના સ્થાન ભરવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^5P_2$ દ્વારા મળે છે.
$^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,$3$-અંકી બેકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $3 \times 20 = 60$ છે.