Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Gujarati

(C) જ્યારે આપણે એક સમયે $1$ વસ્તુ લઈએ,ત્યારે શક્ય ક્રમચયોની સંખ્યા $n$ છે.
જ્યારે આપણે એક સમયે $2$ વસ્તુ લઈએ,ત્યારે શક્ય ક્રમચયોની સંખ્યા $n \times n = n^2$ છે.
આ પ્રક્રિયાને $r$ સુધી ચાલુ રાખતા,$k$ વસ્તુઓ માટે ક્રમચયોની સંખ્યા $n^k$ મળે છે.
આમ,એક સમયે $r$ થી વધુ નહીં તેવી વસ્તુઓ લઈને બનતા કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા એ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો છે:
$n + n^2 + \ldots + n^r = \frac{n(n^r - 1)}{n - 1}$ (જ્યાં $n > 1$).

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$.
પદ ${}^n P_r - {}^{n-1} P_r = \frac{n!}{(n-r)!} - \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!}$ લો.
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left( \frac{n}{n-r} - 1 \right) = \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \left( \frac{n - (n-r)}{n-r} \right)$.
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} \cdot \frac{r}{n-r} = \frac{r \cdot (n-1)!}{(n-r)!}$.
$= r \cdot \frac{(n-1)!}{((n-1) - (r-1))!} = r \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$.
આમ,${}^n P_r = {}^{n-1} P_r + r \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$.
આપેલ સમીકરણ ${}^n P_r = {}^{n-1} P_r + x \cdot {}^{n-1} P_{r-1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = r$ મળે છે.

(B) આપેલ પદ: $\frac{1}{r+1}\left\{{ }^n P_{r+1}-{ }^{(n-1)} P_{r+1}\right\}$
સૂત્ર ${ }^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{r+1} \left[ \frac{n!}{(n-r-1)!} - \frac{(n-1)!}{(n-r-2)!} \right]$
$= \frac{1}{r+1} \left[ \frac{n(n-1)!}{(n-r-1)!} - \frac{(n-1)!(n-r-1)}{(n-r-1)!} \right]$
$= \frac{(n-1)!}{(r+1)(n-r-1)!} [n - n + r + 1]$
$= \frac{(n-1)!}{(r+1)(n-r-1)!} [r+1]$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} = { }^{n-1} P_r$

(C) આપણી પાસે છે,
${}^7P_3 - 3({}^6P_2)$
$= \frac{7!}{(7-3)!} - 3 \times \frac{6!}{(6-2)!}$
$= \frac{7!}{4!} - 3 \times \frac{6!}{4!}$
$= \frac{7 \times 6!}{4!} - \frac{3 \times 6!}{4!}$
$= \frac{6!}{4!} (7 - 3)$
$= \frac{6!}{4!} \times 4$
$= \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} \times 4$
$= 30 \times 4 = 120$
વૈકલ્પિક રીતે,ક્રમચયની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
${}^6P_3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120$
આમ,આ કિંમત ${}^6P_3$ ની બરાબર છે.

(C) '$GOVIND$' માં અક્ષરો $D, G, I, N, O, V$ છે. કુલ અક્ષરો = $6$. બધા અક્ષરો અલગ છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $6! = 720$.
'$GOVIND$' નો ક્રમ શોધવા માટે,અક્ષરોને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવો: $D, G, I, N, O, V$.
$1$. $D$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$2$. $G$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $GD...$: $4! = 24$.
- $GI...$: $4! = 24$.
- $GN...$: $4! = 24$.
- $GO...$: પછીનો અક્ષર $D$ છે (મૂળાક્ષર ક્રમ મુજબ).
- $GOD...$: $3! = 6$.
- $GOI...$: $3! = 6$.
- $GON...$: $3! = 6$.
- $GOV...$: પછીનો અક્ષર $D$ છે.
- $GOVD...$: $2! = 2$.
- $GOVI...$: પછીનો અક્ષર $D$ છે.
- $GOVIDN$: $1$.
- $GOVIND$: $1$.
'$GOVIND$' નો ક્રમ = $120 + (24 \times 3) + (6 \times 3) + 2 + 1 + 1 = 120 + 72 + 18 + 4 = 214$.
'$GOVIND$' પછી આવતા શબ્દોની સંખ્યા = $720 - 214 = 506$.

(B) $REPEAT$ શબ્દના અક્ષરો $\{A, E, E, P, R, T\}$ છે.
તેમને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, E, E, P, R, T$ મળે છે.
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!} = 60$.
$2$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$3$. $P$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!} = 60$.
$4$. $RA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{2!} = 12$.
$5$. $REA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$6$. $REE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$7$. $REPA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $2! = 2$.
$8$. પછીનો શબ્દ $REPEAT$ છે: $1$.
સરવાળો: $60 + 120 + 60 + 12 + 6 + 6 + 2 + 1 = 267$.
આમ,$REPEAT$ શબ્દનો ક્રમ $267$ છે.

(C) $SARANAM$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, A, A, S, R, N, M$. ભિન્ન અક્ષરો $\{A, S, R, N, M\}$ છે.
$5$-અક્ષરી શબ્દો બનાવવા માટેના કિસ્સાઓ:
$(i)$ બધા $5$ અક્ષરો ભિન્ન હોય ($S, A, R, N, M$ નો ઉપયોગ કરીને):
શબ્દોની સંખ્યા $= 5! = 120$.
(ii) $2$ અક્ષરો સમાન $(A)$ અને $3$ અક્ષરો ભિન્ન હોય:
બાકીના $4$ અક્ષરો $\{S, R, N, M\}$ માંથી $3$ અક્ષરો પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^4C_3$. ગોઠવણી $= \frac{5!}{2!} = 60$.
કુલ શબ્દો $= ^4C_3 \times 60 = 4 \times 60 = 240$.
(iii) $3$ અક્ષરો સમાન $(A)$ અને $2$ અક્ષરો ભિન્ન હોય:
બાકીના $4$ અક્ષરો $\{S, R, N, M\}$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^4C_2$. ગોઠવણી $= \frac{5!}{3!} = 20$.
કુલ શબ્દો $= ^4C_2 \times 20 = 6 \times 20 = 120$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 120 + 240 + 120 = 480$.

(A) અંકો $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ છે. તેમને ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $6, 5, 4, 3, 2$.
કુલ શક્ય ક્રમચયો = $5! = 120$.
આપણે ઉતરતા ક્રમમાં $89$ મી સંખ્યા શોધવી છે.
$6$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $4! = 24$ (ક્રમ $1$ થી $24$).
$5$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $4! = 24$ (ક્રમ $25$ થી $48$).
$4$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $4! = 24$ (ક્રમ $49$ થી $72$).
$36$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $3! = 6$ (ક્રમ $73$ થી $78$).
$35$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $3! = 6$ (ક્રમ $79$ થી $84$).
$346$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $2! = 2$ (ક્રમ $85$ થી $86$).
$345$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $2! = 2$ (ક્રમ $87$ થી $88$).
$89$ મી સંખ્યા $34265$ છે અને $90$ મી સંખ્યા $34256$ છે.
આમ,$89$ મી સંખ્યા $34265$ છે.

(A) જો કોઈ સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
ધારો કે ચાર અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4$ છે.
પ્રથમ ત્રણ અંકો $(d_1, d_2, d_3)$ માટે $9$ વિકલ્પો છે,જે ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ છે.
પ્રથમ ત્રણ અંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $9 \times 9 \times 9 = 729$ છે.
ધારો કે પ્રથમ ત્રણ અંકોનો સરવાળો $S = d_1 + d_2 + d_3$ છે.
આખી સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે,$S + d_4$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$S$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,આપણે $d_4 \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ માટે એવી કિંમતો શોધીએ છીએ કે જેથી $S + d_4 \equiv 0 \pmod{3}$ થાય.
જો $S \equiv 0 \pmod{3}$ હોય,તો $d_4 \in {3, 6, 9}$ ($3$ વિકલ્પો).
જો $S \equiv 1 \pmod{3}$ હોય,તો $d_4 \in {2, 5, 8}$ ($3$ વિકલ્પો).
જો $S \equiv 2 \pmod{3}$ હોય,તો $d_4 \in {1, 4, 7}$ ($3$ વિકલ્પો).
બધા કિસ્સાઓમાં,$d_4$ માટે બરાબર $3$ વિકલ્પો છે.
તેથી,આવી ચાર અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $729 \times 3 = 2187$ છે.

(C) $BANANA$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $A, A, A, B, N, N$.
કુલ ગોઠવણીઓ $= \frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$.
બંને $N$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે,આપણે કુલ ગોઠવણીઓમાંથી બંને $N$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ બાદ કરીશું.
બંને $N$ ને એક એકમ $(NN)$ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $A, A, A, B, (NN)$.
$N$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ $= \frac{5!}{3!1!1!} = \frac{120}{6} = 20$.
બંને $N$ સાથે ન આવે તેવી રીતોની સંખ્યા $= 60 - 20 = 40$.

(B) પાંચ અંકની સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તેનો એકમનો અંક $0$ અથવા $5$ હોય.
કિસ્સો $I$: જ્યારે એકમના સ્થાને $0$ હોય,ત્યારે બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $5$ અંકો $(1, 2, 3, 4, 5)$ વડે $^5P_4 = 120$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $II$: જ્યારે એકમના સ્થાને $5$ હોય,ત્યારે પ્રથમ સ્થાન (દસ હજારનું સ્થાન) $0$ હોઈ શકે નહીં. તેથી,પ્રથમ સ્થાન $4$ અંકો $(1, 2, 3, 4)$ માંથી કોઈ પણ એક વડે ભરી શકાય. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો ($0$ સહિત) વડે $^4P_3$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $II$ માટે કુલ રીતો $= 4 \times ^4P_3 = 4 \times 24 = 96$.
કુલ સંખ્યા $= 120 + 96 = 216$.

(C) $8$ અલગ-અલગ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા $4$ અક્ષરના શબ્દોની કુલ સંખ્યા (પુનરાવર્તનની છૂટ સાથે) $8^{4}$ છે.
કોઈપણ પુનરાવર્તન વગર $8$ અલગ-અલગ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા $4$ અક્ષરના શબ્દોની સંખ્યા ${}^{8}P_{4}$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થતો હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા = કુલ શબ્દો - કોઈ પણ અક્ષર પુનરાવર્તિત ન થતો હોય તેવા શબ્દો.
તેથી,જરૂરી શબ્દોની સંખ્યા $8^{4} - {}^{8}P_{4}$ છે.

(A) $1000$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1$-અંકની,$2$-અંકની અથવા $3$-અંકની હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: $1$-અંકની સંખ્યાઓ: અંકો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ હોઈ શકે. કુલ $= 9$.
કિસ્સો $2$: $2$-અંકની સંખ્યાઓ: દશકનું સ્થાન $9$ રીતે ભરી શકાય ($0$ સિવાય) અને એકમનું સ્થાન $9$ રીતે ભરી શકાય ($0$ સહિત પણ દશકના અંક સિવાય). કુલ $= 9 \times 9 = 81$.
કિસ્સો $3$: $3$-અંકની સંખ્યાઓ: સોનું સ્થાન $9$ રીતે ભરી શકાય ($0$ સિવાય),દશકનું સ્થાન $9$ રીતે ($0$ સહિત પણ સોના અંક સિવાય),અને એકમનું સ્થાન $8$ રીતે (સો અને દશકના અંક સિવાય). કુલ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$.
કુલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $= 9 + 81 + 648 = 738$.

(D) કુલ $10$ વક્તાઓ છે. $10$ વક્તાઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $10!$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,$S_1$ અને $S_2$ ના સાપેક્ષ ક્રમ માટે બે શક્યતાઓ છે: કાં તો $S_1$ એ $S_2$ પહેલાં બોલે છે,અથવા $S_2$ એ $S_1$ પહેલાં બોલે છે.
શરત એ છે કે $S_1$ એ ફક્ત $S_2$ પછી જ સંબોધન કરવું જોઈએ,તેથી આપણે ફક્ત તે જ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં $S_2$ એ $S_1$ ની પહેલાં આવે છે.
સમાનતા દ્વારા,કુલ ગોઠવણીમાંથી અડધી ગોઠવણી આ શરતને સંતોષે છે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $\frac{10!}{2}$ છે.

(C) $5$ અંકની સંખ્યા $0$ થી શરૂ થઈ શકે નહીં.
$5$ ભિન્ન અંકોની કુલ ગોઠવણી $^5P_5 = 5! = 120$ છે.
$0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ બાકીના $4$ અંકોને છેલ્લા $4$ સ્થાનો પર ગોઠવીને મળે છે,જે $^4P_4 = 4! = 24$ છે.
તેથી,$5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $120 - 24 = 96$ છે.

(D) $DAUGHTER$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $D, A, U, G, H, T, E, R$.
તેમાં $3$ સ્વર $(A, U, E)$ અને $5$ વ્યંજન $(D, G, H, T, R)$ છે.
આપણે $3$ માંથી $2$ સ્વર અને $5$ માંથી $3$ વ્યંજન પસંદ કરવાના છે.
અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^3C_2 \times ^5C_3 = 3 \times 10 = 30$ છે.
દરેક પસંદગીમાં $5$ અક્ષરો હોય છે,જેને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$5! = 120$.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $30 \times 120 = 3600$ થાય.

(C) $6$ અલગ-અલગ ગ્રીટિંગ કાર્ડ્સમાંથી દરેક કાર્ડ $4$ વ્યક્તિઓમાંથી કોઈને પણ મોકલી શકાય છે.
દરેક કાર્ડ માટે $4$ વિકલ્પો હોવાથી,કાર્ડ મોકલવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^6$ થશે.
$4^6 = 4096$.

(B) આપેલ છે કે લોકમાં $3$ રિંગ્સ છે અને દરેક રિંગમાં $8$ અંકો છે.
દરેક રિંગને $8$ અંકોમાંથી કોઈપણ એક પર સ્વતંત્ર રીતે સેટ કરી શકાય છે.
તેથી,$3$ રિંગ્સને ફેરવી શકાય તેવી કુલ અલગ-અલગ રીતોની સંખ્યા $8 \times 8 \times 8 = 8^3$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપણી પાસે $m$ હરોળ અને $n$ સ્તંભો છે,જે કુલ $mn$ ખુરશીઓ બનાવે છે.
આપણે $m$ વિદ્યાર્થીઓને એવી રીતે બેસાડવાના છે કે કોઈ પણ હરોળ ખાલી ન રહે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક $m$ હરોળમાં બરાબર એક વિદ્યાર્થી હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે દરેક $m$ હરોળમાં $n$ ઉપલબ્ધ ખુરશીઓમાંથી એક ખુરશી પસંદ કરીએ છીએ. દરેક $m$ હરોળ માટે $n$ વિકલ્પો હોવાથી,ખુરશીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $n \times n \times \dots \times n$ ($m$ વખત) $= n^m$ છે.
ત્યારબાદ,$m$ વિદ્યાર્થીઓને આ પસંદ કરેલી $m$ ખુરશીઓમાં $m!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $n^m \times m!$ છે.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $5 + 4 = 9$.
કુલ ગોઠવણીઓ = $9!$.
$\alpha$ શોધવા માટે (જ્યાં એક ચોક્કસ પુરુષ અને એક ચોક્કસ સ્ત્રી સાથે હોય),તેમને એક એકમ તરીકે ગણો.
હવે આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $8$ એકમો છે,જે $8!$ રીતે કરી શકાય છે.
એકમની અંદર,પુરુષ અને સ્ત્રી $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,$\alpha = 8! \times 2!$.
$\beta$ શોધવા માટે (જ્યાં તેઓ સાથે ન હોય),કુલ ગોઠવણીમાંથી $\alpha$ બાદ કરો:
$\beta = 9! - (8! \times 2!) = 9 \times 8! - 2 \times 8! = 7 \times 8!$.
હવે,$\alpha: \beta = (8! \times 2) : (7 \times 8!) = 2 : 7$.

(C) આપણી પાસે $3$ પુરુષો અને $3$ સ્ત્રીઓ છે જેને $6$ બેઠકોમાં ગોઠવવાના છે.
પ્રથમ અને છેલ્લી બેઠક પુરુષો દ્વારા ભરાવી જોઈએ.
પગલું $1$: પ્રથમ અને છેલ્લી બેઠક માટે $3$ માંથી $2$ પુરુષો પસંદ કરીને તેમને ગોઠવવાની રીતો $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ છે.
પગલું $2$: બાકીના $4$ વ્યક્તિઓ ($1$ પુરુષ અને $3$ સ્ત્રીઓ) બાકીની $4$ વચ્ચેની બેઠકોમાં $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 6 \times 24 = 144$.

(C) $ARRANGEMENT$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A(2), R(2), N(2), E(2), G(1), M(1), T(1)$.
કુલ ગોઠવણીઓ $= \frac{11!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{11!}{16}$.
બે $E$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે,આપણે કુલ ગોઠવણીમાંથી બે $E$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણીઓ બાદ કરીશું.
બે $E$ ને એક એકમ $(EE)$ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $10$ વસ્તુઓ છે: $A(2), R(2), N(2), G(1), M(1), T(1), (EE)(1)$.
$E$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{10!}{8}$.
$E$ સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{11!}{16} - \frac{10!}{8} = \frac{11 \cdot 10!}{16} - \frac{2 \cdot 10!}{16} = \frac{9 \cdot 10!}{16} = \frac{9}{16}(10!)$.

(B) $VOWEL$ શબ્દમાં $5$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $V, O, W, E, L$.
તેમાં $2$ સ્વરો છે: $O$ અને $E$.
સ્વરો હંમેશા સાથે રહેવા જોઈએ,તેથી આપણે $(OE)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ.
હવે,આપણી પાસે $4$ એકમો છે: $V, W, L, (OE)$.
આ $4$ એકમોને $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$(OE)$ એકમની અંદરના $2$ સ્વરોને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $24 \times 2 = 48$ છે.

(A) $8$-અંકી સંખ્યા $8$ સ્થાન દ્વારા બને છે.
સંખ્યા એકી હોવા માટે,છેલ્લો અંક (એકમનો અંક) $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ માંથી એક હોવો જોઈએ,જે $5$ વિકલ્પો આપે છે.
પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં,તેથી તેની પાસે $9$ વિકલ્પો છે $(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\})$.
બાકીના $6$ સ્થાનો ($2$ થી $7$ અંક સુધી) દરેક $10$ અંકોમાંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે $(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\})$,જે $10^6$ રીતો આપે છે.
તેથી,$8$-અંકી એકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $9 \times 10^6 \times 5 = 45 \times 10^6$ છે.

(A) ચાર અંકની સંખ્યામાં ચાર સ્થાન હોય છે: $ABCD$.
આપેલ છે કે પ્રથમ અંક $A$ એ $4$ તરીકે નિશ્ચિત છે,તેથી આ સ્થાન ભરવા માટે માત્ર $1$ રીત છે.
છેલ્લો અંક $D$ એ $0$ અથવા $5$ હોઈ શકે છે,તેથી આ સ્થાન ભરવા માટે $2$ રીતો છે.
બીજો અંક $B$ એ $0$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે છે,તેથી $10$ રીતો છે.
ત્રીજો અંક $C$ એ $0$ થી $9$ સુધીનો કોઈપણ અંક હોઈ શકે છે,તેથી $10$ રીતો છે.
તેથી,આવી ચાર અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $1 \times 10 \times 10 \times 2 = 200$ છે.

(D) $KANGAROO$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $K, A, N, G, A, R, O, O$. જેમાં $A$ બે વાર અને $O$ બે વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$.
$A$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે કુલ ગોઠવણીમાંથી $A$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી બાદ કરીશું.
બે $A$ ને એક એકમ $(AA)$ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $7$ એકમો છે: $(AA), K, N, G, R, O, O$.
$A$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$.
તેથી,જરૂરી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= 10080 - 2520 = 7560$.

(C) $500$ થી નાની અંકોનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે $1, 2$ અને $3$ અંકની સંખ્યાઓને અલગથી ગણીશું.
$1$. $1$ અંકની સંખ્યાઓ: શક્ય સંખ્યાઓ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ છે. કુલ = $9$.
$2$. $2$ અંકની સંખ્યાઓ: પ્રથમ અંક $9$ અંકોમાંથી $(1-9)$ કોઈ પણ હોઈ શકે અને બીજો અંક બાકીના $9$ અંકોમાંથી ($0$ સહિત) કોઈ પણ હોઈ શકે. કુલ = $9 \times 9 = 81$.
$3$. $500$ થી નાની $3$ અંકની સંખ્યાઓ: સોના સ્થાન પર $1, 2, 3$ અથવા $4$ આવી શકે ($4$ રીતે). દશકના સ્થાન પર બાકીના $9$ અંકોમાંથી કોઈ પણ અને એકમના સ્થાન પર બાકીના $8$ અંકોમાંથી કોઈ પણ આવી શકે. કુલ = $4 \times 9 \times 8 = 288$.
કુલ સંખ્યા = $9 + 81 + 288 = 378$.

(B) "$ASSASSINATION$" શબ્દમાં કુલ $13$ અક્ષરો છે: $3$ $A$,$4$ $S$,$2$ $I$,$2$ $N$,$1$ $T$,અને $1$ $O$.
બધા $4$ $S$ ને સાથે રાખવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ,ધારો કે $Z$.
હવે,આપણી પાસે $10$ વસ્તુઓ છે: $A, A, A, I, I, N, N, T, O, Z$.
અહીં $A$ $3$ વાર,$I$ $2$ વાર અને $N$ $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,ગોઠવણીની કુલ રીતો $\frac{10!}{3! 2! 2!}$ છે.

(A) $10$ અને $10000$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ $2$-અંકી,$3$-અંકી અથવા $4$-અંકી હોઈ શકે છે.
$5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને $2$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની રીતો: $5 \times 4 = 20$.
$5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને $3$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની રીતો: $5 \times 4 \times 3 = 60$.
$5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને $4$-અંકી સંખ્યા બનાવવાની રીતો: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.
કુલ સંખ્યાઓ = $20 + 60 + 120 = 200$.

(B) $9$ પેપરોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $9!$ છે.
શ્રેષ્ઠ અને સૌથી ખરાબ પેપર સાથે હોય તેવી રીતો શોધવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
આમ કરવાથી આપણી પાસે $8$ એકમો બાકી રહે છે (સંયુક્ત જોડી અને અન્ય $7$ પેપરો),જેને $8!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
શ્રેષ્ઠ અને સૌથી ખરાબ પેપર તેમના એકમમાં $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે હોય તેવી કુલ રીતો $= 2! \times 8!$ છે.
તેઓ ક્યારેય સાથે ન હોય તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીમાંથી તેઓ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી બાદ કરવાથી મળે: $9! - 2! \times 8!$.

(A) શબ્દ $MAXIMA$ છે. કુલ અક્ષરો $= 6$.
સ્વરો $\{A, I, A\}$ છે (કુલ $3$,જેમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
વ્યંજનો $\{M, X, M\}$ છે (કુલ $3$,જેમાં $M$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
બધા સ્વરોને સાથે ગોઠવવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
બધા વ્યંજનોને સાથે ગોઠવવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
આ બે જૂથો (એક સ્વરોનું અને એક વ્યંજનોનું) હોવાથી,આ બે જૂથોને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 2! \times \left(\frac{3!}{2!}\right) \times \left(\frac{3!}{2!}\right) = 2 \times 3 \times 3 = 18$.

(B) '$MOBILE$' શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $M, O, B, I, L, E$.
વ્યંજનો $M, B, L$ છે (કુલ $3$).
સ્વરો $O, I, E$ છે (કુલ $3$).
કુલ $6$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
એકી સ્થાનો $1, 3, 5$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
આપણે $3$ વ્યંજનોને $3$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે,જે $3!$ રીતે કરી શકાય.
બાકીના $3$ સ્વરોને બાકીના $3$ બેકી સ્થાનો $(2, 4, 6)$ પર $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
શબ્દોની કુલ સંખ્યા $= 3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$.

(D) આપેલા અક્ષરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં $A, H, L, R, U$ છે.
કુલ અક્ષરોની સંખ્યા $5$ છે.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$ શબ્દો.
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$ શબ્દો.
$L$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$ શબ્દો.
હવે,$R$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$RA$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$RAH...$: $RAHLU, RAHUL$ ($2$ શબ્દો).
તેથી,$RAHUL$ નો ક્રમ $24 + 24 + 24 + 2 = 74$ છે.
આમ,$RAHUL$ નો ક્રમ $74$ છે.

(D) પ્રથમ,$6$ લાલ દડાને હરોળમાં ગોઠવો. $6$ લાલ દડાને ગોઠવવાની રીતો $6!$ છે.
હવે,$6$ કાળા દડાને ગોઠવવા માટે $7$ જગ્યાઓ ઉપલબ્ધ છે જેથી કોઈ પણ બે કાળા દડા સાથે ન આવે: $\_ R \_ R \_ R \_ R \_ R \_ R \_$.
તેથી,$6$ કાળા દડાને ગોઠવવાની રીતો $\binom{7}{6} \times 6!$ છે.
તેથી,જરૂરી ગોઠવણીઓની કુલ સંખ્યા $= 6! \times 7 \times 6! = 7 \times 6! \times 6!$.

(C) "$ATTAIN$" શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $A, T, T, A, I, N$.
$T$ સાથે રહે તે માટે,આપણે $(TT)$ ની જોડીને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,ગોઠવવાના અક્ષરો $(TT), A, A, I, N$ છે.
આમ આપણી પાસે કુલ $5$ એકમો છે.
આ $5$ એકમોમાં,$A$ અક્ષર $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
આ $5$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ છે.
બે $T$ સમાન હોવાથી,તેમના બ્લોકની અંદર તેમને ગોઠવવાની માત્ર $1$ રીત છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $60 \times 1 = 60$ છે.

(C) $COMBINATION$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $C, O, M, B, I, N, A, T, I, O, N$.
સ્વરો $O, I, A, I, O$ છે (કુલ $5$ સ્વરો).
વ્યંજનો $C, M, B, N, N$ છે (કુલ $6$ વ્યંજનો).
સ્વરો હંમેશા સાથે હોવાથી,આપણે $(O, I, A, I, O)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે $6$ વ્યંજનો + $1$ એકમ = $7$ વસ્તુઓ છે.
આ $7$ વસ્તુઓની ગોઠવણી,જેમાં $N$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે,તે $\frac{7!}{2!} = 2520$ છે.
સ્વર જૂથ $(O, I, A, I, O)$ માં $5$ અક્ષરો છે જેમાં $O$ બે વાર અને $I$ બે વાર આવે છે.
સ્વરોની ગોઠવણી $\frac{5!}{2! \times 2!} = 30$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $2520 \times 30 = 75600$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$LEADING$ શબ્દના અક્ષરોને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવીએ: $A, D, E, G, I, L, N$.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6! = 720$.
$D$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6! = 720$.
$E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6! = 720$.
$A, D, E$ થી શરૂ થતા કુલ શબ્દો $720 + 720 + 720 = 2160 > 2017$ છે.
તેથી,શબ્દ $E$ થી શરૂ થશે. $E$ પહેલાના કુલ શબ્દો $1440$ છે.
હવે,$EA, ED, EG, EI$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4 \times 5! = 480$.
$EI$ સુધીના કુલ શબ્દો: $1440 + 480 = 1920$.
આગળ,$ELA, ELD, ELG$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3 \times 4! = 72$.
$ELG$ સુધીના કુલ શબ્દો: $1920 + 72 = 1992$.
આગળ,$ELI$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$ELI$ સુધીના કુલ શબ્દો: $1992 + 24 = 2016$.
$2017^{\text{th}}$ શબ્દ $ELN$ થી શરૂ થતો પ્રથમ શબ્દ હશે.
$ELN$ પછી બાકી રહેલા અક્ષરો $A, D, G, I$ મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં છે.
આમ,$2017^{\text{th}}$ શબ્દ $ELNADGI$ છે.

(B) $3000$ થી મોટી સંખ્યાઓ બનાવવા માટે આપણે $4, 5$ અને $6$ અંકની સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈશું.
$1$. $4$ અંકની સંખ્યાઓ: પ્રથમ અંક $3, 4$ અથવા $5$ હોઈ શકે ($3$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ સ્થાન $5$ અંકોમાંથી $P(5, 3) = 60$ રીતે ભરી શકાય. કુલ = $3 \times 60 = 180$.
$2$. $5$ અંકની સંખ્યાઓ: પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો). બાકીના $4$ સ્થાન $P(5, 4) = 120$ રીતે ભરી શકાય. કુલ = $5 \times 120 = 600$.
$3$. $6$ અંકની સંખ્યાઓ: પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો). બાકીના $5$ સ્થાન $P(5, 5) = 120$ રીતે ભરી શકાય. કુલ = $5 \times 120 = 600$.
સરવાળો: $180 + 600 + 600 = 1380$.

(A) $CAPITAL$ શબ્દમાં અક્ષરોનો મૂળાક્ષર ક્રમ $A, A, C, I, L, P, T$ છે.
કુલ અક્ષરો = $7$. $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{6!}{1!} = 720$.
$C$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
$CA...$: $4! = 24$.
$CAI...$: $4! = 24$.
$CAL...$: $4! = 24$.
$CAP...$:
$CAPA...$: $3! = 6$.
$CAPI...$:
$CAPIA...$: $2! = 2$.
$CAPIL...$:
$CAPILA...$: $1! = 1$.
$CAPITAL$: $1$.
કુલ ક્રમ = $720 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 1 + 1 = 802$.

(D) પ્રથમ,આપણે $10$ પુરુષોને એક હારમાં ગોઠવીએ છીએ. $10$ પુરુષોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $10!$ છે.
$10$ પુરુષો દ્વારા $11$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $6$ સ્ત્રીઓને એવી રીતે બેસાડી શકાય કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે.
$11$ માંથી $6$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને $6$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^{11}P_6$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 10! \times ^{11}P_6 = 10! \times \frac{11!}{(11-6)!} = \frac{10! 11!}{5!}$.

(C) આપેલા અંકો $0, 1, 2, 3$ છે. આપણે આ અંકોનો વધુમાં વધુ એક વાર ઉપયોગ કરીને ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકો બનાવવાના છે.
કિસ્સો $I$: $4$-અંકી પૂર્ણાંકો.
પ્રથમ સ્થાન $3$ શૂન્યતર અંકો $(1, 2, 3)$ માંથી કોઈપણ એક દ્વારા ભરી શકાય છે. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3 \times 2 \times 1$ રીતે ભરી શકાય છે.
$4$-અંકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $= 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$.
કિસ્સો $II$: $3$-અંકી પૂર્ણાંકો.
પ્રથમ સ્થાન $3$ વિકલ્પો $(1, 2, 3)$ દ્વારા ભરી શકાય છે. બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3 \times 2$ રીતે ભરી શકાય છે.
$3$-અંકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $= 3 \times 3 \times 2 = 18$.
કિસ્સો $III$: $2$-અંકી પૂર્ણાંકો.
પ્રથમ સ્થાન $3$ વિકલ્પો $(1, 2, 3)$ દ્વારા ભરી શકાય છે. બીજું સ્થાન બાકીના $3$ અંકો દ્વારા $3$ રીતે ભરી શકાય છે.
$2$-અંકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $= 3 \times 3 = 9$.
કિસ્સો $IV$: $1$-અંકી પૂર્ણાંકો.
શક્ય પૂર્ણાંકો $1, 2, 3$ છે.
$1$-અંકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $= 3$.
કુલ ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $= 18 + 18 + 9 + 3 = 48$.

(B) દરેક $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને બે અલગ-અલગ પેટીઓમાંથી કોઈ પણ એકમાં મૂકી શકાય છે.
દરેક વસ્તુ માટે $2$ વિકલ્પો હોવાથી,$n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $2$ અલગ-અલગ પેટીઓમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $2 \times 2 \times 2 \times \dots \times 2$ ($n$ વખત) થાય.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $2^n$ છે.

(C) દરેક $5$ દડાને $4$ ડબ્બાઓમાંથી કોઈપણમાં સ્વતંત્ર રીતે મૂકી શકાય છે.
દરેક દડા માટે $4$ વિકલ્પો હોવાથી,$5$ દડાને $4$ ડબ્બાઓમાં મૂકવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ છે.

(B) જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. ઉપલબ્ધ અંકો ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ છે.
$4$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી બે અંકની શક્ય જોડીઓ (દશક,એકમ): $12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64, 72, 76$.
આવી કુલ $10$ જોડીઓ છે.
દરેક જોડી માટે,બાકીના $5$ અંકોમાંથી બાકીના $2$ સ્થાનો (હજાર અને સો) ભરવાના છે.
બાકીના $2$ સ્થાનો ભરવાની રીતોની સંખ્યા $P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ છે.
કુલ સંખ્યા $= 10 \times 20 = 200$.