Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Gujarati

(C) $5$ અંકની સંખ્યા $5$ સ્થાનો દ્વારા બને છે: દસ હજાર,હજાર,સો,દશક અને એકમનું સ્થાન.
દસ હજારના સ્થાનને $1$ થી $9$ સુધીના કોઈપણ અંક દ્વારા ભરી શકાય છે (કારણ કે તે $0$ ન હોઈ શકે),જે $9$ વિકલ્પો આપે છે.
બાકીના $4$ સ્થાનો (હજાર,સો,દશક અને એકમ) ને $0$ થી $9$ સુધીના કોઈપણ અંક દ્વારા ભરી શકાય છે,જે દરેક સ્થાન માટે $10$ વિકલ્પો આપે છે.
$5$ અંકની કુલ સંખ્યા $= 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90000$.

(B) $1, 2, 3, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર સંખ્યાઓ બનાવવા માટે,આપણે $1, 2, 3$ અથવા $4$ લંબાઈની સંખ્યાઓ બનાવી શકીએ છીએ.
$1$ લંબાઈની સંખ્યા માટે,રીતોની સંખ્યા $^4P_1$ છે.
$2$ લંબાઈની સંખ્યા માટે,રીતોની સંખ્યા $^4P_2$ છે.
$3$ લંબાઈની સંખ્યા માટે,રીતોની સંખ્યા $^4P_3$ છે.
$4$ લંબાઈની સંખ્યા માટે,રીતોની સંખ્યા $^4P_4$ છે.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓનો સરવાળો $^4P_1 + ^4P_2 + ^4P_3 + ^4P_4$ થશે.

(D) $4$ અંકની અયુગ્મ સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમનો અંક અયુગ્મ હોવો જોઈએ. ઉપલબ્ધ અયુગ્મ અંકો $1, 3, 5, 7$ છે. તેથી,એકમનો અંક $4$ રીતે ભરી શકાય.
હજારનો અંક $0$ હોઈ શકે નહીં,તેથી તે ${1, 2, 3, 5, 7}$ માંથી કોઈપણ અંક વડે $5$ રીતે ભરી શકાય.
શતકનો અંક $6$ અંકો ${0, 1, 2, 3, 5, 7}$ માંથી કોઈપણ રીતે $6$ રીતે ભરી શકાય.
દશકનો અંક પણ $6$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $4$ અંકની અયુગ્મ સંખ્યાઓ $= 5 \times 6 \times 6 \times 4 = 720$.

(A) $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $4$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ (જ્યાં પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે) $= 7 \times 8 \times 8 \times 8 = 3584$.
$1$ અંકનો ઉપયોગ કર્યા વગર બનતી $4$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ (અંકો ${0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ નો ઉપયોગ કરીને) $= 6 \times 7 \times 7 \times 7 = 2058$.
ઓછામાં ઓછો એક અંક $1$ હોય તેવી $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 3584 - 2058 = 1526$.

(B) આપેલ અંકો $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4$ છે. અહીં $4$ અયુગ્મ અંકો $(1, 1, 3, 3)$ અને $3$ યુગ્મ અંકો $(2, 2, 4)$ છે.
કુલ $7$ સ્થાનો છે. અયુગ્મ સ્થાનો $1, 3, 5$ અને $7$ છે (કુલ $4$ સ્થાનો).
આ $4$ અયુગ્મ અંકોને $4$ અયુગ્મ સ્થાનો પર $\frac{4!}{2! \times 2!} = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
બાકીના $3$ યુગ્મ અંકો $(2, 2, 4)$ ને બાકીના $3$ સ્થાનો પર $\frac{3!}{2!} = 3$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓ $= 6 \times 3 = 18$ થાય.

(D) $MOTHER$ શબ્દના અક્ષરોને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવતા: $E, H, M, O, R, T$.
$E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$
$ME$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$MH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$
$MOE$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$MOH$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$MOR$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$
$MOTE...$ ક્રમમાં: $1$
$MOTHER$ શબ્દનો ક્રમ: $120 + 120 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 309$.

(B) $DHOLPUR$ શબ્દમાં $7$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $D, H, O, L, P, U, R$.
જો $L$ અને $P$ ને બાકાત રાખવામાં આવે,તો આપણી પાસે $7 - 2 = 5$ ભિન્ન અક્ષરો બાકી રહે છે: $D, H, O, U, R$.
આ $5$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને $4$ ભિન્ન અક્ષરોવાળા શબ્દો બનાવવાના છે.
$n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓની ગોઠવણી કરવાની રીતોની સંખ્યા $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 5$ અને $r = 4$.
શબ્દોની સંખ્યા = $^5P_4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{120}{1} = 120$.

(B) '$ARTICLE$' શબ્દમાં $7$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $A, R, T, I, C, L, E$.
તેમાં $3$ સ્વરો $(A, I, E)$ અને $4$ વ્યંજનો $(R, T, C, L)$ છે.
કુલ $7$ સ્થાનો છે. અયુગ્મ સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ (કુલ $4$ સ્થાનો) છે અને યુગ્મ સ્થાનો $2, 4, 6$ (કુલ $3$ સ્થાનો) છે.
$3$ સ્વરો અયુગ્મ સ્થાનો પર હોવા જોઈએ,તેથી $4$ અયુગ્મ સ્થાનોમાંથી $3$ પસંદ કરીને ગોઠવવાની રીતો $^4P_3$ છે.
$^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
બાકીના $4$ વ્યંજનો બાકીના $4$ સ્થાનોમાં $^4P_4$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$^4P_4 = 4! = 24$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $^4P_3 \times ^4P_4 = 24 \times 24 = 576$.

(B) $1000$ થી મોટી અને $4000$ થી નાની અથવા તેના જેટલી સંખ્યાઓ $4$ અંકની હશે.
પ્રથમ સ્થાન $d_1$ માટે $1, 2, 3$ અથવા $4$ પસંદ કરી શકાય.
જો $d_1 \in \{1, 2, 3\}$ હોય,તો બાકીના $3$ સ્થાનો માટે $5$ વિકલ્પો છે,એટલે કે $3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375$ સંખ્યાઓ મળે.
આમાં $1000$ નો સમાવેશ થાય છે,જે $1000$ થી મોટી નથી,તેથી $375 - 1 = 374$ સંખ્યાઓ મળે.
જો $d_1 = 4$ હોય,તો $4000$ એ એકમાત્ર સંખ્યા છે જે $4000$ થી મોટી નથી.
કુલ સંખ્યાઓ = $374 + 1 = 375$.

(A) ગ્રામવાસી $5$ રસ્તાઓમાંથી કોઈ પણ એક રસ્તે શહેરમાં પહોંચી શકે છે.
શહેરમાં પહોંચ્યા પછી,તે $5$ રસ્તાઓમાંથી કોઈ પણ એક રસ્તે ગામમાં પાછો ફરી શકે છે.
તેથી,કુલ પસંદગીના પ્રકાર $5 \times 5 = 25$ છે.

(B) $1000$ થી નાની સંખ્યાઓ $1$-અંકી,$2$-અંકી અથવા $3$-અંકી હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: ${0, 1, 2, 4, 5}$ નો ઉપયોગ કરીને $1$-અંકી સંખ્યાઓ. $0$ ને સામાન્ય રીતે $1$-અંકી સંખ્યા ગણવામાં આવતી નથી,તેથી $4$ વિકલ્પો $(1, 2, 4, 5)$ મળે.
કિસ્સો $2$: $2$-અંકી સંખ્યાઓ. પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં ($4$ વિકલ્પો: $1, 2, 4, 5$). બીજો અંક બાકીના $4$ અંકોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે. કુલ = $4 \times 4 = 16$.
કિસ્સો $3$: $3$-અંકી સંખ્યાઓ. પ્રથમ અંક $0$ હોઈ શકે નહીં ($4$ વિકલ્પો). બીજો અંક બાકીના $4$ અંકોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે. ત્રીજો અંક બાકીના $3$ અંકોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે. કુલ = $4 \times 4 \times 3 = 48$.
કુલ સંખ્યા = $4 + 16 + 48 = 68$.

(B) કોઈપણ બે સ્ટેશન વચ્ચે મુસાફરી કરવા માટે,એક ટિકિટ ચોક્કસ પ્રારંભિક સ્ટેશન અને ચોક્કસ ગંતવ્ય સ્ટેશન માટે હોવી જોઈએ.
અહીં $15$ સ્ટેશન હોવાથી,પ્રારંભિક સ્ટેશન અને ગંતવ્ય સ્ટેશન પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^{n}P_{r}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 15$ અને $r = 2$.
કુલ ટિકિટોની સંખ્યા = $^{15}P_{2} = \frac{15!}{(15-2)!} = 15 \times 14 = 210$.
આમ,$210$ વિવિધ પ્રકારની ટિકિટોની જરૂર પડશે.

(B) $BHARAT$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે,જેમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $= \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
$B$ અને $H$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે $(BH)$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ.
હવે,આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $(BH), A, R, A, T$.
આ $5$ એકમોની ગોઠવણી,જેમાં $A$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે,તે $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ છે.
$B$ અને $H$ પોતાની વચ્ચે $2! = 2$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે,તેથી $B$ અને $H$ સાથે હોય તેવી કુલ ગોઠવણીઓ $60 \times 2 = 120$ છે.
તેથી,$B$ અને $H$ ક્યારેય સાથે ન હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા $= \text{કુલ ગોઠવણીઓ} - B \text{ અને } H \text{ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ}$.
$= 360 - 120 = 240$.

(C) $SALOON$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે,જેમાં $O$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા = $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
બે $O$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે,બે $O$ ને એક એકમ $(OO)$ તરીકે ગણો.
હવે,આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $S, A, L, N, (OO)$.
બે $O$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા = $5! = 120$.
તેથી,બે $O$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા = $360 - 120 = 240$.

(A) ગણિત માટે પ્રથમ અને દ્વિતીય ઈનામ $20 \times 19$ રીતે આપી શકાય.
ભૌતિકશાસ્ત્ર માટે પ્રથમ અને દ્વિતીય ઈનામ $20 \times 19$ રીતે આપી શકાય.
રસાયણશાસ્ત્ર માટે પ્રથમ ઈનામ $20$ રીતે આપી શકાય.
અંગ્રેજી માટે પ્રથમ ઈનામ $20$ રીતે આપી શકાય.
દરેક ઈનામ સ્વતંત્ર હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $20 \times 19 \times 20 \times 19 \times 20 \times 20 = 20^4 \times 19^2$ થાય.

(A) $ARRANGE$ શબ્દમાં કુલ $7$ અક્ષરો છે.
અક્ષરોની આવૃત્તિ આ મુજબ છે: $A = 2$,$R = 2$,$N = 1$,$G = 1$,$E = 1$.
બનાવી શકાય તેવા ભિન્ન શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} = \frac{7!}{2! 2! 1! 1! 1!} = \frac{5040}{2 \times 2} = \frac{5040}{4} = 1260$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $7 \cdot ^nP_3 = 20 \cdot ^{n+1}P_2$
સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7 \cdot \frac{n!}{(n-3)!} = 20 \cdot \frac{(n+1)!}{(n-1)!}$
$7 \cdot \frac{n!}{(n-3)!} = 20 \cdot \frac{(n+1)n!}{(n-1)(n-2)(n-3)!}$
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા અને $(n-3)!$ વડે ગુણતા:
$7 = \frac{20(n+1)}{(n-1)(n-2)}$
$7(n^2 - 3n + 2) = 20n + 20$
$7n^2 - 21n + 14 = 20n + 20$
$7n^2 - 41n - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$7n^2 - 42n + n - 6 = 0$
$7n(n - 6) + 1(n - 6) = 0$
$(7n + 1)(n - 6) = 0$
અહીં $n \in \mathbb{N}$ હોવાથી,$n = 6$ મળે.

(A) આપણી પાસે $5$ ગણિત,$4$ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને $2$ રસાયણશાસ્ત્રની ચોપડીઓ છે.
સમાન વિષયની ચોપડીઓ સાથે રહેવી જોઈએ,તેથી આપણે દરેક વિષયના જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
આવા $3$ એકમો છે (ગણિત જૂથ,ભૌતિકશાસ્ત્ર જૂથ અને રસાયણશાસ્ત્ર જૂથ),જેમને તેમની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેમના સંબંધિત જૂથોમાં,$5$ ગણિતની ચોપડીઓને $5!$ રીતે,$4$ ભૌતિકશાસ્ત્રની ચોપડીઓને $4!$ રીતે અને $2$ રસાયણશાસ્ત્રની ચોપડીઓને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $3! \times 5! \times 4! \times 2!$ છે.

(A) $CRICKET$ શબ્દના અક્ષરો $C, C, E, I, K, R, T$ છે. કુલ અક્ષરો $= 7$.
અક્ષરોનો મૂળાક્ષર ક્રમ: $C, E, I, K, R, T$.
ક્રમબદ્ધ ગણતરી કરતા,$CRICKET$ શબ્દ પહેલા આવતા શબ્દોની કુલ સંખ્યા $530$ થાય છે.

(A) દરેક $8$ ભિન્ન રમકડાં $5$ બાળકોમાંથી કોઈપણને આપી શકાય છે.
દરેક રમકડા માટે $5$ વિકલ્પો હોવાથી,રમકડાં વહેંચવાની કુલ રીતો $5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^8$ થાય.

(B) $3, 4, 5$ અને $6$ અંકોનો પુનરાવર્તન સિવાય ઉપયોગ કરીને કુલ $4! = 24$ સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે.
આ $24$ સંખ્યાઓ પૈકી દરેક અંક એકમના સ્થાને સમાન સંખ્યામાં આવે છે.
અહીં $4$ અંકો હોવાથી,દરેક અંક એકમના સ્થાને $24 / 4 = 6$ વખત આવશે.
તેથી,એકમના અંકોનો સરવાળો $6 \times (3 + 4 + 5 + 6) = 6 \times 18 = 108$ થાય.

(B) $6$ પેપરોને ગોઠવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $= 6! = 720$ છે.
શ્રેષ્ઠ અને સૌથી ખરાબ પેપરો સાથે હોય તેવી રીતોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. આનાથી આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $5$ એકમો બાકી રહે છે,જે $5!$ રીતે કરી શકાય છે. એકમની અંદરના બે પેપરોને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેઓ સાથે હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $= 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ છે.
તેઓ ક્યારેય સાથે ન હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $= \text{કુલ રીતો} - \text{સાથે હોય તેવી રીતો} = 720 - 240 = 480$.

(A) $SCHOLAR$ શબ્દમાં $7$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $S, C, H, O, L, A, R$.
આપણે $A$ થી શરૂ થતા અને $S$ પર સમાપ્ત થતા શબ્દો બનાવવાના છે.
પ્રથમ સ્થાને $A$ અને છેલ્લા સ્થાને $S$ ને નિશ્ચિત કરતા,આપણી પાસે વચ્ચેના $5$ સ્થાનો માટે $5$ અક્ષરો $(C, H, O, L, R)$ બાકી રહે છે.
આ $5$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5!$ છે.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
તેથી,આવા $120$ શબ્દો બનાવી શકાય છે.

(C) આપેલ સંખ્યા $223355888$ છે. અંકો: $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$.
કુલ અંક = $9$.
અયુગ્મ અંકો: $3, 3, 5, 5$ (કુલ $4$ અંક).
યુગ્મ અંકો: $2, 2, 8, 8, 8$ (કુલ $5$ અંક).
સ્થાનો: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
યુગ્મ સ્થાનો: $2, 4, 6, 8$ (કુલ $4$ સ્થાન).
અયુગ્મ સ્થાનો: $1, 3, 5, 7, 9$ (કુલ $5$ સ્થાન).
$4$ અયુગ્મ અંકોને $4$ યુગ્મ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો = $\frac{4!}{2!2!} = 6$.
$5$ યુગ્મ અંકોને $5$ અયુગ્મ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો = $\frac{5!}{2!3!} = 10$.
કુલ રીતો = $6 \times 10 = 60$.

(C) $6$ વ્યક્તિઓને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $6! = 720$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,$A, B, C$ અને $D$ ના સાપેક્ષ ક્રમની કુલ શક્યતાઓ $4! = 24$ છે.
આ $24$ શક્યતાઓમાંથી,માત્ર $1$ જ શક્યતા એવી છે જેમાં તેઓ $ABCD$ ક્રમમાં હોય.
તેથી,માંગેલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{6!}{4!} = \frac{720}{24} = 30$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $_{n-1}P_r = \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!}$ અને $_{n-1}P_{r-1} = \frac{(n-1)!}{(n-r)!}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$_{n-1}P_r + r \cdot (_{n-1}P_{r-1}) = \frac{(n-1)!}{(n-r-1)!} + r \cdot \frac{(n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)! \cdot (n-r)}{(n-r)!} + \frac{r \cdot (n-1)!}{(n-r)!}$
$= \frac{(n-1)!}{(n-r)!} \cdot (n - r + r)$
$= \frac{(n-1)! \cdot n}{(n-r)!}$
$= \frac{n!}{(n-r)!} = _nP_r$

(C) $ARRANGE$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, R, R, A, N, G, E$.
અહીં,$A$ બે વાર,$R$ બે વાર અને $N, G, E$ એક-એક વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $\frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260$.
બે $A$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.
પહેલા બાકીના અક્ષરો $R, R, N, G, E$ ને $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ રીતે ગોઠવો.
આ $5$ અક્ષરો $6$ જગ્યાઓ (ગેપ) બનાવે છે: $\_ R \_ R \_ N \_ G \_ E \_$.
આપણે $6$ ગેપમાંથી $2$ ગેપમાં $A$ ને ગોઠવવાના છે. આ માટેની રીતોની સંખ્યા $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ છે.
કુલ ગોઠવણી જેમાં $A$ સાથે ન હોય = $60 \times 15 = 900$.

(D) $MAXIMUM$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $M, A, X, I, M, U, M$.
વ્યંજન $M, X, M, M$ (કુલ $4$) છે અને સ્વર $A, I, U$ (કુલ $3$) છે.
કોઈ પણ બે સ્વર સાથે ન આવે તે માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,વ્યંજનોને ગોઠવો: $M, X, M, M$. આ ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{3!} = 4$ છે.
આ વ્યંજનો દ્વારા $5$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે: $\_ M \_ X \_ M \_ M \_$.
આપણે $5$ જગ્યાઓમાં $3$ સ્વર મૂકવાના છે,જે $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ રીતે કરી શકાય.
કુલ ગોઠવણી = $4 \times 60 = 240$.
આથી સાચો જવાબ 'આપેલ પૈકી એકપણ નહીં' છે.

(A) $10$ વક્તાઓ માટે $10$ સ્થાનો ઉપલબ્ધ છે.
પ્રથમ,આપણે $10$ માંથી $A, B$ અને $C$ માટે $3$ સ્થાનો પસંદ કરીએ છીએ,જે $^{10}C_3$ રીતે કરી શકાય છે.
એકવાર આ $3$ સ્થાનો પસંદ થઈ જાય,પછી $A, B$ અને $C$ ને એવી રીતે ગોઠવવાની માત્ર $1$ જ રીત છે કે જેથી $A$ એ $B$ પહેલા બોલે અને $B$ એ $C$ પહેલા બોલે (એટલે કે,ક્રમ $A, B, C$ હોવો જોઈએ).
બાકીના $7$ વ્યક્તિઓને બાકીના $7$ સ્થાનોમાં $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $^{10}C_3 \times 1 \times 7!$ છે.
કુલ રીતો $= \frac{10!}{3! \times 7!} \times 7! = \frac{10!}{3!} = \frac{10!}{6}$.

(A) $PEACE$ શબ્દમાં $5$ અક્ષરો છે: $P, E, A, C, E$.
આ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ છે.
બંને $E$ એકસાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે બે $E$ ને એક એકમ $(EE)$ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે $4$ એકમો છે: $P, A, C, (EE)$.
આ $4$ એકમોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
માગેલ સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$ છે.

(B) $SMALL$ માં અક્ષરો $A, L, L, M, S$ છે. મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવતા: $A, L, L, M, S$.
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $L, L, M, S$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
$2$. $L$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, L, M, S$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
$3$. $M$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, L, L, S$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
$4$. $SA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $L, L, M$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
$5$. $SL$ થી શરૂ થતા શબ્દો: બાકીના અક્ષરો $A, L, M$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
$6$. ત્યારબાદનો શબ્દ $SMALL$ છે.
કુલ ક્રમ $= 12 + 24 + 12 + 3 + 6 + 1 = 58$.
તેથી,$SMALL$ શબ્દનું સ્થાન $58^{th}$ છે.

(D) પગલું $1$: બે મહિલાઓ $1$ થી $4$ નંબરની ખુરશીઓમાંથી તેમની ખુરશી પસંદ કરે છે. ક્રમ મહત્વનો હોવાથી,રીતોની સંખ્યા $^4{P_2} = 4 \times 3 = 12$ છે.
પગલું $2$: મહિલાઓએ $2$ ખુરશીઓ રોક્યા પછી,$8 - 2 = 6$ ખુરશીઓ બાકી રહે છે.
પગલું $3$: ત્રણ પુરુષો બાકીની $6$ ખુરશીઓમાંથી તેમની ખુરશી પસંદ કરે છે. રીતોની સંખ્યા $^6{P_3} = 6 \times 5 \times 4 = 120$ છે.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $^4{P_2} \times ^6{P_3} = 12 \times 120 = 1440$ છે.
આથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) $4$ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓ $(P, Q, R, S)$ ને ક્રમમાં ગોઠવવાની છે.
$n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતો $n!$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 4$ છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્રમચયનો ઉપયોગ કરીને,રીતોની સંખ્યા $^4P_4 = 24$ છે.

(C) $3000$ થી મોટી સંખ્યાઓ શોધવા માટે આપણે $4, 5$ અને $6$ અંકની સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈશું.
$1$. $3000$ થી મોટી $4$ અંકની સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $3, 4$ અથવા $5$ હોઈ શકે ($3$ વિકલ્પો).
બાકીના $3$ સ્થાન બાકીના $5$ અંકો દ્વારા $^5P_3 = 60$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 3 \times 60 = 180$.
$2$. $5$ અંકની સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો: $1, 2, 3, 4, 5$).
બાકીના $4$ સ્થાન બાકીના $5$ અંકો દ્વારા $^5P_4 = 120$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $5$ અંકની સંખ્યાઓ $= 5 \times 120 = 600$.
$3$. $6$ અંકની સંખ્યાઓ:
પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે ($5$ વિકલ્પો: $1, 2, 3, 4, 5$).
બાકીના $5$ સ્થાન બાકીના $5$ અંકો દ્વારા $5! = 120$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $6$ અંકની સંખ્યાઓ $= 5 \times 120 = 600$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 180 + 600 + 600 = 1380$.

(D) $INSURANCE$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $I, N, S, U, R, A, N, C, E$.
સ્વરો $I, U, A, E$ છે ($4$ સ્વરો).
વ્યંજનો $N, S, R, N, C$ છે ($5$ વ્યંજનો).
બધા સ્વરો સાથે હોવાથી,આપણે $(I, U, A, E)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે $(IUAE)$ એકમ અને $5$ વ્યંજનો $(N, S, R, N, C)$ છે,જે કુલ $6$ એકમો બનાવે છે.
આ $6$ એકમોને $\frac{6!}{2!}$ રીતે ગોઠવી શકાય છે (કારણ કે $N$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
સ્વર એકમની અંદર,$4$ સ્વરોને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $\frac{6!}{2!} \times 4! = 360 \times 24 = 8640$.
આથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) દરેક લેમ્પ માટે $2$ શક્યતાઓ છે: તે કાં તો ચાલુ હોઈ શકે અથવા બંધ હોઈ શકે.
$10$ લેમ્પ હોવાથી,તેમને ચાલુ કરવાની કુલ રીતો $2 \times 2 \times \dots \times 2$ ($10$ વખત) છે,જે $2^{10} = 1024$ થાય છે.
જોકે,હોલ ત્યારે જ પ્રકાશિત થાય જો ઓછામાં ઓછો એક લેમ્પ ચાલુ હોય.
તેથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરવો પડશે જેમાં બધા લેમ્પ બંધ હોય.
હોલને પ્રકાશિત કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$ છે.

(A) $KRISNA$ શબ્દના અક્ષરો $A, I, K, N, R, S$ છે. કુલ અક્ષરો = $6$.
મૂળાક્ષર ક્રમ: $A, I, K, N, R, S$.
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$2$. $I$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$3$. $K$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $KA$: $4! = 24$.
- $KI$: $4! = 24$.
- $KN$: $4! = 24$.
- $KR$:
- $KRA$: $3! = 6$.
- $KRI$:
- $KRIA$: $2! = 2$.
- $KRIN$: $2! = 2$.
- $KRIS$:
- $KRISA$: $1! = 1$.
- $KRISN$:
- $KRISNA$: $1! = 1$.
કુલ ક્રમ = $120 + 120 + 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 324$.

(A) કુલ $6$ ઇનામો છે: ગણિતમાં $1^{st}$,ગણિતમાં $2^{nd}$,ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં $1^{st}$,ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં $2^{nd}$,રસાયણશાસ્ત્રમાં $1^{st}$ અને અંગ્રેજીમાં $1^{st}$.
પ્રથમ,$4$ પ્રથમ ઇનામો ધ્યાનમાં લો. આ દરેક ઇનામ $20$ છોકરાઓમાંથી કોઈપણને આપી શકાય છે. એક છોકરો એકથી વધુ પ્રથમ ઇનામ જીતી શકે છે,તેથી આ $4$ ઇનામો આપવાની રીતો $20 \times 20 \times 20 \times 20 = 20^4$ છે.
ત્યારબાદ,$2$ દ્વિતીય ઇનામો ધ્યાનમાં લો. જે છોકરાએ તે જ વિષયમાં પ્રથમ ઇનામ જીત્યું હોય તે દ્વિતીય ઇનામ જીતી શકતો નથી. તેથી,ગણિતના $2^{nd}$ ઇનામ માટે $20 - 1 = 19$ વિકલ્પો છે અને ભૌતિકવિજ્ઞાનના $2^{nd}$ ઇનામ માટે $20 - 1 = 19$ વિકલ્પો છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $20^4 \times 19 \times 19 = 20^4 \times 19^2$ છે.

(A) $INTEGER$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $I, N, T, E, G, E, R$. અક્ષર $E$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
$m_1$ શોધવા માટે ($I$ અને $N$ સાથે ન હોય તેવા શબ્દો):
$INTEGER$ ની કુલ ગોઠવણી $\frac{7!}{2!} = 2520$ છે.
$I$ અને $N$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણી: $(IN)$ ને એક એકમ ગણો. આપણી પાસે $6$ એકમો છે: $(IN), T, E, G, E, R$. આને $\frac{6!}{2!} \times 2! = 720$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,$m_1 = 2520 - 720 = 1800$.
$m_2$ શોધવા માટે ($I$ થી શરૂ થતા અને $R$ પર સમાપ્ત થતા શબ્દો):
$I$ ને પ્રથમ સ્થાને અને $R$ ને છેલ્લા સ્થાને નિશ્ચિત કરો. બાકીના $5$ અક્ષરો $N, T, E, G, E$ છે. આને $\frac{5!}{2!} = 60$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,$m_2 = 60$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1800}{60} = 30$.

(B) $EARTHQUAKE$ શબ્દમાં $10$ અક્ષરો છે: $E, A, R, T, H, Q, U, A, K, E$.
આવૃત્તિઓ છે: $E: 2, A: 2, R: 1, T: 1, H: 1, Q: 1, U: 1, K: 1$.
$RAHU$ બ્લોક ધરાવતા ક્રમચયો શોધવા માટે,આપણે $RAHU$ ને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,ગોઠવવા માટેની વસ્તુઓ છે: ${RAHU}, E, A, T, Q, K, E$.
કુલ $7$ વસ્તુઓ છે,જેમાં $E$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{7!}{2!}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $RAJASTHAN$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $R, A, J, A, S, T, H, A, N$.
વ્યંજનો: $R, J, S, T, H, N$ ($6$ અક્ષરો).
સ્વરો: $A, A, A$ ($3$ અક્ષરો).
પ્રથમ,$6$ વ્યંજનોને $6!$ રીતે ગોઠવો.
સ્વરો એકાંતરે રહે તે માટે,તેમને વ્યંજનો દ્વારા બનાવેલી ખાલી જગ્યાઓમાં મૂકો.
$6$ વ્યંજનો માટે $7$ ખાલી જગ્યાઓ ઉપલબ્ધ છે: $\_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_$.
$3$ સ્વરો માટે $7$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીત $^7C_3$ છે.
બધા $3$ સ્વરો સમાન $(A)$ હોવાથી,તેમને પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની માત્ર $1$ રીત છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 6! \times ^7C_3$.

(C) કિસ્સો $(I)$: કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે.
અમે $6$ છોકરાઓને $6!$ રીતે ગોઠવીએ છીએ. આ $7$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બનાવે છે જ્યાં $5$ છોકરીઓને બેસાડી શકાય.
ગોઠવણીની સંખ્યા $p = 6! \times {}^{7}P_{5} = 6! \times \frac{7!}{2!} = 6! \times 2520$.
કિસ્સો $(II)$: બધી છોકરીઓ સાથે બેસે.
$5$ છોકરીઓને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $6$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરીઓનો એકમ છે,કુલ $7$ એકમો.
આ $7$ એકમોને $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય. એકમની અંદરની $5$ છોકરીઓને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
ગોઠવણીની સંખ્યા $q = 7! \times 5!$.
ગુણોત્તર $p/q = \frac{6! \times \frac{7!}{2!}}{7! \times 5!} = \frac{6!}{2! \times 5!} = \frac{720}{2 \times 120} = \frac{720}{240} = 3$.

(D) $DEBAC$ નો ક્રમ શોધવા માટે,આપણે મૂળાક્ષરોને ક્રમમાં ગોઠવીએ: $A, B, C, D, E$.
સ્થાનિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$D$ એ $4^{th}$ અક્ષર છે ($3$ અક્ષરો તેની પહેલા છે: $A, B, C$): $3 \times 4! = 72$
$E$ એ બાકી રહેલા અક્ષરોમાં $4^{th}$ છે ($3$ અક્ષરો તેની પહેલા છે: $A, B, C$): $3 \times 3! = 18$
$B$ એ બાકી રહેલા અક્ષરોમાં $2^{nd}$ છે ($1$ અક્ષર તેની પહેલા છે: $A$): $1 \times 2! = 2$
$A$ એ બાકી રહેલા અક્ષરોમાં $1^{st}$ છે ($0$ અક્ષરો તેની પહેલા છે): $0 \times 1! = 0$
$C$ એ બાકી રહેલા અક્ષરોમાં $1^{st}$ છે ($0$ અક્ષરો તેની પહેલા છે): $0 \times 0! = 0$
ક્રમ = $72 + 18 + 2 + 0 + 0 + 1 = 93$.

(B) કુલ $6$ વસ્તુઓ છે.
આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે $O_1$ અને $O_2$ એ સૌથી નીચેની $2$ જગ્યાઓ પર હોવી જોઈએ.
આ $2$ જગ્યાઓ પર $O_1$ અને $O_2$ ને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $2!$ છે.
બાકીની $4$ વસ્તુઓ $(O_3, O_4, O_5, O_6)$ ને બાકીની $4$ જગ્યાઓ પર $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $2! \times 4!$ છે.

(C) $ALLEN$ શબ્દમાં $5$ અક્ષરો છે: $A, L, L, E, N$.
સ્વરો $A$ અને $E$ છે.
કોઈપણ પ્રતિબંધ વગર કુલ ગોઠવણી $\frac{5!}{2!} = 60$ છે.
આ $60$ ગોઠવણીઓમાં,સ્વરો $A$ અને $E$ બે રીતે આવી શકે ($AE$ અથવા $EA$).
આપણે સ્વરો મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ($A$ પહેલા $E$) જોઈએ છે,તેથી આપણે ફક્ત $AE$ વાળી સ્થિતિ ગણીશું.
તેથી,જરૂરી શબ્દોની સંખ્યા $\frac{60}{2!} = 30$ છે.

(C) એક મિલિયનથી મોટી સંખ્યામાં $7$ અંકો હોવા જોઈએ. આપેલા અંકો $0, 2, 2, 3, 3, 3, 4$ છે.
સંખ્યા એક મિલિયનથી મોટી હોવી જોઈએ,તેથી પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $2$ હોય. બાકીના અંકો $0, 2, 3, 3, 3, 4$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{3!} = 120$ છે.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $3$ હોય. બાકીના અંકો $0, 2, 2, 3, 3, 4$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{2!2!} = 180$ છે.
કિસ્સો $3$: પ્રથમ અંક $4$ હોય. બાકીના અંકો $0, 2, 2, 3, 3, 3$ છે. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{6!}{2!3!} = 60$ છે.
કુલ સંખ્યા = $120 + 180 + 60 = 360$.

(A) $SATAYPAUL$ શબ્દમાં $9$ અક્ષરો છે: $S, A, T, A, Y, P, A, U, L$.
અહીં $3$ $A$ છે અને $6$ અન્ય અક્ષરો $(S, T, Y, P, U, L)$ છે.
કુલ $9$ અક્ષરો છે,તેથી વચ્ચેનું સ્થાન $5$મું સ્થાન છે.
વ્યંજનો $S, T, Y, P, L$ છે.
વચ્ચેના સ્થાન માટે $5$ વિકલ્પો છે.
બાકીના $5$ અક્ષરોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$A$ ને ગોઠવવા માટે $6$ જગ્યાઓ ઉપલબ્ધ છે.
કુલ ગોઠવણીઓ = $5 \times 5! \times ^6C_3 = 12000$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $A$ છે.

(B) મૂળાક્ષરોમાં કુલ અક્ષરો = $26$.
સંમિત અક્ષરોની સંખ્યા = $10$.
અસંમિત અક્ષરોની સંખ્યા = $26 - 10 = 16$.
આપણે ઓછામાં ઓછા એક સંમિત અક્ષર સાથે $3$-અક્ષરનો પાસવર્ડ બનાવવાની જરૂર છે.
પુનરાવર્તન વિના $3$-અક્ષરનો પાસવર્ડ બનાવવાની કુલ રીતો = $P(26, 3) = 26 \times 25 \times 24 = 15600$.
માત્ર અસંમિત અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને $3$-અક્ષરનો પાસવર્ડ બનાવવાની રીતો = $P(16, 3) = 16 \times 15 \times 14 = 3360$.
ઓછામાં ઓછા એક સંમિત અક્ષર સાથેની રીતો = $\text{કુલ રીતો} - \text{કોઈ સંમિત અક્ષર ન હોય તેવી રીતો} = 15600 - 3360 = 12240$.

(A) કુલ $5$ વક્તાઓ છે. $5$ વક્તાઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,$S_1, S_2$ અને $S_3$ નો સાપેક્ષ ક્રમ $3! = 6$ શક્ય રીતે હોઈ શકે છે.
આ રીતો છે: $(S_1, S_2, S_3), (S_1, S_3, S_2), (S_2, S_1, S_3), (S_2, S_3, S_1), (S_3, S_1, S_2), (S_3, S_2, S_1)$.
આ $6$ રીતોમાંથી,$S_3$ ફક્ત $2$ કિસ્સાઓમાં $S_1$ અને $S_2$ બંને પછી બોલે છે: $(S_1, S_2, S_3)$ અને $(S_2, S_1, S_3)$.
આમ,$S_3$ એ $S_1$ અને $S_2$ પછી બોલે તેની સંભાવના $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ રીતોની સંખ્યા $\frac{1}{3} \times 5! = \frac{120}{3} = 40$ છે.

(D) $MATHEMAGICA$ શબ્દમાં કુલ $11$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ આ મુજબ છે: $M: 2, A: 3, T: 1, H: 1, E: 1, G: 1, I: 1, C: 1$.
ક્રમચયોની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{11!}{2! 3!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{2 \times 1 \times 6} = \frac{7920}{12} \times 7! = 660 \times 7!$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.