एक व्यक्ति को (2n + 1) अलग-अलग सिक्कों के संग | vedclass

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Question

(A) $(2n + 1)$ अलग-अलग सिक्कों में से $r$ सिक्के चुनने के कुल तरीके $\binom{2n+1}{r}$ द्वारा दिए जाते हैं।दिया गया है कि व्यक्ति कम से कम $1$ और अधिक

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$4$

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(A) $(2n + 1)$ अलग-अलग सिक्कों में से $r$ सिक्के चुनने के कुल तरीके $\binom{2n+1}{r}$ द्वारा दिए जाते हैं।दिया गया है कि व्यक्ति कम से कम $1$ और अधिक से अधिक $n$ सिक्के चुनता है,इसलिए कुल तरीके $T$ हैं:$T = \binom{2n+1}{1} + \binom{2n+1}{2} + \dots + \binom{2n+1}{n} = 255$.हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{r} = 2^{2n+1}$ होता है।चूंकि $\binom{2n+1}{r} = \binom{2n+1}{2n+1-r}$,इसलिए $\binom{2n+1}{0} = \binom{2n+1}{2n+1} = 1$ है।अतः,$\binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n+1} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1} = 2^{2n+1}$.यह $1 + T + T + 1 = 2^{2n+1}$ में सरल हो जाता है,जो $2 + 2T = 2^{2n+1}$ है।$2$ से विभाजित करने पर,हमें $1 + T = 2^{2n}$ प्राप्त होता है।$T = 255$ रखने पर,$1 + 255 = 2^{2n}$,इसलिए $256 = 2^{2n}$.चूंकि $256 = 2^8$,इसलिए $2n = 8$,जिसका अर्थ है $n = 4$।

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