$4$ पुरुषों और $6$ महिलाओं में से $5$ सदस्यों की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है,जिसमें पुरुषों की संख्या महिलाओं की संख्या से अधिक हो?

एक इंजीनियर को हर महीने के पहले $15$ दिनों के दौरान ठीक $4$ दिनों के लिए एक कारखाने का दौरा करना आवश्यक है और यह अनिवार्य है कि कोई भी दो दौरे लगातार दिनों में न हों। $1-15$ जून $2021$ के दौरान इंजीनियर द्वारा कारखाने के ऐसे दौरों को करने के सभी संभावित तरीकों की संख्या है:

$12$ गेंदों को दो दोस्तों के बीच कितने तरीकों से वितरित किया जा सकता है कि एक को $8$ गेंदें और दूसरे को $4$ गेंदें मिलें?

यदि $\binom{2n}{3} : \binom{n}{2} = 44 : 3$ और $\binom{n}{r} = 15$ है,तो $r = \dots$

यदि $\binom{n-1}{r} = (k^2 - 3) \binom{n}{r+1}$ है,तो $k \in \dots$

$8$ बच्चों वाले एक पिता उन्हें एक बार में $3$ बच्चों को प्राणी उद्यान ले जाते हैं,जब तक कि वह एक ही $3$ बच्चों को एक से अधिक बार साथ न ले जाएं। प्रत्येक बच्चा कितनी बार उद्यान जाएगा?