$9$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી $7$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે. જો સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી $3$ છોકરીઓ હોય,તો આ કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^5 {}^{52-r}C_3 = $

ગણ $S = \{(r, k) : k \in Z \text{ અને } ^{36}C_{r+1} = \frac{6(^{35}C_r)}{(k^2-3)}\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $n$ વસ્તુઓને એક હરોળમાં ગોઠવવામાં આવે,તો તેમાંથી ત્રણ વસ્તુઓને એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી કોઈ પણ બે વસ્તુઓ એકબીજાની બાજુમાં ન હોય:

શિષ્યવૃત્તિ માટે,$2n+1$ ઉમેદવારોમાંથી વધુમાં વધુ $n$ ઉમેદવારો પસંદ કરી શકાય છે. જો શિષ્યવૃત્તિ માટે ઓછામાં ઓછા એક ઉમેદવારને પસંદ કરવાની વિવિધ રીતોની સંખ્યા $63$ હોય,તો શિષ્યવૃત્તિ માટે પસંદ કરી શકાય તેવા ઉમેદવારોની મહત્તમ સંખ્યા કેટલી છે -

સમીકરણ $x+y+z=21$ માટે પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધો,જ્યાં $x \geq 1, y \geq 3, z \geq 4$ હોય.