Definition of combinations, Condition combinations Questions in Gujarati

(A) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $= 13$.
પસંદ કરવાના પ્રશ્નોની સંખ્યા $= 10$.
શરત: પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે.
કિસ્સો $I$: પ્રથમ $5$ માંથી બરાબર $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવામાં આવે.
$5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{5}C_{4} = 5$.
બાકીના $10 - 4 = 6$ પ્રશ્નો છેલ્લા $13 - 5 = 8$ પ્રશ્નોમાંથી ${}^{8}C_{6}$ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
રીતોની સંખ્યા $= 5 \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $II$: પ્રથમ $5$ માંથી બરાબર $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવામાં આવે.
$5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{5}C_{5} = 1$.
બાકીના $10 - 5 = 5$ પ્રશ્નો છેલ્લા $13 - 5 = 8$ પ્રશ્નોમાંથી ${}^{8}C_{5}$ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 140 + 56 = 196$.

(A) વિધાન $I$: $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ અલગ-અલગ બોક્સમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે,તેનું સૂત્ર ${}^{n-1}C_{r-1}$ છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 4$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા ${}^{10-1}C_{4-1} = {}^9C_3$ થાય.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: $n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^nC_r$ છે.
$9$ અલગ-અલગ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવા માટેની રીતોની સંખ્યા ${}^9C_3$ છે.
આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.
વિધાન $II$ એ એક પ્રમાણિત સંચયી સૂત્ર છે અને તે વિધાન $I$ માં આપેલ વિતરણ સમસ્યા માટેનું તાર્કિક કારણ નથી,તેથી વિધાન $II$ એ વિધાન $I$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) આપેલ છે,$10$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓનું જૂથ. આપણે $8$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે જેમાં $5$ થી વધુ પુરુષો ન હોય અને $5$ થી ઓછી સ્ત્રીઓ ન હોય.
આનો અર્થ એ છે કે (સ્ત્રીઓ,પુરુષો) ના સંભવિત સંયોજનો છે:
$(5W, 3M), (6W, 2M), (7W, 1M), (8W, 0M)$.
રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$= \binom{8}{5} \times \binom{10}{3} + \binom{8}{6} \times \binom{10}{2} + \binom{8}{7} \times \binom{10}{1} + \binom{8}{8} \times \binom{10}{0}$
$= (56 \times 120) + (28 \times 45) + (8 \times 10) + (1 \times 1)$
$= 6720 + 1260 + 80 + 1 = 8061$ રીતો.

(B) $5$ પાસાઓ પર સરવાળો $7$ મેળવવા માટે,દરેક પાસા પર ઓછામાં ઓછો $1$ અંક હોવો જોઈએ. ધારો કે પરિણામો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે જ્યાં $x_i \ge 1$. સરવાળો $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 7$ છે.
દરેક $x_i \ge 1$ હોવાથી,આપણે $x_i = 1 + y_i$ લખી શકીએ જ્યાં $y_i \ge 0$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 2$ મળે છે.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે જ્યાં $n=2$ અને $r=5$.
આ $\binom{2+5-1}{5-1} = \binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કિસ્સાઓ છે:
$(i)$ ચાર $1$ અને એક $3$: $\frac{5!}{4!1!} = 5$ રીતો.
(ii) ત્રણ $1$ અને બે $2$: $\frac{5!}{3!2!} = 10$ રીતો.
કુલ રીતો = $5 + 10 = 15$.

(A) $N = m \times n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $n$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{(mn)!}{(m!)^n}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$N = 500$,$n = 50$,અને $m = 10$ (કારણ કે $500 = 50 \times 10$).
તેથી,વહેંચણી કરવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{500!}{(10!)^{50}}$ છે.

(C) $52$ પત્તામાંથી $5$ પત્તા પસંદ કરવાના છે જેમાં બરાબર એક એક્કો હોય:
$1$. $4$ એક્કામાંથી $1$ એક્કો પસંદ કરવાની રીત: $^4C_1 = 4$.
$2$. બાકીના $48$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની રીત: $^{48}C_4$.
$3$. કુલ સંયોજનોની સંખ્યા $^4C_1 \times ^{48}C_4$ છે.
$\begin{aligned} & = 4 \times \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ & = 4 \times 194580 \\ & = 778320 \end{aligned}$

(B) $n$ ઘટકોના ગણમાંથી $8$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $\binom{n}{8}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_4$ નો સમાવેશ કરતા $8$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા એ બાકીના $(n-1)$ ઘટકોમાંથી $7$ ઘટકો પસંદ કરવા સમાન છે,જે $\binom{n-1}{7}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\binom{n}{8} = 5 \times \binom{n-1}{7}$.
$\binom{n}{r} = \frac{n}{r} \binom{n-1}{r-1}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\binom{n}{8} = \frac{n}{8} \binom{n-1}{7}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{n}{8} \binom{n-1}{7} = 5 \times \binom{n-1}{7}$.
$\binom{n-1}{7} \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $\binom{n-1}{7}$ વડે ભાગતા $\frac{n}{8} = 5$ મળે.
તેથી,$n = 5 \times 8 = 40$.

(C) દ્વિપદી સહગુણક $^{n}C_{r}$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય તે માટે,$n \geq r \geq 0$ અને $n, r \in \mathbb{N}_0$ હોવું જરૂરી છે.
આપેલ $^{20-2x}C_{x-3} \in N$ માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1) \; x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$
$2) \; 20-2x \geq x-3$ $\Rightarrow 23 \geq 3x$ $\Rightarrow x \leq \frac{23}{3} \approx 7.66$
$3) \; 20-2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 10$
આ અસમતાઓનું સંયોજન કરતા,આપણને $3 \leq x \leq 7.66$ મળે છે.
$x \in N$ હોવાથી,$x$ ની શક્ય કિંમતો $3, 4, 5, 6, 7$ છે.
આમ,ગણમાં $5$ ઘટકો છે.

(C) ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
${}^{(n-1)}C_6 + {}^{(n-1)}C_7 = {}^{n}C_7$
આપેલ અસમતા: ${}^{n}C_7 < {}^{n}C_8$
ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{{}^{n}C_8}{{}^{n}C_7} > 1$
$\frac{n-8+1}{8} > 1$
$\frac{n-7}{8} > 1$
$n-7 > 8$
$n > 15$
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $16$ છે.

(C) આપેલ અસમતા: ${ }^{(n-1)} C_3 + { }^{(n-1)} C_4 > { }^n C_3$
પાસ્કલના નિત્યસમ ${ }^n C_{r-1} + { }^n C_r = { }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
${ }^{(n-1)} C_3 + { }^{(n-1)} C_4 = { }^n C_4$
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા:
${ }^n C_4 > { }^n C_3$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{4!(n-4)!} > \frac{1}{3!(n-3)!}$
$\frac{1}{4 \times 3! \times (n-4)!} > \frac{1}{3! \times (n-3) \times (n-4)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$
$n - 3 > 4$
$n > 7$
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $8$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $10 \cdot ^nC_2 = 3 \cdot ^{n+1}C_3$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} = 3 \cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$
$10 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 3 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$
$5n(n-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{2}$
$n > 2$ હોવાથી,બંને બાજુ $n(n-1)$ વડે ભાગતા:
$5 = \frac{n+1}{2}$
$10 = n + 1$
$n = 9$

(A) આપેલ છે કે $\frac{{ }^{2n}C_3}{{ }^{n}C_3} = \frac{12}{1}$.
સૂત્ર ${ }^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = 12$
$\Rightarrow \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 12$
$\Rightarrow \frac{2n(2n-1) \cdot 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 12$
$\Rightarrow \frac{4n(2n-1)}{n(n-2)} = 12$
$\Rightarrow \frac{4(2n-1)}{n-2} = 12$
$\Rightarrow 2n-1 = 3(n-2)$
$\Rightarrow 2n-1 = 3n-6$
$\Rightarrow n = 5$.

(B) આપણે ગુણધર્મ ${ }^n C_r={ }^n C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
${ }^9 C_5={ }^9 C_{9-5}={ }^9 C_4$.
હવે,પદાવલિ ${ }^9 C_3+{ }^9 C_4$ બને છે.
પાસ્કલના નિત્યસમ ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
${ }^9 C_4+{ }^9 C_3={ }^{10} C_4$.
આને ${ }^{10} C_r$ સાથે સરખાવતા,આપણને $r=4$ મળે છે.

(B) અમે પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$.
આપેલ પદાવલિ ${}^{34}C_5 + \sum_{i=0}^4 {}^{38-i}C_4 = {}^{34}C_5 + {}^{38}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{35}C_4 + {}^{34}C_4$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $({}^{34}C_5 + {}^{34}C_4) + {}^{35}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{38}C_4$ મળે છે.
નિત્યસમ ${}^{34}C_5 + {}^{34}C_4 = {}^{35}C_5$ લાગુ પાડતા,પદાવલિ ${}^{35}C_5 + {}^{35}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{38}C_4$ બને છે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા: ${}^{35}C_5 + {}^{35}C_4 = {}^{36}C_5$,ત્યારબાદ ${}^{36}C_5 + {}^{36}C_4 = {}^{37}C_5$,ત્યારબાદ ${}^{37}C_5 + {}^{37}C_4 = {}^{38}C_5$,અને અંતે ${}^{38}C_5 + {}^{38}C_4 = {}^{39}C_5$ મળે છે.

(C) આપણે નિત્યસમ ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ છે: ${ }^{n-3} C_r + B \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + B^{\prime} \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3} = { }^n C_r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^n C_r = { }^{n-1} C_r + { }^{n-1} C_{r-1} = ({ }^{n-2} C_r + { }^{n-2} C_{r-1}) + ({ }^{n-2} C_{r-1} + { }^{n-2} C_{r-2}) = { }^{n-2} C_r + 2 \cdot { }^{n-2} C_{r-1} + { }^{n-2} C_{r-2}$.
વધુ વિસ્તરણ કરતા: ${ }^{n-2} C_r + 2({ }^{n-3} C_{r-1} + { }^{n-3} C_{r-2}) + ({ }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3}) = { }^{n-3} C_r + 3 \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + 3 \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3}$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $B = 3$ અને $B^{\prime} = 3$ મળે છે.
તેથી,$(B, B^{\prime}) = (3, 3)$.

(C) આપણે નિત્યસમ ${}^{n} C_r + {}^{n} C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $\sum_{r=0}^4 {}^{19-r} C_3 + {}^{15} C_4$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + {}^{16} C_3 + {}^{15} C_3 + {}^{15} C_4$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + {}^{16} C_3 + ({}^{15} C_3 + {}^{15} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + ({}^{16} C_3 + {}^{16} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + ({}^{17} C_3 + {}^{17} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + ({}^{18} C_3 + {}^{18} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{19} C_4$
$= {}^{20} C_4$

(D) આપેલ છે,${}^n C_7 = {}^n C_6$.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: જો ${}^n C_x = {}^n C_y$ હોય,તો કાં તો $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય.
અહીં $7 \neq 6$ હોવાથી,$n = 7 + 6 = 13$ મળે.
તેથી,${}^n C_2 = {}^{13} C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 13 \times 6 = 78$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે,${ }^{12} C_{2 k-1}={ }^{12} C_{k+1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો ${ }^n C_x={ }^n C_y$ હોય,તો કાં તો $x=y$ અથવા $x+y=n$ થાય.
કિસ્સો $1$: $2k-1 = k+1$
$k = 2$.
કિસ્સો $2$: $(2k-1) + (k+1) = 12$
$3k = 12$
$k = 4$.
આમ,$k=4$ એ આપેલા વિકલ્પોમાંથી એક છે,તેથી સાચો જવાબ $4$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$.
નિત્યસમ $^nC_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^nC_{r+1} = \frac{n}{r+1} \cdot ^{n-1}C_r$ લખી શકાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1} \cdot ^{n-1}C_r$.
$^{n-1}C_r \neq 0$ ધારીને,બંને બાજુ $^{n-1}C_r$ વડે ભાગતા:
$1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1}$.
$k^2 - 3$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$k^2 - 3 = \frac{r+1}{n}$.
$0 \le r \le n-1$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{r+1}{n}$ એ $(0, 1]$ અંતરાલમાં છે.
તેથી,$0 < k^2 - 3 \le 1$.
બધા પદોમાં $3$ ઉમેરતા:
$3 < k^2 \le 4$.
વર્ગમૂળ લેતા,$k \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,અંતરાલ $[\sqrt{3}, 2]$ એ $k$ ની શક્ય કિંમતોનો ઉપગણ છે.

(A) આપેલ છે કે $N(n) = n \prod_{r=1}^{2023} (n^2 - r^2) = n \cdot \left[ \prod_{r=1}^{2023} (n-r) \right] \left[ \prod_{r=1}^{2023} (n+r) \right]$.
$n = 2024$ માટે,આપણને મળે છે:
$N(2024) = 2024 \cdot [(2023)(2022) \dots (1)] \cdot [(2025)(2026) \dots (4047)]$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$N(2024) = (4047)(4046) \dots (2025)(2024)(2023) \dots (1) = (4047)!$.
આપણે ${}^{N}C_{N-1}$ શોધવાનું છે જ્યાં $N = N(2024) = (4047)!$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે ${}^{N}C_{N-1} = {}^{N}C_{1} = N$.
તેથી,${}^{N}C_{N-1} = (4047)!$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ છે.
$x_1+x_2+...+x_r=n$ સમીકરણના અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલો માટેનું સૂત્ર $^{n+r-1}C_{r-1}$ છે.
અહીં,$n=10$ અને $r=4$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$^{10+4-1}C_{4-1} = ^{13}C_3$.
કિંમતની ગણતરી કરતા:
$^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$.

(C) આપેલ છે કે $n(A) = 8$.
$A$ ના ઓછામાં ઓછા $6$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$^8C_6 + ^8C_7 + ^8C_8$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^8C_6 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$
$^8C_7 = \frac{8}{1} = 8$
$^8C_8 = 1$
કુલ ઉપગણો $= 28 + 8 + 1 = 37$.

(C) કારણ કે $2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ હંમેશા ટીમમાં સામેલ કરવાના છે,તેથી આપણે પહેલેથી જ $2$ સભ્યો પસંદ કરી લીધા છે.
પસંદ કરવાના બાકી રહેલા સભ્યો $= 5 - 2 = 3$.
પસંદગી માટે ઉપલબ્ધ બાકી રહેલા વિદ્યાર્થીઓ $= 12 - 2 = 10$.
તેથી,$10$ ઉપલબ્ધ વિદ્યાર્થીઓમાંથી બાકીના $3$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.

(B) આપણે એવી ત્રિપુટીઓ $(x, y, z)$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેથી $x, y, z \in N$,$x < y < z$ અને $x+y+z=12$ થાય.
$x < y < z$ હોવાથી,$x+y+z > x+x+x = 3x$ થાય,તેથી $3x < 12$,જેનો અર્થ છે કે $x < 4$. આમ,$x$ ની કિંમત $1, 2,$ અથવા $3$ હોઈ શકે.
કિસ્સો $1$: જો $x=1$ હોય,તો $y+z=11$ જ્યાં $1 < y < z$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ એ $(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6)$ છે. (કુલ $4$)
કિસ્સો $2$: જો $x=2$ હોય,તો $y+z=10$ જ્યાં $2 < y < z$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ એ $(3, 7), (4, 6)$ છે. (કુલ $2$)
કિસ્સો $3$: જો $x=3$ હોય,તો $y+z=9$ જ્યાં $3 < y < z$. એકમાત્ર શક્ય જોડી $(y, z)$ એ $(4, 5)$ છે. (કુલ $1$)
ત્રિપુટીઓની કુલ સંખ્યા $= 4 + 2 + 1 = 7$.

(C) વિદ્યાર્થીએ $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી પ્રથમ $6$ માંથી ઓછામાં ઓછા $5$ પ્રશ્નો હોય. આ માટે બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $I$: પ્રથમ $6$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $7$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{6}C_{5} \times {}^{7}C_{5} = 6 \times 21 = 126$.
કિસ્સો $II$: પ્રથમ $6$ માંથી $6$ પ્રશ્નો અને બાકીના $7$ માંથી $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{6}C_{6} \times {}^{7}C_{4} = 1 \times 35 = 35$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 126 + 35 = 161$.

(B) $12$ સભ્યોની સમિતિ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેમાં મહિલાઓ બહુમતીમાં હોય. અહીં $9$ મહિલાઓ અને $8$ પુરુષો છે,તેથી મહિલાઓ બહુમતીમાં હોય તેવા કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
કિસ્સો $I$: $9$ મહિલાઓ અને $3$ પુરુષો
રીતોની સંખ્યા $= {^9C_9} \times {^8C_3} = 1 \times 56 = 56$
કિસ્સો $II$: $8$ મહિલાઓ અને $4$ પુરુષો
રીતોની સંખ્યા $= {^9C_8} \times {^8C_4} = 9 \times 70 = 630$
કિસ્સો $III$: $7$ મહિલાઓ અને $5$ પુરુષો
રીતોની સંખ્યા $= {^9C_7} \times {^8C_5} = 36 \times 56 = 2016$
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 56 + 630 + 2016 = 2702$

(D) $5$ ઉપલબ્ધ વિકલ્પોમાંથી કોઈપણ સંખ્યામાં વિકલ્પો પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 2^5 = 32$.
વિદ્યાર્થીએ બે અથવા બેથી વધુ વિકલ્પો પસંદ કરવાના હોવાથી,આપણે $0$ અથવા $1$ વિકલ્પ પસંદ કરવાના કિસ્સાઓને બાદ કરવા પડશે.
$0$ વિકલ્પ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{0} = 1$ છે.
$1$ વિકલ્પ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{1} = 5$ છે.
તેથી,બે કે તેથી વધુ વિકલ્પો પસંદ કરવાની રીતો $32 - (1 + 5) = 32 - 6 = 26$ છે.

(A) ધારો કે $3$-અંકી સંખ્યા $abc$ છે,જ્યાં $a$ એ શતકનો અંક,$b$ એ દશકનો અંક અને $c$ એ એકમનો અંક છે.
આપેલ શરત $a + b + c = 10$ છે,જ્યાં $1 \leq a \leq 9$ અને $0 \leq b, c \leq 9$.
ધારો કે $a' = a - 1$,તેથી $a = a' + 1$. સમીકરણમાં મૂકતા:
$(a' + 1) + b + c = 10 \Rightarrow a' + b + c = 9$,જ્યાં $a', b, c \geq 0$.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $^{n+r-1}C_{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=9$ અને $r=3$:
$^{9+3-1}C_{3-1} = ^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$.
પરંતુ,આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે જ્યાં કોઈ અંક $9$ થી મોટો હોય.
કારણ કે $a = a' + 1$,જો $a' = 9$ હોય,તો $a = 10$ થાય,જે અંક માટે શક્ય નથી.
આ ઉકેલ $(a', b, c) = (9, 0, 0)$ ને અનુરૂપ છે,જે $a = 10, b = 0, c = 0$ આપે છે.
આમ,આપણે આ $1$ અમાન્ય કિસ્સો બાદ કરીએ: $55 - 1 = 54$.
તેથી,આવી $3$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $54$ છે.

(D) વિદ્યાર્થીએ $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. પ્રથમ $5$ પ્રશ્નો એક જૂથમાં છે અને બાકીના $8$ પ્રશ્નો બીજા જૂથમાં છે.
તેણે પ્રથમ $5$ માંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવા જ પડે.
કિસ્સો $1$: તે પ્રથમ $5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરે છે.
રીતોની સંખ્યા = ${}^5C_4 \times {}^8C_6 = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $2$: તે પ્રથમ $5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરે છે.
રીતોની સંખ્યા = ${}^5C_5 \times {}^8C_5 = 1 \times 56 = 56$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $140 + 56 = 196$.

(C) $30$ વ્યક્તિઓની સમિતિ પસંદ કરવા માટે જેમાં છોકરાઓ,છોકરીઓ અને શિક્ષકોની સંખ્યા સમાન હોય,આપણે $10$ છોકરાઓ,$10$ છોકરીઓ અને $10$ શિક્ષકો પસંદ કરવા પડશે.
$20$ માંથી $10$ છોકરાઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
$20$ માંથી $10$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
$20$ માંથી $10$ શિક્ષકો પસંદ કરવાની રીતો $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
કુલ રીતો $= \frac{20!}{10!10!} \times \frac{20!}{10!10!} \times \frac{20!}{10!10!} = \frac{(20!)^3}{(10!)^6}$.

(A) મતદાર $12$ ઉપલબ્ધ ઉમેદવારોમાંથી $1, 2, 3,$ અથવા $4$ ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે.
$12$ માંથી $k$ ઉમેદવારો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{12}C_k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મતદારે ઓછામાં ઓછા એક ઉમેદવારને મત આપવો જરૂરી હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $1, 2, 3,$ અથવા $4$ ઉમેદવારો પસંદ કરવાનો સરવાળો છે:
$\text{કુલ રીતો} = {}^{12}C_1 + {}^{12}C_2 + {}^{12}C_3 + {}^{12}C_4$
$= 12 + 66 + 220 + 495 = 793$

(B) આપેલ સમીકરણ $x+y+z+w=25$ છે,જ્યાં $x, y, z \geq -1$ અને $w \geq 1$ છે.
ધારો કે $a = x+1 \geq 0$,$b = y+1 \geq 0$,$c = z+1 \geq 0$,અને $d = w-1 \geq 0$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $(a-1) + (b-1) + (c-1) + (d+1) = 25$.
આથી $a+b+c+d-2 = 25$,એટલે કે $a+b+c+d = 27$.
$a+b+c+d = n$ માટે અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર ${}^{n+k-1}C_{k-1}$ છે,જ્યાં $k$ એ ચલની સંખ્યા છે.
અહીં $n=27$ અને $k=4$ હોવાથી,ઉકેલોની સંખ્યા ${}^{27+4-1}C_{4-1} = {}^{30}C_3$ થશે.

(A) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{{ }^{n+2} C_2}{{ }^{n+3} C_1} = \frac{4}{2} = 2$.
સૂત્ર ${ }^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(n+2)!}{2! n!} \div (n+3) = 2$.
$\frac{(n+2)(n+1)}{2} \times \frac{1}{n+3} = 2$.
$(n+2)(n+1) = 4(n+3)$.
$n^2 + 3n + 2 = 4n + 12$.
$n^2 - n - 10 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $n$ શોધતા:
$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$.
અહીં $\sqrt{41}$ એ પૂર્ણાંક નથી,તેથી $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $(n \notin N)$ હોઈ શકે નહીં.
આમ,$n$ ની કિંમતોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપણે $7$ ભારતીયો $(I)$,$6$ અમેરિકનો $(A)$,$5$ રશિયનો $(R)$ અને $4$ ઓસ્ટ્રેલિયનો $(AU)$ માંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે જેથી દરેક દેશનું પ્રતિનિધિત્વ ઓછામાં ઓછું એકવાર થાય.
કુલ સભ્યો $5$ છે અને $4$ દેશો છે,તેથી એક દેશના $2$ સભ્યો અને બાકીના ત્રણ દેશોના $1-1$ સભ્ય હશે.
શક્યતાઓ:
$1$. $2I, 1A, 1R, 1AU: {^7C_2} \times {^6C_1} \times {^5C_1} \times {^4C_1} = 2520$
$2$. $1I, 2A, 1R, 1AU: {^7C_1} \times {^6C_2} \times {^5C_1} \times {^4C_1} = 2100$
$3$. $1I, 1A, 2R, 1AU: {^7C_1} \times {^6C_1} \times {^5C_2} \times {^4C_1} = 1680$
$4$. $1I, 1A, 1R, 2AU: {^7C_1} \times {^6C_1} \times {^5C_1} \times {^4C_2} = 1260$
કુલ રીતો $= 2520 + 2100 + 1680 + 1260 = 7560$.

(D) $TSEAMCET$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $T, T, E, E, S, A, M, C$.
અહીં $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $\{T, E, S, A, M, C\}$.
આપણે $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે.
કિસ્સો $1$: બધા $4$ અક્ષરો અલગ હોય.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{6}C_{4} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15$.
કિસ્સો $2$: એક સમાન અક્ષરોની જોડી અને $2$ અલગ અક્ષરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{2}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 2 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 20$.
કિસ્સો $3$: બે સમાન અક્ષરોની જોડી.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{2}C_{2} = 1$.
કુલ રીતો $= 15 + 20 + 1 = 36$.

(B) $(2n+1)$ પુસ્તકોમાંથી ઓછામાં ઓછા $(n+1)$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$^{2n+1}C_{n+1} + ^{2n+1}C_{n+2} + \dots + ^{2n+1}C_{2n} = 255$.
નોંધો કે વિદ્યાર્થી બધા પુસ્તકો પસંદ કરી શકતો નથી,તેથી $^{2n+1}C_{2n+1}$ પદ બાકાત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $^{2n+1}C_0$ થી $^{2n+1}C_{2n+1}$ સુધીના તમામ સંચયોનો સરવાળો $2^{2n+1}$ છે.
કારણ કે $^{2n+1}C_k = ^{2n+1}C_{2n+1-k}$,પ્રથમ અડધા પદોનો સરવાળો બીજા અડધા પદોના સરવાળા જેટલો છે.
ચોક્કસ રીતે,$\sum_{k=n+1}^{2n} {^{2n+1}C_k} = \frac{2^{2n+1}}{2} - 1 = 2^{2n} - 1$.
આપેલ છે કે $2^{2n} - 1 = 255$,તેથી $2^{2n} = 256$.
$256 = 2^8$ હોવાથી,આપણને $2n = 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
પુસ્તકોની કુલ સંખ્યા $2n + 1 = 2(4) + 1 = 9$ છે.

(C) વિદ્યાર્થીએ કુલ $13$ પ્રશ્નોમાંથી $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની શરત છે.
કિસ્સો $I$: પ્રથમ $5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{4} \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $II$: પ્રથમ $5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{5} \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$.
કુલ વિકલ્પોની સંખ્યા $= 140 + 56 = 196$.

(A) ટીમ પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $10$ માંથી $5$ ખેલાડીઓ પસંદ કરીને અને ત્યારબાદ બાકીના $5$ ખેલાડીઓમાંથી $1$ કેપ્ટન પસંદ કરીને મેળવી શકાય છે.
આ અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$({ }^{10} C_5) \times ({ }^5 C_1)$
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 5$
$= 252 \times 5 = 1260$.

(C) $6$ અલગ વસ્તુઓમાંથી દરેકને $2$ બોક્સમાંથી કોઈ પણ એકમાં $2$ રીતે મૂકી શકાય છે.
કુલ $6$ વસ્તુઓ હોવાથી,તેમને વહેંચવાની કુલ રીતો $2^6 = 64$ છે.
જોકે,આમાં $2$ કિસ્સાઓનો સમાવેશ થાય છે જેમાં એક બોક્સ ખાલી રહે છે (એટલે કે,બધી $6$ વસ્તુઓ પહેલા બોક્સમાં હોય,અથવા બધી $6$ વસ્તુઓ બીજા બોક્સમાં હોય).
શરત મુજબ કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે આ $2$ કિસ્સાઓને બાદ કરીએ છીએ.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$.

(B) આ પ્રશ્ન સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 3$ ના અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા જેવો છે,જ્યાં $x_i \ge 0$ છે.
સ્ટાર્સ અને બાર્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,રીતોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 3$ (સમાન દડા) અને $r = 7$ (અલગ પાત્રો).
રીતોની સંખ્યા = $\binom{7+3-1}{7-1} = \binom{9}{6}$.
$\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x+y+z+t=10$ છે,જ્યાં $x \geq 2$ અને $z \geq 5$ છે.
ધારો કે $x = x' + 2$ જ્યાં $x' \geq 0$.
ધારો કે $z = z' + 5$ જ્યાં $z' \geq 0$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $(x' + 2) + y + (z' + 5) + t = 10$.
$x' + y + z' + t + 7 = 10$.
$x' + y + z' + t = 3$.
અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે,જ્યાં $n=3$ અને $r=4$ છે.
ઉકેલોની સંખ્યા = $\binom{3+4-1}{4-1} = \binom{6}{3}$.
$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.

(B) ધારો કે $x_1, x_2, x_3$ એ $3$ વ્યક્તિઓને મળેલા સિક્કાઓની સંખ્યા છે.
આપણી પાસે શરત છે $x_1 + x_2 + x_3 = 15$ જ્યાં $x_i \geq 3$ છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 3$,તો $y_i \geq 0$.
સમીકરણમાં $x_i = y_i + 3$ મૂકતા:
$(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) = 15$
$y_1 + y_2 + y_3 = 6$
અહીં બિન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 6$ અને $r = 3$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{6+3-1}{3-1} = \binom{8}{2} = 28$.

(B) આપેલ છે,$S_r = \{(x, y, z) : x + y + z = 11, x \geq r, y \geq r, z \geq r\}$.
$S_2$ માટે: $x+y+z=11, x \geq 2, y \geq 2, z \geq 2$.
ધારો કે $x-2=a, y-2=b, z-2=c$,જ્યાં $a, b, c \geq 0$.
તેથી $(a+2)+(b+2)+(c+2)=11 \Rightarrow a+b+c=5$.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{5+3-1}{3-1} = \binom{7}{2} = 21$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$n(S_2) = 21$.
$S_3$ માટે: $x+y+z=11, x \geq 3, y \geq 3, z \geq 3$.
ધારો કે $x-3=a, y-3=b, z-3=c$,જ્યાં $a, b, c \geq 0$.
તેથી $(a+3)+(b+3)+(c+3)=11 \Rightarrow a+b+c=2$.
ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$ છે.
તેથી,$n(S_3) = 6$.
$S_4$ માટે: $x+y+z=11, x \geq 4, y \geq 4, z \geq 4$.
ધારો કે $x-4=a, y-4=b, z-4=c$,જ્યાં $a, b, c \geq 0$.
તેથી $(a+4)+(b+4)+(c+4)=11 \Rightarrow a+b+c=-1$.
કારણ કે $a, b, c \geq 0$,આ શક્ય નથી,તેથી $n(S_4) = 0$.
તેથી,$n(S_2) + n(S_3) + n(S_4) = 21 + 6 + 0 = 27$.

(A) $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે વહેંચવા માટે,આપણે સ્ટાર્સ અને બાર્સ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\binom{n+r-1}{r-1}$.
અહીં,$n = 8$ (સમાન સફરજન) અને $r = 3$ (વ્યક્તિઓ).
રીતોની સંખ્યા $\binom{8+3-1}{3-1} = \binom{10}{2}$ છે.
સંયોજનની ગણતરી કરતા: $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

(A) $(2n+1)$ પુસ્તકોમાંથી વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
${}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n = 255$ $(i)$
ગુણધર્મ ${}^mC_r = {}^mC_{m-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{2n+1}C_{2n} + {}^{2n+1}C_{2n-1} + \dots + {}^{2n+1}C_{n+1} = 255$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$({}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_{2n}) = 510$
બંને બાજુ ${}^{2n+1}C_0$ અને ${}^{2n+1}C_{2n+1}$ (બંને $1$ છે) ઉમેરતા:
${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 510 + 1 + 1 = 512$
દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{m} {}^mC_k = 2^m$ હોવાથી:
$2^{2n+1} = 512 = 2^9$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$2n + 1 = 9$
$2n = 8$
$n = 4$

(B) પદાવલિ $(p+1)(p+2)(p+3) \ldots (p+q)$ એ $(p+1)$ થી શરૂ થતી $q$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $q$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા $q!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આ પદાવલિને $\frac{(p+q)!}{p!} = q! \times \binom{p+q}{q}$ તરીકે લખી શકાય છે.
કારણ કે $\binom{p+q}{q}$ એ તમામ $p, q \in N$ માટે પૂર્ણાંક છે,તેથી આ પદાવલિ હંમેશા $q!$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,તમામ $p \in N$ માટે આ ગુણાકારને ભાગતી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા $q!$ છે.

(A) ધારો કે $r$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(n+1), (n+2), \dots, (n+r)$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = (n+1)(n+2) \dots (n+r)$ છે.
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$P = \frac{(n+r)!}{n!}$.
$r!$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$P = \frac{(n+r)!}{n! r!} \times r! = \binom{n+r}{r} \times r!$.
જેમ કે $\binom{n+r}{r}$ એ $n+r$ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા છે,તે હંમેશા એક પૂર્ણાંક હોય છે.
તેથી,ગુણાકાર $P$ હંમેશા $r!$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) '$EQUATION$' શબ્દમાં $8$ અલગ અક્ષરો છે: $5$ સ્વર $(E, U, A, I, O)$ અને $3$ વ્યંજન $(Q, T, N)$.
આપણે $5$ માંથી $3$ સ્વર અને $3$ માંથી $2$ વ્યંજન પસંદ કરવાના છે.
અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો = $^5C_3 \times ^3C_2 = 10 \times 3 = 30$.
બધા $3$ સ્વરો સાથે હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $3$ સ્વરોને એક બ્લોક તરીકે ગણીએ છીએ. હવે આપણી પાસે $1$ સ્વરનો બ્લોક અને $2$ વ્યંજન છે,એટલે કે કુલ $3$ એકમોની ગોઠવણી કરવાની છે.
આ $3$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો = $3! = 6$.
સ્વરના બ્લોકની અંદર,$3$ સ્વરોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $30 \times 6 \times 6 = 1080$.