જો $\binom{n+1}{3} = 2 \times \binom{n}{2}$ હોય,તો $n = \dots$

$r$ ની કઈ કિંમત માટે $^{20}C_r ^{20}C_0 + ^{20}C_{r-1} ^{20}C_1 + ^{20}C_{r-2} ^{20}C_2 + ... + ^{20}C_0 ^{20}C_r$ મહત્તમ થાય?

ધારો કે $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ એક ટીમમાં ખેલાડીઓ છે જેમની ટી-શર્ટ પર $1, 2, \dots, 11$ નંબર છે. ટીમ દ્વારા ફાઈનલ મેચમાં $100$ સોનાના સિક્કા જીતવામાં આવ્યા હતા. આ સિક્કાઓને ખેલાડીઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાના છે કે દરેક ખેલાડીને તેના ટી-શર્ટ નંબર કરતા ઓછામાં ઓછા $1$ સિક્કો વધુ મળે,પરંતુ કેપ્ટન અને વાઈસ-કેપ્ટનને તેમના ટી-શર્ટ નંબર કરતા અનુક્રમે ઓછામાં ઓછા $5$ અને $3$ સિક્કા વધુ મળે. જો કેપ્ટન $A_1$ અને વાઈસ-કેપ્ટન $A_2$ હોય,તો આ સિક્કાઓ કેટલી અલગ અલગ રીતે વહેંચી શકાય?

જો $^{2n}C_{3} : ^{n}C_{3} = 12 : 1$ હોય,તો $n$ શોધો.

જો $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$ હોય,તો $k$ ની કિંમતો ધરાવતો અંતરાલ કયો છે?

$\frac{8!}{6! \times 2!}$ ની ગણતરી કરો.