જો $\binom{n}{3} + \binom{n}{4} > \binom{n+1}{3}$ હોય,તો:

જો ${ }^{11} C_4+{ }^{11} C_5+{ }^{12} C_6+{ }^{13} C_7={ }^{14} C_{r}$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

એક ગામમાં $10$ ખેલાડીઓ છે. $6$ ખેલાડીઓની એક ટીમ બનાવવાની છે. આ $10$ ખેલાડીઓમાંથી $5$ સભ્યો પસંદ કરવામાં આવે છે અને ત્યારબાદ બાકીના $5$ ખેલાડીઓમાંથી કેપ્ટન પસંદ કરવામાં આવે છે. આવી ટીમ પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$4$ પુરુષો અને $6$ સ્ત્રીઓમાંથી એવી સમિતિ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો જેમાં ઓછામાં ઓછા $2$ પુરુષો હોય અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા પુરુષો કરતાં બરાબર બમણી હોય.

વિધાન-$1:$ $10$ સમાન દડાઓને $4$ ભિન્ન પેટીઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ પેટી ખાલી ન રહે,તે $^9C_3$ છે.
વિધાન-$2:$ $9$ અલગ-અલગ જગ્યાઓમાંથી કોઈપણ $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^9C_3$ છે.

$5$ અલગ-અલગ લીલા દડા,$4$ અલગ-અલગ વાદળી દડા અને $3$ અલગ-અલગ લાલ દડામાંથી કેટલા જૂથ બનાવી શકાય,જો ઓછામાં ઓછો $1$ લીલો અને $1$ વાદળી દડો સામેલ હોય?