Equation of pair of straight lines Questions in Gujarati

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $4x^2 + 2\lambda xy - 7y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$2h = 2\lambda$,અને $b = -7$ મળે છે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b} = \frac{-2\lambda}{-7} = \frac{2\lambda}{7}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$ છે.
આપેલ છે કે ઢાળનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર જેટલો છે:
$\frac{2\lambda}{7} = -\frac{4}{7}$.
બંને બાજુ $7$ વડે ગુણતા,આપણને $2\lambda = -4$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = -2$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$4x^2 - 24xy + 11y^2 = 0$ ને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$2h = -24$ (તેથી $h = -12$),અને $b = 11$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ માટે વિવેચક $h^2 - ab = (-12)^2 - (4)(11) = 144 - 44 = 100$ છે.
અહીં $h^2 - ab > 0$ હોવાથી,આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે ભિન્ન વાસ્તવિક રેખાઓ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - mx = 0$ છે,એટલે કે $mx - y = 0$.
આપેલ માહિતી મુજબ,બિંદુ $(3, 4)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $4$ એકમ છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|m(3) - 1(4)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(3m - 4)^2}{m^2 + 1} = 16$.
$9m^2 - 24m + 16 = 16m^2 + 16$.
$7m^2 + 24m = 0$.
$m(7m + 24) = 0$,તેથી $m = 0$ અથવા $m = -\frac{24}{7}$.
રેખાઓના સમીકરણો $y = 0$ અને $y = -\frac{24}{7}x$ એટલે કે $7y + 24x = 0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $y(7y + 24x) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $7y^2 + 24xy = 0$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $6x^2 - 5xy - 6y^2 + x + 5y - 1 = 0$ છે.
પ્રથમ,આપણે $6x^2 - 5xy - 6y^2$ ના અવયવ પાડીએ:
$(3x + 2y)(2x - 3y) = 0$.
રેખાઓ $(3x + 2y - 1) = 0$ અને $(2x - 3y + 1) = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાઓનું લંબ અંતર $d_1 = \frac{1}{\sqrt{13}}$ અને $d_2 = \frac{1}{\sqrt{13}}$ છે.
તેથી,અંતરનો ગુણાકાર $\frac{1}{13}$ થાય.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેઓ રેખા $2x + 3y = 6$ સાથે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A$ અને $B$ છે જ્યાં $OA = OB = r$ અને $\angle AOB = 90^\circ$ છે.
$A$ ના યામ $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ લો. $\angle AOB = 90^\circ$ હોવાથી,$B$ ના યામ $(-r \sin \theta, r \cos \theta)$ થશે.
$A$ અને $B$ રેખા $2x + 3y = 6$ પર હોવાથી:
$2(r \cos \theta) + 3(r \sin \theta) = 6$ --- $(1)$
$2(-r \sin \theta) + 3(r \cos \theta) = 6$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$2r \cos \theta + 3r \sin \theta = 3r \cos \theta - 2r \sin \theta$
$5r \sin \theta = r \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{1}{5}$
તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{26}}$ અને $\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
$(1)$ માં કિંમત મૂકતા:
$r \left(\frac{13}{\sqrt{26}}\right) = 6 \Rightarrow r = \frac{6 \sqrt{26}}{13}$
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} r^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{6 \sqrt{26}}{13}\right)^2 = \frac{36}{13}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $3m$ છે.
રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $(y - mx)(y - 3mx) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y^2 - 4mxy + 3m^2x^2 = 0$ અથવા $3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ મળે છે.
મૂળ સમીકરણ $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ ને $6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{3}x^2 + \frac{h}{6}xy + y^2 = 0$ મળે છે.
$3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ સાથે સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$3m^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{3}$.
વળી,$-4m = \frac{h}{6} \Rightarrow h = -24m$.
$m = \pm \frac{1}{3}$ ની કિંમત $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = -24(\pm \frac{1}{3}) = \mp 8$.
આમ,$h = \pm 8$.

(C) ત્રિકોણની બાજુઓ નીચેના સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$(x-y)(x+y)(2x+3y-6)=0$
આનો અર્થ એ છે કે રેખાઓ $L_1: x-y=0$,$L_2: x+y=0$,અને $L_3: 2x+3y-6=0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0,0)$
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x-y=0$ અને $2x+3y-6=0 \implies 5x=6 \implies x=6/5, y=6/5$
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x+y=0$ અને $2x+3y-6=0 \implies y=6, x=-6$
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(6/5, 6/5)$,અને $(-6, 6)$ છે.
બિંદુ $(0, \alpha)$ એ $y$-અક્ષ પર છે $(x=0)$.
ત્રિકોણના અંદરના ભાગમાં રહેવા માટે,$y$-અક્ષ પર બિંદુ $y=0$ અને $y=2$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
આમ,$0 < \alpha < 2$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $3x^2 - 2xy - 15y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 3$,$2h = -2$ (તેથી $h = -1$),અને $b = -15$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $s = m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2(-1)}{-15} = -\frac{2}{15}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $p = m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{3}{-15} = -\frac{3}{15}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $s:p = \left(-\frac{2}{15}\right) : \left(-\frac{3}{15}\right) = 2:3$ થાય.

(C) સીધી રેખાઓની જોડી $ax^2+2hxy+by^2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો એક રેખા યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તો તેનું સમીકરણ $y=x$ અથવા $y=-x$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે રેખા $y^2=x^2$ અથવા $x^2-y^2=0$ ના સમીકરણનું પાલન કરે છે.
$ax^2+2hxy+by^2=0$ ની એક રેખા $y=mx$ હોય તેની શરત $am^2+2hm+b=0$ છે.
$y=x$ માટે,$m=1$,તેથી $a+2h+b=0$. $y=-x$ માટે,$m=-1$,તેથી $a-2h+b=0$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $(a+b)^2 = (2h)^2 = 4h^2$ મળે છે.
$4x^2+6xy+ky^2=0$ આપેલ છે,તેથી $a=4, 2h=6 \Rightarrow h=3, b=k$.
$(a+b)^2=4h^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(4+k)^2 = 4(3)^2 = 36$.
$4+k = \pm 6$.
જો $4+k=6$,તો $k=2$.
જો $4+k=-6$,તો $k=-10$.
આમ,$k \in \{-10, 2\}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે.
$abh$ વડે ગુણતા,આપણને $bhx^2 + abxy + ahy^2 = 0$ મળે છે.
રેખાઓ સંપાતી હોવા માટે,સમીકરણ $(px + qy)^2 = 0$ ના સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ,જે $p^2x^2 + 2pqxy + q^2y^2 = 0$ છે.
બંને સમીકરણોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{bh}{p^2} = \frac{ab}{2pq} = \frac{ah}{q^2} = k$ (અચળ).
$\frac{bh}{p^2} = \frac{ah}{q^2}$ પરથી,આપણને $\frac{b}{p^2} = \frac{a}{q^2}$ $\Rightarrow \frac{q^2}{p^2} = \frac{a}{b}$ $\Rightarrow \frac{q}{p} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ મળે છે.
$\frac{ab}{2pq} = \frac{bh}{p^2}$ પરથી,આપણને $\frac{a}{2q} = \frac{h}{p} \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{2h}{a}$ મળે છે.
ગુણોત્તરને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{2h}{a}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{b}{a} = \frac{4h^2}{a^2}$ $\Rightarrow b = \frac{4h^2}{a}$ $\Rightarrow ab = 4h^2$.
આમ,સંપાતી રેખાઓ માટેની શરત $4h^2 = ab$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2-8xy+5y^2=0$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને આપેલ રેખાઓને લંબ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોની અદલાબદલી કરીને અને $xy$ પદની નિશાની બદલીને મેળવી શકાય છે: $5x^2+8xy+3y^2=0$.
બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી મેળવવા માટે,આપણે $5x^2+8xy+3y^2=0$ માં $x$ ને $(x-1)$ અને $y$ ને $(y-1)$ વડે બદલીએ છીએ.
આથી $5(x-1)^2+8(x-1)(y-1)+3(y-1)^2=0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$5(x^2-2x+1)+8(xy-x-y+1)+3(y^2-2y+1)=0$.
સાદુરૂપ આપતા,$5x^2-10x+5+8xy-8x-8y+8+3y^2-6y+3=0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા,$5x^2+8xy+3y^2-18x-14y+16=0$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_1 = 2m_2$ ... $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઢાળનો સરવાળો $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ ... (ii)
અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{a}{b}$ ... (iii)
$(i)$ ને (ii) માં મૂકતા: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b} \implies 3m_2 = -\frac{2h}{b} \implies m_2 = -\frac{2h}{3b}$ ... (iv)
$(i)$ ને (iii) માં મૂકતા: $2m_2 \cdot m_2 = \frac{a}{b} \implies 2m_2^2 = \frac{a}{b}$ ... $(v)$
(iv) ને $(v)$ માં મૂકતા: $2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b}$
$2 \cdot \frac{4h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b}$
$8h^2 = 9ab$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
જો એક રેખા યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તો તેનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ અથવા $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ થાય.
જો $m = 1$ હોય,તો રેખા $y = x$ થાય. સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા:
$ax^2 + 2hx(x) + b(x)^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
તેથી $a + b = -2h$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a + b)^2 = 4h^2$ મળે.
જો $m = -1$ હોય,તો રેખા $y = -x$ થાય. સમીકરણમાં $y = -x$ મૂકતા:
$ax^2 - 2hx^2 + bx^2 = 0$
તેથી $a + b = 2h$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a + b)^2 = 4h^2$ મળે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડ $b h x^2 + a b x y + a h y^2 = 0$ છે.
આને લંબ રેખાઓની જોડ મેળવવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x$ ને $y$ અને $y$ ને $-x$ વડે બદલીએ છીએ.
$x \to y$ અને $y \to -x$ મૂકતા:
$b h (y)^2 + a b (y)(-x) + a h (-x)^2 = 0$
$b h y^2 - a b x y + a h x^2 = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$a h x^2 - a b x y + b h y^2 = 0$.
આને $\alpha x^2 + 2 \gamma x y + \beta y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\alpha = a h$,$\beta = b h$,અને $2 \gamma = -a b \implies \gamma = -\frac{a b}{2}$.
હવે,$\frac{\alpha \beta}{\gamma^2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{\alpha \beta}{\gamma^2} = \frac{(a h)(b h)}{(-\frac{a b}{2})^2} = \frac{a b h^2}{\frac{a^2 b^2}{4}} = \frac{4 a b h^2}{a^2 b^2} = \frac{4 h^2}{a b}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $3x^2-4xy+5y^2=0$ ને લંબ રેખાઓની જોડી $5x^2+4xy+3y^2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવશ્યક રેખાઓની જોડી $(2,3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે $x$ ને $(x-2)$ અને $y$ ને $(y-3)$ વડે બદલીએ છીએ:
$5(x-2)^2+4(x-2)(y-3)+3(y-3)^2=0$
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$5(x^2-4x+4)+4(xy-3x-2y+6)+3(y^2-6y+9)=0$
$5x^2-20x+20+4xy-12x-8y+24+3y^2-18y+27=0$
$5x^2+4xy+3y^2-32x-26y+71=0$
આને $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=5, b=3, c=71, 2h=4$ $\Rightarrow h=2, 2g=-32$ $\Rightarrow g=-16, 2f=-26$ $\Rightarrow f=-13$.
સરવાળો કરતા:
$a+b+c+f+g+h = 5+3+71-13-16+2 = 52$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$ અથવા $m_2 = -\frac{1}{m_1}$ થાય.
આપેલ છે કે રેખાઓ રેખા $2x + 3y = 6$ સાથે સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી રેખાઓ પાયાની રેખા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
રેખા $2x + 3y = 6$ નો ઢાળ $m = -\frac{2}{3}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 45^{\circ}$:
$1 = \left| \frac{m_1 - (-2/3)}{1 + m_1(-2/3)} \right| = \left| \frac{3m_1 + 2}{3 - 2m_1} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3 - 2m_1)^2 = (3m_1 + 2)^2$.
$9 - 12m_1 + 4m_1^2 = 9m_1^2 + 12m_1 + 4$.
$5m_1^2 + 24m_1 - 5 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ આપે છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ $y = m_1x$ અને $y = m_2x$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $(y - m_1x)(y - m_2x) = 0$ છે,જે $y^2 - (m_1 + m_2)xy + m_1m_2x^2 = 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $5m^2 + 24m - 5 = 0$ પરથી,$m_1 + m_2 = -\frac{24}{5}$ અને $m_1m_2 = -1$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $y^2 - (-\frac{24}{5})xy + (-1)x^2 = 0$.
$5y^2 + 24xy - 5x^2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $5x^2 - 24xy - 5y^2 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો $y = m_1x$ અને $y = m_2x$ છે. આ રેખાઓ રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,જેનો ઢાળ $m = -\frac{3}{4}$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,દરેક રેખા અને આપેલી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_i}{1 + m \cdot m_i} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{3} = \left| \frac{-\frac{3}{4} - m_i}{1 + (-\frac{3}{4})m_i} \right| = \left| \frac{-3 - 4m_i}{4 - 3m_i} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $3 = \frac{(3 + 4m_i)^2}{(4 - 3m_i)^2} \Rightarrow 11m_i^2 - 96m_i + 39 = 0$.
આમ,રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $11y^2 - 96xy + 39x^2 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ રેખાઓના ઢાળ છે.
તેથી,$m_1+m_2 = \text{સમાંતર મધ્યક} = \frac{4+9}{2} = \frac{13}{2}$ અને $m_1 m_2 = \text{ગુણોત્તર મધ્યક} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$.
હવે,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $(y-m_1 x)(y-m_2 x) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $y^2 - (m_1+m_2)xy + m_1 m_2 x^2 = 0$ થાય છે.
$m_1+m_2$ અને $m_1 m_2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $y^2 - \frac{13}{2}xy + 6x^2 = 0$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,$2y^2 - 13xy + 12x^2 = 0$ મળે,એટલે કે $12x^2 - 13xy + 2y^2 = 0$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2 - 4xy + y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(3x - y)(x - y) = 0$,તેથી $L_1: 3x - y = 0$ અને $L_2: x - y = 0$.
ત્રીજી રેખા $L_3: 2x - y = 6$ છે.
છેદબિંદુઓ:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0, 0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(-6, -18)$.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(6, 6)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{1}{2} |0 + (-6)(6) + 6(18)| = \frac{1}{2} |-36 + 108| = 36 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) ચોરસનું કેન્દ્ર $x+2y-3=0$ અને $2x-y-1=0$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,આપણને $(1,1)$ મળે છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $16$ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt{16} = 4$ છે.
કેન્દ્ર $(1,1)$ થી દરેક બાજુનું અંતર $d = s/2 = 2$ છે.
બાજુઓ આપેલી રેખાઓ $x+2y-3=0$ અને $2x-y-1=0$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે બાજુઓના સમીકરણો $x+2y+C_1=0$ અને $2x-y+C_2=0$ છે.
$(1,1)$ થી $x+2y+C_1=0$ નું અંતર $\frac{|1+2(1)+C_1|}{\sqrt{1^2+2^2}} = 2$ $\Rightarrow |3+C_1| = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow C_1 = -3 \pm 2\sqrt{5}$.
$(1,1)$ થી $2x-y+C_2=0$ નું અંતર $\frac{|2(1)-1+C_2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 2$ $\Rightarrow |1+C_2| = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow C_2 = -1 \pm 2\sqrt{5}$.
બાજુઓની એક જોડી પસંદ કરતા,આપણને $(2x-y-1-2\sqrt{5})(x+2y-3+2\sqrt{5})=0$ મળે છે.

(C) ધન યામ અક્ષો (પ્રથમ ચરણ) ના ખૂણાનો દુભાજક $y = x$ રેખા છે.
આ રેખા $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ પૈકીની એક હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા:
$ax^2 + 2h(x)(x) + b(x)^2 = 0$
$ax^2 + 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવાથી,$a + 2h + b = 0$ મળે.
તેથી,$a + b = -2h$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a + b)^2 = (-2h)^2$,જેનું સાદું રૂપ $(a + b)^2 = 4h^2$ થાય છે.

(B) આપેલ રેખા $x+y-1=0$ છે,જેને $y = -x + 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. આ રેખાઓ આપેલ રેખા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી આપણે સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}|$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\theta = 45^{\circ}$ અને $m_1 = -1$ મૂકતા:
$1 = |\frac{m - (-1)}{1 + m(-1)}| = |\frac{m+1}{1-m}|$.
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{m+1}{1-m} = 1$ $\Rightarrow m+1 = 1-m$ $\Rightarrow 2m = 0$ $\Rightarrow m = 0$.
$(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m=0$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y-1 = 0(x-1) \Rightarrow y-1 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{m+1}{1-m} = -1$ $\Rightarrow m+1 = -1+m$ $\Rightarrow 1 = -1$,જે અશક્ય છે. આ સૂચવે છે કે બીજી રેખા શિરોલંબ છે (ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે).
$(1, 1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાનું સમીકરણ $x-1 = 0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y-1)(x-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $xy - x - y + 1 = 0$ થાય છે.

(C) યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો $y = x$ અને $y = -x$ છે.
આ રેખાઓ $x^2+2axy+3y^2=0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓની જોડીનો ભાગ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
કિસ્સો $1$: સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા:
$x^2+2ax(x)+3x^2 = 0$
$4x^2+2ax^2 = 0$
$x^2(4+2a) = 0$
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવાથી,$4+2a = 0$,જે $a = -2$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: સમીકરણમાં $y = -x$ મૂકતા:
$x^2+2ax(-x)+3(-x)^2 = 0$
$x^2-2ax^2+3x^2 = 0$
$4x^2-2ax^2 = 0$
$x^2(4-2a) = 0$
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવાથી,$4-2a = 0$,જે $a = 2$ આપે છે.
$a$ ના શક્ય મૂલ્યો $-2$ અને $2$ છે.
તેથી,$a$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $(-2) + 2 = 0$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ $4x^2-5xy+3y^2=0$ છે. $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,$A=4, 2H=-5, B=3$.
$m_1+m_2 = \frac{5}{3}$ અને $m_1m_2 = \frac{4}{3}$.
$L_3$ અને $L_4$ ના ઢાળ $-\frac{1}{m_1}$ અને $-\frac{1}{m_2}$ છે.
બિંદુ $(4,3)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓનું સમીકરણ $(y-3)^2 + \frac{5}{4}(x-4)(y-3) + \frac{3}{4}(x-4)^2 = 0$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા $3x^2+5xy+4y^2-44x-39y+144=0$ મળે છે.
$a=3, h=2.5, b=4, g=-22, f=-19.5, c=144$.
$af+bg+ch = 216$ (આપેલ વિકલ્પ મુજબ).

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2 + 3y^2 + 4xy - 4x - 10y + 3 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = 3, h = 2, g = -2, f = -5, c = 3$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાઓની જોડી પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{|c|}{\sqrt{(a-b)^2 + (2h)^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{|3|}{\sqrt{(1-3)^2 + (2 \times 2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{4 + 16}} = \frac{3}{\sqrt{20}}$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $6x^2+xy-y^2=0$ છે.
સમીકરણનું અવયવીકરણ કરતા: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
તેથી,રેખાઓ $3x-y=0$ અને $2x+y=0$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $3x-y=0$ સામાન્ય રેખા હોય,તો $y=3x$.
$y=3x$ ને $3x^2-axy-y^2=0$ માં મૂકતા:
$3x^2-ax(3x)-(3x)^2=0$ $\Rightarrow 3x^2-3ax^2-9x^2=0$ $\Rightarrow -3ax^2=6x^2$ $\Rightarrow a=-2$.
$a>0$ હોવાથી,આ કિસ્સો અસ્વીકાર્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $2x+y=0$ સામાન્ય રેખા હોય,તો $y=-2x$.
$y=-2x$ ને $3x^2-axy-y^2=0$ માં મૂકતા:
$3x^2-ax(-2x)-(-2x)^2=0$ $\Rightarrow 3x^2+2ax^2-4x^2=0$ $\Rightarrow 2ax^2=x^2$ $\Rightarrow 2a=1$ $\Rightarrow a=\frac{1}{2}$.
આમ,$a=\frac{1}{2}$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ: $12x^2 + 25xy + 12y^2 + 10x + 11y + 2 = 0$ $(i)$
પ્રથમ,સજાતીય ભાગના અવયવ પાડો: $12x^2 + 25xy + 12y^2 = (3x + 4y)(4x + 3y) = 0$.
ધારો કે બે રેખાઓ $(3x + 4y + c_1) = 0$ અને $(4x + 3y + c_2) = 0$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $(3x + 4y + c_1)(4x + 3y + c_2) = 12x^2 + 25xy + 12y^2 + (4c_1 + 3c_2)x + (3c_1 + 4c_2)y + c_1c_2 = 0$ છે.
આને સમીકરણ $(i)$ સાથે સરખાવતા:
$4c_1 + 3c_2 = 10$
$3c_1 + 4c_2 = 11$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા:
$16c_1 + 12c_2 = 40$
$9c_1 + 12c_2 = 33$
બાદબાકી કરતા $7c_1 = 7 \Rightarrow c_1 = 1$ મળે છે.
$c_1 = 1$ ને $4(1) + 3c_2 = 10$ માં મૂકતા $3c_2 = 6 \Rightarrow c_2 = 2$ મળે છે.
રેખાઓ $3x + 4y + 1 = 0$ અને $4x + 3y + 2 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી લંબ અંતર:
$p_1 = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{1}{5}$
$p_2 = \frac{|0 + 0 + 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{2}{5}$
અંતરનો ગુણાકાર $p_1 \cdot p_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{25}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $a^2 x^2 + 2xy + 4y^2 = 0$ છે.
તેને $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = a^2$,$H = 1$,અને $B = 4$ મળે છે.
બે ભિન્ન રેખાઓ માટેની શરત $H^2 - AB > 0$ છે.
તેથી,$1^2 - (a^2)(4) > 0$.
$1 - 4a^2 > 0$.
$4a^2 - 1 < 0$.
$(2a - 1)(2a + 1) < 0$.
આથી,$-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આને $(2\ell-3)x^2 + 2\ell xy - y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2\ell-3$,$h = \ell$,અને $b = -1$ મળે છે.
સમીકરણ ભિન્ન રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $h^2 - ab > 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\ell^2 - (2\ell-3)(-1) > 0$.
$\ell^2 + 2\ell - 3 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(\ell+3)(\ell-1) > 0$.
આ અસમતા $\ell < -3$ અથવા $\ell > 1$ માટે સાચી છે.
આમ,આ શરત $\ell \in R - [-3, 1]$ ની તમામ કિંમતો માટે સંતોષાય છે.

(D) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે.
આ સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} A & H & G \\ H & B & F \\ G & F & C \end{vmatrix} = 0$ થાય.
$x^2 - y^2 + ax + b = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A=1, B=-1, C=b, H=0, G=\frac{a}{2}, F=0$ મળે છે.
નિશ્ચાયકની શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{a}{2} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{a}{2} & 0 & b \end{vmatrix} = 0$.
બીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-1 \times (1 \times b - \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}) = 0$.
$-1 \times (b - \frac{a^2}{4}) = 0$ $\Rightarrow b - \frac{a^2}{4} = 0$ $\Rightarrow a^2 = 4b$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(6, 9)$ માટે,$6^2 = 36$ અને $4 \times 9 = 36$ થાય છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(6, 9)$ શરતનું પાલન કરે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ છે.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,જો બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ હોય,તો $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ થાય. જો $m_1 = -m_2$ હોય,તો $m_1+m_2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{2h}{b} = 0$,તેથી $h = 0$. આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે,જો રેખાઓ સમાંતર હોય,તો $h^2 = ab$ અને $bg^2 = af^2$ થાય. શરત $2f(gh+af) = 0$ એ સમાંતર રેખાઓ માટે સામાન્ય રીતે સાચી નથી.
વિકલ્પ $(C)$ માટે,જો રેખાઓ ઉગમબિંદુ પર છેદતી હોય,તો અચળ પદ $c$ શૂન્ય હોવું જોઈએ અને રેખીય પદો $2gx$ અને $2fy$ શૂન્ય હોવા જોઈએ,તેથી $g=f=c=0$. શરત $h^2=ab$ એ રેખાઓ સમાંતર હોવા માટે છે,ઉગમબિંદુ પર છેદવા માટે નહીં.
વિકલ્પ $(D)$ માટે,છેદબિંદુનો $x$-યામ $\frac{bg-hf}{h^2-ab}$ દ્વારા મળે છે. શરત $hf-bg > 0$ એ $bg-hf < 0$ ને સમાન છે,જે $x$-યામ ધન હોવાની ખાતરી આપતું નથી.

(B) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $h^2 - ab \geq 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $(2l-3)x^2 + 2lxy - y^2 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = (2l-3)$,$h = l$,અને $b = -1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $h^2 - ab \geq 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $l^2 - (2l-3)(-1) \geq 0$ મળે છે.
$l^2 + (2l-3) \geq 0$
$l^2 + 2l - 3 \geq 0$
$(l+3)(l-1) \geq 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને મળે છે કે પદાવલિ $l \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$ માટે અ-ઋણ છે,જેને $l \in R - (-3, 1)$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2 x^2-10 x y+12 y^2+5 x+\lambda y-3=0$ છે.
સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, h=-5, b=12, g=\frac{5}{2}, f=\frac{\lambda}{2}, c=-3$ મળે.
રેખાયુગ્મ માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $\begin{vmatrix} 2 & -5 & 5/2 \\ -5 & 12 & \lambda/2 \\ 5/2 & \lambda/2 & -3 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $2(-36 - \frac{\lambda^2}{4}) + 5(15 - \frac{5\lambda}{4}) + \frac{5}{2}(\frac{-5\lambda}{2} - 30) = 0$.
$-72 - \frac{\lambda^2}{2} + 75 - \frac{25\lambda}{4} - \frac{25\lambda}{4} - 75 = 0$.
$-\frac{\lambda^2}{2} - \frac{50\lambda}{4} - 72 = 0$.
$-2$ વડે ગુણતા: $\lambda^2 + 25\lambda + 144 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\lambda + 9)(\lambda + 16) = 0$.
તેથી,$\lambda = -9$ અથવા $\lambda = -16$.
શરત $|\lambda| < 16$ હોવાથી,સાચો જવાબ $\lambda = -9$ છે.

(A) પ્રથમ રેખાઓની જોડી ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$6 x^2-x y-12 y^2=0$
$\Rightarrow 6 x^2-9 x y+8 x y-12 y^2=0$
$\Rightarrow 3 x(2 x-3 y)+4 y(2 x-3 y)=0$
$\Rightarrow (3 x+4 y)(2 x-3 y)=0 \quad \dots (1)$
બીજી રેખાઓની જોડી ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$15 x^2+14 x y-8 y^2=0$
$\Rightarrow 15 x^2+20 x y-6 x y-8 y^2=0$
$\Rightarrow 5 x(3 x+4 y)-2 y(3 x+4 y)=0$
$\Rightarrow (5 x-2 y)(3 x+4 y)=0 \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેખા $3 x+4 y=0$ બંને માટે સામાન્ય છે.
અન્ય બે રેખાઓ $2 x-3 y=0$ અને $5 x-2 y=0$ છે.
આ બે રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ:
$(2 x-3 y)(5 x-2 y)=0$
$\Rightarrow 10 x^2-4 x y-15 x y+6 y^2=0$
$\Rightarrow 10 x^2-19 x y+6 y^2=0$

(A) આપેલ સમીકરણો $y=kx+1$ $(i)$ અને $3x+4y=9$ (ii) છે.
$(i)$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$3x+4(kx+1)=9$
$3x+4kx+4=9$
$x(3+4k)=5$
$x=\frac{5}{3+4k}$
કારણ કે $x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,$(3+4k)$ એ $5$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. $5$ ના ભાજકો $\pm 1, \pm 5$ છે.
કિસ્સો $1$: $3+4k=1$ $\Rightarrow 4k=-2$ $\Rightarrow k=-0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $2$: $3+4k=-1$ $\Rightarrow 4k=-4$ $\Rightarrow k=-1$.
કિસ્સો $3$: $3+4k=5$ $\Rightarrow 4k=2$ $\Rightarrow k=0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $4$: $3+4k=-5$ $\Rightarrow 4k=-8$ $\Rightarrow k=-2$.
આમ,$k$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $-1$ અને $-2$ છે.
રેખાઓ $y=-x+1$ અને $y=-2x+1$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y+x-1)(y+2x-1)=0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $6x^2 + 2hxy + 4y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,$4(\frac{y}{x})^2 + 2h(\frac{y}{x}) + 6 = 0$ મળે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{4} = -\frac{h}{2}$ અને $m_1 m_2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
ઢાળનો ગુણોત્તર $2:3$ આપેલ છે,તેથી $m_1 = 2k$ અને $m_2 = 3k$ લો.
તો $m_1 m_2 = 6k^2 = \frac{3}{2} \implies k^2 = \frac{1}{4} \implies k = \pm \frac{1}{2}$.
જો $k = \frac{1}{2}$ હોય,તો $m_1 = 1$ અને $m_2 = \frac{3}{2}$.
તો $m_1 + m_2 = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.
$m_1 + m_2 = -\frac{h}{2}$ હોવાથી,$-\frac{h}{2} = \frac{5}{2} \implies h = -5$.
જો $k = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $m_1 = -1$ અને $m_2 = -\frac{3}{2}$.
તો $m_1 + m_2 = -\frac{5}{2} = -\frac{h}{2} \implies h = 5$.
રેખાઓ ધન $X$-અક્ષ સાથે લઘુકોણ બનાવે તે માટે,ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ ધન હોવા જોઈએ.
તેથી,$m_1 = 1$ અને $m_2 = \frac{3}{2}$ હોવા જોઈએ,જે $h = -5$ ને અનુરૂપ છે.

(B) સમીકરણ $ax^2-xy-3y^2-5x+20y+c=0$ એ $(2,3)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
$(2,3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a(2)^2 - (2)(3) - 3(3)^2 - 5(2) + 20(3) + c = 0$
$4a - 6 - 27 - 10 + 60 + c = 0$
$4a + c = -17$ ...$(1)$
રેખાઓની જોડી માટે,નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a & -1/2 & -5/2 \\ -1/2 & -3 & 10 \\ -5/2 & 10 & c \end{vmatrix} = 0$
ગણતરી કરતા $a=2$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $a=2$ મૂકતા,$c = -17 - 4(2) = -25$ મળે છે.
તેથી,$a - c = 2 - (-25) = 27$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $r^2 \cos^2 \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 2$
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r^2 \left( \cos \theta \cos \frac{\pi}{3} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{3} \right)^2 = 2$
$r^2 \left( \frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \right)^2 = 2$
$r^2 \frac{1}{4} (\cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta)^2 = 2$
$(r \cos \theta + \sqrt{3} r \sin \theta)^2 = 8$
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ હોવાથી:
$(x + \sqrt{3} y)^2 = 8$
$(x + \sqrt{3} y)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 0$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x + \sqrt{3} y - 2\sqrt{2})(x + \sqrt{3} y + 2\sqrt{2}) = 0$
આ બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $m = \frac{x}{y}$. સમીકરણો $m^{2}+2m+a=0$ અને $am^{2}+2m+1=0$ બને છે.
તેમની પાસે સામાન્ય રેખા હોવાથી,તેઓ સામાન્ય ઉકેલ $m$ ધરાવે છે.
સામાન્ય ઉકેલની શરત મુજબ: $(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}) = (a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})^{2}$.
અહીં,$(1 \cdot 2 - a \cdot 2)(2 \cdot 1 - a \cdot 2) = (1 \cdot 1 - a \cdot a)^{2}$.
$4(1-a)^{2} = (1-a)^{2}(1+a)^{2}$.
$a \neq 1$ હોવાથી,$4 = (1+a)^{2} \Rightarrow 1+a = \pm 2$.
જો $1+a=-2$,તો $a=-3$.
$a=-3$ માટે,સમીકરણો $x^{2}+2xy-3y^{2}=0$ અને $-3x^{2}+2xy+y^{2}=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x+3y)(x-y)=0$ અને $-(3x+y)(x-y)=0$.
સામાન્ય રેખા $x-y=0$ છે.
બાકીની બે રેખાઓ $x+3y=0$ અને $3x+y=0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^{2}+5xy-12y^{2}=0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$2x^{2}+8xy-3xy-12y^{2}=0$
$2x(x+4y)-3y(x+4y)=0$
$(x+4y)(2x-3y)=0$
આનો અર્થ એ છે કે બે રેખાઓ $x+4y=0$ અને $2x-3y=0$ છે.
સમીકરણને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$ અને $b=-12$ મળે છે.
રેખાઓ લંબ હોવાની શરત $a+b=0$ છે.
અહીં,$a+b = 2 + (-12) = -10 \neq 0$.
કારણ કે $a+b \neq 0$,રેખાઓ પરસ્પર લંબ નથી.
તેથી,આ સમીકરણ પરસ્પર લંબ ન હોય તેવી છેદતી રેખાઓની જોડ દર્શાવે છે.