Expansion of binomial theorem Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદાવલિ $(1-x)^3(2+x)^6$ છે. $x$ ખૂબ નાનું હોવાથી,આપણે $x^3$ અને તેનાથી મોટી ઘાતને અવગણીએ છીએ. \\ $(1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2$. \\ $(2+x)^6 = 2^6 + 6 \times 2^5 \times x + \frac{6 \times 5}{2} \times 2^4 \times x^2 = 64 + 192x + 240x^2$. \\ હવે,બંને વિસ્તરણનો ગુણાકાર કરતા: \\ $(1-3x+3x^2)(64+192x+240x^2) = 64 + 192x + 240x^2 - 192x - 576x^2 + 192x^2$ ($x^3$ અને મોટી ઘાતને અવગણતા). \\ $= 64 + (192-192)x + (240-576+192)x^2 = 64 + 0x - 144x^2$. \\ $a+bx+cx^2$ સાથે સરખાવતા,$a=64, b=0, c=-144$ મળે છે. \\ તેથી,$a+b+c = 64 + 0 - 144 = -80$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = \frac{(1+\frac{2x}{3})^{-4}(4+5x)^{1/2}}{(9+x)^{3/2}}$
$x^2$ અને તેનાથી મોટી ઘાતને અવગણતા, દ્વિપદી આસન્નમૂલ્ય $(1+u)^n \approx 1+nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) \approx \frac{2}{27} (1 - \frac{8x}{3}) (1 + \frac{5x}{8}) (1 - \frac{x}{6})$
$f(x) \approx \frac{2}{27} (1 - \frac{53x}{24})$
$x = \frac{6}{371}$ મૂકતા:
$f(\frac{6}{371}) \approx \frac{2}{27} (1 - \frac{53}{1484}) = \frac{1}{14}$

(D) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}$ છે.
તેને $\frac{1}{(-1)^2(1-x)^2(-2)(1-\frac{x}{2})} = -\frac{1}{2}(1-x)^{-2}(1-\frac{x}{2})^{-1}$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1-x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + \dots$
$(1-\frac{x}{2})^{-1} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots$
આ શ્રેણીઓનો ગુણાકાર કરતા: $-\frac{1}{2}(1 + 2x + \dots)(1 + \frac{x}{2} + \dots) = -\frac{1}{2}(1 + \frac{5}{2}x + \dots)$.
તેથી,અચળ પદ $-\frac{1}{2} \times 1 = -\frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $(2+\sqrt{3})^5 = I + f$,જ્યાં $I$ એ પૂર્ણાંક છે અને $0 < f < 1$.
$(2-\sqrt{3})^5 = f'$ ધ્યાનમાં લો.
$0 < 2-\sqrt{3} < 1$ હોવાથી,$0 < (2-\sqrt{3})^5 < 1$ થાય,તેથી $0 < f' < 1$.
હવે,સરવાળો $S = (2+\sqrt{3})^5 + (2-\sqrt{3})^5$ ધ્યાનમાં લો.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$S = 2 \times [^5C_0 2^5 + ^5C_2 2^3 (\sqrt{3})^2 + ^5C_4 2^1 (\sqrt{3})^4]$.
$S = 2 \times [32 + 10 \times 8 \times 3 + 5 \times 2 \times 9] = 2 \times [32 + 240 + 90] = 2 \times 362 = 724$.
$I + f + f' = 724$ અને $0 < f + f' < 2$ હોવાથી,$f + f'$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
$0 < f < 1$ અને $0 < f' < 1$ આપેલ હોવાથી,$f + f'$ ની એકમાત્ર શક્ય કિંમત $1$ છે.
તેથી,$I + 1 = 724$,જેનો અર્થ છે કે $I = 723$.

(D) આપેલ પદાવલિ $(1-x-x^2+x^3)^6$ છે.
આપણે તેને $[(1-x)-x^2(1-x)]^6 = [(1-x^2)(1-x)]^6 = (1-x^2)^6(1-x)^6$ તરીકે અવયવ પાડી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} y^k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1-x^2)^6 = 1 - 6x^2 + 15x^4 - \dots$
$(1-x)^6 = 1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4 - \dots$
ગુણાકાર $(1 - 6x^2 + 15x^4)(1 - 6x + 15x^2 - 20x^3 + 15x^4)$ માં $x^4$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,જે પદોનો ગુણાકાર $x^4$ આપે છે તેનો સરવાળો કરીએ:
$1 \times (15x^4) + (-6x^2) \times (15x^2) + (15x^4) \times (1) = 15 - 90 + 15 = -60$.
આમ,$x^4$ નો સહગુણક $-60$ છે.

(A) આપેલ પદ $\frac{1}{(1-5x)(1-4x)}$ છે,જ્યાં $|x| < \frac{1}{5}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1-5x)^{-1} = 1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots$
$(1-4x)^{-1} = 1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots$
આ બંને શ્રેણીનો ગુણાકાર કરતા:
$(1 + 5x + 25x^2 + 125x^3 + \dots)(1 + 4x + 16x^2 + 64x^3 + \dots)$
$x^3$ નો સહગુણક નીચે મુજબ મળે છે:
$1 \cdot (64) + (5) \cdot (16) + (25) \cdot (4) + (125) \cdot 1$
$= 64 + 80 + 100 + 125$
$= 369$

(A) આપેલ છે કે $(1+2x+3x^2)^{10} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{20}x^{20}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+y)^n = \sum_{k=0}^n {}^{n}C_k y^k$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $y = 2x+3x^2$.
$(1+2x+3x^2)^{10} = {}^{10}C_0 + {}^{10}C_1(2x+3x^2) + {}^{10}C_2(2x+3x^2)^2 + \ldots$
$= 1 + 10(2x+3x^2) + 45(4x^2+12x^3+9x^4) + \ldots$
$= 1 + 20x + 30x^2 + 180x^2 + \ldots$
$= 1 + 20x + 210x^2 + \ldots$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a_1 = 20$ અને $a_2 = 210$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a_2}{a_1} = \frac{210}{20} = 10.5$.

(D) આપણી પાસે છે,$(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_{2n}x^{2n}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \ldots + 2na_{2n}x^{2n-1}$.
હવે,$x=1$ મૂકતા:
$n(1+1+1)^{n-1}(1+2(1)) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$.
$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n}$.
તેથી,$a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2na_{2n} = n \cdot 3^n$.

(C) બહુપદીના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ વિસ્તરણ $\left(1+\frac{x}{2}\right)^{12}$ છે.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
સહગુણકોનો સરવાળો $= \left(1+\frac{1}{2}\right)^{12} = \left(\frac{3}{2}\right)^{12}$.

(B) ધારો કે $x = (2+\sqrt{3})^{49} + (\sqrt{3}-2)^{49}$.
કારણ કે $(\sqrt{3}-2)^{49} = - (2-\sqrt{3})^{49}$,તેથી $x = (2+\sqrt{3})^{49} - (2-\sqrt{3})^{49}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \sum_{k=0, k \text{ is odd}}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=49, x=2, y=\sqrt{3}$.
$x = 2 [ \binom{49}{1} 2^{48} (\sqrt{3})^1 + \binom{49}{3} 2^{46} (\sqrt{3})^3 + \dots + \binom{49}{49} (\sqrt{3})^{49} ]$.
વિસ્તરણના દરેક પદમાં $\sqrt{3}$ ની એકી ઘાત છે,જે $\sqrt{3}$ નો ગુણક આપે છે.
આમ,$x = 0 + b\sqrt{3}$,જ્યાં $b \neq 0$ અને $a = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $b \neq 0, a=0$ છે.

(C) આપેલ છે,$(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
$\Rightarrow [(1+x)(1+x^2)]^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
$\Rightarrow (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
ધારો કે $f(x) = (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$.
આપણે $\sum_{k=0}^7 a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{14} = \frac{f(1) + f(-1)}{2}$.
$f(1) = (1+1)^5 (1+1^2)^5 = 2^5 \times 2^5 = 2^{10} = 1024$.
$f(-1) = (1-1)^5 (1+(-1)^2)^5 = 0^5 \times 2^5 = 0$.
તેથી,$\sum_{k=0}^7 a_{2k} = \frac{1024 + 0}{2} = 512$.

(C) કોઈપણ બહુપદી $P(x)$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $(1+x+x^2)^n$ છે.
$x = 1$ મૂકતા:
$(1 + 1 + 1^2)^n = (1 + 1 + 1)^n = 3^n$.
આમ,સહગુણકોનો સરવાળો $3^n$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{(1+\frac{2}{3}x)^{-3}(1-15x)^{-1/5}}{(2-3x)^4}$
$x^2$ અને તેનાથી મોટી ઘાતોને અવગણતા,આપણે દ્વિપદી આશરે કિંમત $(1+nx) \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$E = \frac{1}{16} (1+\frac{2}{3}x)^{-3} (1-15x)^{-1/5} (1-\frac{3}{2}x)^{-4}$
આશરે કિંમત $(1+ax)^n \approx 1+nax$ લાગુ પાડતા:
$(1+\frac{2}{3}x)^{-3} \approx 1-2x$
$(1-15x)^{-1/5} \approx 1+3x$
$(1-\frac{3}{2}x)^{-4} \approx 1+6x$
આ બધાનો ગુણાકાર કરતા:
$E \approx \frac{1}{16} (1-2x)(1+3x)(1+6x) = \frac{1}{16}(1+7x)$

(B) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \frac{x}{(x-2)(x-3)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતે,$\frac{x}{(x-2)(x-3)} = \frac{3}{x-3} - \frac{2}{x-2} = (1 - \frac{x}{2})^{-1} - (1 - \frac{x}{3})^{-1}$ થાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - \frac{x}{2})^{-1} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots$
$(1 - \frac{x}{3})^{-1} = 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \dots$
તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{5}{36}$ મળે છે.

(C) આપણી પાસે છે,$\frac{x^4-12x^2+7}{(x^2+1)^3} = (x^4-12x^2+7)(1+x^2)^{-3}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^{-n} = 1 - nu + \frac{n(n+1)}{2!}u^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}u^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x^2$ અને $n = 3$:
$(1+x^2)^{-3} = 1 - 3x^2 + 6x^4 - 10x^6 + \dots$
હવે,$(x^4 - 12x^2 + 7)$ સાથે ગુણાકાર કરતા:
$(x^4 - 12x^2 + 7)(1 - 3x^2 + 6x^4 - 10x^6 + \dots)$
$x^6$ ધરાવતા પદો:
$x^4 \times (-3x^2) = -3x^6$
$-12x^2 \times (6x^4) = -72x^6$
$7 \times (-10x^6) = -70x^6$
સહગુણકોનો સરવાળો: $-3 - 72 - 70 = -145$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+x)^{-2}$ નું શ્રેણી વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$(1+x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \ldots$
તેથી,આપેલ પદાવલિને આ રીતે લખી શકાય:
$(1-2x+3x^2-4x^3+\ldots)^{-n} = [(1+x)^{-2}]^{-n} = (1+x)^{2n}$
હવે,દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = ^{(2n)}C_r x^r$
$x^6$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $r = 6$ લઈએ છીએ:
$T_{6+1} = ^{(2n)}C_6 x^6$
આમ,$x^6$ નો સહગુણક $^{(2n)}C_6$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a_1, a_2, \ldots, a_n$ એ $x^n-2=0$ ના $n$ ભિન્ન બીજ છે.
તેથી,આપણે બહુપદીને $x^n-2 = (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n)$ તરીકે લખી શકીએ.
સમીકરણમાં $x=1$ મૂકતા,આપણને મળે:
$1^n - 2 = (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)$
$-1 = (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n)$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,આપણને $1 + (1-a_1)(1-a_2)\ldots(1-a_n) = 0$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે,જો $\alpha_i$ એ $f(x)=0$ ના બીજ હોય,તો $f(\alpha_i)=0$ થાય. જો આપણે $f(g(x))=0$ લઈએ,તો $g(x)$ એ બીજ $\alpha_i$ માંથી એક હોવું જોઈએ. તેથી,$x = g^{-1}(\alpha_i)$.
તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે અને તે $(A)$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $A = (1+x)^{2016}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{1+x}$ અને $n = 2017$ પદો છે.
સરવાળો $S = A \frac{1-r^n}{1-r} = (1+x)^{2016} \frac{1 - (\frac{x}{1+x})^{2017}}{1 - \frac{x}{1+x}} = (1+x)^{2016} \frac{\frac{(1+x)^{2017} - x^{2017}}{(1+x)^{2017}}}{\frac{1+x-x}{1+x}} = (1+x)^{2016} \frac{(1+x)^{2017} - x^{2017}}{(1+x)^{2017}} \cdot (1+x) = (1+x)^{2017} - x^{2017}$.
આપણને આપેલ છે કે $\sum_{i=0}^{2016} a_i x^i = (1+x)^{2017} - x^{2017}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1+x)^{2017}$ નું વિસ્તરણ કરતા: $(1+x)^{2017} = \sum_{i=0}^{2017} {}^{2017}C_i x^i$.
તેથી,$\sum_{i=0}^{2016} a_i x^i = \left( \sum_{i=0}^{2017} {}^{2017}C_i x^i \right) - x^{2017} = \sum_{i=0}^{2016} {}^{2017}C_i x^i$.
$x^{17}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $a_{17} = {}^{2017}C_{17} = \frac{2017!}{17! (2017-17)!} = \frac{2017!}{17! 2000!}$.

(C) આપણે $(0.999)^3$ ને $(1 - 0.001)^3$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k$.
$(1 - 0.001)^3$ માટે,આપણને મળે:
$(1 - 0.001)^3 = \binom{3}{0}(1)^3 - \binom{3}{1}(1)^2(0.001) + \binom{3}{2}(1)(0.001)^2 - \binom{3}{3}(0.001)^3$
$= 1 - 3(0.001) + 3(0.000001) - 0.000000001$
$= 1 - 0.003 + 0.000003 - 0.000000001$
$= 0.997 + 0.000002999$
$= 0.997002999$
$3$ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ કરતા,આપણને $0.997$ મળે છે.

(D) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{100} k(1+x)^k$. આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી $(AGP)$ છે.
ધારો કે $r = (1+x)$. તો $S = r + 2r^2 + 3r^3 + . . . + 100r^{100}$.
$r$ વડે ગુણતા: $rS = r^2 + 2r^3 + . . . + 99r^{100} + 100r^{101}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S(1-r) = r + r^2 + r^3 + . . . + r^{100} - 100r^{101}$.
$S(-x) = \frac{r(r^{100}-1)}{r-1} - 100r^{101} = \frac{(1+x)((1+x)^{100}-1)}{x} - 100(1+x)^{101}$.
$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}-(1+x)}{x^2}$.
આપણને $S$ માં $x^{48}$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
$S = 100(1+x)^{101} - \frac{(1+x)^{101}}{x^2} + \frac{1+x}{x^2}$.
$x^{48}$ પદ $100(1+x)^{101}$ (સહગુણક $100 \cdot ^{101}C_{48}$) અને $-\frac{(1+x)^{101}}{x^2}$ (સહગુણક $-^{101}C_{50}$) માંથી મળે છે.
આમ,સહગુણક $100 \cdot ^{101}C_{48} - ^{101}C_{50}$ છે.