જો $a$ અને $b$ ભિન્ન પૂર્ણાંકો હોય,તો સાબિત કરો કે $a-b$ એ $a^{n}-b^{n}$ નો અવયવ છે,જ્યાં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે.

(N/A) સાબિત કરવા માટે કે $(a-b)$ એ $(a^{n}-b^{n})$ નો અવયવ છે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે $a^{n}-b^{n} = k(a-b)$,જ્યાં $k$ એ પૂર્ણાંક છે.
આપણે $a$ ને $(a-b)+b$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$a^{n} = ((a-b)+b)^{n}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$a^{n} = \sum_{r=0}^{n} {^{n}C_{r}} (a-b)^{n-r} b^{r}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$a^{n} = {^{n}C_{0}}(a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1} + {^{n}C_{n}}b^{n}$.
કારણ કે ${^{n}C_{0}} = 1$ અને ${^{n}C_{n}} = 1$,આપણી પાસે $a^{n} = (a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1} + b^{n}$ છે.
બંને બાજુથી $b^{n}$ બાદ કરતા,$a^{n}-b^{n} = (a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1}$.
$(a-b)$ સામાન્ય લેતા,આપણને $a^{n}-b^{n} = (a-b) [ (a-b)^{n-1} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-2}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}b^{n-1} ]$ મળે છે.
ધારો કે $k = [ (a-b)^{n-1} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-2}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}b^{n-1} ]$,જે એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,$a^{n}-b^{n} = k(a-b)$,જે સાબિત કરે છે કે $(a-b)$ એ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $a^{n}-b^{n}$ નો અવયવ છે.