Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ: $8x^3 - 42x^2 + 63x - 27 = 0$ . . . $(i)$
$\alpha, \beta, \gamma$ એ $(i)$ ના બીજ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = \frac{27}{8}$ થાય.
$\beta, \gamma, \alpha$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$\gamma^2 = \beta \alpha$ થાય.
તેથી,$\gamma \cdot \gamma^2 = \frac{27}{8} \implies \gamma^3 = \frac{27}{8} \implies \gamma = \frac{3}{2}$.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$.
$\alpha + \beta = \frac{21}{4} - \frac{3}{2} = \frac{15}{4}$ અને $\alpha \beta = \frac{9}{4}$ હોવાથી,$\alpha$ અને $\beta$ એ $4t^2 - 15t + 9 = 0$ ના બીજ છે,જે ઉકેલતા $t = \frac{3}{4}$ અથવા $t = 3$ મળે.
$\beta < \gamma < \alpha$ હોવાથી,$\beta = \frac{3}{4}, \gamma = \frac{3}{2}, \alpha = 3$.
પદાવલિ $\frac{3}{2}x^2 + 3x + 3$ નું અંતિમ મૂલ્ય $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$ સૂત્રથી મેળવતા:
$\frac{4(\frac{3}{2})(3) - (3)^2}{4(\frac{3}{2})} = \frac{18 - 9}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $4x^3-3x^2+2x-1=0$ ના બીજ છે.
તેથી,$4\alpha^3=3\alpha^2-2\alpha+1$,$4\beta^3=3\beta^2-2\beta+1$ અને $4\gamma^3=3\gamma^2-2\gamma+1$.
સરવાળો કરતા: $4(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3) = 3(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) - 2(\alpha+\beta+\gamma) + 3$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ: $\alpha+\beta+\gamma = \frac{3}{4}$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{1}{2}$.
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\frac{3}{4})^2 - 2(\frac{1}{2}) = \frac{9}{16} - 1 = -\frac{7}{16}$.
કિંમતો મૂકતા: $4(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3) = 3(-\frac{7}{16}) - 2(\frac{3}{4}) + 3 = \frac{3}{16}$.
તેથી,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = \frac{3}{64}$.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-3x^2+3x+1=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = -1$
આપણે $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$.
તેથી $(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2(\alpha\beta^2\gamma + \beta\gamma^2\alpha + \gamma\alpha^2\beta)$.
બીજા પદમાંથી $\alpha\beta\gamma$ સામાન્ય લેતા:
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\beta+\alpha+\gamma)$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (3)^2 - 2(-1)(3) = 9 + 6 = 15$.

(A) આપેલ સમીકરણ $18x^3-15x^2-4x+4=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \alpha, \gamma$ છે જ્યાં $\alpha > \gamma$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$2\alpha + \gamma = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$ $(i)$
$\alpha^2 + 2\alpha\gamma = -\frac{2}{9}$ (ii)
$\alpha^2\gamma = -\frac{2}{9}$ (iii)
(ii) અને (iii) પરથી,$\alpha^2 + 2\alpha\gamma = \alpha^2\gamma$.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$\alpha + 2\gamma = \alpha\gamma$.
$(i)$ પરથી,$\gamma = \frac{5}{6} - 2\alpha$.
$\alpha + 2\gamma = \alpha\gamma$ માં કિંમત મૂકતા:
$\alpha + 2(\frac{5}{6} - 2\alpha) = \alpha(\frac{5}{6} - 2\alpha)$
$12\alpha^2 - 23\alpha + 10 = 0$
$(3\alpha - 2)(4\alpha - 5) = 0$.
તેથી,$\alpha = \frac{2}{3}$ અથવા $\alpha = \frac{5}{4}$.
જો $\alpha = \frac{2}{3}$,તો $\gamma = -\frac{1}{2}$.
$\alpha > \gamma$ હોવાથી,$\alpha + \beta^2 + \gamma^3 = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{1}{8} = \frac{71}{72}$.

(D) આપેલ ઘન સમીકરણ $2x^3+x^2-13x+6=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{1}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -\frac{13}{2}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{6}{2} = -3$
આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 - (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$
અહીં $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{13}{2}) = \frac{1}{4} + 13 = \frac{53}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = (-\frac{1}{2})(\frac{53}{4} + \frac{26}{4}) - 9$
$= (-\frac{1}{2})(\frac{79}{4}) - 9$
$= -\frac{79}{8} - \frac{72}{8} = -\frac{151}{8}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ છે,જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = -1$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 1$
$\alpha \beta \gamma = -1$
$(i)$ $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma} = \frac{1}{-1} = -1$. તેથી,$(i)$ $\rightarrow$ $A$.
(ii) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$: કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ બીજ છે,$\alpha^3 = -\alpha^2 - \alpha - 1$,$\beta^3 = -\beta^2 - \beta - 1$,$\gamma^3 = -\gamma^2 - \gamma - 1$.
સરવાળો કરતા: $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - (\alpha + \beta + \gamma) - 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = (-1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
તેથી,$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -(-1) - (-1) - 3 = 1 + 1 - 3 = -1$. તેથી,(ii) $\rightarrow$ $A$.
(iii) $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$: મૂળ સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા: $x^4 + x^3 + x^2 + x = 0$.
બીજ માટે સરવાળો કરતા: $(\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4) + (\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) + (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + (\alpha + \beta + \gamma) = 0$.
$(\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4) + (-1) + (-1) + (-1) = 0 \Rightarrow \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 = 3$. તેથી,(iii) $\rightarrow$ $D$.
(iv) $(\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2 = 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = 2(-1) - 2(1) = -2 - 2 = -4$. તેથી,(iv) $\rightarrow$ $B$.
સાચી જોડ $(i)$ $\rightarrow$ $A$,(ii) $\rightarrow$ $A$,(iii) $\rightarrow$ $D$,(iv) $\rightarrow$ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3+x^2+x+r=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -1$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 1$
$\alpha\beta\gamma = -r$
આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$
નોંધો કે $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-1)^2 - 2(1) = 1-2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા:
$5 - 3(-r) = (-1)(-1 - 1)$
$5 + 3r = (-1)(-2)$
$5 + 3r = 2$
$3r = -3$
$r = -1$

(D) આપેલ ઘાત સમીકરણ $x^3-9 x^2+k=0$ છે,જ્યાં બીજ $\alpha, \beta, 2 \beta$ છે.
વિયેટાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta + 2 \beta = 9 \implies \alpha + 3 \beta = 9$ $(i)$
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha \beta + \beta(2 \beta) + 2 \beta(\alpha) = 0$ (કારણ કે $x$ નો સહગુણક $0$ છે)
$\alpha \beta + 2 \beta^2 + 2 \alpha \beta = 0 \implies 3 \alpha \beta + 2 \beta^2 = 0$
$\beta(3 \alpha + 2 \beta) = 0$
કારણ કે $k \neq 0$,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta \cdot 2 \beta = -k \neq 0$,તેથી $\beta \neq 0$.
આમ,$3 \alpha + 2 \beta = 0 \implies \alpha = -\frac{2 \beta}{3}$ $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$-\frac{2 \beta}{3} + 3 \beta = 9$
$\frac{-2 \beta + 9 \beta}{3} = 9$
$\frac{7 \beta}{3} = 9 \implies 7 \beta = 27$
તેથી,$14 \beta = 2 \times (7 \beta) = 2 \times 27 = 54$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3-9x^2+23x-15=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે:
$\alpha+\beta+\gamma = 9$ ... $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 23$ ... (ii)
$\alpha\beta\gamma = 15$ ... (iii)
$\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણના બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^3 = 9\alpha^2-23\alpha+15$,$\beta^3 = 9\beta^2-23\beta+15$,$\gamma^3 = 9\gamma^2-23\gamma+15$
ત્રણેયનો સરવાળો કરતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 9(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) - 23(\alpha+\beta+\gamma) + 45$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 9^2 - 2(23) = 35$.
કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 9(35) - 23(9) + 45 = 315 - 207 + 45 = 153$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3-x+1=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -1$
$\alpha\beta\gamma = -1$
ધારો કે $y = \frac{1+x}{1-x}$. તેથી $x = \frac{y-1}{y+1}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y^3-y^2+7y+1 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણના બીજ $\frac{1+\alpha}{1-\alpha}, \frac{1+\beta}{1-\beta}, \frac{1+\gamma}{1-\gamma}$ છે.
તેથી,બીજનો સરવાળો $y_1+y_2+y_3 = -(\frac{-1}{1}) = 1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $x^2-3x+2$ એ $P(x) = x^4-ax^2+b$ નો અવયવ છે.
ભાજકનું અવયવીકરણ: $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$.
તેથી $(x-1)$ અને $(x-2)$ અવયવો હોવાથી,$P(1) = 0$ અને $P(2) = 0$ થાય.
$x=1$ માટે: $(1)^4 - a(1)^2 + b = 0 \implies 1 - a + b = 0 \implies -a + b = -1$ (સમીકરણ $i$).
$x=2$ માટે: $(2)^4 - a(2)^2 + b = 0 \implies 16 - 4a + b = 0 \implies -4a + b = -16$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતાં: $(-a+b) - (-4a+b) = -1 - (-16) \implies 3a = 15 \implies a = 5$.
$a=5$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $-5 + b = -1 \implies b = 4$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $a=5$ અને $b=4$ છે.
સમીકરણ $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (5+4)x + (5 \times 4) = 0 \implies x^2 - 9x + 20 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^3 + mx^2 - 13x + n = 0$ છે. $2$ અને $3$ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = 2$ માટે:
$2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0$
$16 + 4m - 26 + n = 0$
$4m + n = 10$ --- $(i)$
$x = 3$ માટે:
$2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0$
$54 + 9m - 39 + n = 0$
$9m + n = -15$ --- $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10$
$5m = -25 \Rightarrow m = -5$
$m = -5$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$4(-5) + n = 10$
$-20 + n = 10 \Rightarrow n = 30$
આમ,$m = -5$ અને $n = 30$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^4+x^3-4x^2+x-1=0$.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો: $\sum x_i^2 = (\sum x_i)^2 - 2\sum x_ix_j = (-1)^2 - 2(-4) = 1+8 = 9$.
ભિન્ન બીજનો ગુણાકાર: $1$.
ગુણોત્તર: $9:1$.

(C) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3 - px^2 + px - 1 = 0$ સમીકરણના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = p$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = p$
$\alpha\beta\gamma = 1$
આપેલ છે કે $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ મૂળ સમીકરણ જેવું જ છે,તેથી બીજનો સરવાળો પણ $p$ થવો જોઈએ:
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = p$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$.
કિંમતો મૂકતા:
$p^2 = p + 2(p)$
$p^2 = 3p$
$p$ શૂન્યતર હોવાથી,$p$ વડે ભાગતા:
$p = 3$.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+px^2+qx+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) + \alpha\beta\gamma$.
કિંમતો મૂકતા:
$(-p)(q) = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) + (-r)$
$-pq = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) - r$
તેથી,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = r-pq$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+p_1 x^2+p_2 x+p_3=0$ ના બીજ છે.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$p_1 = -(\alpha+\beta+\gamma) = -S_1 = -10$.
$p_2 = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2 - (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)}{2} = \frac{S_1^2 - S_2}{2} = \frac{100-38}{2} = 31$.
નિત્યસમ $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 - (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_3 - 3(-p_3) = S_1(S_2 - p_2)$.
$-1840 + 3p_3 = 10(38 - 31)$.
$-1840 + 3p_3 = 10(7) = 70$.
$3p_3 = 1910$.
$p_3 = \frac{1910}{3}$.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+p x^2+q x+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = q$
$\alpha \beta \gamma = -r$
બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3 \alpha \beta \gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha)$
વળી,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) = (-p)^2 - 2q = p^2-2q$.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-r) = (-p)(p^2-2q-q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 3r = -p(p^2-3q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = -p^3+3pq-3r$
તેથી,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3pq-3r-p^3$.

(C) આપેલ છે કે $x^3+x^2+2x+3=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -1$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$
$\alpha\beta\gamma = -3$
ધારો કે $f(x)=0$ ના બીજ $S_1 = \alpha+\beta$,$S_2 = \beta+\gamma$,$S_3 = \gamma+\alpha$ છે.
નોંધો કે $S_1 = -1-\gamma$,$S_2 = -1-\alpha$,$S_3 = -1-\beta$.
$f(x)$ ના બીજનો સરવાળો $S_1+S_2+S_3 = 2(\alpha+\beta+\gamma) = 2(-1) = -2$ છે.
બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $S_1S_2+S_2S_3+S_3S_1 = 3 + 2(\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 3 + 2(-1) + 2 = 3$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $S_1S_2S_3 = -(1 + (\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) + \alpha\beta\gamma) = -(1 - 1 + 2 - 3) = 1$ છે.
આમ,$f(x) = x^3 - (-2)x^2 + 3x - 1 = x^3+2x^2+3x-1$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3-5x+4=0$ છે જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
$x^3+px^2+qx+r=0$ સાથે સરખાવતા,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma = 0$ મળે છે.
જ્યારે $\alpha+\beta+\gamma = 0$ હોય,ત્યારે નિત્યસમ મુજબ $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3\alpha\beta\gamma$ થાય.
અહીં,બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta\gamma = -4$ છે.
તેથી,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3(-4) = -12$.
આમ,$(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)^2 = (-12)^2 = 144$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+x^2+x+2=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma = -1$.
ધારો કે $y = \frac{\alpha+\beta-2\gamma}{\gamma}$.
$\alpha+\beta+\gamma = -1$ હોવાથી,$\alpha+\beta = -1-\gamma$.
આ કિંમત $y$ માં મૂકતા:
$y = \frac{-1-\gamma-2\gamma}{\gamma} = \frac{-1-3\gamma}{\gamma} = -3 - \frac{1}{\gamma}$.
તેથી,$\frac{1}{\gamma} = -y-3$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = -\frac{1}{y+3}$.
$\gamma$ એ $x^3+x^2+x+2=0$ નું બીજ હોવાથી,$x = -\frac{1}{y+3}$ મૂકતા:
$(-\frac{1}{y+3})^3 + (-\frac{1}{y+3})^2 + (-\frac{1}{y+3}) + 2 = 0$.
$-(y+3)^3$ વડે ગુણતા:
$1 - (y+3) + (y+3)^2 - 2(y+3)^3 = 0$.
$1 - y - 3 + y^2 + 6y + 9 - 2(y^3 + 9y^2 + 27y + 27) = 0$.
$-2y^3 - 17y^2 - 49y - 47 = 0$.
$2y^3 + 17y^2 + 49y + 47 = 0$.
આ સમીકરણના બીજનો ગુણાકાર $-\frac{d}{a} = -\frac{47}{2}$ થાય.

(C) $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+x+10=0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha+\beta+\gamma=0$ થાય.
હવે,$\alpha_1=\frac{\alpha+\beta}{\gamma^2}=\frac{-\gamma}{\gamma^2}=\frac{-1}{\gamma}$.
તે જ રીતે,$\beta_1=\frac{-1}{\alpha}$ અને $\gamma_1=\frac{-1}{\beta}$.
આમ,$\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ એ $x = -\frac{1}{y}$ ને $x^3+x+10=0$ માં મૂકતા મળતા સમીકરણના બીજ છે.
$(-\frac{1}{y})^3 + (-\frac{1}{y}) + 10 = 0 \implies -\frac{1}{y^3} - \frac{1}{y} + 10 = 0$.
$-y^3$ વડે ગુણતા,$10y^3 - y^2 - 1 = 0$ મળે.
$\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ એ $10x^3-x^2-1=0$ ના બીજ હોવાથી,$10\alpha_1^3-\alpha_1^2-1=0$,$10\beta_1^3-\beta_1^2-1=0$,અને $10\gamma_1^3-\gamma_1^2-1=0$ થાય.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $10(\alpha_1^3+\beta_1^3+\gamma_1^3) - (\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2) - 3 = 0$.
$10$ વડે ભાગતા: $(\alpha_1^3+\beta_1^3+\gamma_1^3) - \frac{1}{10}(\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2) = \frac{3}{10}$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+p x^2+q x+r=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ: $\alpha+\beta+\gamma = -p$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$,અને $\alpha\beta\gamma = -r$.
ધારો કે નવા બીજ $y_1 = \alpha(\beta+\gamma)$,$y_2 = \beta(\gamma+\alpha)$,અને $y_3 = \gamma(\alpha+\beta)$ છે.
અહીં $\alpha(\beta+\gamma) = \alpha(\beta+\gamma+\alpha) - \alpha^2 = -p\alpha - \alpha^2$.
સમીકરણ $x^3+p x^2+q x+r=0$ પરથી,$\alpha^3+p\alpha^2 = -q\alpha-r$.
$\alpha$ વડે ભાગતા,$\alpha^2+p\alpha = -q - \frac{r}{\alpha}$.
તેથી,$y_1 = -(-q - \frac{r}{\alpha}) = q + \frac{r}{\alpha}$.
તે જ રીતે,$y_2 = q + \frac{r}{\beta}$ અને $y_3 = q + \frac{r}{\gamma}$.
ધારો કે $y = q + \frac{r}{x}$,તેથી $x = \frac{r}{y-q}$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{r}{y-q})^3 + p(\frac{r}{y-q})^2 + q(\frac{r}{y-q}) + r = 0$.
$r$ વડે ભાગતા: $\frac{r^2}{(y-q)^3} + \frac{pr}{(y-q)^2} + \frac{q}{y-q} + 1 = 0$.
$r^2 + pr(y-q) + q(y-q)^2 + (y-q)^3 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $y^3 - 2qy^2 + (q^2+pr)y + (r^2-prq) = 0$.
તેથી $y$ નો સહગુણક $q^2+pr$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+4x+1=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=4$,અને $\alpha\beta\gamma=-1$ મળે.
$\alpha+\beta+\gamma=0$ હોવાથી,$\beta+\gamma=-\alpha$,$\gamma+\alpha=-\beta$,અને $\alpha+\beta=-\gamma$ થાય.
નવા સમીકરણના બીજ $y_1 = \frac{\alpha^2}{-\alpha} = -\alpha$,$y_2 = \frac{\beta^2}{-\beta} = -\beta$,અને $y_3 = \frac{\gamma^2}{-\gamma} = -\gamma$ છે.
ધારો કે $y = -x$,તેથી $x = -y$.
મૂળ સમીકરણ $x^3+4x+1=0$ માં $x = -y$ મૂકતા:
$(-y)^3 + 4(-y) + 1 = 0$
$-y^3 - 4y + 1 = 0$
$y^3 + 4y - 1 = 0$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^3+4x-1=0$ છે.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-2x^2+3x-4=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = 4$
આપણે $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$:
$(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$
કિંમતો મૂકતા:
$(3)^2 = (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2) + 2(4)(2)$
$9 = (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2) + 16$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = 9 - 16 = -7$

(C) આપેલ છે કે $1, 2, 3, 4$ એ સમીકરણ $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ ના બીજ છે.
તેથી,આપણે બહુપદીને આ રીતે લખી શકીએ:
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$((x-1)(x-4))((x-2)(x-3)) = (x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$
ધારો કે $y = x^2-5x$. તો પદાવલિ $(y+4)(y+6) = y^2+10y+24$ બને છે.
$y = x^2-5x$ પાછું મૂકતા:
$(x^2-5x)^2 + 10(x^2-5x) + 24 = x^4 - 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 - 50x + 24$
$= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$.
$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ સાથે સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a = -10, b = 35, c = -50, d = 24$.
હવે,$a+2b+c$ ની ગણતરી કરતા:
$a+2b+c = -10 + 2(35) - 50 = -10 + 70 - 50 = 10$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $a x^2+b x+c=0$ ના બીજ છે.
$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
ધારો કે $p x^2+q x+r=0$ ના બીજ $\gamma = \frac{1-\alpha}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}-1$ અને $\delta = \frac{1-\beta}{\beta} = \frac{1}{\beta}-1$ છે.
તેથી $\alpha = \frac{1}{1+\gamma}$ અને $\beta = \frac{1}{1+\delta}$.
$\alpha$ એ $a x^2+b x+c=0$ નું બીજ હોવાથી,$a(\frac{1}{1+x})^2 + b(\frac{1}{1+x}) + c = 0$.
$a + b(1+x) + c(1+x)^2 = 0$.
$a + b + bx + c(1 + 2x + x^2) = 0$.
$c x^2 + (b+2c)x + (a+b+c) = 0$.
આને $p x^2+q x+r=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $r = a+b+c$ મળે છે.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+2x^2-3x-1=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,આપણી પાસે છે:
$\alpha+\beta+\gamma = -2$ $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -3$ $(ii)$
$\alpha\beta\gamma = 1$ $(iii)$
આપણે $\alpha^{-2}+\beta^{-2}+\gamma^{-2} = \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = \frac{\beta^2\gamma^2+\alpha^2\gamma^2+\alpha^2\beta^2}{(\alpha\beta\gamma)^2}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,નિત્યસમ $(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)$ નો ઉપયોગ કરીને $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ ની કિંમત શોધો.
કિંમતો મૂકતા:
$(-3)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2(1)(-2)$
$9 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 - 4$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = 9+4 = 13$.
હવે,$\alpha^{-2}+\beta^{-2}+\gamma^{-2} = \frac{13}{(1)^2} = 13$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3+p x^2-q x+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -q$
$\alpha \beta \gamma = -r$
આપેલ છે કે બે બીજનો સરવાળો શૂન્ય છે,ધારો કે $\alpha + \beta = 0$,જેનો અર્થ છે $\beta = -\alpha$.
પ્રથમ સંબંધમાં $\alpha + \beta = 0$ મૂકતા:
$0 + \gamma = -p \implies \gamma = -p$.
ત્રીજા સંબંધમાં $\gamma = -p$ મૂકતા:
$\alpha \beta (-p) = -r \implies \alpha \beta p = r$.
હવે,બીજા સંબંધમાં $\beta = -\alpha$ મૂકતા:
$\alpha(-\alpha) + \gamma(\alpha + \beta) = -q$
$-\alpha^2 + \gamma(0) = -q
-\alpha^2 = -q
\alpha^2 = q$.
કારણ કે $\alpha \beta = \alpha(-\alpha) = -\alpha^2 = -q$,તેથી $\alpha \beta = -q$.
$\alpha \beta p = r$ પરથી,આપણને $(-q)p = r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $-pq = r$,અથવા $pq = -r$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3+0x^2+4x+1=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 4$
$\alpha\beta\gamma = -1$
$\alpha+\beta+\gamma = 0$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\alpha+\beta = -\gamma$
$\beta+\gamma = -\alpha$
$\gamma+\alpha = -\beta$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\alpha+\beta)^{-1}+(\beta+\gamma)^{-1}+(\gamma+\alpha)^{-1} = \frac{1}{-\gamma} + \frac{1}{-\alpha} + \frac{1}{-\beta}$
$= -\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right) = -\left(\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{4}{-1}\right) = 4$

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^2+3x+k=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha+\beta = -3$ અને $\alpha\beta = k$.
બીજા સમીકરણ $4x^2+px+18=0$ માટે,બીજ $\alpha+\frac{1}{\alpha}$ અને $\beta+\frac{1}{\beta}$ છે.
બીજનો સરવાળો $(\alpha+\frac{1}{\alpha}) + (\beta+\frac{1}{\beta}) = -3(1+\frac{1}{k}) = -\frac{p}{4}$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $(\alpha+\frac{1}{\alpha})(\beta+\frac{1}{\beta}) = k + 2 + \frac{1}{k} = 4.5$ છે.
તેથી $k + \frac{1}{k} = 2.5 = \frac{5}{2}$,જે $2k^2-5k+2=0$ આપે છે. $k=2$ માટે $x^2-5x+6=0$ સાચું છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-2 \sqrt{3} x+4=0$ છે જેના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha+\beta = 2 \sqrt{3}$ અને $\alpha \beta = 4$.
પ્રથમ,$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (2 \sqrt{3})^2 - 2(4) = 12 - 8 = 4$ શોધો.
હવે,આપણે નિત્યસમ $\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2)^3 + (\beta^2)^3 = (\alpha^2+\beta^2)((\alpha^2+\beta^2)^2 - 3\alpha^2\beta^2)$ નો ઉપયોગ કરીએ.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha^6+\beta^6 = (4)((4)^2 - 3(4)^2) = 4(16 - 3(16)) = 4(16 - 48) = 4(-32) = -128$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta$ અને $\cot \theta$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\tan \theta + \cot \theta = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\tan \theta \cdot \cot \theta = \frac{c}{a}$ થાય.
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,તેથી $\frac{c}{a} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $c = a$.
હવે,$\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$.
આને બીજના સરવાળા સાથે સરખાવતા: $\frac{2}{\sin 2\theta} = -\frac{b}{a}$.
$a = c$ હોવાથી,$a$ ની જગ્યાએ $c$ મૂકતા: $\frac{2}{\sin 2\theta} = -\frac{b}{c}$.
તેથી,$\sin 2\theta = -\frac{2c}{b}$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + ax - c = 0$ છે.
કારણ કે $\sin 2\theta$ અને $\cos 2\theta$ એ સમીકરણના બીજ છે,તેથી:
બીજનો સરવાળો: $\sin 2\theta + \cos 2\theta = -a$
બીજનો ગુણાકાર: $\sin 2\theta \cdot \cos 2\theta = -c$
બીજના સરવાળાનો વર્ગ કરતા:
$(\sin 2\theta + \cos 2\theta)^2 = (-a)^2$
$\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta + 2 \sin 2\theta \cos 2\theta = a^2$
નિત્યસમ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + 2(\sin 2\theta \cos 2\theta) = a^2$
બીજના ગુણાકાર $-c$ ને મૂકતા:
$1 + 2(-c) = a^2$
$1 - 2c = a^2$
$a^2 + 2c - 1 = 0$

(D) આપેલ છે કે $f(n) = A(-2)^n + B(-3)^n$.
$f(n) + a f(n-1) + b f(n-2) = 0$ સમીકરણમાં $f(n)$ ની કિંમત મૂકતા:
$A(-2)^n + B(-3)^n + a(A(-2)^{n-1} + B(-3)^{n-1}) + b(A(-2)^{n-2} + B(-3)^{n-2}) = 0$.
$A$ અને $B$ વાળા પદોને જૂથમાં લેતા:
$A(-2)^{n-2} [(-2)^2 + a(-2) + b] + B(-3)^{n-2} [(-3)^2 + a(-3) + b] = 0$.
$A(-2)^{n-2} [4 - 2a + b] + B(-3)^{n-2} [9 - 3a + b] = 0$.
આ સમીકરણ બધા $A, B$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4 - 2a + b = 0 \implies b - 2a = -4$.
$9 - 3a + b = 0 \implies b - 3a = -9$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(b - 2a) - (b - 3a) = -4 - (-9) \implies a = 5$.
$a=5$ ને $b - 2a = -4$ માં મૂકતા:
$b - 10 = -4 \implies b = 6$.
અંતે,$(a+b)(b-a) = (5+6)(6-5) = 11 \times 1 = 11$.

(D) ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2-(a-2)x-(a-1)=0$ પરથી,$\alpha+\beta = a-2$ અને $\alpha\beta = 1-a$ મળે.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha^2+\beta^2 = (a-2)^2 - 2(1-a)$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$\alpha^2+\beta^2 = a^2-4a+4-2+2a = a^2-2a+2$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$\alpha^2+\beta^2 = (a-1)^2+1$ મળે.
સરવાળો ન્યૂનતમ થવા માટે,$(a-1)^2 = 0$ હોવું જોઈએ,જે $a=1$ માટે શક્ય છે.

(C) ધારો કે સમીકરણ $x^2-(a-2)x-(a+1)=0$ ના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = a-2$ અને $\alpha\beta = -(a+1)$ મળે છે.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $S = \alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = (a-2)^2 - 2(-(a+1)) = (a-2)^2 + 2(a+1)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$S = a^2 - 4a + 4 + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ: $S = (a^2 - 2a + 1) + 5 = (a-1)^2 + 5$.
કારણ કે $(a-1)^2 \ge 0$,તેથી $S$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $(a-1)^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.

(B) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2-(a-2)x-(a+1)=0$ ના બીજો છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = a-2$ અને $\alpha\beta = -(a+1)$ મળે.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha^2+\beta^2 = (a-2)^2 - 2(-(a+1)) = (a-2)^2 + 2(a+1)$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\alpha^2+\beta^2 = a^2 - 4a + 4 + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $a^2 - 2a + 6 = (a^2 - 2a + 1) + 5 = (a-1)^2 + 5$.
કારણ કે $(a-1)^2 \geq 0$,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે,જે $a-1 = 0$ એટલે કે $a = 1$ માટે મળે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-6x-2=0$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$x^{n}-6x^{n-1}-2x^{n-2}=0$
$\Rightarrow x^{n}-2x^{n-2}=6x^{n-1}$
$x = \alpha$ અને $x = \beta$ માટે:
$\alpha^{n}-2\alpha^{n-2}=6\alpha^{n-1}$
$\beta^{n}-2\beta^{n-2}=6\beta^{n-1}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^{n}-\beta^{n})-2(\alpha^{n-2}-\beta^{n-2})=6(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})$
$a_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}$ ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$a_{n}-2a_{n-2}=6a_{n-1}$
$n=10$ માટે:
$a_{10}-2a_{8}=6a_{9}$
તેથી,$\frac{a_{10}-2a_{8}}{2a_{9}} = \frac{6a_{9}}{2a_{9}} = 3$.

(D) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજ છે અને $x^{2}-cx+d=0$ ના બીજ $\alpha^{4}$ અને $\beta^{4}$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta=-a, \alpha\beta=b$ ...$(i)$
$\alpha^{4}+\beta^{4}=c, \alpha^{4}\beta^{4}=d$ ...$(ii)$
$(ii)$ પરથી,$c = \alpha^{4}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2}-2(\alpha\beta)^{2} = ((\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta)^{2}-2(\alpha\beta)^{2}$.
$(i)$ મુકતા: $c = (a^{2}-2b)^{2}-2b^{2} = a^{4}+4b^{2}-4a^{2}b-2b^{2} = a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}$.
આમ,$2b^{2}-c = 2b^{2}-(a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}) = 4a^{2}b-a^{4} = a^{2}(4b-a^{2})$.
આપેલ છે કે $a^{2}>4b$,તેથી $4b-a^{2} < 0$,એટલે કે $2b^{2}-c < 0$.
સમીકરણ $x^{2}-4bx+(2b^{2}-c)=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $2b^{2}-c < 0$ છે.
બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવાથી,એક બીજ ધન અને બીજું બીજ ઋણ હશે.

(A) આપેલ છે કે $p$ અને $q$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $p+q = -p \Rightarrow 2p+q=0$ (સમીકરણ $1$)
બીજનો ગુણાકાર: $pq = q$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ પરથી,$pq - q = 0 \Rightarrow q(p-1) = 0$.
આનો અર્થ એ કે કાં તો $q=0$ અથવા $p=1$.
કિસ્સો $I$: જો $q=0$ હોય,તો સમીકરણ $1$ પરથી,$2p+0=0 \Rightarrow p=0$.
કિસ્સો $II$: જો $p=1$ હોય,તો સમીકરણ $1$ પરથી,$2(1)+q=0 \Rightarrow q=-2$.
આમ,$(p, q) = (1, -2)$ એ આપેલ શરતનું પાલન કરે છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $ax^{2}+bx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
નવા સમીકરણ માટે જેના બીજ $\alpha^{2}$ અને $\beta^{2}$ છે:
બીજનો સરવાળો: $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta = (-\frac{b}{a})^{2}-2(\frac{c}{a}) = \frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{2c}{a} = \frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha^{2}\beta^{2} = (\alpha\beta)^{2} = (\frac{c}{a})^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-(\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^{2}-(\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}})x + \frac{c^{2}}{a^{2}} = 0$.
$a^{2}$ વડે ગુણતા,આપણને $a^{2}x^{2}-(b^{2}-2ac)x+c^{2}=0$ મળે છે.