Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^{2}-px+1=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha+\beta=p$ અને $\alpha\beta=1$.
વળી,$\gamma$ એ $x^{2}+px+1=0$ નું બીજ છે,તેથી $\gamma^{2}+p\gamma+1=0$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma^{2}=-p\gamma-1$.
હવે,$(\alpha+\gamma)(\beta+\gamma) = \alpha\beta + \gamma(\alpha+\beta) + \gamma^{2}$ ધ્યાનમાં લો.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$(\alpha+\gamma)(\beta+\gamma) = 1 + \gamma(p) + (-p\gamma-1)$.
$= 1 + p\gamma - p\gamma - 1 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^{2}-x-1=0$ ના બીજ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^{2}-\alpha-1=0 \implies \alpha^{2}=\alpha+1$
$\beta^{2}-\beta-1=0 \implies \beta^{2}=\beta+1$
અનુક્રમે $\alpha^{n-1}$ અને $\beta^{n-1}$ વડે ગુણતા:
$\alpha^{n+1}=\alpha^{n}+\alpha^{n-1}$
$\beta^{n+1}=\beta^{n}+\beta^{n-1}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha^{n}+\beta^{n})+(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})$
$S_{n}$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,આ છે:
$S_{n+1}=S_{n}+S_{n-1}$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+p x+q=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = q$ છે.
પ્રથમ,$\alpha^{3}+\beta^{3}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\alpha^{3}+\beta^{3} = (\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha+\beta) = (-p)^{3}-3 q(-p) = -p^{3}+3 p q = 3 p q-p^{3}$.
ત્યારબાદ,$\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2} - \alpha^{2} \beta^{2} = [(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta]^{2} - (\alpha \beta)^{2} = [(-p)^{2}-2 q]^{2} - q^{2} = (p^{2}-2 q)^{2} - q^{2} = p^{4}-4 p^{2} q+4 q^{2}-q^{2} = p^{4}-4 p^{2} q+3 q^{2} = p^{2}(p^{2}-3 q)-q(p^{2}-3 q) = (p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$.
આમ,કિંમતો $3 p q-p^{3}$ અને $(p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$ છે.

(D) ધારો કે $p(x) = ax^2 + bx + c$.
આપેલ છે કે અચળ પદ $c = 1$ છે.
તેથી,$p(x) = ax^2 + bx + 1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$p(1) = 2$ અને $p(-1) = 4$.
$x=1$ મૂકતા: $a(1)^2 + b(1) + 1 = 2 \implies a + b = 1$ (સમીકરણ $I$).
$x=-1$ મૂકતા: $a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 4 \implies a - b = 3$ (સમીકરણ $II$).
સમીકરણ $I$ અને $II$ નો સરવાળો કરતા: $(a+b) + (a-b) = 1 + 3 \implies 2a = 4 \implies a = 2$.
$a=2$ ને સમીકરણ $I$ માં મૂકતા: $2 + b = 1 \implies b = -1$.
આમ,બહુપદી $p(x) = 2x^2 - x + 1$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા મળે છે.
બીજનો સરવાળો $= -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+a x+b=0, (b \neq 0)$ છે.
તેના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = b$ થાય.
ધારો કે નવા બીજ $S = \alpha-\frac{1}{\beta}$ અને $T = \beta-\frac{1}{\alpha}$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $= S+T = (\alpha+\beta) - (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = (\alpha+\beta) - \frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta} = -a - \frac{-a}{b} = -a + \frac{a}{b} = \frac{a(1-b)}{b}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $= ST = (\alpha-\frac{1}{\beta})(\beta-\frac{1}{\alpha}) = \alpha \beta - 1 - 1 + \frac{1}{\alpha \beta} = b - 2 + \frac{1}{b} = \frac{b^{2}-2b+1}{b} = \frac{(b-1)^{2}}{b}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^{2} - \frac{a(1-b)}{b}x + \frac{(b-1)^{2}}{b} = 0$.
$b$ વડે ગુણતા,$b x^{2} - a(1-b)x + (b-1)^{2} = 0$ મળે.
કારણ કે $-a(1-b) = a(b-1)$,તેથી સમીકરણ $b x^{2} + a(b-1)x + (b-1)^{2} = 0$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
શરત $3b^{2} = 16ac$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $a^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $3\left(\frac{b}{a}\right)^{2} = 16\left(\frac{c}{a}\right)$ મળે છે.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા,$3(-\alpha-\beta)^{2} = 16\alpha\beta$.
$3(\alpha^{2}+\beta^{2}+2\alpha\beta) = 16\alpha\beta$.
$3\alpha^{2}+3\beta^{2}+6\alpha\beta = 16\alpha\beta$.
$3\alpha^{2}-10\alpha\beta+3\beta^{2} = 0$.
$\beta^{2}$ વડે ભાગતા,$3\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{2}-10\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)+3 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{\alpha}{\beta}$,તો $3x^{2}-10x+3 = 0$.
$3x^{2}-9x-x+3 = 0 \Rightarrow 3x(x-3)-1(x-3) = 0$.
$(3x-1)(x-3) = 0$.
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = \frac{1}{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\alpha}{\beta} = 3$ અથવા $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\alpha = 3\beta$ અથવા $\beta = 3\alpha$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-bx+c=0$ છે જેના બીજ $\sin \alpha$ અને $\cos \alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\sin \alpha + \cos \alpha = b$ $(i)$
$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = c$ (ii)
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sin \alpha + \cos \alpha)^{2} = \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
કિંમતો મૂકતા: $b^{2} = 1 + 2c$,જેનો અર્થ છે $c = \frac{b^{2}-1}{2}$.
કારણ કે $-1 \leq \sin \alpha \leq 1$ અને $-1 \leq \cos \alpha \leq 1$,તેથી $-\sqrt{2} \leq \sin \alpha + \cos \alpha \leq \sqrt{2}$,એટલે કે $-\sqrt{2} \leq b \leq \sqrt{2}$.
વળી,$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2c$.
કારણ કે $-1 \leq \sin 2\alpha \leq 1$,તેથી $-1 \leq 2c \leq 1$,જેનો અર્થ છે $c \leq \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $(\alpha+\sqrt{\beta})$ અને $(\alpha-\sqrt{\beta})$ એ $x^{2}+px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $(\alpha+\sqrt{\beta}) + (\alpha-\sqrt{\beta}) = -p \Rightarrow 2\alpha = -p \Rightarrow \alpha = -\frac{p}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર: $(\alpha+\sqrt{\beta})(\alpha-\sqrt{\beta}) = q \Rightarrow \alpha^{2}-\beta = q \Rightarrow \beta = \alpha^{2}-q = \frac{p^{2}}{4}-q$.
આમ,$p^{2}-4q = 4\beta$.
સમીકરણ $(p^{2}-4q)(p^{2}x^{2}+4px)-16q=0$ માં કિંમત મૂકતા:
$4\beta(p^{2}x^{2}+4px) - 16q = 0$.
$p = -2\alpha$ હોવાથી,$p^{2} = 4\alpha^{2}$ અને $q = \alpha^{2}-\beta$:
$4\beta(4\alpha^{2}x^{2}-8\alpha x) - 16(\alpha^{2}-\beta) = 0$.
$4$ વડે ભાગતા:
$\beta(\alpha^{2}x^{2}-2\alpha x) - (\alpha^{2}-\beta) = 0$.
$\alpha^{2}\beta x^{2} - 2\alpha\beta x + \beta = \alpha^{2} \Rightarrow \beta(\alpha x - 1)^{2} = \alpha^{2}$.
$(\alpha x - 1)^{2} = \frac{\alpha^{2}}{\beta} \Rightarrow \alpha x - 1 = \pm \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}}$.
$\alpha x = 1 \pm \frac{\alpha}{\sqrt{\beta}} \Rightarrow x = \frac{1}{\alpha} \pm \frac{1}{\sqrt{\beta}}$.

(B) આપેલ છે કે $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 - bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\sin \theta + \cos \theta = \frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{c}{a}$ થાય.
બીજના સરવાળાનો વર્ગ કરતા,$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{b}{a})^2$ મળે.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{b^2}{a^2}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$1 + 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2}$ મળે.
$a^2$ વડે ગુણતા,$a^2 + 2ac = b^2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$a^2 - b^2 + 2ac = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $px^2+qx+r=0$ ના બીજ $a\alpha$ અને $b\alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $a\alpha + b\alpha = (a+b)\alpha = -\frac{q}{p}$
બીજનો ગુણાકાર: $(a\alpha)(b\alpha) = ab\alpha^2 = \frac{r}{p}$
હવે,ગુણોત્તર ધ્યાનમાં લો:
$\frac{ab\alpha^2}{(a+b)^2\alpha^2} = \frac{ab}{(a+b)^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{ab}{(a+b)^2} = \frac{r/p}{(-q/p)^2} = \frac{r}{p} \times \frac{p^2}{q^2} = \frac{pr}{q^2}$

(A) ત્રિકોણ $PQR$ માં,$P + Q + R = \pi$ છે. $\angle R = \pi / 2$ હોવાથી,$P + Q = \pi / 2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = \frac{\pi}{4}$.
આપેલ છે કે $\tan(P/2)$ અને $\tan(Q/2)$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે,તેથી વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\tan(P/2) + \tan(Q/2) = -b/a$
બીજનો ગુણાકાર: $\tan(P/2) \tan(Q/2) = c/a$
નિત્યસમ $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$
$\frac{-b}{a - c} = 1$
$-b = a - c$
$c = a + b$

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\lambda x^{2} - (\lambda + 3)x + 3 = 0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = \frac{\lambda + 3}{\lambda}$ અને $\alpha \beta = \frac{3}{\lambda}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\beta} = \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\beta - \alpha}{\alpha \beta} = \frac{1}{3}$.
$\alpha < \beta$ હોવાથી,$\beta - \alpha > 0$. તેથી,$\beta - \alpha = \frac{\alpha \beta}{3} = \frac{3/\lambda}{3} = \frac{1}{\lambda}$.
નિત્યસમ $(\beta - \alpha)^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 4\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{1}{\lambda})^{2} = (\frac{\lambda + 3}{\lambda})^{2} - 4(\frac{3}{\lambda})$.
$\frac{1}{\lambda^{2}} = \frac{\lambda^{2} + 6\lambda + 9}{\lambda^{2}} - \frac{12}{\lambda}$.
$\lambda^{2}$ વડે ગુણતા $(\lambda \neq 0)$:
$1 = \lambda^{2} + 6\lambda + 9 - 12\lambda$.
$\lambda^{2} - 6\lambda + 8 = 0$.
$(\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$.
તેથી,$\lambda = 2$ અથવા $\lambda = 4$.
$\lambda$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $2 + 4 = 6$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\beta - \alpha = \sqrt{11}i$ અને $\beta^2 - \alpha^2 = 3\sqrt{11}i$.
$\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha)$ હોવાથી,$3\sqrt{11}i = (\sqrt{11}i)(\beta + \alpha)$,જેનો અર્થ છે કે $\beta + \alpha = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha^2 + \alpha\beta)$.
$(\beta + \alpha)^2 = 9$ પરથી,$\beta^2 + \alpha^2 + 2\alpha\beta = 9$ મળે.
$(\beta - \alpha)^2 = -11$ પરથી,$\beta^2 + \alpha^2 - 2\alpha\beta = -11$ મળે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $4\alpha\beta = 20$,તેથી $\alpha\beta = 5$.
ત્યારબાદ $\beta^2 + \alpha^2 = 9 - 2(5) = -1$.
આ કિંમતોને $\beta^3 - \alpha^3$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\beta^3 - \alpha^3 = (\sqrt{11}i)(-1 + 5) = 4\sqrt{11}i$.
છેલ્લે,$(\beta^3 - \alpha^3)^2 = (4\sqrt{11}i)^2 = 16 \times 11 \times (-1) = -176$.
વિકલ્પો મુજબ માન (magnitude) લેતા,જવાબ $176$ મળે છે.