Mix Examples-Complex numbers Questions in Hindi

(D) दिया गया है $\left|\frac{1+ai}{b+i}\right| = 1$,अतः $|1+ai| = |b+i|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1+a^2 = b^2+1$,जिसका अर्थ है $a^2 = b^2$,इसलिए $a = \pm b$.
चूंकि $ab < 0$,इसलिए $b = -a$ होगा।
$a+ib$ वृत्त $|z-1| = |2z|$ पर स्थित है,अतः $|(a-1)+ib| = 2|a+ib|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a-1)^2 + b^2 = 4(a^2 + b^2)$.
$b^2 = a^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$(a-1)^2 + a^2 = 8a^2$.
$a^2 - 2a + 1 + a^2 = 8a^2 \Rightarrow 6a^2 + 2a - 1 = 0$.
$a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{6}$.
यदि $a = \frac{\sqrt{7}-1}{6} \approx 0.27$ है,तो $[a] = 0$ और $b = \frac{1-\sqrt{7}}{6}$.
अतः $\frac{1+[a]}{4b} = -\frac{1+\sqrt{7}}{4}$.
यदि $a = \frac{-1-\sqrt{7}}{6} \approx -0.607$ है,तो $[a] = -1$ और $b = \frac{1+\sqrt{7}}{6}$.
अतः $\frac{1+[a]}{4b} = 0$.

(B) दिया गया है $|z+2|=z+4(1+i)$,जहाँ $z=\alpha+i\beta$.
$|\alpha+i\beta+2| = \alpha+i\beta+4+4i$.
$|(\alpha+2)+i\beta| = (\alpha+4)+i(\beta+4)$.
चूँकि मापांक एक वास्तविक संख्या है,दाहिने पक्ष का काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\beta+4=0 \implies \beta=-4$.
अब,वास्तविक भागों की तुलना करने पर:
$\sqrt{(\alpha+2)^2+\beta^2} = \alpha+4$.
$\beta=-4$ रखने पर:
$\sqrt{(\alpha+2)^2+(-4)^2} = \alpha+4$.
$(\alpha+2)^2+16 = (\alpha+4)^2$.
$\alpha^2+4\alpha+4+16 = \alpha^2+8\alpha+16$.
$4\alpha = 4 \implies \alpha=1$.
अतः,$\alpha=1$ और $\beta=-4$.
मूलों का योग: $\alpha+\beta = 1-4 = -3$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = 1(-4) = -4$.
मूल $S = -3$ और $P = -4$ वाला द्विघात समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है।
$x^2 - (-3)x + (-4) = 0 \implies x^2+3x-4=0$.

(C) मान लीजिए $z = \frac{1+2i \sin \theta}{1-i \sin \theta}$।
$z$ को शुद्ध काल्पनिक बनाने के लिए, इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1+2i \sin \theta)(1+i \sin \theta)}{(1-i \sin \theta)(1+i \sin \theta)} = \frac{1 + i \sin \theta + 2i \sin \theta + 2i^2 \sin^2 \theta}{1 + \sin^2 \theta} = \frac{(1 - 2 \sin^2 \theta) + i(3 \sin \theta)}{1 + \sin^2 \theta}$।
$z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, $\operatorname{Re}(z) = 0$, इसलिए $\frac{1 - 2 \sin^2 \theta}{1 + \sin^2 \theta} = 0$।
इसका अर्थ है $1 - 2 \sin^2 \theta = 0$, या $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$, जिसका अर्थ है $\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अंतराल $(0, 2\pi)$ में, $\theta$ के लिए हल $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ हैं।
इन अवयवों का योग $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$ है।

(D) माना $z = x + iy$ है। व्यंजक $\frac{2z - 3i}{2z + i}$ शुद्ध काल्पनिक है,अतः इसका वास्तविक भाग $0$ है।
$w = \frac{2(x + iy) - 3i}{2(x + iy) + i} = \frac{2x + i(2y - 3)}{2x + i(2y + 1)}$.
हर के संयुग्मी $2x - i(2y + 1)$ से गुणा करने पर:
वास्तविक भाग $\frac{4x^2 + (2y - 3)(2y + 1)}{4x^2 + (2y + 1)^2} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$4x^2 + 4y^2 - 4y - 3 = 0$.
दिया गया है कि $x + y^2 = 0$,इसलिए $x = -y^2$.
$x^2 = y^4$ को समीकरण में रखने पर: $4y^4 + 4y^2 - 4y - 3 = 0$.
इससे $4(y^4 + y^2 - y) = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$y^4 + y^2 - y = \frac{3}{4}$.

(B) मान लीजिए $z = x + iy$, जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है। तब $\bar{z} = x - iy$ और $\operatorname{Re}(\bar{z}) = x$ होगा।
दिया गया समीकरण: $x - iy = i(x^2 - y^2 + 2ixy + x) = i(x^2 - y^2 + x) - 2xy$ है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = -2xy \implies x(1 + 2y) = 0$
$-y = x^2 - y^2 + x$
स्थिति $1$: $x = 0$। दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-y = -y^2 \implies y^2 - y = 0 \implies y(y - 1) = 0$। अतः $y = 0$ या $y = 1$ है।
हल: $z_1 = 0 + 0i = 0$, $z_2 = 0 + i = i$ है।
स्थिति $2$: $y = -\frac{1}{2}$। दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} = x^2 - \frac{1}{4} + x \implies x^2 + x - \frac{3}{4} = 0 \implies 4x^2 + 4x - 3 = 0$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $(2x - 1)(2x + 3) = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ या $x = -\frac{3}{2}$ है।
हल: $z_3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$, $z_4 = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i$ है।
प्रत्येक के लिए $|z|^2$ की गणना करने पर:
$|z_1|^2 = 0$, $|z_2|^2 = 1^2 = 1$, $|z_3|^2 = (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$, $|z_4|^2 = (-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ है।
योग $= 0 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 1 + 3 = 4$ है।

(D) माना $z = 3 + iy$,तो $\bar{z} = 3 - iy$.
व्यंजक में $z$ और $\bar{z}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$z - \bar{z} + z\bar{z} = (3 + iy) - (3 - iy) + (3 + iy)(3 - iy) = 2iy + (9 + y^2)$.
हर: $2 - 3(3 + iy) + 5(3 - iy) = 2 - 9 - 3iy + 15 - 5iy = 8 - 8iy = 8(1 - iy)$.
माना $w = \frac{9 + y^2 + 2iy}{8(1 - iy)}$.
$\operatorname{Re}(w)$ ज्ञात करने के लिए,अंश और हर को $(1 + iy)$ से गुणा करने पर:
$w = \frac{(9 + y^2 + 2iy)(1 + iy)}{8(1 - iy)(1 + iy)} = \frac{9 + y^2 + i(9y + y^3) + 2iy - 2y^2}{8(1 + y^2)} = \frac{9 - y^2 + i(11y + y^3)}{8(1 + y^2)}$.
$\operatorname{Re}(w) = \frac{9 - y^2}{8(1 + y^2)} = \frac{1}{8} \left( \frac{10 - (1 + y^2)}{1 + y^2} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{10}{1 + y^2} - 1 \right)$.
चूंकि $1 + y^2 \in [1, \infty)$,इसलिए $\frac{1}{1 + y^2} \in (0, 1]$.
अतः,$\frac{10}{1 + y^2} \in (0, 10]$,और $\frac{10}{1 + y^2} - 1 \in (-1, 9]$.
इसलिए,$\operatorname{Re}(w) \in \left( -\frac{1}{8}, \frac{9}{8} \right]$.
यहाँ $\alpha = -\frac{1}{8}$ और $\beta = \frac{9}{8}$.
$24(\beta - \alpha) = 24 \left( \frac{9}{8} - (-\frac{1}{8}) \right) = 24 \left( \frac{10}{8} \right) = 30$.

(B) दिया गया है कि $|z-z_0|^2=4$ और $\alpha$ इस पर स्थित है,इसलिए $|\alpha-z_0|^2=4$.
$(\alpha-z_0)(\bar{\alpha}-\bar{z}_0)=4 \Rightarrow |\alpha|^2 - \alpha\bar{z}_0 - \bar{\alpha}z_0 + |z_0|^2 = 4$.
चूँकि $z_0 = 1+i$,$|z_0|^2 = 1^2+1^2 = 2$.
अतः,$|\alpha|^2 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) = 4 - 2 = 2$ ... $(i)$.
दिया गया है कि $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ वृत्त $|z-z_0|^2=16$ पर स्थित है,इसलिए $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=16$.
$|\frac{1-\bar{\alpha}z_0}{\bar{\alpha}}|^2 = 16 \Rightarrow \frac{|1-\bar{\alpha}z_0|^2}{|\alpha|^2} = 16$.
$|1-\bar{\alpha}z_0|^2 = 16|\alpha|^2 \Rightarrow (1-\bar{\alpha}z_0)(1-\alpha\bar{z}_0) = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) + |\alpha|^2|z_0|^2 = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) + 2|\alpha|^2 = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) = 14|\alpha|^2$ ... $(ii)$.
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$(|\alpha|^2 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0)) - (1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0)) = 2 - 14|\alpha|^2$.
$|\alpha|^2 - 1 = 2 - 14|\alpha|^2$.
$15|\alpha|^2 = 3 \Rightarrow |\alpha|^2 = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
अतः,$100|\alpha|^2 = 100 \times \frac{1}{5} = 20$.

(C) दिए गए समीकरण $x^2-x+2=0$ के लिए, मूल $\alpha, \beta = \frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$ हैं।
चूंकि $\operatorname{Im}(\alpha) > \operatorname{Im}(\beta)$ है, इसलिए $\alpha = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$ और $\beta = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$ है।
यहाँ $\alpha + \beta = 1$ और $\alpha \beta = 2$ है।
साथ ही, $\alpha^2 = \alpha - 2$ है।
अतः $\alpha^4 = (\alpha-2)^2 = \alpha^2 - 4\alpha + 4 = (\alpha-2) - 4\alpha + 4 = -3\alpha + 2$ है।
और $\alpha^6 = \alpha^2 \cdot \alpha^4 = (\alpha-2)(-3\alpha+2) = -3\alpha^2 + 2\alpha + 6\alpha - 4 = -3(\alpha-2) + 8\alpha - 4 = 5\alpha + 2$ है।
इसी प्रकार, $\beta^4 = -3\beta + 2$ है।
इन मानों को व्यंजक $\alpha^6 + \alpha^4 + \beta^4 - 5\alpha^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (5\alpha + 2) + (-3\alpha + 2) + (-3\beta + 2) - 5(\alpha - 2)$
$= 5\alpha - 3\alpha - 3\beta + 6 - 5\alpha + 10$
$= -3\alpha - 3\beta + 16$
$= -3(\alpha + \beta) + 16$
$= -3(1) + 16 = 13$.

(B) सबसे पहले,$\alpha$ ज्ञात करें: $|1-i|^x = 2^x$ $\Rightarrow (\sqrt{1^2+(-1)^2})^x = 2^x$ $\Rightarrow (\sqrt{2})^x = 2^x$ $\Rightarrow 2^{x/2} = 2^x$. इसका अर्थ है $x/2 = x$,इसलिए $x=0$. अतः,$\alpha = 1$.
आगे,$z$ को सरल करें: $(1+i)^2 = 1+2i-1 = 2i$,इसलिए $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4$.
कोष्ठक के अंदर: $\frac{1-\sqrt{\pi}i}{\sqrt{\pi}+i} + \frac{\sqrt{\pi}-i}{1+\sqrt{\pi}i} = -1-i$.
अतः,$z = \frac{\pi}{4}(-4)(-1-i) = \pi(1+i) = \pi + \pi i$.
$|z| = \pi\sqrt{2}$ और $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$.
$\beta = \frac{|z|}{\arg(z)} = 4\sqrt{2}$.
यदि $\beta = 4$ लिया जाए,तो $(1,4)$ से रेखा $4x-3y-7=0$ की दूरी $\frac{|4(1)-3(4)-7|}{5} = \frac{15}{5} = 3$ होगी।

(B) दिया गया है $z_1 + z_2 = 5$ और $z_1^3 + z_2^3 = 20 + 15i$।
सर्वसमिका $z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)^3 - 3z_1z_2(z_1 + z_2)$ का उपयोग करने पर:
$20 + 15i = (5)^3 - 3z_1z_2(5)$
$20 + 15i = 125 - 15z_1z_2$
$15z_1z_2 = 105 - 15i$
$z_1z_2 = 7 - i$
अब,$z_1^2 + z_2^2 = (z_1 + z_2)^2 - 2z_1z_2 = 25 - 2(7 - i) = 11 + 2i$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(z_1^2 + z_2^2)^2 = (11 + 2i)^2 = 117 + 44i$।
$z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2)^2 - 2(z_1z_2)^2 = 117 + 44i - 2(7 - i)^2 = 117 + 44i - 2(48 - 14i) = 21 + 72i$।
मापांक $|z_1^4 + z_2^4| = \sqrt{21^2 + 72^2} = \sqrt{441 + 5184} = \sqrt{5625} = 75$।

(B) मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $\bar{z} = x - iy$ और $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।
दिया गया समीकरण: $(x - iy)^2 + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$ है।
$(x^2 - y^2 - 2ixy) + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$ है।
काल्पनिक भाग को शून्य के बराबर रखने पर: $-2xy = 0 \implies x = 0$ या $y = 0$ है।
स्थिति $1$: यदि $x = 0$,तो $-y^2 + |y| = 0 \implies |y|^2 = |y|$ है। चूँकि $z \neq 0$,इसलिए $|y| = 1$,अतः $y = 1$ या $y = -1$ है। इस प्रकार,$z_1 = i$ और $z_2 = -i$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $y = 0$,तो $x^2 + |x| = 0 \implies |x|^2 + |x| = 0$ है। चूँकि $|x| \geq 0$,यह दर्शाता है कि $|x| = 0$,अतः $x = 0$ है,जो $z = 0$ देता है (जो शून्येतर हल नहीं है)।
शून्येतर हल $z_1 = i$ और $z_2 = -i$ हैं।
योग $\alpha = i + (-i) = 0$ है।
गुणनफल $\beta = i \times (-i) = -i^2 = 1$ है।
अतः,$4(\alpha^2 + \beta^2) = 4(0^2 + 1^2) = 4(1) = 4$ है।

(C) कथन $I$:
हम जानते हैं कि त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी सम्मिश्र संख्याओं $w_1, w_2$ के लिए,$|w_1 + w_2| \leq |w_1| + |w_2|$.
मान लीजिए $w_1 = \frac{z_1}{|z_1|}$ और $w_2 = \frac{z_2}{|z_2|}$.
तब $|w_1| = |\frac{z_1}{|z_1|}| = 1$ और $|w_2| = |\frac{z_2}{|z_2|}| = 1$.
अतः,$|\frac{z_1}{|z_1|} + \frac{z_2}{|z_2|}| \leq |\frac{z_1}{|z_1|}| + |\frac{z_2}{|z_2|}| = 1 + 1 = 2$.
दोनों पक्षों को $(|z_1| + |z_2|)$ से गुणा करने पर,हमें $(|z_1| + |z_2|)|\frac{z_1}{|z_1|} + \frac{z_2}{|z_2|}| \leq 2(|z_1| + |z_2|)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,कथन $I$ सही है।
कथन $II$:
दिया गया है कि $\frac{a}{|y-z|} = \frac{b}{|z-x|} = \frac{c}{|x-y|} = k$ (जहाँ $k > 0$).
तब $a = k|y-z|$,$b = k|z-x|$,$c = k|x-y|$.
व्यंजक $S = \frac{a^2}{y-z} + \frac{b^2}{z-x} + \frac{c^2}{x-y}$ पर विचार करें।
चूँकि $|w|^2 = w \bar{w}$,हमारे पास $a^2 = k^2|y-z|^2 = k^2(y-z)(\bar{y}-\bar{z})$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$S = \frac{k^2(y-z)(\bar{y}-\bar{z})}{y-z} + \frac{k^2(z-x)(\bar{z}-\bar{x})}{z-x} + \frac{k^2(x-y)(\bar{x}-\bar{y})}{x-y}$.
$S = k^2(\bar{y}-\bar{z} + \bar{z}-\bar{x} + \bar{x}-\bar{y}) = k^2(0) = 0$.
चूँकि $0 \neq 1$,कथन $II$ गलत है।

(D) दिया है $|z+2|=1$, अतः हम $z+2 = \cos \theta + i \sin \theta$ लिख सकते हैं।
तब $\frac{1}{z+2} = \cos \theta - i \sin \theta$.
हम जानते हैं कि $\frac{z+1}{z+2} = \frac{z+2-1}{z+2} = 1 - \frac{1}{z+2} = 1 - (\cos \theta - i \sin \theta) = (1 - \cos \theta) + i \sin \theta$.
दिया है $\operatorname{Im}\left(\frac{z+1}{z+2}\right) = \frac{1}{5}$, अतः $\sin \theta = \frac{1}{5}$.
अब $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$, अतः $\cos \theta = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.
अब, $\overline{z+2} = \overline{\cos \theta + i \sin \theta} = \cos \theta - i \sin \theta$.
अतः, $\operatorname{Re}(\overline{z+2}) = \cos \theta$.
इसलिए, $|\operatorname{Re}(\overline{z+2})| = |\cos \theta| = \left| \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5} \right| = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.

(B) दिया गया है $a + 5b = 42$ जहाँ $a, b \in N$.
$a = 42 - 5b$.
$b = 1$ के लिए,$a = 37$.
$b = 2$ के लिए,$a = 32$.
$b = 3$ के लिए,$a = 27$.
$b = 4$ के लिए,$a = 22$.
$b = 5$ के लिए,$a = 17$.
$b = 6$ के लिए,$a = 12$.
$b = 7$ के लिए,$a = 7$.
$b = 8$ के लिए,$a = 2$.
अतः,समुच्चय $R$ में $8$ अवयव हैं,इसलिए $m = 8$.
हमें $\sum_{n=1}^8 (1 - i^{n!}) = x + iy$ की गणना करनी है।
$n \geq 4$ के लिए,$n!$ का मान $4$ का गुणज है,इसलिए $i^{n!} = (i^4)^k = 1^k = 1$.
अतः,$\sum_{n=1}^8 (1 - i^{n!}) = (1 - i^{1!}) + (1 - i^{2!}) + (1 - i^{3!}) + 5(1 - 1)$.
$= (1 - i) + (1 - (-1)) + (1 - (-1)) + 0$.
$= 1 - i + 2 + 2 = 5 - i$.
$x + iy$ से तुलना करने पर,हमें $x = 5$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m + x + y = 8 + 5 - 1 = 12$.

(B) माना $Z = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
$Z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए, $Z$ का वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए, या $Z + \overline{Z} = 0$.
$\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta} + \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta} = 0$
$(1+i \cos \theta)(1+2 i \cos \theta) + (1-i \cos \theta)(1-2 i \cos \theta) = 0$
$(1 + 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) + (1 - 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) = 0$
$2 - 4 \cos^2 \theta = 0$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta \in [-\pi, 2 \pi]$ के लिए, $\theta$ के मान $-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ हैं।
इन मानों का योग $(-\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}) = \frac{12\pi}{4} = 3\pi$ है।

(A) दिया गया है $A = \frac{1967 + 1686 i \sin \theta}{7 - 3 i \cos \theta}$।
अंश से $281$ उभयनिष्ठ लेने पर: $A = \frac{281(7 + 6 i \sin \theta)}{7 - 3 i \cos \theta}$।
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(7 + 3 i \cos \theta)$ से गुणा करने पर:
$A = \frac{281(49 + 21 i \cos \theta + 42 i \sin \theta - 18 \sin \theta \cos \theta)}{49 + 9 \cos^2 \theta}$।
$A$ के वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$21 \cos \theta + 42 \sin \theta = 0 \implies \tan \theta = -\frac{1}{2}$।
$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ का उपयोग करके,$\sin 2 \theta = -\frac{4}{5}$ और $\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $A$ के वास्तविक भाग में रखने पर:
$A = \frac{281(49 - 9 \sin 2 \theta)}{49 + 9 \cos^2 \theta} = \frac{281(49 + 36/5)}{49 + 36/5} = 281$।
अतः,एकमात्र धनात्मक पूर्णांक $n = 281$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ ...$(1)$
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर:
$|z|^3 + 2\bar{z}^2 + 4z - 8 = 0$ ...$(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$2(z^2 - \bar{z}^2) + 4(\bar{z} - z) = 0$
$2(z - \bar{z})(z + \bar{z}) - 4(z - \bar{z}) = 0$
चूंकि $\text{Im}(z) \neq 0$,इसलिए $z - \bar{z} \neq 0$,अतः $2(z + \bar{z}) - 4 = 0 \Rightarrow z + \bar{z} = 2$.
माना $z = x + iy$. तब $2x = 2 \Rightarrow x = 1$.
$x=1$ को मूल समीकरण $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ में रखने पर:
$|z|^3 + 2(1+iy)^2 + 4(1-iy) - 8 = 0$
$|z|^3 + 2(1 - y^2 + 2iy) + 4 - 4iy - 8 = 0$
$|z|^3 + 2 - 2y^2 + 4iy + 4 - 4iy - 8 = 0$
$|z|^3 - 2y^2 - 2 = 0$
चूंकि $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1 + y^2$,इसलिए $|z|^3 = (1+y^2)^{3/2}$.
$(1+y^2)^{3/2} - 2(y^2 + 1) = 0$
$(1+y^2) [\sqrt{1+y^2} - 2] = 0$
चूंकि $1+y^2 \neq 0$,इसलिए $\sqrt{1+y^2} = 2 \Rightarrow |z| = 2$.
अतः,$|z|^2 = 4$.
$1 + y^2 = 4 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt{3}$.
$|z-\bar{z}|^2 = |2iy|^2 = 4y^2 = 4(3) = 12$.
$|z|^2 + |z+\bar{z}|^2 = 4 + |2|^2 = 4 + 4 = 8$.
$|z+1|^2 = |(1+iy)+1|^2 = |2+iy|^2 = 2^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$.
इसलिए,$P \rightarrow 2, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 3, S \rightarrow 5$.

(A) दिया गया है $\omega = e^{i \pi / 3}$।
$|x|^2 = (a+b+c)(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) = |a|^2+|b|^2+|c|^2 + (a\bar{b} + \bar{a}b) + (b\bar{c} + \bar{b}c) + (c\bar{a} + \bar{c}a)$.
$|y|^2 = (a+b\omega+c\omega^2)(\bar{a}+\bar{b}\bar{\omega}+\bar{c}\bar{\omega}^2)$.
$|z|^2 = (a+b\omega^2+c\omega)(\bar{a}+\bar{b}\bar{\omega}^2+\bar{c}\bar{\omega})$.
इन पदों को जोड़ने पर,इकाई के घनमूल के गुणों के कारण क्रॉस पद कट जाते हैं और परिणाम $3(|a|^2+|b|^2+|c|^2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{|x|^2+|y|^2+|z|^2}{|a|^2+|b|^2+|c|^2} = 3$.

(A) सम्मिश्र संख्या $-1-i$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है। मुख्य कोणांक $\arg(-1-i) = -\pi + \arctan(1) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$ है। अतः,कथन $(A)$ $FALSE$ है।
$(B)$ $f(t) = \arg(-1+it)$। जब $t > 0$ होता है,तो $\arg(-1+it) = \pi - \arctan(t)$। जब $t < 0$ होता है,तो $\arg(-1+it) = -\pi + \arctan(|t|)$। $t \to 0$ के लिए,बाईं ओर की सीमा $-\pi$ है और दाईं ओर की सीमा $\pi$ है। इसलिए,यह $t=0$ पर असतत है। कथन $(B)$ $FALSE$ है।
$(C)$ कोणांक के गुणधर्म के अनुसार,$\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2) + 2k\pi$। यह एक मानक सर्वसमिका है। कथन $(C)$ $TRUE$ है।
$(D)$ शर्त $\arg\left(\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}\right) = \pi$ यह दर्शाती है कि बिंदु $z, z_1, z_2, z_3$ एक वृत्त पर स्थित हैं। बिंदुपथ एक वृत्त है,सीधी रेखा नहीं। कथन $(D)$ $FALSE$ है।
अतः,असत्य कथन $(A), (B)$ और $(D)$ हैं।

(B) दिया गया है $|z^2+z+1|=1$.
इसे हम $|(z+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}| = 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
त्रिभुज असमिका $|a+b| \leq |a| + |b|$ का उपयोग करते हुए,$1 = |(z+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}| \leq |z+\frac{1}{2}|^2 + \frac{3}{4}$,जो दर्शाता है कि $|z+\frac{1}{2}|^2 \geq \frac{1}{4}$,इसलिए $|z+\frac{1}{2}| \geq \frac{1}{2}$। अतः,$(C)$ सत्य है।
साथ ही,$|z^2+z| = |(z^2+z+1)-1| \leq |z^2+z+1| + |-1| = 1+1 = 2$।
चूंकि $|z^2+z| = |z||z+1| \leq 2$,बड़े $|z|$ के लिए,$|z|^2 \approx |z^2+z| \leq 2$,इसलिए $|z| \leq 2$। अतः,$(B)$ सत्य है।
चूंकि समीकरण $|z^2+z+1|=1$ सम्मिश्र तल में एक वक्र को दर्शाता है,समुच्चय $S$ अनंत है,इसलिए $(D)$ असत्य है।
अतः,सही कथन $(B)$ और $(C)$ हैं।

(D) मान लीजिए $z = x + iy$ है। दिया गया समीकरण $z^4 - |z|^4 = 4iz^2$ है।
चूंकि $|z|^2 = z\bar{z}$, इसलिए $|z|^4 = (z\bar{z})^2 = z^2\bar{z}^2$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $z^4 - z^2\bar{z}^2 = 4iz^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $z^2(z^2 - \bar{z}^2) = 4iz^2$ है।
स्थिति $1$: $z^2 = 0 \Rightarrow z = 0$ है। हालाँकि, $z = 0$ शर्त $\operatorname{Re}(z_1) > 0$ या $\operatorname{Re}(z_2) < 0$ को संतुष्ट नहीं करता है।
स्थिति $2$: $z^2 - \bar{z}^2 = 4i$ है।
चूंकि $z = x + iy$ है, इसलिए $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ और $\bar{z}^2 = x^2 - y^2 - 2ixy$ है।
अतः, $z^2 - \bar{z}^2 = (x^2 - y^2 + 2ixy) - (x^2 - y^2 - 2ixy) = 4ixy$ है।
इसे $4i$ के बराबर रखने पर, हमें $4ixy = 4i$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $xy = 1$ हो जाता है।
हमें $|z_1 - z_2|^2$ को न्यूनतम करना है जहाँ $z_1 = x_1 + iy_1$ के साथ $x_1 > 0$ और $z_2 = x_2 + iy_2$ के साथ $x_2 < 0$ है।
चूंकि $xy = 1$ है, इसलिए $y = 1/x$ है। अतः $z = x + i/x$ है।
$|z_1 - z_2|^2 = |(x_1 - x_2) + i(1/x_1 - 1/x_2)|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2})^2 = (x_1 - x_2)^2 (1 + \frac{1}{x_1^2x_2^2})$ है।
मान लीजिए $x_1 = a > 0$ और $x_2 = -b$ जहाँ $b > 0$ है। तो $x_1x_2 = -ab$ है।
$|z_1 - z_2|^2 = (a + b)^2 (1 + \frac{1}{a^2b^2})$ है।
$AM-GM$ असमिका के अनुसार, $(a + b)^2 \ge 4ab$ है। साथ ही $1 + \frac{1}{a^2b^2} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{1}{a^2b^2}} = \frac{2}{ab}$ है।
इसलिए $|z_1 - z_2|^2 \ge 4ab \cdot \frac{2}{ab} = 8$ है।

(B) दिया गया है कि $z \neq \overline{z}$.
माना $\alpha = \frac{2+3z+4z^2}{2-3z+4z^2} = 1 + \frac{6z}{2-3z+4z^2}$.
यदि $\alpha$ एक वास्तविक संख्या है,तो $\alpha = \overline{\alpha}$.
अतः $\frac{z}{2-3z+4z^2} = \frac{\overline{z}}{2-3\overline{z}+4\overline{z}^2}$.
सरल करने पर,$2(z-\overline{z}) = 4z\overline{z}(z-\overline{z})$.
चूँकि $z \neq \overline{z}$,इसलिए $4z\overline{z} = 2$.
अतः $|z|^2 = z\overline{z} = 0.50$.

(C) दिया गया है,$\bar{z}-z^2=i(\bar{z}+z^2)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(1-i)\bar{z}=(1+i)z^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\bar{z} = \frac{1+i}{1-i}z^2 = \frac{(1+i)^2}{1^2+1^2}z^2 = \frac{2i}{2}z^2 = iz^2$.
मान लीजिए $z = x+iy$,तो $\bar{z} = x-iy$.
$\bar{z} = iz^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x-iy = i(x+iy)^2 = i(x^2-y^2+2ixy) = -2xy + i(x^2-y^2)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = -2xy \Rightarrow x(1+2y) = 0$.
$-y = x^2-y^2 \Rightarrow x^2 = y^2-y$.
स्थिति $I$: यदि $x=0$,तो $y^2-y=0$,अतः $y=0$ या $y=1$। इससे $z=0$ और $z=i$ मूल प्राप्त होते हैं।
स्थिति $II$: यदि $y=-\frac{1}{2}$,तो $x^2 = (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$,अतः $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$। इससे $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ और $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ मूल प्राप्त होते हैं।
कुल $4$ भिन्न मूल हैं।

(A) मान लीजिए $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,तो $\bar{z} = r(\cos \theta - i \sin \theta)$.
तब $(\bar{z})^2 + \frac{1}{z^2} = r^2(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) + \frac{1}{r^2}(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) = (r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2\theta - i (r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2\theta$.
मान लीजिए $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2\theta = m$ और $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2\theta = -n$,जहाँ $m, n \in \mathbb{Z}$.
वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $(r^2 + \frac{1}{r^2})^2 = m^2 + n^2$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = m^2 + n^2$.
विकल्प $(A)$ के लिए,$|z|^4 = \frac{43+3 \sqrt{205}}{2}$.
अतः $r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = 43 + 2 = 45$,जो $m^2 + n^2 = 45$ है। यह पूर्णांक $m, n$ के लिए संभव है (जैसे,$6^2 + 3^2 = 45$).
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + c$ और $f(1) = -9$,इसलिए $1 + a + b + c = -9$,यानी $a + b + c = -10$ $(1)$.
समीकरण $4x^3 + 3ax^2 + 2bx = 0$ का एक मूल $i\sqrt{3}$ है। वास्तविक गुणांक होने के कारण,$-i\sqrt{3}$ भी एक मूल होगा। तीसरा मूल $0$ होगा क्योंकि अचर पद $0$ है।
अतः,मूल $0, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}$ हैं।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\frac{2b}{4} = (i\sqrt{3})(-i\sqrt{3}) + 0 + 0 = 3$ है,इसलिए $b = 6$.
मूलों का योग $-\frac{3a}{4} = 0 + i\sqrt{3} - i\sqrt{3} = 0$ है,इसलिए $a = 0$.
$a = 0$ और $b = 6$ को $(1)$ में रखने पर,$0 + 6 + c = -10$,इसलिए $c = -16$.
अतः,$f(x) = x^4 + 6x^2 - 16 = 0$.
गुणनखंड करने पर,$(x^2 + 8)(x^2 - 2) = 0$,इसलिए $x^2 = -8$ और $x^2 = 2$.
मूल $\alpha_1 = i\sqrt{8}, \alpha_2 = -i\sqrt{8}, \alpha_3 = \sqrt{2}, \alpha_4 = -\sqrt{2}$ हैं।
मापांकों के वर्गों का योग: $|\alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2 + |\alpha_3|^2 + |\alpha_4|^2 = 8 + 8 + 2 + 2 = 20$.

(D) दिया गया है $z_1 = e^{-i\pi/4}, z_2 = 1, z_3 = e^{i\pi/4}$.
चूँकि $|z|=1$,इसलिए $\bar{z} = 1/z$.
$z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_3 + z_3 \bar{z}_1 = e^{-i\pi/4}(1) + 1(e^{-i\pi/4}) + e^{i\pi/4}(e^{i\pi/4}) = 2e^{-i\pi/4} + e^{i\pi/2}$.
$2e^{-i\pi/4} + e^{i\pi/2} = 2(\cos(\pi/4) - i\sin(\pi/4)) + i = 2(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}) + i = \sqrt{2} - i\sqrt{2} + i = \sqrt{2} + i(1 - \sqrt{2})$.
इसका वर्ग मापांक $|\sqrt{2} + i(1 - \sqrt{2})|^2 = (\sqrt{2})^2 + (1 - \sqrt{2})^2 = 2 + (1 - 2\sqrt{2} + 2) = 5 - 2\sqrt{2}$.
$\alpha + \beta \sqrt{2}$ से तुलना करने पर,$\alpha = 5$ और $\beta = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = 5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$.

(D) दिया गया समीकरण $2z^2 - 3z - 2i = 0$ है।
$z$ से भाग देने पर,हमें $2z - 3 - \frac{2i}{z} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2(z - \frac{i}{z}) = 3$,या $z - \frac{i}{z} = \frac{3}{2}$।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha - \frac{i}{\alpha} = \frac{3}{2}$ और $\beta - \frac{i}{\beta} = \frac{3}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\alpha - \frac{i}{\alpha})^2 = \alpha^2 + \frac{i^2}{\alpha^2} - 2i = \alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} - 2i = \frac{9}{4}$।
अतः,$\alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} = \frac{9}{4} + 2i$। इसी प्रकार,$\beta^2 - \frac{1}{\beta^2} = \frac{9}{4} + 2i$।
व्यंजक $E = \frac{\alpha^{19} + \beta^{19} + \alpha^{11} + \beta^{11}}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{\alpha^{15}(\alpha^4 + \alpha^{-4}) + \beta^{15}(\beta^4 + \beta^{-4})}{\alpha^{15} + \beta^{15}}$ पर विचार करें।
ध्यान दें कि $(\alpha^2 - \alpha^{-2})^2 = \alpha^4 + \alpha^{-4} - 2 = (\frac{9}{4} + 2i)^2 = \frac{81}{16} - 4 + 9i = \frac{17}{16} + 9i$।
इसलिए,$\alpha^4 + \alpha^{-4} = \frac{17}{16} + 9i + 2 = \frac{49}{16} + 9i$।
इसे $E$ में प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{(\alpha^{15} + \beta^{15})(\frac{49}{16} + 9i)}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{49}{16} + 9i$।
अतः $\operatorname{Re}(E) = \frac{49}{16}$ और $\operatorname{Im}(E) = 9$।
अभीष्ट मान $16 \cdot \operatorname{Re}(E) \cdot \operatorname{Im}(E) = 16 \cdot \frac{49}{16} \cdot 9 = 49 \cdot 9 = 441$ है।

(C) किसी भी प्राकृतिक संख्या $k$ के लिए $i^k$ का मान केवल चार मानों में से एक हो सकता है: $\{i, -1, -i, 1\}$.
चूंकि $k_1$ और $k_2$ को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $(i^{k_1}, i^{k_2})$ के लिए कुल $4 \times 4 = 16$ संभावित जोड़े हैं।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जहाँ $i^{k_1} + i^{k_2} \neq 0$,जो $1 - P(i^{k_1} + i^{k_2} = 0)$ के बराबर है।
शर्त $i^{k_1} + i^{k_2} = 0$ का अर्थ है $i^{k_1} = -i^{k_2}$।
इस शर्त को पूरा करने वाले संभावित जोड़े: $(i, -i), (-i, i), (1, -1), (-1, 1)$ हैं।
ऐसे $4$ प्रतिकूल मामले हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $16 - 4 = 12$ है।
प्रायिकता $\frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-(3-2 i) x-(2 i-2)=0$ है। \\
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर: \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{(3-2 i)^2 - 4(1)(-(2 i-2))}}{2}$ \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{9 - 4 - 12i + 8i - 8}}{2}$ \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm \sqrt{-3 - 4i}}{2}$ \\
चूंकि $-3-4i = 1^2 + (2i)^2 - 2(1)(2i) = (1-2i)^2$,इसलिए: \\
$x = \frac{(3-2 i) \pm (1-2 i)}{2}$ \\
स्थिति $1$: $x = \frac{3-2i + 1-2i}{2} = \frac{4-4i}{2} = 2-2i$. यहाँ $\alpha=2, \beta=-2$. \\
स्थिति $2$: $x = \frac{3-2i - (1-2i)}{2} = \frac{2}{2} = 1+0i$. यहाँ $\gamma=1, \delta=0$. \\
अतः,$\alpha \gamma + \beta \delta = (2)(1) + (-2)(0) = 2+0 = 2$.

(A) दिया गया है $\frac{2+k^2z}{k+\overline{z}}=kz$। चूँकि $|z|=1$,इसलिए $\overline{z} = \frac{1}{z}$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2+k^2z}{k+\frac{1}{z}} = kz$ प्राप्त होता है।
$\frac{z(2+k^2z)}{kz+1} = kz \implies 2+k^2z = k^2z+k$।
अतः $k=2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $k+ik^2 = 2+4i$ है।
वृत्त $|z-(1+2i)|=1$ का केंद्र $C(1,2)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
बिंदु $P(2,4)$ से केंद्र $C(1,2)$ की दूरी $d = \sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{5}$ है।
वृत्त से अधिकतम दूरी $d+r = \sqrt{5}+1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{z^2+3i}{z-2+i} = 2+3i$
दोनों पक्षों को $(z-2+i)$ से गुणा करने पर: $z^2+3i = (2+3i)(z-2+i)$
$z^2+3i = 2z - 4 + 2i + 3iz - 6i - 3$
$z^2 - z(2+3i) + 7 + 7i = 0$
मान लीजिए $z_1$ और $z_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$z_1+z_2 = 2+3i$ और $z_1z_2 = 7+7i$ है।
हमें $z^2$ के सभी संभावित मानों का योग ज्ञात करना है,जो $z_1^2 + z_2^2$ है।
$z_1^2 + z_2^2 = (z_1+z_2)^2 - 2z_1z_2$
$z_1^2 + z_2^2 = (2+3i)^2 - 2(7+7i)$
$z_1^2 + z_2^2 = (4 - 9 + 12i) - 14 - 14i$
$z_1^2 + z_2^2 = -19 - 2i$

(B) दिया गया है कि $\omega_1 = (8 \sin \theta + 7 \cos \theta) + i(\sin \theta + 4 \cos \theta)$ और $\omega_2 = (\sin \theta + 4 \cos \theta) + i(8 \sin \theta + 7 \cos \theta)$ है।
मान लीजिए $x = 8 \sin \theta + 7 \cos \theta$ और $y = \sin \theta + 4 \cos \theta$ है।
तब $\omega_1 = x + iy$ और $\omega_2 = y + ix$ है।
गुणनफल $\omega_1 \omega_2 = (x + iy)(y + ix) = xy + ix^2 + iy^2 + i^2yx = xy + i(x^2 + y^2) - xy = i(x^2 + y^2)$ है।
अतः,$\alpha = 0$ और $\beta = x^2 + y^2$ है।
$\beta = (8 \sin \theta + 7 \cos \theta)^2 + (\sin \theta + 4 \cos \theta)^2 = 65 \sin^2 \theta + 65 \cos^2 \theta + 120 \sin \theta \cos \theta = 65 + 60 \sin(2 \theta)$ है।
इसलिए $\alpha + \beta = 65 + 60 \sin(2 \theta)$,अधिकतम मान $p = 125$ और न्यूनतम मान $q = 5$ है।
अतः $p + q = 125 + 5 = 130$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ समीकरण $x^2+x+1=0$ का एक मूल है,इसलिए $\alpha = \omega$ या $\alpha = \omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।
चूंकि $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$,व्यंजक $\left(\alpha^k+\frac{1}{\alpha^k}\right)^2$ सरल होकर $\left(\omega^k+\omega^{2k}\right)^2 = \omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k} = \omega^{2k} + \omega^k + 2$ हो जाता है।
हमें $n$ का मान ज्ञात करना है ताकि $\sum_{k=1}^n (\omega^{2k} + \omega^k + 2) = 20$ हो।
यह $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} + \sum_{k=1}^n \omega^k + 2n = 20$ है।
यदि $n$,$3$ का गुणज है,मान लीजिए $n=3m$,तो $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = 0$ और $\sum_{k=1}^n \omega^k = 0$,इसलिए $2n = 20 \Rightarrow n = 10$ ($3$ का गुणज नहीं है)।
यदि $n = 3m+1$,तो $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2$ और $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega$,इसलिए $\omega^2 + \omega + 2n = 20$ $\Rightarrow -1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 21$ (कोई पूर्णांक हल नहीं)।
यदि $n = 3m+2$,तो $\sum_{k=1}^n \omega^{2k} = \omega^2 + \omega^4 = \omega^2 + \omega = -1$ और $\sum_{k=1}^n \omega^k = \omega + \omega^2 = -1$,इसलिए $-1 - 1 + 2n = 20$ $\Rightarrow 2n = 22$ $\Rightarrow n = 11$.
चूंकि $11 = 3(3) + 2$,यह शर्त को संतुष्ट करता है।

(C) $(S1)$ के लिए: मान लीजिए $z = x+iy$. चूंकि $|z|=1$,$x^2+y^2=1$. $\frac{z-i}{z+i}$ विशुद्ध वास्तविक है का अर्थ है $\frac{z-i}{z+i} = \frac{\bar{z}+i}{\bar{z}-i}$.
इसे सरल करने पर $2i(z+\bar{z}) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=0$. $|z|=1$ होने के कारण $y^2=1$,अतः $z = \pm i$. लेकिन $z \neq -i$ होने के कारण,केवल $z=i$ संभव है। अतः,$(S1)$ गलत है.
$(S2)$ के लिए: मान लीजिए $w = \frac{z-1}{z+1}$. $w$ विशुद्ध काल्पनिक है का अर्थ है $w + \bar{w} = 0$.
इसे सरल करने पर $2|z|^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|z|^2 = 1$. यह दी गई शर्त $|z|=1$ को संतुष्ट करता है। अतः,$(S2)$ सही है.

(A) दिया गया समीकरण $1 + 10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos \theta + i \sin \theta}{\cos \theta - 3i \sin \theta}\right) = 0$ है।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\cos \theta + 3i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$\frac{(2 \cos \theta + i \sin \theta)(\cos \theta + 3i \sin \theta)}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = \frac{2 \cos^2 \theta + 6i \cos \theta \sin \theta + i \sin \theta \cos \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = \frac{(2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta) + i(7 \sin \theta \cos \theta)}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}$.
वास्तविक भाग $\frac{2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}$ है।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$1 + 10 \left(\frac{2 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta}\right) = 0$.
$\frac{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 20 \cos^2 \theta - 30 \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta} = 0$.
$21 \cos^2 \theta - 21 \sin^2 \theta = 0 \implies 21 \cos(2\theta) = 0$.
अतः, $\cos(2\theta) = 0$, जिसका अर्थ है $2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$.
इसलिए, $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
अब $\sum \theta^2 = \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{3\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{5\pi}{4}\right)^2 + \left(\frac{7\pi}{4}\right)^2 = \frac{\pi^2}{16}(1 + 9 + 25 + 49) = \frac{84 \pi^2}{16} = \frac{21 \pi^2}{4}$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $(1+i)^5(1-i)^7$
$= (1+i)^5(1-i)^5(1-i)^2$
$= [(1+i)(1-i)]^5(1-2i+i^2)$
$= (1-i^2)^5(1-2i-1)$
$= (1-(-1))^5(-2i)$
$= (2)^5(-2i)$
$= 32(-2i) = -64i$

(D) दिया गया है $\frac{2z-n}{2z+n} = 2i-1$.
मान लीजिए $2z = x+iy$. चूँकि $\operatorname{Im}(z)=10$, इसलिए $\operatorname{Im}(2z) = 20$. अतः $2z = x+20i$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{x+20i-n}{x+20i+n} = 2i-1$.
$(x-n)+20i = (2i-1)(x+n+20i)$.
$(x-n)+20i = 2i(x+n) + 40i^2 - (x+n) - 20i$.
$(x-n)+20i = 2i(x+n) - 40 - (x+n) - 20i$.
$(x-n)+20i = -(x+n+40) + i(2x+2n-20)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $x-n = -(x+n+40) \implies x-n = -x-n-40 \implies 2x = -40 \implies x = -20$.
अतः $2z = -20+20i$, जिससे $z = -10+10i$. इस प्रकार $\operatorname{Re}(z) = -10$.
काल्पनिक भाग: $20 = 2x+2n-20$.
$x=-20$ रखने पर: $20 = 2(-20)+2n-20 \implies 20 = -40+2n-20 \implies 20 = 2n-60 \implies 2n = 80 \implies n = 40$.
अतः, $n=40$ और $\operatorname{Re}(z)=-10$.

(A) दिया गया है $(x+iy)^{1/3} = a+ib$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $x+iy = (a+ib)^3$.
सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ का उपयोग करने पर,$x+iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
$x+iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $x+iy = (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x = a^3 - 3ab^2$ और $y = 3a^2b - b^3$.
क्रमशः $a$ और $b$ से विभाजित करने पर: $\frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$ और $\frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$.
अतः,$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) - (3a^2 - b^2) = a^2 - 3b^2 - 3a^2 + b^2 = -2a^2 - 2b^2 = -2(a^2+b^2)$.

(A) दिया गया है $x = -2 - \sqrt{3} i$.
$x + 2 = -\sqrt{3} i$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + 2)^2 = (-\sqrt{3} i)^2$.
$x^2 + 4x + 4 = 3i^2$.
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए $x^2 + 4x + 4 = -3$.
$x^2 + 4x + 7 = 0$.
अब,$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 41$ को $x^2 + 4x + 7$ से विभाजित करने पर:
$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 41 = (x^2 + 4x + 7)(2x^2 - 3x + 5) + 6$.
$x^2 + 4x + 7 = 0$ रखने पर:
$0 \times (2x^2 - 3x + 5) + 6 = 6$.

(B) दिया गया है $x = 1 + 2i$,तो $x - 1 = 2i$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 1)^2 = (2i)^2$,जिसका अर्थ है $x^2 - 2x + 1 = -4$,या $x^2 - 2x + 5 = 0$।
अब,$x^3 + 7x^2 - x + 16$ को $x^2 - 2x + 5$ से विभाजित करने पर:
$x^3 + 7x^2 - x + 16 = (x^2 - 2x + 5)(x + 9) + (12x - 29)$।
चूंकि $x^2 - 2x + 5 = 0$ है,इसलिए व्यंजक $12x - 29$ में सरल हो जाता है।
$x = 1 + 2i$ प्रतिस्थापित करने पर:
$12(1 + 2i) - 29 = 12 + 24i - 29 = -17 + 24i$।

(D) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ एक-दूसरे की संयुग्मी होती हैं यदि $z_1 = \overline{z_2}$ हो।
दिया गया है $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ और $z_2 = \cos x - i \sin 2x$।
$z_2$ का संयुग्मी $\overline{z_2} = \cos x + i \sin 2x$ है।
$z_1 = \overline{z_2}$ के लिए,$\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$ होना चाहिए।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1$) $\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
$2$) $\cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies 2x = m\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$।
$x$ के लिए इन दोनों शर्तों की तुलना करने पर,$x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,$x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए दी गई सम्मिश्र संख्याएँ एक-दूसरे की संयुग्मी हों।

(B) एक सम्मिश्र संख्या $z$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए,अर्थात $\text{Re}(z) = 0$.
दिया गया है $z = \frac{3 + 2i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + 2i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(3 + 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 8i \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,$\text{Re}(z) = 0$:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \implies \sin^2 \theta = \frac{3}{4} = \sin^2 \left(\frac{\pi}{3}\right)$
अतः,$\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$,जहाँ $n \in Z$.

(B) $z^{1/3} = p+iq$
$\Rightarrow z = (p+iq)^3$
$\Rightarrow x+iy = p^3 + 3p^2(iq) + 3p(iq)^2 + (iq)^3$
$\Rightarrow x+iy = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$
$\Rightarrow x = p^3 - 3pq^2$ और $y = 3p^2q - q^3$
$\Rightarrow \frac{x}{p} = p^2 - 3q^2$ और $\frac{y}{q} = 3p^2 - q^2$
$\therefore \left(\frac{x}{p} + \frac{y}{q}\right) = (p^2 - 3q^2) + (3p^2 - q^2) = 4p^2 - 4q^2 = 4(p^2 - q^2)$

(C) दिया गया है $x = -2 + i\sqrt{3}$,अतः $x + 2 = i\sqrt{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x + 2)^2 = -3$,जो सरल होकर $x^2 + 4x + 4 = -3$ अर्थात $x^2 + 4x + 7 = 0$ प्राप्त होता है।
अब,बहुपद $P(x) = 2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 38$ को $x^2 + 4x + 7$ से विभाजित करने पर:
$2x^4 + 5x^3 + 7x^2 - x + 38 = (x^2 + 4x + 7)(2x^2 - 3x + 5) + 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x^2 + 4x + 7 = 0$ है,इसलिए व्यंजक का मान:
$P(x) = 0 \times (2x^2 - 3x + 5) + 3 = 3$ होगा।
अतः,सही मान $3$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $(1-\cos \theta+i \sin \theta)^{-1} = \frac{1}{1-\cos \theta+i \sin \theta}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ और $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2 \sin^2(\theta/2) + i(2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2))} = \frac{1}{2 \sin(\theta/2) [\sin(\theta/2) + i \cos(\theta/2)]}$.
अंश और हर को संयुग्मी $[\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)]$ से गुणा करने पर:
$= \frac{\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) [\sin^2(\theta/2) + \cos^2(\theta/2)]} = \frac{\sin(\theta/2) - i \cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)}$.
$= \frac{\sin(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)} - i \frac{\cos(\theta/2)}{2 \sin(\theta/2)} = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} \cot(\theta/2)$.
अतः,वास्तविक भाग $1/2$ है।

(D) सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $Z_1$ और $Z_2$ के लिए,उनके योग का मापांक उनके मापांकों के योग से कम या उसके बराबर होता है,अर्थात $\left|Z_1+Z_2\right| \leq \left|Z_1\right|+\left|Z_2\right|$.
अतः,कथन $\left|Z_1+Z_2\right| \geq \left|Z_1\right|+\left|Z_2\right|$ सामान्यतः असत्य है।

(D) दिया गया है $x = \frac{4 + 5i}{2}$ $\Rightarrow 2x = 4 + 5i$ $\Rightarrow 2x - 4 = 5i$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2x - 4)^2 = (5i)^2$ $\Rightarrow 4x^2 - 16x + 16 = -25$ $\Rightarrow 4x^2 - 16x + 41 = 0$.
अब,बहुपद $4x^3 - 4x^2 - 7x + 127$ को $4x^2 - 16x + 41$ से विभाजित करने पर:
$4x^3 - 4x^2 - 7x + 127 = x(4x^2 - 16x + 41) + 12x^2 - 48x + 127$
$= x(0) + 3(4x^2 - 16x) + 127$
$= 3(-41) + 127$
$= -123 + 127 = 4$.

(D) दिया गया है कि $f(z) = z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8$ का एक मूल $2i$ है। चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका सम्मिश्र संयुग्मी $-2i$ भी एक मूल होगा।
अतः,$(z - 2i)(z + 2i) = (z^2 + 4)$,$f(z)$ का एक गुणनखंड है।
$f(z)$ को $(z^2 + 4)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(z) = (z^2 + 4)(z^2 + z - 2)$.
द्विघात पद का गुणनखंड करने पर:
$z^2 + z - 2 = (z + 2)(z - 1)$.
इस प्रकार,$f(z) = 0$ के मूल $2i, -2i, -2$ और $1$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$2$,$f(z) = 0$ का मूल नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण $x^4-10x^3+50x^2-130x+169=0$ है।
चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,मूल संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
मूल $a+ib, a-ib, b+ai, b-ai$ हैं।
मूलों का योग $(a+ib) + (a-ib) + (b+ai) + (b-ai) = 2a + 2b = 10$ है,इसलिए $a+b=5$।
मूलों का गुणनफल $(a^2+b^2)(b^2+a^2) = (a^2+b^2)^2 = 169$ है।
अतः,$a^2+b^2 = 13$।
हम जानते हैं कि $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$।
मान रखने पर,$5^2 = 13 + 2ab$,जिससे $25 = 13 + 2ab$ प्राप्त होता है,इसलिए $2ab = 12$ या $ab = 6$।
हमें $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$\frac{13}{6}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^3-3x^2+3x-9=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$x^2(x-3) + 3(x-3) = 0$.
$(x-3)(x^2+3) = 0$.
अतः,एक मूल $x = 3$ है।
अन्य मूलों के लिए,$x^2+3=0$ को हल करने पर,$x^2 = -3$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\omega^2+\omega+1=0$,इसलिए $\omega^2+\omega = -1$।
$x = 1+2\omega$ की जाँच करने पर: $(1+2\omega)^2 + 3 = 1 + 4\omega + 4\omega^2 + 3 = 4(1+\omega+\omega^2) = 0$।
इसी प्रकार,$x = 1+2\omega^2$ भी समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,मूल $3, 1+2\omega$ और $1+2\omega^2$ हैं।