Mix Examples-Complex numbers Questions in Hindi

(B) सम्मिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप के गुण का उपयोग करते हुए,$(\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)$.
दिया गया गुणनफल $P = (\cos \theta + i\sin \theta )(\cos \frac{\theta }{2} + i\sin \frac{\theta }{2})(\cos \frac{\theta }{2^2} + i\sin \frac{\theta }{2^2}) \dots \infty$ है।
यह $P = \cos(\theta + \frac{\theta }{2} + \frac{\theta }{2^2} + \dots) + i\sin(\theta + \frac{\theta }{2} + \frac{\theta }{2^2} + \dots)$ में सरल हो जाता है।
घातांकों का योग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \theta$ और सार्व अनुपात $r = 1/2$ है।
अनंत श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{\theta}{1 - 1/2} = \frac{\theta}{1/2} = 2\theta$ है।
अतः,$P = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$।

(C) दिया गया है $|z_1 + z_2| = 1$ और $|z_1^2 + z_2^2| = 25$.
हम जानते हैं कि $z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(z_1^2 - z_1z_2 + z_2^2)$.
साथ ही,$(z_1 + z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2$,इसलिए $z_1z_2 = \frac{1}{2}((z_1 + z_2)^2 - (z_1^2 + z_2^2))$.
इस मान को $z_1^3 + z_2^3$ के व्यंजक में रखने पर:
$z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)(\frac{3}{2}(z_1^2 + z_2^2) - \frac{1}{2}(z_1 + z_2)^2)$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:
$|z_1^3 + z_2^3| = |z_1 + z_2| \cdot |\frac{3}{2}(z_1^2 + z_2^2) - \frac{1}{2}(z_1 + z_2)^2|$.
त्रिभुज असमिका $|a - b| \ge ||a| - |b||$ का उपयोग करने पर:
$|z_1^3 + z_2^3| \ge |z_1 + z_2| \cdot |\frac{3}{2}|z_1^2 + z_2^2| - \frac{1}{2}|z_1 + z_2|^2|$.
दिए गए मान $|z_1 + z_2| = 1$ और $|z_1^2 + z_2^2| = 25$ रखने पर:
$|z_1^3 + z_2^3| \ge 1 \cdot |\frac{3}{2}(25) - \frac{1}{2}(1)^2| = |37.5 - 0.5| = 37$.

(D) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ संयुग्मी होती हैं यदि $z_1 = \overline{z_2}$ हो।
यहाँ $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ और $z_2 = \cos x - i \sin 2x$ दिया गया है।
$z_2$ का संयुग्मी $\overline{z_2} = \cos x + i \sin 2x$ है।
$z_1 = \overline{z_2}$ रखने पर,$\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$ प्राप्त होता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1$) $\sin x = \cos x$ $\Rightarrow \tan x = 1$ $\Rightarrow x = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
$2$) $\cos 2x = \sin 2x$ $\Rightarrow \tan 2x = 1$ $\Rightarrow 2x = m\pi + \frac{\pi}{4}$ $\Rightarrow x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$।
चूँकि $x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करे,इसलिए $x$ का कोई मान संभव नहीं है।

(D) $\text{यदि } az^3 + bz^2 + cz + d = 0$ रूप के त्रिघात समीकरण के लिए, मूलों का योग $z_1 + z_2 + z_3 = -\frac{b}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, दिया गया समीकरण $z^3 - z^2(4 + 3i) + z(3 + 8i) - 5i = 0$ है।
इसे मानक रूप से तुलना करने पर, हमें $a = 1$ और $b = -(4 + 3i)$ प्राप्त होता है।
अतः, मूलों का योग $z_1 + z_2 + z_3 = -\frac{-(4 + 3i)}{1} = 4 + 3i$ है।
हमें $Re(z_1) + Re(z_2) + Re(z_3)$ ज्ञात करना है, जो $Re(z_1 + z_2 + z_3)$ के बराबर है।
चूंकि $z_1 + z_2 + z_3 = 4 + 3i$, इसलिए इसका वास्तविक भाग $Re(4 + 3i) = 4$ है।
अतः, $Re(z_1) + Re(z_2) + Re(z_3) = 4$ है।

(D) दिया गया है कि $a = e^{i\alpha}$,$b = e^{i\beta}$,और $c = e^{i\gamma}$।
इन मानों को समीकरण $\frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} = 1$ में रखने पर:
$e^{i(\beta - \gamma)} + e^{i(\gamma - \alpha)} + e^{i(\alpha - \beta)} = 1$।
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$(\cos(\beta - \gamma) + i\sin(\beta - \gamma)) + (\cos(\gamma - \alpha) + i\sin(\gamma - \alpha)) + (\cos(\alpha - \beta) + i\sin(\alpha - \beta)) = 1 + 0i$।
दोनों पक्षों के वास्तविक भागों की तुलना करने पर:
$\cos(\beta - \gamma) + \cos(\gamma - \alpha) + \cos(\alpha - \beta) = 1$।

(C) दिया गया है ${z_r} = \cos \frac{r\alpha}{n^2} + i\sin \frac{r\alpha}{n^2} = e^{i \frac{r\alpha}{n^2}}$.
अतः गुणनफल $P = {z_1}{z_2} \dots {z_n} = \prod_{r=1}^{n} e^{i \frac{r\alpha}{n^2}} = e^{i \frac{\alpha}{n^2} \sum_{r=1}^{n} r}$.
योगफल सूत्र $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$P = e^{i \frac{\alpha}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}} = e^{i \frac{\alpha(n^2+n)}{2n^2}} = e^{i \frac{\alpha}{2} (1 + \frac{1}{n})}$.
जब $n \to \infty$ हो,तब सीमा लेने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P = e^{i \frac{\alpha}{2} (1 + 0)} = e^{i \frac{\alpha}{2}} = \cos \frac{\alpha}{2} + i\sin \frac{\alpha}{2}$.

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z - \bar{z}}{2i} = y$ होगा।
$A$ के लिए शर्त: $y^2 \leqslant 2y$,जो $y^2 - 2y \leqslant 0$ में सरल होता है,अतः $0 \leqslant y \leqslant 2$ है।
$B$ के लिए शर्त: $|z| \leqslant \sqrt{5}$,जिसका अर्थ है $x^2 + y^2 \leqslant 5$ है।
हमें ऐसे बिंदु $(x, y)$ ज्ञात करने हैं जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}$ और $0 \leqslant y \leqslant 2$ तथा $x^2 + y^2 \leqslant 5$ हो।
स्थिति $y = 0$: $x^2 \leqslant 5 \implies x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$। बिंदु: $(-2, 0), (-1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0)$।
स्थिति $y = 1$: $x^2 + 1 \leqslant 5 \implies x^2 \leqslant 4 \implies x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$। बिंदु: $(-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1)$।
स्थिति $y = 2$: $x^2 + 4 \leqslant 5 \implies x^2 \leqslant 1 \implies x \in \{-1, 0, 1\}$। बिंदु: $(-1, 2), (0, 2), (1, 2)$।
कुल बिंदु = $5 + 5 + 3 = 13$।

(A) दिया गया है कि $z_1$ और $z_2$ एकमापी हैं,इसलिए $|z_1| = 1$ और $|z_2| = 1.$
चूँकि $|z|^2 = z \bar{z} = 1$,इसलिए $\bar{z}_1 = \frac{1}{z_1}$ और $\bar{z}_2 = \frac{1}{z_2}.$
$z_1^2 + z_2^2 = 5$ दिया गया है।
हमें $E = (z_1 - \bar{z}_1)^2 + (z_2 - \bar{z}_2)^2$ का मान ज्ञात करना है।
पदों का विस्तार करने पर: $E = (z_1^2 + \bar{z}_1^2 - 2z_1\bar{z}_1) + (z_2^2 + \bar{z}_2^2 - 2z_2\bar{z}_2).$
चूँकि $z_1\bar{z}_1 = |z_1|^2 = 1$ और $z_2\bar{z}_2 = |z_2|^2 = 1$,इसलिए:
$E = (z_1^2 + z_2^2) + (\bar{z}_1^2 + \bar{z}_2^2) - 2(1) - 2(1).$
चूँकि $z_1^2 + z_2^2 = 5$,संयुग्मी लेने पर $\bar{z}_1^2 + \bar{z}_2^2 = 5$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर: $E = 5 + 5 - 4 = 6.$

(C) माना $P(z) = z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)(z - z_4)$ है।
हमें $\prod_{i=1}^{4} (z_i + 2)$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $\prod_{i=1}^{4} (z_i + 2) = (-1)^4 \prod_{i=1}^{4} (-2 - z_i) = P(-2)$ है।
बहुपद $P(z)$ में $z = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + 1$
$P(-2) = 16 - 8 + 4 - 2 + 1$
$P(-2) = 11$ है।
अतः,गुणनफल $11$ है।

(B) चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। दिया गया है कि $\alpha = 3 + 4i$,इसलिए दूसरा मूल $\beta = 3 - 4i$ है।
माना त्रिघात समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ है। $x^2$ का गुणांक $0$ होने के कारण,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = 0$ होगा।
मान रखने पर: $(3 + 4i) + (3 - 4i) + \gamma = 0$.
$6 + \gamma = 0 \implies \gamma = -6$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = (3 + 4i)(3 - 4i)(-6)$ होगा।
चूंकि $(3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$,इसलिए $\alpha \beta \gamma = 25 \times (-6) = -150$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $x_r = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$.
हमें गुणनफल $P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ ज्ञात करना है।
सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$e^{-i\theta} = \cos \theta - i\sin \theta$,अतः $x_r = e^{-i\pi/3^r}$.
इस प्रकार,$P = e^{-i\pi/3} \cdot e^{-i\pi/9} \cdot e^{-i\pi/27} \cdots \infty$.
$P = e^{-i\pi (1/3 + 1/9 + 1/27 + \cdots \infty)}$.
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1/3$ और सार्व अनुपात $r = 1/3$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = a / (1 - r) = (1/3) / (1 - 1/3) = (1/3) / (2/3) = 1/2$.
अतः,$P = e^{-i\pi(1/2)} = e^{-i\pi/2}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{-i\pi/2} = \cos(\pi/2) - i\sin(\pi/2) = 0 - i(1) = -i$.

(B) माना $z = x + iy$ है। चूँकि $B: \operatorname{Im}(z) = 0$, इसलिए $y = 0$, जिसका अर्थ है $|z| = |x|$.
$A$ के लिए असमिका में मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{\log_2 |x|} - \frac{1}{\log_2 |x| - 1} < 1$.
माना $t = \log_2 |x|$ है। तब $\frac{1}{t} - \frac{1}{t-1} < 1$.
$\frac{(t-1) - t}{t(t-1)} < 1 \Rightarrow \frac{-1}{t(t-1)} < 1$.
$\frac{1}{t(t-1)} + 1 > 0 \Rightarrow \frac{1 + t^2 - t}{t(t-1)} > 0$.
चूँकि $t^2 - t + 1$ का विविक्तकर $1 - 4 = -3 < 0$ है, इसलिए द्विघात व्यंजक $t^2 - t + 1$ हमेशा धनात्मक है।
अतः, हमें $t(t-1) > 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $t < 0$ या $t > 1$.
स्थिति $1$: $\log_2 |x| < 0 \Rightarrow 0 < |x| < 1 \Rightarrow x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.
स्थिति $2$: $\log_2 |x| > 1 \Rightarrow |x| > 2 \Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
इन दोनों को मिलाने पर, $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (2, \infty)$।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$z^2 + \bar{w} = z$ ......$(i)$
$w^2 + \bar{z} = w$ ......$(ii)$
समीकरण $(ii)$ का संयुग्मी लेने पर,$\bar{w}^2 + z = \bar{w}$,जिसका अर्थ है $z = \bar{w} - \bar{w}^2$.
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\bar{w} - \bar{w}^2)^2 + \bar{w} = \bar{w} - \bar{w}^2$
$\bar{w}^2(\bar{w}^2 - 2\bar{w} + 2) = 0$
इससे $\bar{w} = 0$ या $\bar{w} = 1 \pm i$ प्राप्त होता है।
यदि $\bar{w} = 0$,तो $w = 0$ और $z = 0$. युग्म: $(0, 0)$.
यदि $\bar{w} = 1 + i$,तो $w = 1 - i$ और $z = 1 - i$. युग्म: $(1 - i, 1 - i)$.
यदि $\bar{w} = 1 - i$,तो $w = 1 + i$ और $z = 1 + i$. युग्म: $(1 + i, 1 + i)$.
अतः,कुल $3$ क्रमित युग्म हैं।

(D) दी गई असमिका $|z|^2 - |z| - 2 < 0$ है।
माना $t = |z|$,तो $t^2 - t - 2 < 0$ है।
$(t - 2)(t + 1) < 0$ है।
चूंकि $|z| \ge 0$,इसलिए $t + 1 > 0$,जिसका अर्थ है $t - 2 < 0$,अर्थात $|z| < 2$ है।
अब,त्रिभुज असमिका $|a + b| \le |a| + |b|$ का उपयोग करने पर:
$|z^2 + z \sin \theta| \le |z^2| + |z \sin \theta| = |z|^2 + |z| \cdot |\sin \theta|$ है।
चूंकि $|\sin \theta| \le 1$,इसलिए $|z^2 + z \sin \theta| \le |z|^2 + |z|$ है।
चूंकि $|z| < 2$,इसलिए $|z|^2 < 4$ है।
अतः,$|z|^2 + |z| < 4 + 2 = 6$ है।
इस प्रकार,$|z^2 + z \sin \theta| < 6$ है।

(B) दिया गया समीकरण $|z|^n = (z^2 + z)|z|^{n-2} + 1$ है।
चूंकि $z^2 + z$ वास्तविक है,इसलिए $z^2 + z = \bar{z}^2 + \bar{z}$ होगा।
इससे $(z - \bar{z})(z + \bar{z} + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$x \neq -1/2$ होने के कारण $z + \bar{z} + 1 \neq 0$,अतः $z = \bar{z}$ अर्थात $z$ वास्तविक है।
समीकरण $x^n = x^2|x|^{n-2} + x|x|^{n-2} + 1$ में $x = -1$ रखने पर यह संतुष्ट होता है।
अतः,$z$ का केवल $1$ मान संभव है।

(B) $z = 1 + ai$
$z^3 = (1 + ai)^3 = 1 + 3ai - 3a^2 - a^3i = (1 - 3a^2) + i(3a - a^3)$
चूंकि $z^3$ वास्तविक है,काल्पनिक भाग शून्य होगा:
$3a - a^3 = 0 \Rightarrow a = \sqrt{3}$ (क्योंकि $a > 0$).
$z = 1 + \sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$.
योग $S = \frac{z^{12} - 1}{z - 1}$.
$z^{12} = 2^{12}(\cos 4\pi + i \sin 4\pi) = 4096$.
$S = \frac{4096 - 1}{\sqrt{3}i} = \frac{4095}{\sqrt{3}i} = -1365\sqrt{3}i$.

(B) चूँकि बहुपद $2x^3 - 9x^2 + kx - 13 = 0$ के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया है कि एक मूल $\alpha = 2 + 3i$ है,तो दूसरा सम्मिश्र मूल $\beta = 2 - 3i$ होगा।
माना वास्तविक मूल $\gamma$ है।
त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के लिए मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 2$ और $d = -13$ है,इसलिए मूलों का गुणनफल $-\frac{-13}{2} = \frac{13}{2}$ होगा।
ज्ञात मूलों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2 + 3i)(2 - 3i) \gamma = \frac{13}{2}.$
$(2^2 + 3^2) \gamma = \frac{13}{2}.$
$(4 + 9) \gamma = \frac{13}{2}.$
$13 \gamma = \frac{13}{2}.$
$\gamma = \frac{1}{2}.$
अतः,वास्तविक मूल का अस्तित्व है और यह $\frac{1}{2}$ के बराबर है।

(B) माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i \theta}$, जहाँ $\operatorname{Im}(z) = r \sin \theta$ है।
तब $z^5 = r^5(\cos 5\theta + i \sin 5\theta)$, इसलिए $\operatorname{Im}(z^5) = r^5 \sin 5\theta$ है।
व्यंजक $\frac{\operatorname{Im}(z^5)}{(\operatorname{Im} z)^5} = \frac{r^5 \sin 5\theta}{(r \sin \theta)^5} = \frac{\sin 5\theta}{\sin^5 \theta}$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin 5\theta = 16 \sin^5 \theta - 20 \sin^3 \theta + 5 \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin 5\theta}{\sin^5 \theta} = \frac{16 \sin^5 \theta - 20 \sin^3 \theta + 5 \sin \theta}{\sin^5 \theta} = 16 - 20 \csc^2 \theta + 5 \csc^4 \theta$ प्राप्त होता है।
माना $x = \csc^2 \theta$ है। चूँकि $z$ अवास्तविक है, $\sin \theta \neq 0$, इसलिए $x \geq 1$ है।
व्यंजक $f(x) = 5x^2 - 20x + 16$ है।
यह ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2(5)} = 2$ पर है।
चूँकि $x=2$ डोमेन $[1, \infty)$ में है, न्यूनतम मान $f(2) = 5(2)^2 - 20(2) + 16 = 20 - 40 + 16 = -4$ है।

(B) दिया गया है $z = 1 + i\alpha$,जहाँ $\alpha \in R$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$z^2 = (1 + i\alpha)^2 = 1^2 + (i\alpha)^2 + 2(1)(i\alpha)$.
$z^2 = 1 - \alpha^2 + 2i\alpha$.
चूँकि $z^2 = x + iy$ है,वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = 1 - \alpha^2$ और $y = 2\alpha$.
$y = 2\alpha$ से,$\alpha = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $x$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 1 - (\frac{y}{2})^2$
$x = 1 - \frac{y^2}{4}$
$4$ से गुणा करने पर:
$4x = 4 - y^2$
$y^2 + 4x - 4 = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $z + \sqrt{2} |z + 1| + i = 0$ है।
माना $z = x + iy$। समीकरण में मान रखने पर:
$(x + iy) + \sqrt{2} |x + iy + 1| + i = 0$
$(x + iy) + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} + i = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $x + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = 0$
काल्पनिक भाग: $y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1$
$y = -1$ का मान वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर:
$x + \sqrt{2} \sqrt{(x + 1)^2 + (-1)^2} = 0$
$x + \sqrt{2} \sqrt{x^2 + 2x + 2} = 0$
$\sqrt{2} \sqrt{x^2 + 2x + 2} = -x$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$2(x^2 + 2x + 2) = x^2$
$2x^2 + 4x + 4 = x^2$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$
अतः,$z = -2 - i$।
मापांक $|z| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$।

(B) मान लीजिए $|Z| = |W| = r$ है।
तब $Z = r e^{i\theta}$ और $W = r e^{i\phi}$,जहाँ $\theta = \text{arg } Z$ और $\phi = \text{arg } W$ है।
दिया गया है कि $\theta + \phi = \pi$,इसलिए $\theta = \pi - \phi$ है।
अतः,$Z = r e^{i(\pi - \phi)} = r e^{i\pi} e^{-i\phi} = -r e^{-i\phi}$ है।
चूँकि $\overline{W} = r e^{-i\phi}$ है,हमें $Z = -\overline{W}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ के लिए,$\text{arg } \overline{W} = -\text{arg } W = -\phi$ है।
तब $\text{arg } Z - \text{arg } \overline{W} = \theta - (-\phi) = \theta + \phi = \pi$ है।
अतः,कथन $2$ भी सत्य है और यह कथन $1$ की सही व्याख्या करता है।

(D) दिया गया है $3|z_1| = 4|z_2|$,इसलिए $\left|\frac{3z_1}{2z_2}\right| = \frac{3|z_1|}{2|z_2|} = \frac{4|z_2|}{2|z_2|} = 2$.
माना $w = \frac{3z_1}{2z_2}$। तब $|w| = 2$,इसलिए हम $w = 2(\cos \theta + i \sin \theta)$ लिख सकते हैं।
तब $z = w + \frac{1}{w} = 2(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{2(\cos \theta + i \sin \theta)}$.
$z = 2(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{2}(\cos \theta - i \sin \theta)$.
$z = (2 + \frac{1}{2}) \cos \theta + i(2 - \frac{1}{2}) \sin \theta = \frac{5}{2} \cos \theta + i \frac{3}{2} \sin \theta$.
चूँकि $\text{Im}(z) = \frac{3}{2} \sin \theta$,यह हर $\theta$ के लिए शून्य होना आवश्यक नहीं है। अतः,$\text{Im}(z) \neq 0$ सामान्यतः सही कथन है।

(A) दिया गया है $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = e^{i\pi/6}$.
व्यंजक $(1 + iz + z^5 + iz^8)^9$ को सरल करने पर:
$1 + iz + z^5 + iz^8 = 1 + e^{i\pi/2}e^{i\pi/6} + e^{i5\pi/6} + e^{i\pi/2}e^{i8\pi/6}$
$= 1 + e^{i2\pi/3} + e^{i5\pi/6} + e^{i11\pi/6}$
$= 1 + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2})$
$= \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$.
अब,इसकी घात $9$ लेने पर:
$(e^{i\pi/3})^9 = e^{i3\pi} = -1$.

(D) माना $z = r_1 e^{i\theta_1}$ और $w = r_2 e^{i\theta_2}$ है।
दिया है $|zw| = |z||w| = r_1 r_2 = 1$,इसलिए $r_2 = \frac{1}{r_1}$ है।
दिया है $\arg(z) - \arg(w) = \theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\theta_1 = \theta_2 + \frac{\pi}{2}$ है।
अब,$\bar{z}w = (r_1 e^{-i\theta_1})(r_2 e^{i\theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$ पर विचार करें।
मान रखने पर,$\bar{z}w = (1) e^{i(-\pi/2)} = \cos(-\pi/2) + i\sin(-\pi/2) = -i$ प्राप्त होता है।
अतः,$\bar{z}w = -i$।

(D) माना समीकरण $x^{2}+bx+45=0$ के मूल $z$ और $\bar{z}$ हैं।
चूंकि मूल सम्मिश्र हैं,विविक्तकर $D < 0$,इसलिए $b^{2}-4(45) < 0$,जिसका अर्थ है $b^{2} < 180$।
मूल $z = \frac{-b \pm i\sqrt{180-b^{2}}}{2}$ हैं।
दिया है $|z+1| = 2\sqrt{10}$,इसलिए $|z+1|^{2} = 40$।
माना $z = x+iy$,तो $x = -b/2$ और $y = \pm \frac{\sqrt{180-b^{2}}}{2}$।
अतः,$(x+1)^{2} + y^{2} = 40$।
मान रखने पर,$(1 - b/2)^{2} + \frac{180-b^{2}}{4} = 40$।
$1 - b + \frac{b^{2}}{4} + 45 - \frac{b^{2}}{4} = 40$।
$46 - b = 40$,जिससे $b = 6$ प्राप्त होता है।
अब,$b=6$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$b^{2}-b = 36-6 = 30$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $z = \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$.
हर के संयुग्मी $(1+2 i \sin \theta)$ से अंश और हर को गुणा करने पर:
$z = \frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6 i \sin \theta + 2 i \sin \theta + 4 i^2 \sin^2 \theta}{1^2 - (2 i \sin \theta)^2}$
चूंकि $i^2 = -1$,हमारे पास है:
$z = \frac{3 + 8 i \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
इसका अर्थ है $\sin \theta = 0$.
अतः,$\theta = n\pi$,जहाँ $n \in Z$.

(B) दिया गया है $z = \frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}}$.
चूँकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमारे पास $z = \frac{i-1}{\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2(i-1)}{1 + i \sqrt{3}}$ है।
अंश और हर को संयुग्मी $(1 - i \sqrt{3})$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{2(i-1)(1 - i \sqrt{3})}{(1 + i \sqrt{3})(1 - i \sqrt{3})} = \frac{2(i + \sqrt{3} - 1 - i^2 \sqrt{3})}{1 + 3} = \frac{2(\sqrt{3}-1 + i(\sqrt{3}+1))}{4} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ के लिए,$r = |z| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$.
अब,$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$,जिससे $\theta = \frac{5\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
अतः,$z = \sqrt{2} (\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12})$।

(A) दिया गया है $(x+iy)^{3}=u+iv$।
$(a+b)^{3} = a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ का उपयोग करके बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$(x+iy)^{3} = x^{3}+(iy)^{3}+3(x)(iy)(x+iy) = u+iv$
$x^{3}+i^{3}y^{3}+3x^{2}yi+3xy^{2}i^{2} = u+iv$
चूँकि $i^{2}=-1$ और $i^{3}=-i$:
$x^{3}-iy^{3}+3x^{2}yi-3xy^{2} = u+iv$
वास्तविक और काल्पनिक भागों को समूहित करने पर:
$(x^{3}-3xy^{2}) + i(3x^{2}y-y^{3}) = u+iv$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$u = x^{3}-3xy^{2}$ और $v = 3x^{2}y-y^{3}$
अब,$\frac{u}{x}+\frac{v}{y}$ का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{u}{x} = \frac{x^{3}-3xy^{2}}{x} = x^{2}-3y^{2}$
$\frac{v}{y} = \frac{3x^{2}y-y^{3}}{y} = 3x^{2}-y^{2}$
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$\frac{u}{x}+\frac{v}{y} = (x^{2}-3y^{2}) + (3x^{2}-y^{2})$
$= 4x^{2}-4y^{2} = 4(x^{2}-y^{2})$
अतः,सिद्ध हुआ।

(B) दी गई असमिका: $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \right) \leq 2$.
चूंकि आधार $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ है,इसलिए लघुगणक को हटाते समय असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$\frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \geq \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$.
वज्र गुणन करने पर:
$2(|z|+11) \geq (|z|-1)^2$.
$2|z| + 22 \geq |z|^2 - 2|z| + 1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$|z|^2 - 4|z| - 21 \leq 0$.
गुणनखंड करने पर:
$(|z|-7)(|z|+3) \leq 0$.
चूंकि $|z| \geq 0$,इसलिए $|z|+3 > 0$,अतः $|z|-7 \leq 0$,जिसका अर्थ है $|z| \leq 7$.
$|z| \neq 1$ दिया गया है,इसलिए $|z|$ का अधिकतम मान $7$ है।

(C) दिया गया है $\left| \frac{z+i}{z-3i} \right| = 1$, इसलिए $|z+i| = |z-3i|$.
यह सम्मिश्र तल पर $-i$ और $3i$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है, जो रेखा $\operatorname{Im}(z) = 1$ है।
मान लीजिए $z = x + i$, जहाँ $x \in \mathbb{R}$.
दिया गया है $w = z \bar{z} - 2z + 2$, $z = x + i$ प्रतिस्थापित करने पर:
$w = (x+i)(x-i) - 2(x+i) + 2$
$w = (x^2 + 1) - 2x - 2i + 2$
$w = (x^2 - 2x + 3) - 2i$.
अतः, $\operatorname{Re}(w) = x^2 - 2x + 3$.
$\operatorname{Re}(w)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, $x = 1$ लेते हैं।
$x = 1$ पर, $\operatorname{Re}(w) = 1 - 2 + 3 = 2$.
तब $w = 2 - 2i = 2(1 - i) = 2\sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
$w^n$ के वास्तविक होने के लिए, $w^n$ का कोणांक $\pi$ का गुणज होना चाहिए।
$\operatorname{arg}(w^n) = n \times (-\pi/4) = -n\pi/4$.
इसके $k\pi$ होने के लिए, $n/4$ को एक पूर्णांक होना चाहिए।
अतः $n \in N$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(C) माना $z = \frac{-1+i \sqrt{3}}{1-i}$.
अंश को ध्रुवीय रूप में लिखने पर: $-1+i \sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = 2e^{i 2\pi/3}$.
हर को लिखने पर: $1-i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{-\pi}{4} + i \sin \frac{-\pi}{4} \right) = \sqrt{2}e^{-i \pi/4}$.
अतः,$z = \frac{2e^{i 2\pi/3}}{\sqrt{2}e^{-i \pi/4}} = \sqrt{2} e^{i (2\pi/3 + \pi/4)} = \sqrt{2} e^{i 11\pi/12}$.
अब,$z^{30} = (\sqrt{2})^{30} e^{i (11\pi/12) \cdot 30} = 2^{15} e^{i 55\pi/2}$.
चूँकि $e^{i 55\pi/2} = e^{i (26\pi + 3\pi/2)} = e^{i 3\pi/2} = -i$.
इसलिए,$z^{30} = 2^{15} \cdot (-i) = -2^{15} i$.

(A) दी गई असमिका: $\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \ln 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i |$
सबसे पहले,दाईं ओर को सरल करने पर: $|5 \sqrt{7}+9 i| = \sqrt{(5 \sqrt{7})^2 + 9^2} = \sqrt{175 + 81} = \sqrt{256} = 16$.
अतः,$\log _{\sqrt{2}}(16) = \log _{2^{1/2}}(2^4) = 8 \log _{2}(2) = 8$.
अब,असमिका इस प्रकार है: $2^{\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1}} \geq 8$.
चूँकि $8 = 2^3$,इसलिए: $\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \geq 3$.
मान लीजिए $x = |z|$,जहाँ $x \geq 0$ है। तो $\frac{(x+3)(x-1)}{x+1} \geq 3$.
$(x^2 + 2x - 3) \geq 3(x+1)$.
$x^2 + 2x - 3 \geq 3x + 3$.
$x^2 - x - 6 \geq 0$.
$(x-3)(x+2) \geq 0$.
चूँकि $x = |z| \geq 0$,$x+2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $x-3 \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $|z| \geq 3$.
अतः,$|z|$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(C) दिया है $|z \omega| = 1$ और $\arg(z) - \arg(\omega) = \frac{3 \pi}{2}$.
मान लीजिए $z = r e^{i \theta_1}$ और $\omega = \frac{1}{r} e^{i \theta_2}$.
तब $\bar{z} = r e^{-i \theta_1}$.
अतः,$\bar{z} \omega = r e^{-i \theta_1} \cdot \frac{1}{r} e^{i \theta_2} = e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
चूंकि $\theta_1 - \theta_2 = \frac{3 \pi}{2}$,इसलिए $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{3 \pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
अतः,$\bar{z} \omega = e^{i \pi/2} = i$.
अब,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1 - 2 \bar{z} \omega}{1 + 3 \bar{z} \omega} = \frac{1 - 2i}{1 + 3i}$.
कोणांक ज्ञात करने के लिए,हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{1 - 2i}{1 + 3i} \times \frac{1 - 3i}{1 - 3i} = \frac{1 - 3i - 2i + 6i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{1 - 5i - 6}{10} = \frac{-5 - 5i}{10} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.
यह सम्मिश्र संख्या तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
इसका कोणांक $\tan^{-1}\left(\frac{-1/2}{-1/2}\right) - \pi = \tan^{-1}(1) - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3 \pi}{4}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $z^{2}+3 \bar{z}=0$.
माना $z=x+iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.
समीकरण में मान रखने पर: $(x+iy)^{2}+3(x-iy)=0$.
$x^{2}-y^{2}+2ixy+3x-3iy=0$.
$(x^{2}-y^{2}+3x) + i(2xy-3y) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$1) \ 2xy-3y=0 \Rightarrow y(2x-3)=0$.
इससे $y=0$ या $x=\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $y=0$,तो $x^{2}+3x=0 \Rightarrow x(x+3)=0$,अतः $x=0$ या $x=-3$. हल: $(0,0)$ और $(-3,0)$.
स्थिति $2$: यदि $x=\frac{3}{2}$,तो $(\frac{3}{2})^{2}-y^{2}+3(\frac{3}{2})=0$ $\Rightarrow \frac{9}{4}-y^{2}+\frac{9}{2}=0$ $\Rightarrow y^{2}=\frac{27}{4}$ $\Rightarrow y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$. हल: $(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ और $(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.
कुल हलों की संख्या $n=4$.
हमें $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k}} = \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k}$ का मान ज्ञात करना है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=\frac{1}{4}$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

(A) दिया गया है $z = \frac{3 + 2i \cos \theta}{1 - 3i \cos \theta}$.
वास्तविक भाग ज्ञात करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + 3i \cos \theta)$ से गुणा करें:
$z = \frac{(3 + 2i \cos \theta)(1 + 3i \cos \theta)}{(1 - 3i \cos \theta)(1 + 3i \cos \theta)}$
$z = \frac{3 + 9i \cos \theta + 2i \cos \theta + 6i^2 \cos^2 \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$
चूँकि $i^2 = -1$, हमारे पास है:
$z = \frac{3 - 6 \cos^2 \theta + 11i \cos \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$
वास्तविक भाग $\operatorname{Re}(z) = \frac{3 - 6 \cos^2 \theta}{1 + 9 \cos^2 \theta}$ है।
$\operatorname{Re}(z) = 0$ दिया गया है, इसलिए $3 - 6 \cos^2 \theta = 0$, जिसका अर्थ है $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$, $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, अतः $\theta = \frac{\pi}{4}$.
अब, $\sin^2 3\theta + \cos^2 \theta$ का मान ज्ञात करें:
$\sin^2 3(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = \sin^2(\frac{3\pi}{4}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(B) दिया गया समीकरण: $\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $z + \bar{z} = (1 + i) z^{2}$
माना $z = x + iy$. तब $z + \bar{z} = 2x$.
अतः,$2x = (1 + i)(x + iy)^{2} = (1 + i)(x^{2} - y^{2} + 2xyi)$.
$2x = (x^{2} - y^{2} - 2xy) + i(x^{2} - y^{2} + 2xy)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$1) \ 2x = x^{2} - y^{2} - 2xy$
$2) \ 0 = x^{2} - y^{2} + 2xy \Rightarrow x^{2} - y^{2} = -2xy$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2x = -2xy - 2xy = -4xy$.
$2x(1 + 2y) = 0$,अतः $x = 0$ या $y = -1/2$.
यदि $x = 0$,तो $(2)$ से,$y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0$. अतः $z = 0$,$|z|^{2} = 0$.
यदि $y = -1/2$,तो $(2)$ से,$x^{2} - (-1/2)^{2} = -2x(-1/2)$ $\Rightarrow x^{2} - 1/4 = x$ $\Rightarrow 4x^{2} - 4x - 1 = 0$.
हल $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ है।
इन मानों के लिए,$|z|^{2} = x^{2} + y^{2} = x^{2} + 1/4$.
$4x^{2} - 4x - 1 = 0$ से,$x^{2} = x + 1/4$.
अतः $|z|^{2} = x + 1/4 + 1/4 = x + 1/2$.
$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ के लिए,$|z_{1}|^{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x_{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ के लिए,$|z_{2}|^{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
मापांक के वर्गों का योग: $0 + (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2$.

(A) दिए गए समीकरण $x^{2} + (2i - 1) = 0$ से,हमारे पास $x^{2} = 1 - 2i$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,इसलिए $\alpha^{2} = 1 - 2i$ और $\beta^{2} = 1 - 2i$ है।
अतः,$\alpha^{8} = (\alpha^{2})^{4} = (1 - 2i)^{4}$ और $\beta^{8} = (\beta^{2})^{4} = (1 - 2i)^{4}$ है।
इसलिए,$\alpha^{8} = \beta^{8}$ है।
हमें $|\alpha^{8} + \beta^{8}| = |2\alpha^{8}| = 2|\alpha^{8}| = 2|\alpha^{2}|^{4}$ का मान ज्ञात करना है।
मापांक $|\alpha^{2}| = |1 - 2i| = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ है।
अतः,$|\alpha^{8} + \beta^{8}| = 2(\sqrt{5})^{4} = 2(5^{2}) = 2(25) = 50$।

(C) दिया गया है $|z| - 2 = 0$,इसलिए $|z| = 2$। इसका अर्थ है $x^2 + y^2 = 4$।
दिया गया है $|z - i| - |z + 5i| = 0$,इसलिए $|z - i| = |z + 5i|$।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x + (y - 1)i| = |x + (y + 5)i|$
$x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + (y + 5)^2$
$(y - 1)^2 = (y + 5)^2$
$y^2 - 2y + 1 = y^2 + 10y + 25$
$-12y = 24$
$y = -2$।
$y = -2$ को $x^2 + y^2 = 4$ में रखने पर:
$x^2 + (-2)^2 = 4$
$x^2 + 4 = 4$
$x^2 = 0$,इसलिए $x = 0$।
अतः,बिंदु $(0, -2)$ है।
$(0, -2)$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$C: 0 - 2(-2) - 4 = 4 - 4 = 0$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया है $\pi < \alpha, \beta < 2\pi$.
$\frac{1-i \sin \alpha}{1+2i \sin \alpha}$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
$\frac{(1-i \sin \alpha)(1-2i \sin \alpha)}{1+4 \sin^2 \alpha} = \frac{1 - 2\sin^2 \alpha - 3i \sin \alpha}{1+4 \sin^2 \alpha}$.
वास्तविक भाग को शून्य रखने पर: $1 - 2\sin^2 \alpha = 0 \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\pi < \alpha < 2\pi$,$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,अतः $\alpha = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
$\frac{1+i \cos \beta}{1-2i \cos \beta}$ के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
$\frac{(1+i \cos \beta)(1+2i \cos \beta)}{1+4 \cos^2 \beta} = \frac{1 - 2\cos^2 \beta + 3i \cos \beta}{1+4 \cos^2 \beta}$.
काल्पनिक भाग को शून्य रखने पर: $3 \cos \beta = 0 \Rightarrow \cos \beta = 0$.
चूंकि $\pi < \beta < 2\pi$,$\beta = \frac{3\pi}{2}$.
$\alpha = \frac{5\pi}{4}$ के लिए,$\sin 2\alpha = \sin \frac{5\pi}{2} = 1$. $\alpha = \frac{7\pi}{4}$ के लिए,$\sin 2\alpha = \sin \frac{7\pi}{2} = -1$.
$\beta = \frac{3\pi}{2}$ के लिए,$\cos 2\beta = \cos 3\pi = -1$.
अतः,$Z_1 = 1-i$ और $Z_2 = -1-i$.
$Z = 1-i$ के लिए,$iZ + \frac{1}{i\bar{Z}} = \frac{1+i}{2}$.
$Z = -1-i$ के लिए,$iZ + \frac{1}{i\bar{Z}} = \frac{1-i}{2}$.
योग $= \frac{1+i}{2} + \frac{1-i}{2} = 1$.

(B) दिया गया है $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$। दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$।
चूंकि $|\overline{z}| = |z|$,इसलिए $|z|^{2} = |z| \cdot 2^{1-|z|}$।
चूंकि $b \neq 0$,इसलिए $z \neq 0$,अतः $|z| = 2^{1-|z|}$।
निरीक्षण द्वारा,$|z| = 1$ समीकरण को संतुष्ट करता है $(1 = 2^{1-1} = 2^{0} = 1)$।
मूल समीकरण में $|z| = 1$ रखने पर,$z^{2} = \overline{z}$।
$z$ से गुणा करने पर,$z^{3} = z\overline{z} = |z|^{2} = 1$।
अतः,$z$ इकाई का घनमूल है,अर्थात $z = \omega$ या $z = \omega^{2}$,जहाँ $\omega = e^{i2\pi/3}$।
हमें $n \in N$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है जिसके लिए $z^{n} = (z + 1)^{n}$ हो।
चूंकि $1 + \omega = -\omega^{2}$,समीकरण $\omega^{n} = (-\omega^{2})^{n} = (-1)^{n} \omega^{2n}$ बन जाता है।
इसका अर्थ है $1 = (-1)^{n} \omega^{n}$,या $\omega^{n} = (-1)^{n}$।
यदि $n = 3$,तो $\omega^{3} = 1$ और $(-1)^{3} = -1$ (बराबर नहीं)।
यदि $n = 6$,तो $\omega^{6} = 1$ और $(-1)^{6} = 1$। अतः,$n = 6$ न्यूनतम प्राकृतिक संख्या है।

(A) दिया गया है $z = 2 + 3i$,अतः $\bar{z} = 2 - 3i$ है।
हमें $z^{5} + (\bar{z})^{5} = (2 + 3i)^{5} + (2 - 3i)^{5}$ का मान ज्ञात करना है।
द्विपद विस्तार $(a+b)^{n} + (a-b)^{n} = 2 \sum_{k=0, 2, 4, ...} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$ का उपयोग करने पर:
$z^{5} + (\bar{z})^{5} = 2 [\binom{5}{0} 2^{5} + \binom{5}{2} 2^{3} (3i)^{2} + \binom{5}{4} 2^{1} (3i)^{4}]$
$= 2 [1 \times 32 + 10 \times 8 \times (-9) + 5 \times 2 \times 81]$
$= 2 [32 - 720 + 810]$
$= 2 [122]$
$= 244$.

(C) दिया गया है कि $z$ और $w$ इकाई वृत्त पर सम्मिश्र संख्याएँ हैं,इसलिए $|z|=1$ और $|w|=1$ है।
इसका अर्थ है $z\bar{z}=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ और $w\bar{w}=1 \Rightarrow \bar{w}=\frac{1}{w}$।
दिया गया है $z^2+w^2=1$।
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें $\bar{z}^2+\bar{w}^2=1$ प्राप्त होता है।
$\bar{z}=\frac{1}{z}$ और $\bar{w}=\frac{1}{w}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{z^2}+\frac{1}{w^2}=1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{z^2+w^2}{z^2w^2}=1$ हो जाता है।
चूंकि $z^2+w^2=1$ है,इसलिए $\frac{1}{z^2w^2}=1$,अतः $z^2w^2=1$,जिसका अर्थ है $(zw)^2=1$,यानी $zw=1$ या $zw=-1$।
स्थिति $1$: $zw=1$। तब $w=\frac{1}{z}$। $z^2+w^2=1$ में प्रतिस्थापित करने पर,$z^2+\frac{1}{z^2}=1 \Rightarrow z^4-z^2+1=0$ प्राप्त होता है। यह $z^2$ में एक द्विघात समीकरण है,जो $z^2 = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\pi/3}$ देता है। इस प्रकार $z$ के $4$ मान प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $zw=-1$। तब $w=-\frac{1}{z}$। $z^2+w^2=1$ में प्रतिस्थापित करने पर,$z^2+\frac{1}{z^2}=1$ प्राप्त होता है,जो स्थिति $1$ के समान है। यह भी $z$ के $4$ मान देता है।
कुल क्रमित युग्मों $(z, w)$ की संख्या $4+4=8$ है।

(B) दिया गया समीकरण $11 z^8 + 21 i z^7 + 10 i z - 22 = 0$ है।
इसे $11 z^8 - 22 = -21 i z^7 - 10 i z$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|11 z^8 - 22| = |-21 i z^7 - 10 i z|$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज असमिका का उपयोग करने पर,$|11 z^8 - 22| \leq 11|z|^8 + 22$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$|-21 i z^7 - 10 i z| = |z| |21 i z^6 + 10 i| \leq |z| (21|z|^6 + 10)$ प्राप्त होता है।
इस बहुपद के मूलों के लिए यह सिद्ध किया जा सकता है कि $1 < |z| < 2$ है।
मान लीजिए $r = |z|$,तो $1 < r < 2$ है।
$S = r^2 + r + 1$ लेने पर,$1^2 + 1 + 1 < S < 2^2 + 2 + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$3 < S < 7$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $|z^3+z^{-3}| \leq 2$.
मान लीजिए $z = re^{i\theta}$. तब $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3\theta} + r^{-3}e^{-i3\theta}| \leq 2$.
त्रिभुज असमिका का उपयोग करते हुए,$|z^3+z^{-3}| \geq | |z^3| - |z^{-3}| | = |r^3 - r^{-3}|$.
हालाँकि,हम जानते हैं कि $|z^3+z^{-3}| \leq |z^3| + |z^{-3}| = r^3 + r^{-3}$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$r^3 + r^{-3} \geq 2$.
चूंकि $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ और $r^3+r^{-3} \geq 2$,इसलिए शर्त को संतुष्ट करने के लिए $|z|=1$ होना आवश्यक है।
यदि $|z|=1$,तो $z = e^{i\theta}$,अतः $|z+z^{-1}| = |e^{i\theta} + e^{-i\theta}| = |2\cos\theta|$.
$|2\cos\theta|$ का अधिकतम मान $2$ है जब $\cos\theta = \pm 1$ हो।

(C) माना $S_n = i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n$ $(i)$
$i$ से गुणा करने पर,$iS_n = i^2 + 2i^3 + \ldots + (n-1)i^n + ni^{n+1}$ (ii)
$(i)$ में से (ii) घटाने पर:
$S_n(1 - i) = i + i^2 + i^3 + \ldots + i^n - ni^{n+1}$
$S_n(1 - i) = \frac{i(1 - i^n)}{1 - i} - ni^{n+1}$
चूंकि $(1 - i)^2 = -2i$,इसलिए:
$S_n = \frac{i(1 - i^n)}{-2i} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2} = \frac{i^n - 1}{2} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}$
बड़े $n$ के लिए,$n$ वाला पद प्रभावी है। $|S_n| = 18\sqrt{2}$ दिया गया है:
$|S_n| \approx |\frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}| = \frac{n}{\sqrt{2}}$
अतः $\frac{n}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $n = 36$।

(C) मान लीजिए $x = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x - \sqrt{6} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$
$(x - \sqrt{6})^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$
$x^2 - 2\sqrt{6}x + 6 = 2 + 3 + 2\sqrt{6}$
$x^2 + 1 = 2\sqrt{6}(x + 1)$.
पुनः वर्ग करने पर:
$(x^2 + 1)^2 = 24(x + 1)^2$
$x^4 + 2x^2 + 1 = 24(x^2 + 2x + 1)$
$x^4 - 22x^2 - 48x - 23 = 0$.
अतः,न्यूनतम बहुपद की घात $4$ है,इसलिए $n$ का न्यूनतम संभव मान $4$ है।

(C) माना $z = \sin \frac{2 \pi}{9} + i \cos \frac{2 \pi}{9}$.
चूंकि $|z|^2 = 1$,इसलिए $\bar{z} = \frac{1}{z}$ है।
व्यंजक $\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)^3 = \left(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}\right)^3 = z^3$ हो जाता है।
अब,$z = i(\cos \frac{2 \pi}{9} - i \sin \frac{2 \pi}{9}) = i e^{-i \frac{2 \pi}{9}}$.
अतः $z^3 = (i e^{-i \frac{2 \pi}{9}})^3 = i^3 e^{-i \frac{6 \pi}{9}} = -i e^{-i \frac{2 \pi}{3}}$.
$z^3 = -i (\cos \frac{2 \pi}{3} - i \sin \frac{2 \pi}{3}) = -i (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2}(\sqrt{3}-i)$.

(B) मान लीजिए $z_1 = x_1 + i y_1$ और $z_2 = x_2 + i y_2$, जहाँ $x_1, x_2, y_1, y_2 \in \mathbb{R}$ है।
दिया गया है $\operatorname{Re}(z_1 + z_2) = x_1 + x_2 = 0$, जिसका अर्थ है $x_2 = -x_1$ है।
दिया गया है $\operatorname{Re}(z_1 z_2) = x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0$ है।
दूसरे समीकरण में $x_2 = -x_1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $x_1(-x_1) - y_1 y_2 = 0$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $-x_1^2 - y_1 y_2 = 0$ या $y_1 y_2 = -x_1^2$ हो जाता है।
चूंकि $z_1, z_2$ शून्येतर हैं, यदि $x_1 = 0$ है, तो $x_2 = 0$ होगा। परिणामस्वरूप, $y_1 y_2 = 0$ होगा। लेकिन $z_1, z_2 \neq 0$ होने के कारण, इसका अर्थ है $y_1 \neq 0$ और $y_2 \neq 0$, जो $y_1 y_2 = 0$ के साथ विरोधाभास करता है। अतः, $x_1 \neq 0$, जिसका अर्थ है $x_1^2 > 0$ है।
इसलिए, $y_1 y_2 = -x_1^2 < 0$ है।
यह इंगित करता है कि $y_1$ और $y_2$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
अतः, $\operatorname{Im}(z_1)$ और $\operatorname{Im}(z_2)$ के चिह्न विपरीत हैं, जो स्थितियों $(B)$ और $(C)$ के अनुरूप है।

(A) दिया गया है $z = \frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,हर $e^{i\pi/3}$ है।
अतः,$z = (i-1) e^{-i\pi/3}$.
हम जानते हैं कि $i-1 = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} e^{i 3\pi/4}$.
इसलिए,$z = \sqrt{2} e^{i 3\pi/4} \cdot e^{-i\pi/3} = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4 - \pi/3)} = \sqrt{2} e^{i(9\pi/12 - 4\pi/12)} = \sqrt{2} e^{i 5\pi/12}$.
ध्रुवीय रूप में,यह $\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$ है।