मान लीजिए कि z अधिकतम मापांक वाली एक सम्मिश्र | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)$ है।दिया गया है $\left| z + \frac{1}{z} ight| = 1$,इसलिए $\left| z + \frac{1}{z} ight|^2 = 1$ है

Vedclass · Accepted Answer

$	ext{Re}(z) = 0$

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $z = r(\cos 	heta + i \sin 	heta)$ है।दिया गया है $\left| z + \frac{1}{z} ight| = 1$,इसलिए $\left| z + \frac{1}{z} ight|^2 = 1$ है।$z = r e^{i	heta}$ रखने पर,हमें $\left| r e^{i	heta} + \frac{1}{r} e^{-i	heta} ight|^2 = 1$ प्राप्त होता है।इसका विस्तार $\left( r + \frac{1}{r} ight)^2 \cos^2 	heta + \left( r - \frac{1}{r} ight)^2 \sin^2 	heta = 1$ होता है।सरल करने पर,$r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 \cos(2	heta) = 1$ प्राप्त होता है।$r$ को अधिकतम करने के लिए,हम $	heta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और $\frac{dr}{d	heta} = 0$ रखते हैं।इससे $-4 \sin(2	heta) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin(2	heta) = 0$,जिसका अर्थ है $	heta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \dots$।चूंकि $z$,$X$-अक्ष पर स्थित नहीं है,इसलिए $	heta 
eq 0, \pi$। अतः,$	heta = \frac{\pi}{2}$ या $\frac{3\pi}{2}$ है।इन स्थितियों में,$z$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए $	ext{Re}(z) = 0$ है।

मान लीजिए कि $z$ अधिकतम मापांक वाली एक सम्मिश्र संख्या है (जो $X$-अक्ष पर स्थित नहीं है) ताकि $\left| z + \frac{1}{z} \right| = 1$ हो। तो:

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