$\cosh (\alpha + i\beta ) - \cosh (\alpha - i\beta )$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $z_1$ और $z_2$ कोई दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ हैं जैसे कि $3|z_1| = 4|z_2|$। यदि $z = \frac{3z_1}{2z_2} + \frac{2z_2}{3z_1}$ है,तो:

यदि $e^{i \theta} = \operatorname{cis} \theta$ है, तो $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos (n \theta)}{2^n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $2z^2 - 3z - 2i = 0$ के मूल हैं,जहाँ $i = \sqrt{-1}$,तो $16 \cdot \operatorname{Re}\left(\frac{\alpha^{19} + \beta^{19} + \alpha^{11} + \beta^{11}}{\alpha^{15} + \beta^{15}}\right) \cdot \operatorname{Im}\left(\frac{\alpha^{19} + \beta^{19} + \alpha^{11} + \beta^{11}}{\alpha^{15} + \beta^{15}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $z$ और $w$ दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $|z| \le 1$,$|w| \le 1$ और $|z + iw| = |z - i\overline{w}| = 2$ है। तो $z$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $i=\sqrt{-1}$ है,तो $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{3}\right)^n=$