धनात्मक पूर्णांकों n_1, n_2 के लिए, व्यंजक (1 | vedclass

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Question

(D) दिया गया व्यंजक: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$ है।चूँकि $i^3 = -i$, $i^5 = i$, और $i^7 = -i$, व्यंजक इस प्

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$n_1 > 0, n_2 > 0$

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(D) दिया गया व्यंजक: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$ है।चूँकि $i^3 = -i$, $i^5 = i$, और $i^7 = -i$, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:$(1 + i)^{n_1} + (1 - i)^{n_1} + (1 + i)^{n_2} + (1 - i)^{n_2}$।माना $z = (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}$ है।ध्रुवीय रूप $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ और $1 - i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$ का उपयोग करने पर:$z = (\sqrt{2})^n (e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos(n\pi/4) = 2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$।चूँकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$ हमेशा एक वास्तविक संख्या होती है, इसलिए ऐसे दो पदों का योग भी हमेशा वास्तविक होता है।अतः, यह व्यंजक सभी धनात्मक पूर्णांकों $n_1$ और $n_2$ के लिए एक वास्तविक संख्या है।

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

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