निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं का मापांक एवं कोणांक ज्ञात कीजिए।
$\frac{1}{1+i}$
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$\frac{1}{1+i}$
We have $\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{1+1}=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$
Let $\frac{1}{2}=r \cos \theta,-\frac{1}{2}=r \sin \theta$
Proceeding as in part $(i)$ above, we get $r=\frac{1}{\sqrt{2}} ; \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \theta=\frac{-1}{\sqrt{2}}$
Therefore $\theta=\frac{-\pi}{4}$
Hence, the modulus of $\frac{1}{1+i}$ is $\frac{1}{\sqrt{2}},$ argument is $\frac{-\pi}{4}$.
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माना $S=\left\{Z \in C: \bar{z}=i\left(z^2+\operatorname{Re}(\bar{z})\right)\right\}$ है। तो $\sum_{z \in S}|z|^2$ बराबर है
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- [JEE MAIN 2023]
यदि $z = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$, तब
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यदि सम्मिश्र संख्याओं ${z_1}$ तथा ${z_2}$ के लिये $arg({z_1}/{z_2}) = 0,$तब $|{z_1} - {z_2}|$ =
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$z$ का वह मान जिसके लिए $|z + i|\, = \,|z - i|$ है
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यदि ${z_1}$व${z_2}$दो सम्मिश्र संख्यायें इस प्रकार हों कि ${z_1} \ne {z_2}$ एवं $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|$. यदि ${z_1}$में धनात्मक वास्तविक भाग है एवं ${z_2}$ में ऋणात्मक काल्पनिक भाग है, तो $\frac{{({z_1} + {z_2})}}{{({z_1} - {z_2})}}$हो सकता है
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- [IIT 1986]