Conjugate and Modulus of complex numbers Questions in Hindi

(B) दिया गया है,$z = a - \frac{i}{2}$।
हमें $|i + z|^2 - |i - z|^2$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$z$ का मान व्यंजकों में प्रतिस्थापित करने पर:
$i + z = i + a - \frac{i}{2} = a + \frac{i}{2}$।
$i - z = i - (a - \frac{i}{2}) = -a + \frac{3i}{2}$।
अब,मापांक के वर्ग की गणना करने पर:
$|i + z|^2 = |a + \frac{i}{2}|^2 = a^2 + (\frac{1}{2})^2 = a^2 + \frac{1}{4}$।
$|i - z|^2 = |-a + \frac{3i}{2}|^2 = (-a)^2 + (\frac{3}{2})^2 = a^2 + \frac{9}{4}$।
अंत में,दोनों का अंतर लेने पर:
$|i + z|^2 - |i - z|^2 = (a^2 + \frac{1}{4}) - (a^2 + \frac{9}{4}) = \frac{1}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{8}{4} = -2$।

(C) माना $z_1 = 1+4i, z_2 = 3+i, z_3 = 1-i$ और $z_4 = 2-3i$ है।
एक सम्मिश्र संख्या $z = a+bi$ का मापांक $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मापांकों की गणना करने पर:
$m_1 = |1+4i| = \sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}$
$m_2 = |3+i| = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$
$m_3 = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$
$m_4 = |2-3i| = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{13}$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{2} < \sqrt{10} < \sqrt{13} < \sqrt{17}$,जिसका अर्थ है कि $m_3 < m_2 < m_4 < m_1$।

(C) दी गई सम्मिश्र संख्याओं के लिए:
$\alpha_1 = |-i| = 1$
$\alpha_2 = |\frac{1}{3}(1+i)| = \frac{1}{3} \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.471$
$\alpha_3 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$
मानों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{2}}{3} < 1 < \sqrt{2}$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $\alpha_2 < \alpha_1 < \alpha_3$ है.

(A) दिया गया है कि $\left|\frac{z_1-3 z_2}{3-z_1 \bar{z}_2}\right|=1$ और $\left|z_1\right| \neq 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left|z_1-3 z_2\right|^2 = \left|3-z_1 \bar{z}_2\right|^2$।
$|z|^2 = z \bar{z}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$(z_1-3 z_2)(\bar{z}_1-3 \bar{z}_2) = (3-z_1 \bar{z}_2)(3-\bar{z}_1 z_2)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $|z_1|^2 - 3z_1 \bar{z}_2 - 3z_2 \bar{z}_1 + 9|z_2|^2 = 9 - 3\bar{z}_1 z_2 - 3z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2$।
समान पदों $-3z_1 \bar{z}_2$ और $-3z_2 \bar{z}_1$ को हटाने पर: $|z_1|^2 + 9|z_2|^2 = 9 + |z_1|^2 |z_2|^2$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $|z_1|^2 - 9 - |z_1|^2 |z_2|^2 + 9|z_2|^2 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(|z_1|^2 - 9)(1 - |z_2|^2) = 0$।
चूंकि $|z_1| \neq 3$,इसलिए $|z_2|^2 = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $|z_2| = 1$।

(C) मूल बिंदु पर केंद्र और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $|z| = r$ होता है।
दिया गया है $z = (1+i)(1+2i)(1+3i) \ldots (1+10i)$।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:
$|z| = |1+i| \cdot |1+2i| \cdot |1+3i| \ldots |1+10i| = r$।
$|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$|z| = \sqrt{1^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+2^2} \cdot \sqrt{1^2+3^2} \ldots \sqrt{1^2+10^2} = r$।
$|z| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \ldots \sqrt{101} = r$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$r^2 = 2 \times 5 \times 10 \times \ldots \times 101$।

(C) सबसे पहले,व्यंजक को सरल करें: $\frac{1-i}{3+i} + \frac{4i}{5} = \frac{5(1-i) + 4i(3+i)}{5(3+i)}$
$= \frac{5 - 5i + 12i + 4i^2}{5(3+i)}$
चूँकि $i^2 = -1$,हमें प्राप्त होता है $\frac{5 + 7i - 4}{15 + 5i} = \frac{1 + 7i}{15 + 5i}$
अंश और हर को संयुग्मी $(15 - 5i)$ से गुणा करें:
$= \frac{(1 + 7i)(15 - 5i)}{(15 + 5i)(15 - 5i)} = \frac{15 - 5i + 105i - 35i^2}{225 + 25} = \frac{15 + 100i + 35}{250} = \frac{50 + 100i}{250} = \frac{1 + 2i}{5}$
अब,मापांक ज्ञात करें: $|\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i| = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2} = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ इकाई।

(D) दिया गया है $z = \frac{4}{1-i}$.
$\bar{z}$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक का संयुग्मी लेते हैं:
$\bar{z} = \overline{\left(\frac{4}{1-i}\right)} = \frac{\bar{4}}{\overline{1-i}}$.
चूंकि वास्तविक संख्या $4$ का संयुग्मी $4$ है और $(1-i)$ का संयुग्मी $(1+i)$ है,
अतः $\bar{z} = \frac{4}{1+i}$.

(B) हमें दिया गया है $z = \prod_{r=1}^n (1+ri)$।
दोनों पक्षों का मापांक वर्ग लेने पर,$|z|^2 = \prod_{r=1}^n |1+ri|^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|1+ri|^2 = 1^2 + r^2 = 1+r^2$,इसलिए $|z|^2 = \prod_{r=1}^n (1+r^2) = 44200$ है।
$n=1$ के लिए: $1+1^2 = 2$।
$n=2$ के लिए: $2 \times (1+2^2) = 2 \times 5 = 10$।
$n=3$ के लिए: $10 \times (1+3^2) = 10 \times 10 = 100$।
$n=4$ के लिए: $100 \times (1+4^2) = 100 \times 17 = 1700$।
$n=5$ के लिए: $1700 \times (1+5^2) = 1700 \times 26 = 44200$।
अतः,$n=5$।