Argument of complex numbers Questions in Hindi

(N/A) दिया गया है $z = -1 - i \sqrt{3}$।
माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,जहाँ $r$ मापांक है और $\theta$ कोणांक है।
यहाँ,$r \cos \theta = -1$ और $r \sin \theta = -\sqrt{3}$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(r \cos \theta)^{2} + (r \sin \theta)^{2} = (-1)^{2} + (-\sqrt{3})^{2}$
$r^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) = 1 + 3$
$r^{2} = 4 \Rightarrow r = 2$ (चूँकि $r > 0$)।
अतः,मापांक $2$ है।
अब,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ और $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूँकि $\sin \theta$ और $\cos \theta$ दोनों ऋणात्मक हैं,सम्मिश्र संख्या $III$ चतुर्थांश में स्थित है।
संदर्भ कोण $\alpha$ के लिए $\tan \alpha = |\frac{-\sqrt{3}}{-1}| = \sqrt{3}$,इसलिए $\alpha = \frac{\pi}{3}$।
$III$ चतुर्थांश में,कोणांक $\theta = -(\pi - \alpha) = -(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$ है।
अतः,मापांक $2$ है और कोणांक $-\frac{2\pi}{3}$ है।

(A) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = -\sqrt{3} + i$ है।
माना $r \cos \theta = -\sqrt{3}$ और $r \sin \theta = 1$ है।
वर्ग करके जोड़ने पर:
$r^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) = (-\sqrt{3})^{2} + (1)^{2}$
$r^{2} = 3 + 1 = 4$
$r = 2$ (चूंकि $r > 0$)।
अतः,मापांक $2$ है।
अब,$2 \cos \theta = -\sqrt{3} \Rightarrow \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $2 \sin \theta = 1 \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $\cos \theta < 0$ और $\sin \theta > 0$,कोण $\theta$ द्वितीय $(II)$ चतुर्थांश में स्थित है।
संदर्भ कोण $\alpha = \frac{\pi}{6}$ है।
इसलिए,$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ है।
मापांक $2$ है और कोणांक $\frac{5\pi}{6}$ है।

माना सम्मिश्र संख्या $z = 1-i$ है।
हम $z$ को ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ में निरूपित करते हैं,जहाँ $r \cos \theta = 1$ और $r \sin \theta = -1$ है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1^2 + (-1)^2$
$r^2 = 2$
$r = \sqrt{2}$ (चूँकि $r > 0$)।
अब,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चूँकि $\cos \theta > 0$ और $\sin \theta < 0$ है,अतः कोण $\theta$ चतुर्थ $(IV)$ चतुर्थांश में स्थित है।
इस प्रकार,$\theta = -\frac{\pi}{4}$ है।
अतः,ध्रुवीय रूप $\sqrt{2} \left[ \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right]$ है।

(B) माना $z = -1+i$. ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ है।
यहाँ,$r \cos \theta = -1$ और $r \sin \theta = 1$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = (-1)^2 + (1)^2$
$r^2 = 1 + 1 = 2$
$r = \sqrt{2}$ (चूँकि $r > 0$)।
अब,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$\cos \theta < 0$ और $\sin \theta > 0$ होने के कारण,$\theta$ द्वितीय $(II)$ चतुर्थांश में स्थित है।
संदर्भ कोण $\alpha$ के लिए $\tan \alpha = |\frac{1}{-1}| = 1$,इसलिए $\alpha = \frac{\pi}{4}$ है।
द्वितीय चतुर्थांश में,$\theta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ है।
अतः,ध्रुवीय रूप $\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})$ है।

माना $z = -1-i$.
हम सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ के रूप में निरूपित करते हैं,जहाँ $r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
अब,$r \cos \theta = -1$ और $r \sin \theta = -1$.
$\Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूँकि $\cos \theta$ और $\sin \theta$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए कोण $\theta$ $III$ चतुर्थांश में स्थित है।
संदर्भ कोण $\alpha$,$\tan \alpha = |\frac{-1}{-1}| = 1$ द्वारा प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
$III$ चतुर्थांश में,$\theta = -(\pi - \alpha) = -(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\frac{3\pi}{4}$.
अतः,ध्रुवीय रूप $\sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4}))$ है।

(A) माना सम्मिश्र संख्या $z = \sqrt{3} + i$ है।
ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$ है।
हमारे पास $r \cos \theta = \sqrt{3}$ और $r \sin \theta = 1$ है।
$r = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \theta$ और $\sin \theta$ दोनों धनात्मक हैं,$\theta$ प्रथम $(I)$ चतुर्थांश में स्थित है।
मुख्य कोणांक $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
अतः,ध्रुवीय रूप $2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ है।

(A) माना सम्मिश्र संख्या $z = i = 0 + 1i$ है।
ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r \cos \theta = 0$ और $r \sin \theta = 1$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 0^2 + 1^2$
$r^2(1) = 1$
$r = 1$ (चूंकि $r > 0$)।
अब,$\cos \theta = 0$ और $\sin \theta = 1$ है।
इसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,ध्रुवीय रूप $1(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$ है।

(N/A) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = \frac{1+i}{1-i}$ है।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{1+i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$.
हम $z = 0 + i$ लिख सकते हैं।
माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,जहाँ $r$ मापांक है और $\theta$ कोणांक है।
$0 + i$ की तुलना $r \cos \theta + i r \sin \theta$ से करने पर:
$r \cos \theta = 0$ और $r \sin \theta = 1$.
वर्ग करके जोड़ने पर: $r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 0^2 + 1^2 \implies r^2 = 1 \implies r = 1$ (चूँकि $r > 0$)।
अब,$\cos \theta = 0$ और $\sin \theta = 1$.
इससे $\theta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,मापांक $1$ है और कोणांक $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) माना $z = \frac{1+7i}{(2-i)^2}$.
हर का विस्तार करने पर: $(2-i)^2 = 4 + i^2 - 4i = 4 - 1 - 4i = 3 - 4i$.
अतः,$z = \frac{1+7i}{3-4i}$.
अंश और हर को संयुग्मी $(3+4i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1+7i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{3 + 4i + 21i + 28i^2}{3^2 + 4^2} = \frac{3 + 25i - 28}{9 + 16} = \frac{-25 + 25i}{25} = -1 + i$.
ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ के लिए:
$r = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
चूंकि $x = -1$ और $y = 1$,सम्मिश्र संख्या $II$ चतुर्थांश में स्थित है।
$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
ध्रुवीय रूप $\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right)$ है।

(A) दिया गया है $z = \frac{1+3i}{1-2i}$.
अंश और हर को संयुग्मी $(1+2i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{1+2i+3i+6i^2}{1^2+2^2} = \frac{1+5i-6}{5} = \frac{-5+5i}{5} = -1+i$.
माना $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$.
यहाँ,$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
चूँकि $z = -1+i$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है,$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
संदर्भ कोण $\alpha = \frac{\pi}{4}$ है।
द्वितीय चतुर्थांश में होने के कारण,$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
अतः,ध्रुवीय रूप $\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right)$ है।

(C) दिया गया है $\overline{z}_{1} = i \overline{z}_{2}$। दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,$z_{1} = -i z_{2}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\arg \left( \frac{-i z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = \pi$।
तर्कों के गुणों का उपयोग करते हुए,$\arg(-i) + \arg \left( \frac{z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = \pi$।
हम जानते हैं कि $\arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$ और $\arg \left( \frac{z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = 2\theta$,जहाँ $\theta = \arg(z_{2})$ है।
अतः,$-\frac{\pi}{2} + 2\theta = \pi$,जिससे $2\theta = \frac{3\pi}{2}$ प्राप्त होता है,अर्थात $\theta = \frac{3\pi}{4}$।
अब,$z_{1} = -i z_{2} = |z_{2}| e^{i(\theta - \pi/2)} = |z_{2}| e^{i(3\pi/4 - \pi/2)} = |z_{2}| e^{i\pi/4}$।
इस प्रकार,$\arg(z_{1}) = \frac{\pi}{4}$।

(D) दिया है $z = 1 + i$,इसलिए $\overline{z} = 1 - i$ और $\frac{1}{z} = \frac{1 - i}{2}$.
$z_1$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$z_1 = \frac{1 + i(1 - i)}{(1 - i)(1 - (1 + i)) + \frac{1 - i}{2}}$
$z_1 = \frac{2 + i}{-i - 1 + \frac{1 - i}{2}} = \frac{2(2 + i)}{-1 - 3i} = -1 + i$.
अब,$z_1 = -1 + i$ के लिए $\arg(z_1)$ ज्ञात करने पर:
चूंकि $z_1$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\arg(z_1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
अंत में,$\frac{12}{\pi} \arg(z_1) = \frac{12}{\pi} \times \frac{3\pi}{4} = 9$.

(A) दिया गया है $z = 2 - i(2 \tan \frac{5 \pi}{8})$.
$z = x + iy$ से तुलना करने पर,$x = 2$ और $y = -2 \tan \frac{5 \pi}{8}$ प्राप्त होता है।
मापांक $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + (-2 \tan \frac{5 \pi}{8})^2} = \sqrt{4(1 + \tan^2 \frac{5 \pi}{8})} = \sqrt{4 \sec^2 \frac{5 \pi}{8}} = |2 \sec \frac{5 \pi}{8}|$.
चूंकि $\frac{5 \pi}{8}$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\sec \frac{5 \pi}{8}$ ऋणात्मक है,इसलिए $r = -2 \sec \frac{5 \pi}{8} = 2 \sec(\pi - \frac{5 \pi}{8}) = 2 \sec \frac{3 \pi}{8}$.
कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{-2 \tan \frac{5 \pi}{8}}{2}) = \tan^{-1}(-\tan \frac{5 \pi}{8}) = \tan^{-1}(\tan(\pi - \frac{5 \pi}{8})) = \tan^{-1}(\tan \frac{3 \pi}{8}) = \frac{3 \pi}{8}$.
अतः,$(r, \theta) = (2 \sec \frac{3 \pi}{8}, \frac{3 \pi}{8})$.

(A) $z = \frac{13-5i}{4-9i}$ को सरल करने के लिए,हर के संयुग्मी $(4+9i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(13-5i)(4+9i)}{(4-9i)(4+9i)} = \frac{52 + 117i - 20i - 45i^2}{16 - 81i^2}$
$i^2 = -1$ रखने पर:
$z = \frac{52 + 97i + 45}{16 + 81} = \frac{97 + 97i}{97} = 1 + i$
यहाँ $x = 1$ और $y = 1$ है।
कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}$।

(A) दिया गया है $Z = \frac{-2}{1 + \sqrt{3}i}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)}$
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{1^2 - (\sqrt{3}i)^2}$
$Z = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{1 + 3} = \frac{-2(1 - \sqrt{3}i)}{4}$
$Z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
यहाँ,वास्तविक भाग $a = -\frac{1}{2}$ और काल्पनिक भाग $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूँकि $a < 0$ और $b > 0$,सम्मिश्र संख्या दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|$
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}\right|$
$\arg(Z) = \pi - \tan^{-1}(\sqrt{3})$
$\arg(Z) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(A) दिया गया है $z_1 = 5 - 2i$ और $z_2 = 3 + i$।
सबसे पहले,$z_1 + z_2 = (5 + 3) + (-2 + 1)i = 8 - i$।
फिर,$z_1 - z_2 = (5 - 3) + (-2 - 1)i = 2 - 3i$।
अब,अनुपात $\frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} = \frac{8 - i}{2 - 3i}$ पर विचार करें।
सरल बनाने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(2 + 3i)$ से गुणा करें:
$\frac{8 - i}{2 - 3i} \times \frac{2 + 3i}{2 + 3i} = \frac{16 + 24i - 2i - 3i^2}{4 + 9} = \frac{19 + 22i}{13} = \frac{19}{13} + \frac{22}{13}i$।
कोणांक (argument) $\tan^{-1}\left(\frac{\text{काल्पनिक भाग}}{\text{वास्तविक भाग}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{22/13}{19/13}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{22}{19}\right)$ है।

(C) माना $z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}$ है।
हर के संयुग्मी $(\sqrt{3}-i)$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(1+i \sqrt{3})(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}$
$z = \frac{\sqrt{3} - i + 3i - i^2 \sqrt{3}}{3 - i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए:
$z = \frac{\sqrt{3} + 2i + \sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{2\sqrt{3} + 2i}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$
$z = a + bi$ का कोणांक $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$।

(C) हम जानते हैं कि $arg(-z) = arg(-1 \times z)$ होता है।
गुणधर्म $arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)$ का उपयोग करने पर,हमें $arg(-z) = arg(-1) + arg(z)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $arg(-1) = \pi$,इसलिए $arg(-z) = \pi + arg(z)$।
अतः,$arg(-z) - arg(z) = (\pi + arg(z)) - arg(z) = \pi$।

(C) माना $z = \frac{1-i \sqrt{3}}{1+i \sqrt{3}}$.
हर के संयुग्मी $(1-i \sqrt{3})$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})}{(1+i \sqrt{3})(1-i \sqrt{3})} = \frac{1 - 2i \sqrt{3} + i^2(3)}{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 2i \sqrt{3} - 3}{1 + 3} = \frac{-2 - 2i \sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि सम्मिश्र संख्या $z = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए कोणांक $\text{Arg}(z) = 180^{\circ} + \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 180^{\circ} + 60^{\circ} = 240^{\circ}$ होगा।

(D) माना सम्मिश्र संख्या $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ है।
दिया गया है कि मूलबिंदु से दूरी $r = 2$ है और कोणांक $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$z = 2 \left( \cos \frac{5 \pi}{6} + i \sin \frac{5 \pi}{6} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \frac{5 \pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \frac{5 \pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$z = 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} + i$।

(B) माना $z = (1+i)^{5}$.
सबसे पहले,$1+i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
डी-मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z = (\sqrt{2})^{5}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})^{5} = 4\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$.
$z$ का कोणांक $\frac{5\pi}{4}$ है।
चूंकि मुख्य कोणांक $(-\pi, \pi]$ अंतराल में होना चाहिए,इसलिए $\frac{5\pi}{4}$ से $2\pi$ घटाने पर:
$\frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4}$.
अतः,मुख्य आयाम $-\frac{3\pi}{4}$ है।

(B) माना $z = \frac{(1+i \sqrt{3})(-\sqrt{3}-i)}{(1-i)(-i)}$
अंश: $(1+i \sqrt{3})(-\sqrt{3}-i) = -\sqrt{3} - i - 3i - i^2 \sqrt{3} = -\sqrt{3} - 4i + \sqrt{3} = -4i$
हर: $(1-i)(-i) = -i + i^2 = -i - 1 = -(1+i)$
अतः,$z = \frac{-4i}{-(1+i)} = \frac{4i}{1+i}$
अंश और हर को संयुग्मी $(1-i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{4i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4i - 4i^2}{1 - i^2} = \frac{4i + 4}{1 + 1} = \frac{4+4i}{2} = 2+2i$
चूंकि $z = 2+2i$ प्रथम चतुर्थांश ($I^{st}$ quadrant) में स्थित है,इसलिए कोणांक $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ है।

(D) दिया है $z = \sqrt{\frac{1-i}{1+i}}$.
अंश और हर को $(1-i)$ से गुणा करने पर:
$z = \sqrt{\frac{(1-i)^2}{1^2+1^2}} = \sqrt{\frac{(1-i)^2}{2}} = \pm \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.
अतः,$z_1 = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$ और $z_2 = \frac{-1+i}{\sqrt{2}}$.
$z_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,कोणांक $\arg(z_1) = \tan^{-1}\left(\frac{-1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$.
$z_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,कोणांक $\arg(z_2) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{1/\sqrt{2}}{-1/\sqrt{2}}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
शर्त $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \pi$ संतुष्ट होती है।
इसलिए,$\arg(z_1) + \arg(z_2) = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

(B) दिया गया है कि सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ का आयाम (argument) $\theta$ है।
परिभाषा के अनुसार,$\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \theta$ है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,हमें $\frac{y}{x} = \tan \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु का बिंदुपथ $y = x \tan \theta$ है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(A) सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें:
$\frac{4+2 i}{1-2 i} = 2 i$
$\frac{3+4 i}{2+3 i} = \frac{18-i}{13}$
दोनों का योग करने पर:
$\frac{18}{13} + \frac{25}{13} i$
कोणांक $\tan^{-1}\left(\frac{25}{18}\right)$ होगा।
चूँकि $\frac{25}{18} > 1$,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{25}{18}\right) > \frac{\pi}{4}$।
अतः,यह $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ अंतराल में स्थित है।

(A) दिया गया है,$\bar{z}+i \bar{w}=0$.
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें $z-i w=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $z=i w$.
हमें $\operatorname{Arg}(z w)=\pi$ दिया गया है।
गुणधर्म $\operatorname{Arg}(z w) = \operatorname{Arg}(z) + \operatorname{Arg}(w)$ का उपयोग करने पर,हमारे पास $\operatorname{Arg}(z) + \operatorname{Arg}(w) = \pi$ है।
चूंकि $z=i w$,हमारे पास $w = \frac{z}{i} = -iz$ है।
अतः,$\operatorname{Arg}(w) = \operatorname{Arg}(-i) + \operatorname{Arg}(z) = -\frac{\pi}{2} + \operatorname{Arg}(z)$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\operatorname{Arg}(z) + (\operatorname{Arg}(z) - \frac{\pi}{2}) = \pi$.
$2 \operatorname{Arg}(z) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$.
इसलिए,$\operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4}$.

(C) दिया गया है कि $\operatorname{Arg} z_1 = \frac{\pi}{3}$।
हम जानते हैं कि $\operatorname{Arg} \overline{z_2} = -\operatorname{Arg} z_2$।
दिया गया है $\operatorname{Arg} \overline{z_2} = \frac{\pi}{5}$,इसलिए $\operatorname{Arg} z_2 = -\frac{\pi}{5}$।
अब,$\operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5}$।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,हमें $\frac{5\pi - 3\pi}{15} = \frac{2\pi}{15}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\bar{z}_1 - i \bar{z}_2 = 0$।
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें $z_1 + i z_2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $z_1 = -i z_2$।
हम जानते हैं कि $-i = e^{-i \pi / 2}$,इसलिए $z_1 = z_2 e^{-i \pi / 2}$।
दोनों पक्षों का कोणांक (argument) लेने पर,$\arg(z_1) = \arg(z_2) - \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\arg(z_2) = \arg(z_1) + \frac{\pi}{2}$।
दिया गया है $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \frac{3 \pi}{4}$।
$\arg(z_2)$ का मान रखने पर,हमें $\arg(z_1) + (\arg(z_1) + \frac{\pi}{2}) = \frac{3 \pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$2 \arg(z_1) = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$\arg(z_1) = \frac{\pi}{8}$।

(A) दिया है $\arg \left(\frac{z-1}{z-3i}\right)=\frac{\pi}{2}$.
माना $z=x+iy$. तब $\frac{z-1}{z-3i} = \frac{(x-1)+iy}{x+i(y-3)}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1)+iy)(x-i(y-3))}{x^2+(y-3)^2} = \frac{x(x-1)+y(y-3) + i(xy - (x-1)(y-3))}{x^2+(y-3)^2}$.
कोणांक $\frac{\pi}{2}$ होने के लिए,वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए और काल्पनिक भाग धनात्मक होना चाहिए।
वास्तविक भाग: $x(x-1)+y(y-3)=0 \Rightarrow x^2-x+y^2-3y=0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2$.
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ और त्रिज्या $\frac{\sqrt{10}}{2}$ है।
$\arg(w) = \frac{\pi}{2}$ की शर्त यह दर्शाती है कि बिंदुपथ वृत्त का वह चाप है जहाँ काल्पनिक भाग धनात्मक है।

(B) कथन $I$ के लिए: $\sqrt{-a} \times \sqrt{-b} = (i\sqrt{a}) \times (i\sqrt{b}) = i^2 \sqrt{ab} = -\sqrt{ab}$. अतः,कथन $I$ असत्य है।
कथन $II$ के लिए: मान लीजिए $z = \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}$ है। हर के संयुग्मी $(1+i\sqrt{3})$ से अंश और हर में गुणा करने पर:
$z = \frac{(1+i\sqrt{3})^2}{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 3 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
यह सम्मिश्र संख्या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है। इसका कोणांक $\pi - \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है। अतः,कथन $II$ सत्य है।

(C) दिया गया है $z_1 = -\sqrt{3} + i$ और $z_2 = -\sqrt{3} - i$।
हम जानते हैं कि भागफल का कोणांक $\text{arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$z_1 = -\sqrt{3} + i$ के लिए,बिंदु दूसरे चतुर्थांश में है। $\text{arg}(z_1) = \pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$।
$z_2 = -\sqrt{3} - i$ के लिए,बिंदु तीसरे चतुर्थांश में है। $\text{arg}(z_2) = -(\pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})) = -(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6}$।
अतः,$\text{arg}(\frac{z_1}{z_2}) = \frac{5\pi}{6} - (-\frac{5\pi}{6}) = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$।
चूंकि मुख्य कोणांक $(-\pi, \pi]$ अंतराल में होना चाहिए,इसलिए $2\pi$ घटाने पर: $\frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}$।
अतः,मुख्य कोणांक $-\frac{\pi}{3}$ है।

(D) $z=1+i \sqrt{3}$
चूंकि $z$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\operatorname{Arg} z = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$ है।
इसके संयुग्मी $\bar{z} = 1-i \sqrt{3}$ के लिए,जो चतुर्थ चतुर्थांश में है,$\operatorname{Arg} \bar{z} = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$|\operatorname{Arg} z| + |\operatorname{Arg} \bar{z}| = |\frac{\pi}{3}| + |-\frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(B) माना $z = \sin \frac{\pi}{5} + i(1 - \cos \frac{\pi}{5})$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = 2 \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{10} + i(2 \sin^2 \frac{\pi}{10})$
$z = 2 \sin \frac{\pi}{10} (\cos \frac{\pi}{10} + i \sin \frac{\pi}{10})$
चूंकि $2 \sin \frac{\pi}{10} > 0$,यह सम्मिश्र संख्या ध्रुवीय रूप $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ में है,जहाँ $r = 2 \sin \frac{\pi}{10}$ और $\theta = \frac{\pi}{10}$ है।
अतः,दी गई सम्मिश्र संख्या का आयाम $\frac{\pi}{10}$ है।

(B) एक सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ के लिए,ध्रुवीय रूप $r \operatorname{cis} \theta$ है,जहाँ $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ और $\theta = \operatorname{arg}(z)$ है।
$(i) z = \sqrt{3} - i$: $r = 2, \theta = -\frac{\pi}{6}$. अतः,$z = 2 \operatorname{cis}(-\frac{\pi}{6})$ ($d$ से मेल खाता है)।
$(ii) z = \sqrt{3} + i$: $r = 2, \theta = \frac{\pi}{6}$. अतः,$z = 2 \operatorname{cis}(\frac{\pi}{6})$ ($a$ से मेल खाता है)।
$(iii) z = -\sqrt{3} + i$: $r = 2, \theta = \frac{5\pi}{6}$. अतः,$z = 2 \operatorname{cis}(\frac{5\pi}{6})$ ($b$ से मेल खाता है)।
$(iv) z = -\sqrt{3} - i$: $r = 2, \theta = -\frac{5\pi}{6}$. अतः,$z = 2 \operatorname{cis}(-\frac{5\pi}{6})$ ($c$ से मेल खाता है)।
अतः,सही मिलान $(i)-d, (ii)-a, (iii)-b, (iv)-c$ है।

(A) दिया गया है $z_1 = 2 - i$ और $z_2 = 6 + 3i$।
हमें $\operatorname{amp}\left(\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right)$ ज्ञात करना है।
पहले,$z_1 - z_2 = (2 - 6) + (-1 - 3)i = -4 - 4i$।
फिर,$z_1 + z_2 = (2 + 6) + (-1 + 3)i = 8 + 2i$।
अब,$\operatorname{amp}\left(\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right) = \operatorname{amp}(z_1-z_2) - \operatorname{amp}(z_1+z_2)$।
$\operatorname{amp}(-4-4i) = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{-4}{-4}\right) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$।
$\operatorname{amp}(8+2i) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{8}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$।
अतः,परिणाम $-\frac{3\pi}{4} - \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ है।

(C) मान लीजिए $z = x + iy$. चूँकि $|z| = 1$, हमारे पास $x^2 + y^2 = 1$ है।
$z = 1 - \bar{z}$ से, हमें $x + iy = 1 - (x - iy) = 1 - x + iy$ प्राप्त होता है।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर, $x = 1 - x$, जिसका अर्थ है $2x = 1$, इसलिए $x = \frac{1}{2}$.
चूँकि $x^2 + y^2 = 1$, हमारे पास $(\frac{1}{2})^2 + y^2 = 1$ है, इसलिए $y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$\operatorname{Im}(z) > 0$ दिया गया है, इसलिए $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः, $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $z$ का एक काल्पनिक भाग है, कथन-$I$ असत्य है।
$z$ का कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः, कथन-$II$ सत्य है।

(C) दिया गया है कि $|x|=1$ और $\operatorname{Arg}(x)=2\alpha$,अतः $x=e^{i 2\alpha}$ है।
दिया गया है कि $|y|=1$ और $\operatorname{Arg}(y)=3\beta$,अतः $y=e^{i 3\beta}$ है।
तब $x^6 y^4 = (e^{i 2\alpha})^6 (e^{i 3\beta})^4 = e^{i 12\alpha} e^{i 12\beta} = e^{i 12(\alpha+\beta)}$ है।
दिया गया है कि $\alpha+\beta = \frac{\pi}{36}$,इस मान को रखने पर:
$x^6 y^4 = e^{i 12(\frac{\pi}{36})} = e^{i \frac{\pi}{3}}$ है।
अब,$x^6 y^4 + \frac{1}{x^6 y^4} = e^{i \frac{\pi}{3}} + e^{-i \frac{\pi}{3}}$ है।
यूलर के सूत्र $e^{i \theta} + e^{-i \theta} = 2 \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$।

(A) दिया गया है $z = \frac{(2-i)(1+i)^3}{(1-i)^2}$.
सबसे पहले,$(1+i)^3 = -2 + 2i$ और $(1-i)^2 = -2i$ प्राप्त करते हैं।
अतः,$z = \frac{(2-i)(-2+2i)}{-2i} = \frac{(2-i)(1-i)}{i} = \frac{1-3i}{i} = -3-i$.
चूँकि $z = -3-i$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\operatorname{Arg}(z) = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ होगा।

(D) प्रतिबंध $|Z_1+Z_2|=|Z_1|+|Z_2|$ तब संभव है जब त्रिभुज असमिका समानता में बदल जाए।
यह तभी होता है जब सम्मिश्र तल में $Z_1$ और $Z_2$ को दर्शाने वाले सदिश एक ही दिशा में हों।
इसलिए,$Z_1$ और $Z_2$ के कोणांक (amplitudes) समान होने चाहिए,अर्थात $\text{arg}(Z_1) = \text{arg}(Z_2)$।
अतः,उनके कोणांकों का अंतर $\text{arg}(Z_1) - \text{arg}(Z_2) = 0$ है।

(D) माना $Z = \sin \frac{6 \pi}{5} + i(1 + \cos \frac{6 \pi}{5})$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ और $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \frac{3\pi}{5}$:
$Z = 2\sin \frac{3\pi}{5}\cos \frac{3\pi}{5} + i(2\cos^2 \frac{3\pi}{5})$
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\sin \frac{3\pi}{5} + i\cos \frac{3\pi}{5})$
चूँकि $\frac{3\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{10}$,इसलिए $\sin \frac{3\pi}{5} = \cos \frac{\pi}{10}$ और $\cos \frac{3\pi}{5} = -\sin \frac{\pi}{10}$ है।
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\cos \frac{\pi}{10} - i\sin \frac{\pi}{10})$
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\cos(-\frac{\pi}{10}) + i\sin(-\frac{\pi}{10}))$
चूँकि $\cos \frac{3\pi}{5} < 0$ है,इसलिए कोणांक (argument) $\pi - \frac{\pi}{10} = \frac{9\pi}{10}$ होगा।

(C) दिए गए समीकरण $z^2-i=0$ के लिए,$z^2=i$ है।
$i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर,$i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = e^{i\frac{\pi}{2}}$।
मूल $z = \pm e^{i\frac{\pi}{4}}$ हैं।
अतः,मूल $z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}}$ और $z_2 = e^{i(\frac{\pi}{4} + \pi)} = e^{i\frac{5\pi}{4}}$ हैं।
माना $\alpha = e^{i\frac{\pi}{4}}$ और $\beta = e^{i\frac{5\pi}{4}}$।
तब $\operatorname{Arg} \alpha = \frac{\pi}{4}$ और $\operatorname{Arg} \beta = \frac{5\pi}{4}$।
इसलिए,$|\operatorname{Arg} \beta - \operatorname{Arg} \alpha| = |\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4}| = |\pi| = \pi$।

(A) माना $Z = \frac{(1+i)^{2025}}{(1-i)^{2022}}$.
हम जानते हैं कि $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ और $1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Z = \frac{(\sqrt{2} e^{i\pi/4})^{2025}}{(\sqrt{2} e^{-i\pi/4})^{2022}}$
$Z = \frac{(\sqrt{2})^{2025} e^{i(2025\pi/4)}}{(\sqrt{2})^{2022} e^{-i(2022\pi/4)}}$
$Z = (\sqrt{2})^3 e^{i(2025\pi/4 + 2022\pi/4)}$
$Z = 2\sqrt{2} e^{i(4047\pi/4)}$
चूंकि $4047\pi/4 = 1011\pi + 3\pi/4$,मुख्य कोणांक $\operatorname{Arg}(Z) = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$ है।

(C) दिया गया है,$\arg(\bar{z}_1) = \frac{\pi}{5}$ और $\arg(z_2) = \frac{\pi}{3}$।
हम जानते हैं कि $\arg(\bar{z}_1) = -\arg(z_1)$,इसलिए $\arg(z_1) = -\frac{\pi}{5}$।
अतः,$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = -\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{15}$।
इस प्रकार,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए,हम जानते हैं कि $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$ होता है,न कि $\frac{\pi}{2} + \arg(z)$।
इसलिए,कारण $(R)$ असत्य है।
अतः,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(B) दिया गया है $\bar{z} - i \bar{w} = 0$,अतः $\bar{z} = i \bar{w}$.
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,$z = -i w$,जिसका अर्थ है $w = \frac{z}{-i} = iz$.
अब,$\operatorname{Arg}(zw) = \operatorname{Arg}(z(iz)) = \operatorname{Arg}(iz^2) = \frac{3 \pi}{4}$.
गुणधर्म $\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\operatorname{Arg}(i) + \operatorname{Arg}(z^2) = \frac{3 \pi}{4}$.
चूँकि $\operatorname{Arg}(i) = \frac{\pi}{2}$ और $\operatorname{Arg}(z^2) = 2 \operatorname{Arg}(z)$,इसलिए $\frac{\pi}{2} + 2 \operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4}$.
$2 \operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\operatorname{Arg}(z) = \frac{\pi}{8}$.

(B) दिया गया है $z = \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{3} i}$.
हम $1 + \sqrt{3} i = \frac{1}{2} (2 + 2 \sqrt{3} i) = \frac{1}{2} ((\sqrt{3})^2 + i^2 + 2 \sqrt{3} i) = \frac{1}{2} (\sqrt{3} + i)^2$ लिख सकते हैं।
अतः,$z = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{3} + i) = \pm (\sqrt{3} + i)$.
चूंकि $z$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग ऋणात्मक होने चाहिए।
इसलिए,$z = -\sqrt{3} - i$.
मापांक $|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ है।
तीसरे चतुर्थांश में कोणांक $\theta = -(\pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})) = -(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\frac{5 \pi}{6}$ है।
अतः,ध्रुवीय रूप $z = 2 \left[ \cos \left( \frac{-5 \pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{-5 \pi}{6} \right) \right]$ है।

(A) माना $z = x + iy$. तब $z - 1 - 2i = (x - 1) + i(y - 2)$.
दिया गया है कि $\text{arg}(z - 1 - 2i) = \frac{\pi}{3}$.
इसका अर्थ है $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{y - 2}{x - 1}$,जहाँ $x > 1$ और $y > 2$.
चूँकि $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$,इसलिए $\sqrt{3} = \frac{y - 2}{x - 1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y - 2 = \sqrt{3}(x - 1)$ प्राप्त होता है।
$y = \sqrt{3}x - \sqrt{3} + 2$.
$y = \sqrt{3}x + (2 - \sqrt{3})$.

(D) माना $z = \frac{(\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3} i)}{(-1+i)(-1-i)}$.
अंश का सरलीकरण करने पर: $(\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3} i) = \sqrt{3} - 3i + i - \sqrt{3} i^2 = 2\sqrt{3} - 2i$.
हर का सरलीकरण करने पर: $(-1+i)(-1-i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 + 1 = 2$.
अतः,$z = \frac{2\sqrt{3} - 2i}{2} = \sqrt{3} - i$.
कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$.
चूंकि यह सम्मिश्र संख्या चौथे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए कोणांक $-\frac{\pi}{6}$ होगा।

(A) सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का कोणांक $\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 + 2k\pi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k \in \{0, 1, -1\}$ है।
चूँकि कोणांक का मुख्य मान $(-\pi, \pi]$ अंतराल में स्थित होता है,इसलिए मुख्य कोणांकों का योग इस सीमा से बाहर हो सकता है।
अतः,$\arg(z_1 z_2)$ का मुख्य मान,$\arg z_1$ और $\arg z_2$ के मुख्य मानों के योग के बराबर होना आवश्यक नहीं है।
इसी प्रकार,भागफल के लिए,$\arg(z_1 / z_2) = \arg z_1 - \arg z_2 + 2k\pi$,जो मुख्य मानों के अंतर के बराबर नहीं भी हो सकता है।