Parabola Questions in Hindi

(D) माना परवलय $y=x^{2}+4$ पर स्थित बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। चूँकि $P$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $k = h^{2}+4$ होगा।
दी गई सरल रेखा $L: y = 4x - 1$ है,जिसे $4x - y - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $P(h, k)$ से रेखा $4x - y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|4h - k - 1|}{\sqrt{4^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|4h - (h^{2} + 4) - 1|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|4h - h^{2} - 5|}{\sqrt{17}} = \frac{|-(h^{2} - 4h + 5)|}{\sqrt{17}} = \frac{h^{2} - 4h + 5}{\sqrt{17}}$.
रेखा के सबसे निकटतम बिंदु को खोजने के लिए,हम $h$ के सापेक्ष अवकलन करके $d$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{dd}{dh} = \frac{1}{\sqrt{17}} (2h - 4)$.
$\frac{dd}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $2h - 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h = 2$.
$h = 2$ के लिए,$y$-निर्देशांक $k = (2)^{2} + 4 = 4 + 4 = 8$ होगा।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2, 8)$ हैं।

(B) एक वक्र और एक रेखा के बीच की न्यूनतम दूरी वक्र पर उस बिंदु $P(x_0, y_0)$ पर होती है जहाँ स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।
रेखा का समीकरण $x-y=1$ है,जिसे $y=x-1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m=1$ है।
वक्र का समीकरण $x^2=2y$ है,जिसका अर्थ है $y=\frac{x^2}{2}$।
किसी भी बिंदु $(x_0, y_0)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2}) = x$ द्वारा दी जाती है।
स्पर्श रेखा की ढाल को रेखा की ढाल के बराबर रखने पर,हमें $x_0 = 1$ प्राप्त होता है।
$x_0=1$ को वक्र के समीकरण $y_0 = \frac{x_0^2}{2}$ में रखने पर,हमें $y_0 = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,वक्र पर बिंदु $P(1, \frac{1}{2})$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax+By+C=0$ तक की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,रेखा $x-y-1=0$ है,इसलिए $A=1, B=-1, C=-1$. बिंदु $(1, \frac{1}{2})$ है।
न्यूनतम दूरी $= \left|\frac{1(1) + (-1)(\frac{1}{2}) - 1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \left|\frac{1 - \frac{1}{2} - 1}{\sqrt{2}}\right| = \left|\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\right| = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।

(A) परवलय का समीकरण $y^{2} = 8x$ है,इसलिए $4a = 8 \Rightarrow a = 2$। नियता $x = -2$ है।
$1$. $P(2, -4)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण:
$T = 0$ का उपयोग करते हुए,$y(-4) = 4(x + 2)$ $\Rightarrow -4y = 4x + 8$ $\Rightarrow x + y + 2 = 0$।
नियता $x = -2$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: $-2 + y + 2 = 0 \Rightarrow y = 0$। अतः,$A(-2, 0)$।
$2$. $P(2, -4)$ पर अभिलंब का समीकरण:
स्पर्शरेखा की ढाल $m_{T} = -1$ है। अभिलंब की ढाल $m_{N} = -1 / m_{T} = 1$ है।
समीकरण: $y - (-4) = 1(x - 2)$ $\Rightarrow y + 4 = x - 2$ $\Rightarrow x - y - 6 = 0$।
नियता $x = -2$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: $-2 - y - 6 = 0 \Rightarrow y = -8$। अतः,$B(-2, -8)$।
$3$. चूँकि $AQBP$ एक वर्ग है,विकर्ण $AB$ और $PQ$ एक ही मध्यबिंदु $M$ पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
$AB$ का मध्यबिंदु = $((-2 + -2) / 2, (0 + -8) / 2) = (-2, -4)$।
$PQ$ का मध्यबिंदु = $((a + 2) / 2, (b - 4) / 2) = (-2, -4)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$(a + 2) / 2 = -2$ $\Rightarrow a + 2 = -4$ $\Rightarrow a = -6$।
$(b - 4) / 2 = -4$ $\Rightarrow b - 4 = -8$ $\Rightarrow b = -4$।
$4$. $2a + b$ की गणना:
$2(-6) + (-4) = -12 - 4 = -16$।

(B) परवलय की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता (directrix) होती है।
परवलय $y^{2} = 4a(x-h)$ के लिए,नियता का समीकरण $x = h - a$ होता है।
यहाँ,$4a = 16$,इसलिए $a = 4$ है।
शीर्ष $(h, k) = (3, 0)$ है।
अतः नियता $x = 3 - 4$ होगी,जो $x = -1$ के बराबर है।
इस प्रकार,बिंदुपथ $x + 1 = 0$ है।

(C) माना शीर्ष $V$ है और नाभि $F$ है।
शीर्ष $V$ के निर्देशांक $(R, 0)$ हैं और नाभि $F$ के निर्देशांक $(S, 0)$ हैं।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = VF = S - R$ है।
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 4(S - R)$ है।

(B) शीर्ष $(h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ और नियता $y = k - a = \frac{1}{2}$ वाले परवलय का समीकरण $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ है।
चूँकि $k - a = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{3}{4} - a = \frac{1}{2}$,जिससे $a = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 4 \times \frac{1}{4} \left(y - \frac{3}{4}\right)$,अर्थात $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = y - \frac{3}{4}$ है।
$x = -\frac{1}{2}$ के लिए,$\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 = y - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow 1 = y - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y = \frac{7}{4}$. अतः,$P = \left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right)$.
परवलय समीकरण का अवकलन करने पर: $2\left(x - \frac{1}{2}\right) = \frac{dy}{dx}$.
$x = -\frac{1}{2}$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = 2\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) = -2$.
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{1}{2}$.
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{7}{4} = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{2}\right) \Rightarrow y = \frac{x}{2} + 2$ है।
परवलय समीकरण में $y = \frac{x}{2} + 2$ रखने पर: $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{x}{2} + 2\right) - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow x^2 - x + \frac{1}{4} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$.
$x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x^2 - 3x - 2 = 0$ $\Rightarrow (2x + 1)(x - 2) = 0$.
$x = -\frac{1}{2}$ बिंदु $P$ है,इसलिए $Q$ के लिए $x = 2$. तब $y = \frac{2}{2} + 2 = 3$,अर्थात $Q = (2, 3)$.
$(PQ)^2 = \left(2 - (-\frac{1}{2})\right)^2 + \left(3 - \frac{7}{4}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{16} = \frac{125}{16}$.

(B) परवलय का समीकरण $y^{2}=2x$ है,इसलिए $4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$ है।
$P(2,2)$ पर स्पर्शरेखा $yy_{1}=2a(x+x_{1})$ द्वारा दी जाती है।
$P(2,2)$ और $a=\frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2y=1(x+2) \Rightarrow x-2y+2=0$ प्राप्त होता है।
$Q$ ज्ञात करने के लिए,स्पर्शरेखा समीकरण में $y=0$ रखें: $x-2(0)+2=0 \Rightarrow x=-2$. अतः,$Q=(-2,0)$ है।
$P(2,2)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m=\frac{1}{2}$ है। $P$ पर अभिलंब की ढाल $m'=-\frac{1}{m}=-2$ है।
$P(2,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-2=-2(x-2) \Rightarrow y=-2x+6$ है।
$R$ ज्ञात करने के लिए,$y=-2x+6$ को $y^{2}=2x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(-2x+6)^{2}=2x$ $\Rightarrow 4x^{2}-24x+36=2x$ $\Rightarrow 4x^{2}-26x+36=0$ $\Rightarrow 2x^{2}-13x+18=0$.
$(2x-9)(x-2)=0$. चूंकि $x=2$ बिंदु $P$ है,इसलिए $R$ का $x$-निर्देशांक $x=\frac{9}{2}$ है।
तब $y=-2(\frac{9}{2})+6=-9+6=-3$. अतः,$R=(\frac{9}{2}, -3)$ है।
शीर्षों $P(2,2)$,$Q(-2,0)$,और $R(\frac{9}{2}, -3)$ वाले $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$
$= \frac{1}{2} |2(0 - (-3)) + (-2)(-3 - 2) + \frac{9}{2}(2 - 0)|$
$= \frac{1}{2} |2(3) + (-2)(-5) + \frac{9}{2}(2)|$
$= \frac{1}{2} |6 + 10 + 9| = \frac{1}{2} |25| = \frac{25}{2} \ sq. \ units$.

(C) माना $P = (x, y)$ परवलय $y = 4x^2 + 1$ पर एक बिंदु है। रेखा $PQ$,$y = x$ के लंबवत है,अतः इसकी ढाल $-1$ है। रेखा $PQ$ का समीकरण $X + Y = x + y$ है।
चूंकि $Q(c, c)$,$PQ$ और $y = x$ पर स्थित है,इसलिए $c = \frac{x + y}{2}$।
$Q = (\frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2})$।
$R(h, k)$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,अतः $h = \frac{3x + y}{4}$ और $k = \frac{x + 3y}{4}$।
हल करने पर $x = \frac{3h - k}{2}$ और $y = \frac{3k - h}{2}$ प्राप्त होता है।
$y = 4x^2 + 1$ में मान रखने पर: $\frac{3k - h}{2} = 4(\frac{3h - k}{2})^2 + 1$।
$3k - h = 2(3h - k)^2 + 2$।
$2(3h - k)^2 + (h - 3k) + 2 = 0$।
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $2(3x - y)^2 + (x - 3y) + 2 = 0$ है।

(B) किसी बिंदु से वक्र तक की न्यूनतम दूरी उस बिंदु पर वक्र के अभिलंब (normal) के अनुदिश होती है।
माना परवलय $y^{2}=6x$ पर बिंदु $P\left(\frac{3}{2}t^{2}, 3t\right)$ है,जहाँ $4a=6 \Rightarrow a=\frac{3}{2}$ है।
बिंदु $P(t)$ पर अभिलंब का समीकरण $tx + y = 2at + at^{3}$ होता है।
$a=\frac{3}{2}$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $tx + y = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह अभिलंब बिंदु $\left(3, \frac{3}{2}\right)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$t(3) + \frac{3}{2} = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$
$3t + \frac{3}{2} = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$
$\frac{3}{2} = \frac{3}{2}t^{3}$
$t^{3} = 1 \Rightarrow t = 1$.
अतः,बिंदु $P$ का मान $\left(\frac{3}{2}(1)^{2}, 3(1)\right) = \left(\frac{3}{2}, 3\right)$ है।
इसलिए,$\alpha = \frac{3}{2}$ और $\beta = 3$ है।
$2(\alpha+\beta) = 2\left(\frac{3}{2} + 3\right) = 2\left(\frac{9}{2}\right) = 9$.

(C) परवलय का शीर्ष $V(2,0)$ है और नाभि $F(4,0)$ है।
अतः,दूरी $VF = a = 4 - 2 = 2$.
परवलय का समीकरण $(y - 0)^2 = 4a(x - 2)$ है,जो $y^2 = 8(x - 2)$ में सरल हो जाता है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से परवलय पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है। चूँकि यह $(0,0)$ से गुजरती है,$c = 0$,इसलिए $y = mx$.
$y = mx$ को $y^2 = 8x - 16$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(mx)^2 = 8x - 16$,या $m^2x^2 - 8x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = (-8)^2 - 4(m^2)(16) = 0$.
$64 - 64m^2 = 0$ $\Rightarrow m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
स्पर्श बिंदु $S$ और $R$ को $x^2 - 8x + 16 = 0$ ($m=1$ के लिए) और $(-x)^2 - 8x + 16 = 0$ ($m=-1$ के लिए) हल करके प्राप्त किया जाता है।
दोनों $(x-4)^2 = 0$ देते हैं,इसलिए $x = 4$.
$x = 4$ के लिए,$y = \pm 4$. अतः,बिंदु $R(4, 4)$ और $S(4, -4)$ हैं।
$\triangle SOR$ का आधार $RS$ है,जिसकी लंबाई $4 - (-4) = 8$ है।
$\triangle SOR$ की आधार $RS$ के सापेक्ष ऊँचाई मूल बिंदु $O(0,0)$ से रेखा $x = 4$ की दूरी है,जो $4$ है।
$\triangle SOR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \text{ sq. units}$.

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = y'(X - x)$ है।
$x$-अक्ष के लिए,$Y = 0$ रखने पर,$X = x - \frac{y}{y'}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $Q$ $\left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$ है।
$y$-अक्ष रेखाखंड $PQ$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $PQ$ के मध्य बिंदु का $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$\frac{x + (x - \frac{y}{y'})}{2} = 0$ $\Rightarrow 2x - \frac{y}{y'} = 0$ $\Rightarrow y' = \frac{y}{2x}$.
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln(y) = \frac{1}{2} \ln(x) + C$,जो $y^2 = kx$ में बदल जाता है।
चूंकि वक्र $(3, 3)$ से गुजरता है,$3^2 = k(3) \Rightarrow k = 3$।
अतः,वक्र $y^2 = 3x$ है।
$y^2 = 4ax$ के साथ तुलना करने पर,$4a = 3$,इसलिए नाभिलंब की लंबाई $3$ है और नाभि $\left(\frac{3}{4}, 0\right)$ है।

(A) परवलय $P_{1}$ का अक्ष शीर्ष $(3,2)$ और नाभि $(4,4)$ से होकर गुजरता है। अक्ष की ढाल $m = \frac{4-2}{4-3} = 2$ है।
चूंकि अक्ष नियता के लंबवत है,इसलिए नियता की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।
अतः,नियता का समीकरण $x + 2y = k$ के रूप का है।
शीर्ष $(3,2)$ से नियता की दूरी,शीर्ष से नाभि की दूरी के बराबर होती है,जो $a = \sqrt{(4-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ है।
बिंदु $(3,2)$ से रेखा $x + 2y - k = 0$ तक की दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{|3 + 2(2) - k|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \sqrt{5} \implies |7 - k| = 5$.
इससे $7 - k = 5 \implies k = 2$ या $7 - k = -5 \implies k = 12$ प्राप्त होता है।
चूंकि नाभि $(4,4)$ समीकरण $4 + 2(4) = 12$ को संतुष्ट करती है,इसलिए रेखा $x + 2y = 12$ नाभि से होकर गुजरती है और यह नियता नहीं हो सकती। अतः,$P_{1}$ की नियता $x + 2y = 2$ है।
मान लीजिए परावर्तन की रेखा $L: x + 2y = 6$ है। रेखा $x + 2y = 2$ का $x + 2y = 6$ के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि रेखाएं समानांतर हैं।
यदि रेखा $x + 2y = c$,रेखा $x + 2y = 2$ का $x + 2y = 6$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है,तो $6$,$2$ और $c$ का समांतर माध्य है:
$\frac{2 + c}{2} = 6 \implies 2 + c = 12 \implies c = 10$.
इसलिए,$P_{2}$ की नियता $x + 2y = 10$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y = x - x^{2}$ है।
माना स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 - 2x$ द्वारा दी जाती है। $x = \alpha$ पर,ढाल $1 - 2\alpha$ है।
रेखा $y = kx + 4$,$A(0, 4)$ और $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ से गुजरती है।
रेखा $AP$ की ढाल $\frac{(\alpha - \alpha^{2}) - 4}{\alpha - 0} = \frac{\alpha - \alpha^{2} - 4}{\alpha}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $1 - 2\alpha = \frac{\alpha - \alpha^{2} - 4}{\alpha}$.
$\alpha(1 - 2\alpha) = \alpha - \alpha^{2} - 4$
$\alpha - 2\alpha^{2} = \alpha - \alpha^{2} - 4$
$\alpha^{2} = 4 \Rightarrow \alpha = \pm 2$.
चूंकि $k > 0$,ढाल $1 - 2\alpha$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $1 - 2\alpha > 0 \Rightarrow \alpha < \frac{1}{2}$। अतः,$\alpha = -2$ है।
बिंदु $P$ का मान $(-2, -2 - (-2)^{2}) = (-2, -6)$ है।
परवलय $y = -(x^{2} - x) = -(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}$ का शीर्ष $V(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ है।
$P(-2, -6)$ और $V(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $\frac{\frac{1}{4} - (-6)}{\frac{1}{2} - (-2)} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{25}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{5}{2}$ है।

(D) दिया गया शांकव $x=2t, y=\frac{t^2}{3}$ है। $x$ का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 4t^2$ प्राप्त होता है। चूँकि $y = \frac{t^2}{3}$,इसलिए $t^2 = 3y$। अतः,$x^2 = 4(3y) = 12y$। यह एक परवलय है जिसकी नाभि $S(0, 3)$ है।
दिया गया है कि $SA \perp BA$,इसलिए $SA$ और $BA$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।
$SA$ की प्रवणता $= \frac{\frac{t^2}{3} - 3}{2t - 0} = \frac{t^2 - 9}{6t}$।
$BA$ की प्रवणता $= \frac{\frac{t^2}{3} - \alpha}{2t - 0} = \frac{t^2 - 3\alpha}{6t}$।
चूँकि $SA \perp BA$,$\left(\frac{t^2 - 9}{6t}\right) \cdot \left(\frac{t^2 - 3\alpha}{6t}\right) = -1$।
$(t^2 - 9)(t^2 - 3\alpha) = -36t^2$।
$t^4 - 3\alpha t^2 - 9t^2 + 27\alpha = -36t^2$।
$27\alpha - 3\alpha t^2 = -36t^2 - t^4 + 9t^2 = -27t^2 - t^4$।
$3\alpha(9 - t^2) = -(27t^2 + t^4)$।
$3\alpha = \frac{27t^2 + t^4}{t^2 - 9}$।
$\Delta SAB$ के शीर्ष $S(0, 3)$,$A(2t, \frac{t^2}{3})$,और $B(0, \alpha)$ हैं,इसलिए इसके केंद्रक की कोटि $k = \frac{3 + \frac{t^2}{3} + \alpha}{3} = 1 + \frac{t^2}{9} + \frac{\alpha}{3}$ है।
$3\alpha = \frac{27t^2 + t^4}{t^2 - 9}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\alpha}{3} = \frac{27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)}$ प्राप्त होता है।
$k = 1 + \frac{t^2}{9} + \frac{27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{9(t^2 - 9) + t^2(t^2 - 9) + 27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{9t^2 - 81 + t^4 - 9t^2 + 27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{2t^4 + 27t^2 - 81}{9(t^2 - 9)}$।
जैसे ही $t \rightarrow 1$,$k \rightarrow \frac{2(1)^4 + 27(1)^2 - 81}{9(1^2 - 9)} = \frac{2 + 27 - 81}{9(-8)} = \frac{-52}{-72} = \frac{13}{18}$।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2} = 6x$ है,इसलिए $4a = 6$,जिससे $a = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^{3}$ है।
चूंकि अभिलंब $(5, -8)$ से गुजरता है,$-8 = -t(5) + 2(\frac{3}{2})t + \frac{3}{2}t^{3}$।
$-8 = -5t + 3t + \frac{3}{2}t^{3} \implies -8 = -2t + \frac{3}{2}t^{3} \implies 3t^{3} - 4t + 16 = 0$।
$t = -2$ इस समीकरण का मूल है।
अतः,$P = (6, -6)$।
$P(6, -6)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ के अनुसार $x + 2y + 6 = 0$ है।
नियता का समीकरण $x = -\frac{3}{2}$ है।
$x = -\frac{3}{2}$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर,$-\frac{3}{2} + 2y + 6 = 0 \implies 2y = -\frac{9}{2} \implies y = -\frac{9}{4}$।

(D) शीर्ष $A$ $(5,4)$ है और नियता $3x+y-29=0$ है।
माना $B$ शीर्ष से नियता पर डाले गए लंब का पाद है। $A$ से गुजरने वाली और नियता के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x-5}{3} = \frac{y-4}{1} = k$ है।
चूंकि $B$ नियता $3x+y-29=0$ पर स्थित है,इसलिए $3(5+3k) + (4+k) - 29 = 0$,जिससे $15+9k+4+k-29=0$ प्राप्त होता है,अतः $10k-10=0$,जिसका अर्थ है $k=1$।
इस प्रकार,$B$ के निर्देशांक $(5+3(1), 4+1) = (8,5)$ हैं।
चूंकि शीर्ष $A$,$SB$ रेखाखंड का मध्यबिंदु है,जहाँ $S$ नाभि $(x_s, y_s)$ है,तो $\frac{x_s+8}{2} = 5$ और $\frac{y_s+5}{2} = 4$ प्राप्त होता है,जिससे $S = (2,3)$ मिलता है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P(x,y)$ के लिए $PS = PM$,जहाँ $PM$ नियता से लंबवत दूरी है।
$PS^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 = x^2-4x+4+y^2-6y+9 = x^2+y^2-4x-6y+13$.
$PM^2 = \frac{(3x+y-29)^2}{3^2+1^2} = \frac{9x^2+y^2+841+6xy-174x-58y}{10}$.
$10(x^2+y^2-4x-6y+13) = 9x^2+y^2+6xy-174x-58y+841$ को हल करने पर,$x^2+9y^2-6xy+134x-2y-711=0$ प्राप्त होता है।
$x^2+ay^2+bxy+cx+dy+k=0$ से तुलना करने पर,$a=9, b=-6, c=134, d=-2, k=-711$ है।
अतः,$a+b+c+d+k = 9-6+134-2-711 = -576$।

(D) परवलय $y^{2}=2x$ के शीर्ष और नाभि क्रमशः $V(0,0)$ और $S\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ हैं।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=4$ मान लीजिए।
चूँकि वृत्त $(0,0)$ से गुजरता है,$h^{2}+k^{2}=4 \dots (1)$.
चूँकि वृत्त $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ से गुजरता है,$\left(\frac{1}{2}-h\right)^{2}+k^{2}=4$,जो सरल होकर $h^{2}+k^{2}-h=\frac{15}{4} \dots (2)$ देता है।
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$h=\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$h=\frac{1}{4}$ को $(1)$ में रखने पर,$k^{2}=\frac{63}{16}$ प्राप्त होता है,जिससे $k=\pm\frac{\sqrt{63}}{4}$ मिलता है।
वृत्त परवलय $y=\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\alpha$ को स्पर्श करता है,इसलिए $\alpha = k + 2 = \frac{\sqrt{63}}{4} + 2$ होगा।
अतः,$4\alpha - 8 = \sqrt{63}$।
इसलिए,$(4\alpha-8)^{2} = 63$।

(B) शीर्ष $(x_1, y_1)$ से नियता $Ax + By + C = 0$ की दूरी $a = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,शीर्ष $(2, -1)$ है और नियता $4x - 3y - 21 = 0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \frac{|4(2) - 3(-1) - 21|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$
$a = \frac{|8 + 3 - 21|}{\sqrt{16 + 9}}$
$a = \frac{|-10|}{5} = 2$
नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 4 \times 2 = 8$.

(D) रेखा $y = 3x + 5$ की ढाल $m_1 = 3$ है। माना स्पर्श रेखाओं की ढाल $m$ है। स्पर्श रेखाओं और रेखा के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
$\tan(\theta) = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}|$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\tan(\frac{\pi}{4}) = |\frac{m - 3}{1 + 3m}| = 1$ प्राप्त होता है।
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं: $\frac{m - 3}{1 + 3m} = 1$ या $\frac{m - 3}{1 + 3m} = -1$.
स्थिति $1$: $m - 3 = 1 + 3m \implies -2m = 4 \implies m = -2$.
स्थिति $2$: $m - 3 = -1 - 3m \implies 4m = 2 \implies m = \frac{1}{2}$.
चूँकि ढालों का गुणनफल $m_1 \cdot m_2 = (-2) \cdot (\frac{1}{2}) = -1$ है,इसलिए दोनों स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परवलय का एक गुण है कि यदि दो स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,तो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु नियता (directrix) पर स्थित होता है,और स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ को जोड़ने वाली रेखा नाभि $S$ से होकर गुजरती है।
अतः,किसी भी $a > 0$ के लिए $A, S$ और $B$ संरेख हैं।

(D) परवलय का समीकरण $y^{2} - 2y - 2x = 1$ है,जिसे $(y - 1)^{2} = 2(x + 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $A(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2y - x - 5 = 0$ है।
बिंदु $B(1, -1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $-2y - x - 1 = 0$ है।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर,$P(-3, 1)$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज $PAB$ के शीर्ष $P(-3, 1)$,$A(1, 3)$ और $B(1, -1)$ हैं।
आधार $AB$ की लंबाई $|3 - (-1)| = 4$ है।
ऊंचाई $|1 - (-3)| = 4$ है।
त्रिभुज $PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ वर्ग इकाई।

(B) माना परवलय $y = x^{2}$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - \frac{m^{2}}{4}$ है।
चूंकि यह रेखा $y = -(x - 2)^{2}$ की भी स्पर्श रेखा है,इसलिए हम दूसरे समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$mx - \frac{m^{2}}{4} = -(x - 2)^{2}$
$mx - \frac{m^{2}}{4} = -(x^{2} - 4x + 4)$
$x^{2} + x(m - 4) + 4 - \frac{m^{2}}{4} = 0$
रेखा के स्पर्श रेखा होने के लिए,विविक्तकर $D$ शून्य होना चाहिए:
$D = (m - 4)^{2} - 4(1)(4 - \frac{m^{2}}{4}) = 0$
$m^{2} - 8m + 16 - 16 + m^{2} = 0$
$2m^{2} - 8m = 0$
$2m(m - 4) = 0$
अतः,$m = 0$ या $m = 4$ है।
$m = 4$ के लिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 4x - \frac{4^{2}}{4} = 4x - 4 = 4(x - 1)$ प्राप्त होता है।

(C) नाभि $(a, a)$ से शीर्ष पर स्पर्श रेखा $x+y-a=0$ की दूरी बिंदु से रेखा की दूरी के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \frac{|a+a-a|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$.
यह दूरी $d$ मानक परवलय समीकरण $y^2 = 4ax$ में $a$ के बराबर है,जहाँ $4a$ नाभिलंब की लंबाई है।
दिया गया है कि नाभिलंब की लंबाई $16$ है,इसलिए $4d = 16$,जिसका अर्थ है $d = 4$.
अतः,$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 4$.
$|a| = 4 \sqrt{2}$.

(D) परवलय का समीकरण $y^{2} = -\frac{1}{2}x$ है।
$y^{2} = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = -\frac{1}{2}$,अतः $a = -\frac{1}{8}$।
ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - \frac{1}{8m}$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $(2,0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = 2m - \frac{1}{8m}$,जिसका अर्थ है $2m = \frac{1}{8m}$,अतः $m^{2} = \frac{1}{16}$,यानी $m = \pm \frac{1}{4}$।
स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x - 4y - 2 = 0$ और $x + 4y - 2 = 0$ हैं।
ये रेखाएँ वृत्त $(x-5)^{2} + y^{2} = r$ को स्पर्श करती हैं। केंद्र $(5,0)$ से रेखा $x \pm 4y - 2 = 0$ की दूरी त्रिज्या $\sqrt{r}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{r} = \frac{|5 - 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + (-4)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$r = \frac{9}{17}$।
अतः,$17r = 9$।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2} = 2x - 3$ है।
बिंदु $R(0, 1)$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$y(1) = 1(x + 0) - 3 \implies y = x - 3$.
$x = y + 3$ को परवलय के समीकरण में रखने पर: $y^{2} = 2(y + 3) - 3 = 2y + 3$.
$y^{2} - 2y - 3 = 0 \implies (y - 3)(y + 1) = 0$.
अतः,$y = 3$ या $y = -1$.
$y = 3$ के लिए $x = 6$ और $y = -1$ के लिए $x = 2$.
अतः,बिंदु $P(2, -1)$ और $Q(6, 3)$ हैं।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{3 - (-1)}{6 - 2} = 1$ है।
$PR$ की ढाल $m_{PR} = \frac{1 - (-1)}{0 - 2} = -1$ है।
चूंकि $m_{PQ} \times m_{PR} = -1$,इसलिए त्रिभुज $PQR$,$P$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
अतः,लंबकेंद्र $P(2, -1)$ है।

(B) दिया गया परवलय $y=x^2+x+10$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$y = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{39}{4}$,या $(x + \frac{1}{2})^2 = (y - \frac{39}{4})$ प्राप्त होता है।
यह $X^2 = 4aY$ के रूप का परवलय है जहाँ $4a = 1$,अतः नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई $1$ है।
परवलय और $L$ लंबाई की जीवा द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल का सूत्र $A = \frac{L^3}{6 \cdot (4a)}$ होता है।
यहाँ $L = 1$ और $4a = 1$ है।
अतः,क्षेत्रफल $A = \frac{1^3}{6 \cdot 1} = \frac{1}{6}$।

(C) परवलय का समीकरण $y = x^2 + px + q$ है।
चूंकि परवलय बिंदु $(0, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 3$ रखने पर:
$3 = (0)^2 + p(0) + q \implies q = 3$.
अब,स्पर्श रेखा का ढाल ज्ञात करने के लिए $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2x + p$.
बिंदु $(0, 3)$ पर स्पर्श रेखा का ढाल $x = 0$ रखकर प्राप्त किया जा सकता है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 2(0) + p = p$.
दिया गया है कि स्पर्श रेखा का ढाल $-1$ है,इसलिए $p = -1$.
अंत में,$p + q$ का मान:
$p + q = -1 + 3 = 2$.

(B) दिए गए परवलय का समीकरण $(y-1)^2 = 4x+1$ है। शीर्ष $A = (-1/4, 1)$,नाभिलंब का अंतिम बिंदु $D = (3/4, 3)$,और $P = (0, 1)$ है। ढाल की गणना करने पर $\tan^{-1}(2/19)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $BOAC$ $XY$-समतल में एक आयत है जहाँ $O(0,0)$ मूलबिंदु है और बिंदु $A, B$ परवलय $y=x^2$ पर स्थित हैं।
मान लीजिए $A = (t_1, t_1^2)$ और $B = (t_2, t_2^2)$ हैं।
चूंकि $BOAC$ एक आयत है,विकर्ण $OA$ और $BC$ एक ही मध्यबिंदु पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,और भुजाएं $OA$ और $OB$ लंबवत हैं।
$OA$ की ढाल $m_1 = \frac{t_1^2 - 0}{t_1 - 0} = t_1$ है।
$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{t_2^2 - 0}{t_2 - 0} = t_2$ है।
चूंकि $OA \perp OB$,हमारे पास $m_1 \cdot m_2 = -1$ है,जिसका अर्थ है $t_1 t_2 = -1$।
मान लीजिए $C = (h, k)$ है। चूंकि $BOAC$ एक आयत है,सदिश $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$ है।
अतः,$h = t_1 + t_2$ और $k = t_1^2 + t_2^2$ है।
हम $k$ को $h$ के पदों में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$k = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2$
$k = h^2 - 2(-1)$
$k = h^2 + 2$।
इसलिए,$C(h, k)$ का बिंदुपथ $y = x^2 + 2$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y=ax^2+bx+c$ है।
चूंकि शीर्ष $(2,-2)$ है और परवलय ऊपर की ओर खुलता है (क्योंकि इसके दो $x$-अंतःखंड हैं और शीर्ष $x$-अक्ष के नीचे है),इसलिए $a > 0$ है।
शीर्ष का $x$-निर्देशांक $-\frac{b}{2a} = 2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $a > 0$ है,हमारे पास $-b = 4a$ है,जिसका अर्थ है $b = -4a$। चूंकि $a > 0$ है,इसलिए $b < 0$ होगा।
$y$-अंतःखंड $x=0$ पर है,जो $y=c$ है। ग्राफ से,$y$-अंतःखंड $x$-अक्ष के नीचे है,इसलिए $c < 0$ है।
अब,गुणनफल $bc$ पर विचार करें। चूंकि $b < 0$ और $c < 0$ है,इसलिए उनका गुणनफल $bc$ धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $bc > 0$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(C) दिया गया परवलय $y^2=4x$ और रेखा $y=2x-4$ है।
आधार के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,$y=2x-4$ को $y^2=4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(2x-4)^2 = 4x$
$4(x-2)^2 = 4x$
$x^2-4x+4 = x$
$x^2-5x+4 = 0$
$(x-1)(x-4) = 0$
अतः,$x=1$ या $x=4$.
$x=1$ के लिए,$y=2(1)-4 = -2$. बिंदु $C = (1, -2)$.
$x=4$ के लिए,$y=2(4)-4 = 4$. बिंदु $B = (4, 4)$.
माना तीसरा शीर्ष $A = (x, 0)$ है जो $X$-अक्ष पर है।
चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,$AB=AC$,इसलिए $AB^2 = AC^2$.
$(x-4)^2 + (0-4)^2 = (x-1)^2 + (0-(-2))^2$
$x^2-8x+16+16 = x^2-2x+1+4$
$-8x+32 = -2x+5$
$6x = 27$
$x = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.
अतः,तीसरे शीर्ष के निर्देशांक $\left(\frac{9}{2}, 0\right)$ हैं।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 6x$ है,इसलिए $4a = 6$,जिससे $a = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
$a = \frac{3}{2}$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $y = mx - 3m - \frac{3}{2}m^3$ हो जाता है।
चूंकि अभिलंब बिंदु $(\lambda, 0)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 = m\lambda - 3m - \frac{3}{2}m^3$.
$m \neq 0$ के लिए (क्योंकि अभिलंब परवलय का अक्ष नहीं है),हम $m$ से विभाजित कर सकते हैं:
$0 = \lambda - 3 - \frac{3}{2}m^2$.
$m^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{3}{2}m^2 = \lambda - 3$,या $m^2 = \frac{2}{3}(\lambda - 3)$ मिलता है।
तीन अलग-अलग अभिलंबों के अस्तित्व के लिए,$m$ के तीन अलग-अलग वास्तविक मान होने चाहिए। चूंकि $m^2 = \frac{2}{3}(\lambda - 3)$,$m$ के लिए तीन अलग-अलग वास्तविक हल (अक्ष के लिए $m=0$ सहित) प्राप्त करने के लिए,हमें $\lambda - 3 > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\lambda > 3$।

(C) मान लीजिए कि समीकरण $x^3+a x^2+b x+a=0$ के मूल $\alpha - d, \alpha, \alpha + d$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $(\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = 3\alpha = -a$ है,इसलिए $\alpha = -a/3$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करता है: $(-a/3)^3 + a(-a/3)^2 + b(-a/3) + a = 0$.
$-a^3/27 + a^3/9 - ab/3 + a = 0$.
$27$ से गुणा करने पर,$-a^3 + 3a^3 - 9ab + 27a = 0$ प्राप्त होता है,जो $2a^3 - 9ab + 27a = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $a \neq 0$ है,$a$ से विभाजित करने पर: $2a^2 - 9b + 27 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$2a^2 = 9b - 27$,या $b = \frac{2}{9}a^2 + 3$ है।
$(a, b)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $y = \frac{2}{9}x^2 + 3$ है,जो एक परवलय है जिसका शीर्ष $Y$-अक्ष पर $(0, 3)$ पर स्थित है।

(B) माना परवलय पर एक बिंदु $B\left(\frac{K^2}{4}, K\right)$ है और $A(0,3)$ है।
दूरी $AB = \sqrt{\left(\frac{K^2}{4} - 0\right)^2 + (K - 3)^2} = \sqrt{\frac{K^4}{16} + K^2 - 6K + 9}$ है।
माना $f(K) = AB^2 = \frac{K^4}{16} + K^2 - 6K + 9$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f'(K) = 0$ रखकर $f(K)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
$f'(K) = \frac{4K^3}{16} + 2K - 6 = \frac{K^3}{4} + 2K - 6 = 0$ है।
$4$ से गुणा करने पर,हमें $K^3 + 8K - 24 = 0$ प्राप्त होता है।
निरीक्षण द्वारा,$K=2$ एक हल है: $(2)^3 + 8(2) - 24 = 8 + 16 - 24 = 0$ है।
$K^3 + 8K - 24$ को $(K-2)$ से विभाजित करने पर,हमें $(K-2)(K^2 + 2K + 12) = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $K^2 + 2K + 12$ का विविक्तकर ऋणात्मक है $(D = 4 - 48 = -44)$,इसलिए $K=2$ ही एकमात्र वास्तविक हल है।
$K=2$ पर,बिंदु $B$ का मान $\left(\frac{2^2}{4}, 2\right) = (1, 2)$ है।
न्यूनतम दूरी $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ है।

(B) भुजाओं के समीकरण $AB: (\lambda+1)x + \lambda y = 4$ और $AC: \lambda x + (1-\lambda)y + \lambda = 0$ हैं।
चूंकि शीर्ष $A$,$y$-अक्ष पर स्थित है,हम $A$ का $y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए दोनों समीकरणों में $x=0$ रखते हैं।
$AB$ के लिए,$y = 4/\lambda$. $AC$ के लिए,$y = \lambda/(\lambda-1)$.
इन्हें बराबर करने पर,$4/\lambda = \lambda/(\lambda-1)$ $\Rightarrow 4\lambda - 4 = \lambda^2$ $\Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$ $\Rightarrow (\lambda-2)^2 = 0$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda=2$ प्रतिस्थापित करने पर,$AB: 3x + 2y = 4$ और $AC: 2x - y + 2 = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$A(0,2)$ है।
माना $C(\alpha, 2\alpha+2)$ है (क्योंकि $C$,$AC$ पर स्थित है)।
लंबकेंद्र $H(1,2)$ शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $C$ से शीर्षलंब $AB$ के लंबवत है। $AB$ की ढाल $-3/2$ है,इसलिए $C$ से शीर्षलंब की ढाल $2/3$ है।
$H(1,2)$ और $C(\alpha, 2\alpha+2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $(2\alpha+2-2)/(\alpha-1) = 2\alpha/(\alpha-1)$ है।
$2\alpha/(\alpha-1) = 2/3$ $\Rightarrow 6\alpha = 2\alpha - 2$ $\Rightarrow 4\alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -1/2$ रखने पर।
अतः,$C(-1/2, 1)$ है।
परवलय $y^2 = 6x$ है,इसलिए $4a = 6 \Rightarrow a = 3/2$. स्पर्श रेखा $y = mx + a/m = mx + 3/(2m)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $C(-1/2, 1)$ से गुजरती है,$1 = m(-1/2) + 3/(2m)$ $\Rightarrow 2 = -m + 3/m$ $\Rightarrow m^2 + 2m - 3 = 0$.
$m$ के लिए हल करने पर,$(m+3)(m-1) = 0 \Rightarrow m = 1$ या $m = -3$.
प्रथम चतुर्थांश के लिए,स्पर्श बिंदु $T(a/m^2, 2a/m) = (3/(2m^2), 3/m)$ है।
$m=1$ के लिए,$T = (3/2, 3)$. दूरी $CT = \sqrt{(3/2 - (-1/2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(B) परवलय $y^2 = \frac{x}{2}$ के लिए,स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{8m}$ है।
वक्र $x = 1 + y^2$ के लिए,स्पर्शरेखा का मान रखने पर $x = 1 + (mx + \frac{1}{8m})^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $m^2x^2 - \frac{3}{4}x + (1 + \frac{1}{64m^2}) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह स्पर्शरेखा है,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ लेने पर $m = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः स्पर्शरेखा का समीकरण $x - 2\sqrt{2}y + 1 = 0$ है।
बिंदु $(6, -2\sqrt{2})$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|6 + 8 + 1|}{\sqrt{9}} = 5$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 6x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 6$,अतः $a = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 6x$ की $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{3}{2m}$ है।
त्रिभुज रेखाओं $x = 0$,$y = 3$,और $y = mx + \frac{3}{2m}$ द्वारा निर्मित है।
त्रिभुज के शीर्ष:
$1$. $x = 0$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 3)$ है।
$2$. $x = 0$ और $y = mx + \frac{3}{2m}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, \frac{3}{2m})$ है।
$3$. $y = 3$ और $y = mx + \frac{3}{2m}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{6m - 3}{2m^2}, 3)$ है।
माना परिकेंद्र $(h, k)$ है। समकोण त्रिभुज होने के कारण,परिकेंद्र कर्ण का मध्य बिंदु होगा।
अतः,$h = \frac{6m - 3}{4m^2}$ और $k = \frac{6m + 3}{4m}$ है।
$k = \frac{6m + 3}{4m}$ से $m = \frac{3}{2(2k - 3)}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $h$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें बिंदुपथ $4y^2 - 18y + 3x + 18 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय $x = 4y^2$ है,जिसे $y^2 = \frac{1}{4}x$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $4a = \frac{1}{4}$,इसलिए $a = \frac{1}{16}$ है।
परवलय पर कोई भी बिंदु $P(at^2, 2at) = (\frac{t^2}{16}, \frac{t}{8})$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
चूंकि अभिलंब $Q(0, 33)$ से गुजरता है,इसलिए $33 = \frac{2t}{16} + \frac{t^3}{16}$ है।
$528 = 2t + t^3 \Rightarrow t^3 + 2t - 528 = 0$ है।
निरीक्षण द्वारा,$t = 8$ एक हल है: $512 + 16 - 528 = 0$।
अतः,$P = (\frac{8^2}{16}, \frac{8}{8}) = (4, 1)$ है।
दूसरा परवलय $y^2 - 4y = 4x \Rightarrow (y - 2)^2 = 4(x + 1)$ है।
यह $(-1, 2)$ शीर्ष वाला परवलय है और $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
नियता का समीकरण $X = -a$ है,जहाँ $X = x + 1$ है।
$x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2$ है।
रेखा $x = -2$ से बिंदु $P(4, 1)$ की दूरी $|4 - (-2)| = 6$ है।

(C) दिए गए परवलय $ax^2 + 2bx + cy = 0$ और $dx^2 + 2ex + fy = 0$ रेखा $y = 1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$y = 1$ पर,समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ और $dx^2 + 2ex + f = 0$ बन जाते हैं।
चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,हमारे पास $b^2 = ac$ है,इसलिए $b = \sqrt{ac}$।
पहला समीकरण $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ बन जाता है,जो $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ है।
अतः,$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$।
$x$ का यह मान दूसरे समीकरण $dx^2 + 2ex + f = 0$ में रखने पर:
$d(\frac{c}{a}) + 2e(-\sqrt{\frac{c}{a}}) + f = 0$।
$c$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2e\frac{1}{\sqrt{ac}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b = \sqrt{ac}$,यह $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{b}$ में सरल हो जाता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ $A.P.$ में हैं।

(A) परवलय की नाभि $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ और नियता $y = -\frac{1}{2}$ है।
परवलय की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$(x, y)$ से नाभि की दूरी नियता से दूरी के बराबर है:
$\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2} = \left|y + \frac{1}{2}\right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = y^2 + y + \frac{1}{4}$
$\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = y + \frac{1}{4} \Rightarrow y = x^2 + x = f(x)$.
हमें $\tan^{-1}\left(\sqrt{f(x)}\right) + \sin^{-1}\left(\sqrt{f(x)+1}\right) = \frac{\pi}{2}$ दिया गया है।
मान लीजिए $u = \sqrt{f(x)}$। तब $\tan^{-1}(u) + \sin^{-1}(\sqrt{u^2+1}) = \frac{\pi}{2}$.
इसका अर्थ है $\sin^{-1}(\sqrt{u^2+1}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(u) = \cot^{-1}(u) = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}\right)$.
अतः,$\sqrt{u^2+1} = \frac{1}{\sqrt{u^2+1}}$ $\Rightarrow u^2+1 = 1$ $\Rightarrow u^2 = 0$ $\Rightarrow f(x) = 0$.
चूंकि $f(x) = x^2+x$,हमारे पास $x^2+x = 0$ है,जो $x(x+1) = 0$ देता है।
अतः,$x = 0$ या $x = -1$.
समुच्चय $S = \{0, -1\}$ में ठीक दो अवयव हैं।

(D) चूँकि $P(b, c)$ परवलय $y^2 = 2ax$ पर स्थित है,इसलिए $c^2 = 2ab$ है।
परवलय $y^2 = 2ax$ के बिंदु $(b, c)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $yc = a(x + b)$ है।
$x$-अक्ष $(y = 0)$ के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ रखने पर $x = -b$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज के शीर्ष $P(b, c)$,$(b, 0)$ और $(-b, 0)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2b) \times c = bc = 16$।
$b, c \in \mathbb{N}$ होने के कारण,संभावित युग्म $(b, c) = (1, 16), (2, 8), (4, 4), (8, 2), (16, 1)$ हैं।
$a = \frac{c^2}{2b}$ का उपयोग करने पर:
$(b, c) = (1, 16)$ के लिए $a = 128$,
$(b, c) = (2, 8)$ के लिए $a = 16$,
$(b, c) = (4, 4)$ के लिए $a = 2$।
अन्य मानों के लिए $a$ एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।
अतः,$S = \{128, 16, 2\}$ और उनका योग $128 + 16 + 2 = 146$ है।

(B) दिए गए परवलय का समीकरण $y^2 = 8x + 4y + 4$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y - 2)^2 = 8(x + 1)$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $Y^2 = 4aX$ से तुलना करने पर,$a = 2$ और नाभि $(1, 2)$ है।
नाभीय जीवा $(1, 2)$ से गुजरती है। यदि ढाल $m$ है,तो रेखा का समीकरण $y - 2 = m(x - 1)$ है।
$x$-अंतःखंड $3$ है,इसलिए बिंदु $(3, 0)$ रेखा पर स्थित है।
मान रखने पर: $0 - 2 = m(3 - 1) \implies m = -1$.
नाभीय जीवा की लंबाई $4a(1 + \frac{1}{m^2}) = 4(2)(1 + 1) = 16$ है।

(D) वक्र का समीकरण $x^2+2x-4y+9=0$ है। $P(1,3)$ पर स्पर्श रेखा $x-y+2=0$ है।
$y$-अक्ष के लिए $x=0$ रखने पर,$y=2$ प्राप्त होता है,अतः $A = (0,2)$ है।
$P(1,3)$ से गुजरने वाली और $x-3y=6$ के समानांतर रेखा का समीकरण $x-3y+8=0$ है।
यह रेखा $y^2=4x$ को काटती है,जिससे $y^2-12y+32=0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $y=4$ और $y=8$ हैं।
बिंदु $(4,4)$ और $(16,8)$ प्राप्त होते हैं।
शर्त $2x-3y=8$ की जाँच करने पर,$B = (16,8)$ प्राप्त होता है।
अतः,$(AB)^2 = (16-0)^2 + (8-2)^2 = 256 + 36 = 292$.

(A) परवलय $y^2=20x$ है,इसलिए नाभि $R$ का मान $(5, 0)$ है।
मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ रेखा $y=mx+c$ और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
परवलय के समीकरण में $x = (y-c)/m$ रखने पर: $y^2 = 20(y-c)/m \Rightarrow my^2 - 20y + 20c = 0$।
द्विघात समीकरण से,$y_1+y_2 = 20/m$।
त्रिभुज $PQR$ का केंद्रक $G(10, 10)$ है,इसलिए $(y_1+y_2+y_R)/3 = 10$। यहाँ $y_R = 0$ है,अतः $(y_1+y_2)/3 = 10 \Rightarrow y_1+y_2 = 30$।
इसलिए,$20/m = 30 \Rightarrow m = 2/3$।
चूंकि $c-m=6$ दिया गया है,$c = 6 + 2/3 = 20/3$।
$y$ के लिए द्विघात समीकरण $y^2 - 30y + 200 = 0 \Rightarrow (y-10)(y-20) = 0$ हो जाता है।
अतः $y_1=10$ और $y_2=20$। संगत $x$ मान $x_1 = 5$ और $x_2 = 20$ हैं।
इस प्रकार $P(5, 10)$ और $Q(20, 20)$ प्राप्त होते हैं।
$(PQ)^2 = (20-5)^2 + (20-10)^2 = 15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325$।

(B) त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु $A(0,1)$,$B(1,1)$,और $C(1,0)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $P(0,0)$,$Q(0,2)$,और $R(2,0)$ प्राप्त होते हैं।
भुजाओं की लंबाई $PQ = 2$,$QR = 2\sqrt{2}$,और $RP = 2$ है।
अंतःकेंद्र $D = (2-\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$,$D$ से गुजरता है,इसलिए $(2-\sqrt{2})^2 = 4a(2-\sqrt{2})$।
अतः $4a = 2-\sqrt{2}$,अर्थात $a = \frac{2-\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2}$।
नाभि $(a, 0) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2}, 0)$ है।
इसलिए $\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = -\frac{1}{4}$।
$\frac{\alpha}{\beta^2} = \frac{1/2}{1/16} = 8$।

(A) परवलय की नाभि $(3,0)$ और नियता $x = -3$ है। शीर्ष $(0,0)$ है और $a = 3$ है। परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है।
माना बिंदु $P(3t_1^2, 6t_1)$ और $Q(3t_2^2, 6t_2)$ हैं।
कोटि का अनुपात $3:1$ है,इसलिए $6t_1 / 6t_2 = 3/1$,जिसका अर्थ है $t_1 = 3t_2$।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $R(\alpha, \beta)$,$\alpha = at_1t_2 = 9t_2^2$ और $\beta = a(t_1 + t_2) = 12t_2$ द्वारा प्राप्त होता है।
अब,$\frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{(12t_2)^2}{9t_2^2} = \frac{144t_2^2}{9t_2^2} = 16$।

(A) परवलय $y^2=4ax$ के लिए,यहाँ $4a=36$,अतः $a=9$ है। प्राचल $t$ वाली नाभीय जीवा की लंबाई $a(t+1/t)^2 = 100$ होती है।
$9(t+1/t)^2 = 100 \implies (t+1/t)^2 = 100/9 \implies t+1/t = 10/3$ (चूंकि कोण न्यून है,$t>0$)।
$3t^2 - 10t + 3 = 0$ को हल करने पर,$(3t-1)(t-3)=0$ मिलता है,अतः $t=3$ या $t=1/3$ है।
$P$ की कोटि धनात्मक है,इसलिए $P$ का मान $t=3$ के लिए $P = (81, 54)$ है।
अतः $Q$ का मान $t=1/3$ के लिए $Q = (1, 6)$ है।
बिंदु $M$,$PQ$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,अतः $M = (21, 18)$ है।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = 3/5$ है।
$PQ$ के लंबवत रेखा की ढाल $m_{\perp} = -5/3$ है।
$M(21, 18)$ से गुजरने वाली और $-5/3$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $5x+3y = 159$ है।

(C) परवलय $x^2 = 8y$ के लिए मध्य बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 5/4)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T = x x_1 - 4(y + y_1)$ और $S_1 = x_1^2 - 8y_1$ है।
मान रखने पर,$x(1) - 4(y + 5/4) = 1^2 - 8(5/4)$.
$x - 4y - 5 = 1 - 10$.
$x - 4y + 4 = 0$.
चूंकि $P(\alpha, \beta)$ इस जीवा पर स्थित है,इसलिए $\alpha - 4\beta + 4 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 4\beta - 4$.
साथ ही,$P(\alpha, \beta)$,$y^2 = 4x$ पर स्थित है,इसलिए $\beta^2 = 4\alpha$.
$\alpha$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $\beta^2 = 4(4\beta - 4) = 16\beta - 16$.
$\beta^2 - 16\beta + 16 = 0$.
इससे $\beta = 8 \pm 4\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha = 4\beta - 4$,इसलिए $\alpha - 28 = 4\beta - 32 = 4(\beta - 8)$.
अतः,$(\alpha - 28)(\beta - 8) = 4(\beta - 8)^2$.
चूंकि $(\beta - 8) = \pm 4\sqrt{3}$,इसलिए $(\beta - 8)^2 = 48$.
इस प्रकार,$(\alpha - 28)(\beta - 8) = 4 \times 48 = 192$.

(C) त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $S_2 = \frac{ab(a+b)}{2}$ है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $y = (a - b)x + ab$ है।
परवलय और रेखा द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $S_1 = \frac{(a+b)^3}{6}$ है।
अतः,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{3} \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 \right)$ है।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर,न्यूनतम मान $\frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $m = 4$ और $n = 3$ है,इसलिए $m + n = 7$।

(D) दिए गए परवलय $2y^2 = kx$ और $ky^2 = 2(y - x)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{2y^2}{k}$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$ky^2 = 2(y - \frac{2y^2}{k})$
$ky^2 = 2y - \frac{4y^2}{k}$
$y^2(k + \frac{4}{k}) = 2y$
$y(y(k + \frac{4}{k}) - 2) = 0$
अतः,$y = 0$ या $y = \frac{2}{k + \frac{4}{k}} = \frac{2k}{k^2 + 4}$।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (x_2 - x_1) dy = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} ((y - \frac{ky^2}{2}) - \frac{2y^2}{k}) dy$
$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (y - (\frac{k}{2} + \frac{2}{k})y^2) dy$
$A = [\frac{y^2}{2} - (\frac{k^2 + 4}{2k}) \frac{y^3}{3}]_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}}$
$A = \frac{1}{2}(\frac{2k}{k^2 + 4})^2 - \frac{k^2 + 4}{6k} (\frac{2k}{k^2 + 4})^3 = \frac{1}{6} (\frac{2k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} (\frac{k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} \frac{1}{(k + \frac{4}{k})^2}$।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हर $(k + \frac{4}{k})^2$ को न्यूनतम होना चाहिए।
$AM \geq GM$ के अनुसार,$k + \frac{4}{k} \geq 2\sqrt{k \cdot \frac{4}{k}} = 4$ ($k > 0$ के लिए) या $k + \frac{4}{k} \leq -4$ ($k < 0$ के लिए)।
$(k + \frac{4}{k})^2$ का न्यूनतम मान $16$ है,जो तब होता है जब $k = \frac{4}{k}$,अर्थात $k^2 = 4$,इसलिए $k = 2$ या $k = -2$।
इन मानों के वर्गों का योग $2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$ है।

(D) परवलय $y^2=4ax$ की नाभीय जीवा की लंबाई $L = 4a \operatorname{cosec}^2 \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ जीवा द्वारा परवलय के अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
यहाँ,$4a = 12$,इसलिए $a = 3$. लंबाई $L = 15$.
$12 \operatorname{cosec}^2 \theta = 15 \implies \operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
तब $\sin^2 \theta = \frac{4}{5}$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
अतः,$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{4/5}{1/5} = 4$,इसलिए $\tan \theta = 2$.
नाभीय जीवा नाभि $(a, 0) = (3, 0)$ से होकर गुजरती है। $\theta$ ढाल वाली जीवा का समीकरण $y - 0 = m(x - 3)$ है।
जीवा अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \pm \tan \theta = \pm 2$ है। मान लीजिए $m = 2$.
समीकरण $y = 2(x - 3) \implies 2x - y - 6 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $2x - y - 6 = 0$ की दूरी $p = \frac{|2(0) - 0 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ है।
इसलिए,$p^2 = \frac{36}{5}$.
अंत में,$10p^2 = 10 \times \frac{36}{5} = 2 \times 36 = 72$.