Parabola Questions in Gujarati

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4y$ અને જીવાનું સમીકરણ $x - \sqrt{2}y + 4\sqrt{2} = 0$ છે.
જીવાના સમીકરણ પરથી,$y = \frac{x}{\sqrt{2}} + 4$ મળે.
આ કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 = 4(\frac{x}{\sqrt{2}} + 4) = 2\sqrt{2}x + 16$.
તેથી,$x^2 - 2\sqrt{2}x - 16 = 0$.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. તો $x_1 + x_2 = 2\sqrt{2}$ અને $x_1x_2 = -16$.
બીજનો તફાવત $|x_1 - x_2| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4(-16)} = \sqrt{8 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
$y$-યામનો તફાવત $|y_1 - y_2| = |\frac{x_1 - x_2}{\sqrt{2}}| = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$.
જીવાની લંબાઈ = $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} = -4(x - {a^2})$ છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $V = ({a^2}, 0)$ છે.
$y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે,સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:
${y^2} = -4(0 - {a^2}) = 4{a^2}$.
તેથી,$y = \pm 2a$. છેદબિંદુઓ $P = (0, 2a)$ અને $Q = (0, -2a)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $V({a^2}, 0)$,$P(0, 2a)$ અને $Q(0, -2a)$ છે.
$y$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|2a - (-2a)| = 4|a|$ છે.
શિરોબિંદુ $V$ થી $y$-અક્ષ સુધીની ઊંચાઈ ${a^2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4|a| \times {a^2} = 2|a|^3 = 250$.
તેથી,$|a|^3 = 125$,એટલે કે $|a| = 5$.

(B) જ્યારે $X$ આગળનો સ્પર્શક જીવા $PQ$ ને સમાંતર હોય ત્યારે $\Delta PXQ$ નું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{6 - (-4)}{9 - 4} = \frac{10}{5} = 2$ છે.
પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,તેથી $2y \frac{dy}{dx} = 4$,જે $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ આપે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ જીવાના ઢાળ જેટલો લેતા: $\frac{2}{y} = 2 \Rightarrow y = 1$.
$X$ એ $y^2 = 4x$ પર હોવાથી,$y = 1$ માટે,$1^2 = 4x \Rightarrow x = \frac{1}{4}$. આમ,$X = (\frac{1}{4}, 1)$.
શિરોબિંદુઓ $P(4, -4)$,$Q(9, 6)$,અને $X(\frac{1}{4}, 1)$ ધરાવતા $\Delta PXQ$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_P(y_X - y_Q) + x_X(y_Q - y_P) + x_Q(y_P - y_X)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(1 - 6) + \frac{1}{4}(6 - (-4)) + 9(-4 - 1)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-20 + 2.5 - 45| = \frac{1}{2} |-62.5| = 31.25 = \frac{125}{4}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 8y$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x = 8 \frac{dy}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{4}$.
સ્પર્શક $x-$અક્ષની ધન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી સ્પર્શકનો ઢાળ $\tan \theta$ છે.
આમ,$\frac{x}{4} = \tan \theta$,જે આપણને $x = 4 \tan \theta$ આપે છે.
$x = 4 \tan \theta$ ને પરવલયના સમીકરણ $x^2 = 8y$ માં મૂકતા,$(4 \tan \theta)^2 = 8y$ મળે,તેથી $16 \tan^2 \theta = 8y$,જેનો અર્થ છે કે $y = 2 \tan^2 \theta$.
સ્પર્શબિંદુ $(4 \tan \theta, 2 \tan^2 \theta)$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે,જ્યાં $m = \tan \theta$.
$y - 2 \tan^2 \theta = \tan \theta (x - 4 \tan \theta)$
$y - 2 \tan^2 \theta = x \tan \theta - 4 \tan^2 \theta$
$y = x \tan \theta - 2 \tan^2 \theta$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\tan \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\tan \theta \neq 0$):
$x = y \cot \theta + 2 \tan \theta$.

(C) રેખા અને વક્ર વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર વક્ર પરના તે બિંદુએ મળે છે જ્યાં સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોય.
આપેલી રેખા $y = x$ છે,જેનો ઢાળ $m = 1$ છે.
વક્ર $y^2 = x - 2$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 1$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો લેતા: $\frac{1}{2y} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
$y = \frac{1}{2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મુકતા: $(\frac{1}{2})^2 = x - 2 \Rightarrow \frac{1}{4} = x - 2 \Rightarrow x = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
તેથી,વક્ર પરનું બિંદુ $P(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ છે.
લઘુત્તમ અંતર એ બિંદુ $P(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ થી રેખા $x - y = 0$ પરનું લંબ અંતર છે.
અંતર $d = \frac{|x_1 - y_1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{9}{4} - \frac{1}{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{|\frac{9-2}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $y^2 = 4x$ અને $x^2 + y^2 = 5$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2 = 4x$ મૂકતા: $x^2 + 4x = 5$.
$x^2 + 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x + 5)(x - 1) = 0$.
છેદબિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x = 1$.
$x = 1$ માટે,$y^2 = 4(1) = 4$,તેથી $y = 2$ (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $y > 0$ છે).
છેદબિંદુ $P(1, 2)$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2(x + x_1)$ છે.
$(1, 2)$ મૂકતા: $2y = 2(x + 1) \Rightarrow y = x + 1$.
વિકલ્પો તપાસતા,$x = \frac{3}{4}$ માટે,$y = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.
આમ,સ્પર્શક $\left( \frac{3}{4}, \frac{7}{4} \right)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 16$,તેથી $a = 4$ મળે.
પરવલયની નાભિ $S(a, 0) = (4, 0)$ છે.
ધારો કે નાભિ જીવાનું એક અંત્યબિંદુ $A(at_1^2, 2at_1) = (1, 4)$ છે.
$a = 4$ હોવાથી,$4t_1^2 = 1$ $\Rightarrow t_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow t_1 = \frac{1}{2}$ (કારણ કે $y > 0$).
નાભિ જીવા માટે,અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલોનો ગુણાકાર $t_1 t_2 = -1$ થાય. તેથી,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = -2$.
$t$ પ્રાચલ ધરાવતી નાભિ જીવાની લંબાઈ $L = a(t + \frac{1}{t})^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$t = t_1 = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$L = 4(\frac{1}{2} + \frac{1}{1/2})^2 = 4(\frac{1}{2} + 2)^2 = 4(\frac{5}{2})^2 = 4 \times \frac{25}{4} = 25$.

(D) આપેલ વક્ર $y = (x - 2)^2 - 1$ છે,જેને $(x - 2)^2 = y + 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માંથી પરવલય $(x - 2)^2 = y + 1$ માટે સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x - 2)(x_1 - 2) = \frac{1}{2}(y + y_1 + 2)$
$2(x - 2)(x_1 - 2) = y + y_1 + 2$
$2(x_1 - 2)x - y - (4x_1 + y_1 - 6) = 0 \quad ......(i)$
આપણને આપેલ છે કે સ્પર્શજીવા રેખા $x - y - 3 = 0$ છે $\quad ......(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2(x_1 - 2)}{1} = \frac{-1}{-1} = \frac{-(4x_1 + y_1 - 6)}{-3}$
$\frac{2(x_1 - 2)}{1} = 1$ પરથી,$2x_1 - 4 = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{5}{2}$.
$\frac{-(4x_1 + y_1 - 6)}{-3} = 1$ પરથી,$4x_1 + y_1 = 9$.
$x_1 = \frac{5}{2}$ મુકતા: $4(\frac{5}{2}) + y_1 = 9$ $\Rightarrow 10 + y_1 = 9$ $\Rightarrow y_1 = -1$.
આમ,છેદબિંદુ $\left( \frac{5}{2}, -1 \right)$ છે.

(C) રેખા $y=mx+4$ એ પરવલય $y^{2}=4x$ નો સ્પર્શક છે. $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $c=4$,સ્પર્શકની શરત $c=\frac{a}{m}$ મુજબ $4=\frac{1}{m}$,તેથી $m=\frac{1}{4}$ મળે છે.
રેખા $y=\frac{1}{4}x+4$ એ પરવલય $x^{2}=2by$ નો પણ સ્પર્શક છે. રેખાના સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,$x^{2}=2b(\frac{1}{4}x+4)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^{2}-\frac{b}{2}x-8b=0$ થાય છે.
રેખા સ્પર્શક હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ શૂન્ય થવો જોઈએ.
$D = (-\frac{b}{2})^{2} - 4(1)(-8b) = 0$.
$\frac{b^{2}}{4} + 32b = 0$.
$b^{2} + 128b = 0$.
$b(b+128) = 0$.
$b \neq 0$ હોવાથી,$b=-128$ મળે છે.

(B) પરવલય $y^2=x$ છે. ધારો કે $P$ એ $(t^2, t)$ છે જ્યાં $t>0$.
રેખા $y=mx$ એ $P(t^2, t)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $t=m(t^2)$,જે $m=1/t$ આપે છે.
$P(t^2, t)$ આગળ $y^2=x$ નો સ્પર્શક $ty = \frac{1}{2}(x+t^2)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ $Q$ શોધવા માટે $y=0$ મૂકતા,$0 = \frac{1}{2}(x+t^2)$,તેથી $x = -t^2$. આમ,$Q$ એ $(-t^2, 0)$ છે.
$\Delta OPQ$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$P(t^2, t)$,અને $Q(-t^2, 0)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_O(y_P-y_Q) + x_P(y_Q-y_O) + x_Q(y_O-y_P)| = 4$.
$\frac{1}{2} |0(t-0) + t^2(0-0) + (-t^2)(0-t)| = 4$.
$\frac{1}{2} |t^3| = 4 \implies t^3 = 8 \implies t = 2$.
$m = 1/t$ હોવાથી,$m = 1/2 = 0.5$ મળે છે.

(B) ધારો કે પરવલય $x^{2}=4y$ પરનું બિંદુ $Q(2t, t^{2})$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ એ $A(0, -1)$ અને $Q(2t, t^{2})$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ:
$h = \frac{1(2t) + 2(0)}{1+2} = \frac{2t}{3} \Rightarrow t = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1(t^{2}) + 2(-1)}{1+2} = \frac{t^{2}-2}{3} \Rightarrow 3k = t^{2}-2$
$t = \frac{3h}{2}$ ને $3k = t^{2}-2$ માં મૂકતા:
$3k = \left(\frac{3h}{2}\right)^{2} - 2$
$3k = \frac{9h^{2}}{4} - 2$
$12k = 9h^{2} - 8$
$9h^{2} - 12k = 8$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^{2}-12y=8$ મળે છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=8x$ છે,જે $y^{2}=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a=8$,તેથી $a=2$ મળે.
પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(at^{2}, 2at) = (2t^{2}, 4t)$ છે.
બિંદુ $A\left(\frac{1}{2}, -2\right)$ માટે,$4t_{1}=-2$,જે આપણને $t_{1}=-\frac{1}{2}$ આપે છે.
નાભિ જીવા માટે,અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલનો ગુણાકાર $t_{1}t_{2}=-1$ થાય છે.
$t_{1}=-\frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $t_{2} = -\frac{1}{t_{1}} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ મળે છે.
બિંદુ $B$ ના યામ $(2t_{2}^{2}, 4t_{2}) = (2(2)^{2}, 4(2)) = (8, 8)$ છે.
પરવલય $y^{2}=4ax$ ના બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_{1}=2a(x+x_{1})$ છે.
બિંદુ $B(8, 8)$ અને $a=2$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y(8) = 2(2)(x+8)$ થાય.
$8y = 4(x+8)$ $\Rightarrow 2y = x+8$ $\Rightarrow x-2y+8=0$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=4ax$ છે.
$y^{2}=4ax$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$.
બિંદુ $(at^{2}, 2at)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(at^{2}, 2at)} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2at = \frac{1}{t}(x - at^{2})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $ty - 2at^{2} = x - at^{2}$ એટલે કે $ty = x + at^{2}$ થાય છે.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે,જે $-t$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2at = -t(x - at^{2})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 2at = -tx + at^{3}$ એટલે કે $y = -tx + 2at + at^{3}$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^{2}=4x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે:
$2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
તેથી,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ રેખા $y=x+1$ છે,જે $y=mx+c$ સ્વરૂપમાં છે.
રેખાનો ઢાળ $1$ છે.
રેખા $y=x+1$ એ આપેલ વક્રનો સ્પર્શક ત્યારે જ હોય જો રેખાનો ઢાળ સ્પર્શકના ઢાળ જેટલો હોય.
આમ,આપણે $\frac{2}{y} = 1 \Rightarrow y=2$ મેળવીએ છીએ.
રેખાના સમીકરણ $y=x+1$ માં $y=2$ મૂકતા,આપણને $2 = x+1 \Rightarrow x=1$ મળે છે.
આમ,રેખા $y=x+1$ એ આપેલ વક્રને બિંદુ $(1, 2)$ પર સ્પર્શે છે.
સાચો જવાબ $A$ છે.

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ પરવલય $y=x^{2}$ પરનું કોઈ બિંદુ છે. ધારો કે $D$ એ $(h, k)$ અને $(0, c)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$D = \sqrt{(h-0)^{2} + (k-c)^{2}} = \sqrt{h^{2} + (k-c)^{2}}$.
કારણ કે $(h, k)$ એ $y=x^{2}$ પર આવેલું છે,તેથી $k=h^{2}$ થાય,એટલે કે $h^{2}=k$.
આ કિંમત અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $D(k) = \sqrt{k + (k-c)^{2}}$ મળે છે.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f(k) = k + (k-c)^{2} = k + k^{2} - 2kc + c^{2} = k^{2} + k(1-2c) + c^{2}$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીશું.
$k$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(k) = 2k + 1 - 2c$.
$f'(k) = 0$ લેતા,આપણને $2k = 2c - 1$,અથવા $k = \frac{2c-1}{2}$ મળે છે.
જો $c \leq \frac{1}{2}$ હોય,તો લઘુત્તમ અંતર શિરોબિંદુ $(0, 0)$ પર મળે છે,જે $c$ છે. જો $c > \frac{1}{2}$ હોય,તો લઘુત્તમ અંતર $k = \frac{2c-1}{2}$ પર મળે છે.
$k = \frac{2c-1}{2}$ ને $D(k)$ માં મૂકતા:
$D = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + (\frac{2c-1}{2} - c)^{2}} = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + (-\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{2c-1}{2} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4c-2+1}{4}} = \frac{\sqrt{4c-1}}{2}$.

(C) આપેલ વક્ર $x^{2}=2 y$ છે.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,તેના યામ $(x, y) = (x, x^{2}/2)$ લો.
બિંદુ $(x, x^{2}/2)$ અને $(0, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $D = \sqrt{(x-0)^{2} + (x^{2}/2 - 5)^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
અંતરને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $f(x) = D^{2} = x^{2} + (x^{2}/2 - 5)^{2} = x^{2} + x^{4}/4 - 5x^{2} + 25 = x^{4}/4 - 4x^{2} + 25$ ને ન્યૂનતમ કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = x^{3} - 8x$ મળે છે.
$f'(x) = 0$ લેતા,$x(x^{2} - 8) = 0$ મળે,જે $x = 0$ અથવા $x = \pm 2\sqrt{2}$ આપે છે.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$f''(x) = 3x^{2} - 8$.
$x = 0$ માટે,$f''(0) = -8 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = \pm 2\sqrt{2}$ માટે,$f''(2\sqrt{2}) = 3(8) - 8 = 16 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
આમ,અંતર $x = \pm 2\sqrt{2}$ પર ન્યૂનતમ છે.
$x = \pm 2\sqrt{2}$ માટે,$y = (\pm 2\sqrt{2})^{2} / 2 = 8/2 = 4$.
તેથી,$(0, 5)$ ની સૌથી નજીકના બિંદુઓ $(\pm 2\sqrt{2}, 4)$ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $(2\sqrt{2}, 4)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y^{2}=8x$ છે.
આને પરવલયના પ્રમાણિત સમીકરણ $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=2$.
સમીકરણ $y^{2}=4ax$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંમિતિની અક્ષ $x$-અક્ષ (એટલે કે $y=0$) છે.
પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (2, 0)$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x=-a$ છે,જે $x=-2$ થાય છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 4 \times 2 = 8$ છે.

(A) પરવલયની નાભિ $(2, 0)$ છે,જે $x$-અક્ષ પર આવેલી છે. તેથી,$x$-અક્ષ એ પરવલયની અક્ષ છે.
નિયામિકા $x = -2$ (જે $x = -a$ સ્વરૂપમાં છે) હોવાથી,પરવલય જમણી તરફ ખુલે છે અને તેનું સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ સ્વરૂપનું છે.
અહીં,શિરોબિંદુ $(0, 0)$ થી નાભિ $(2, 0)$ સુધીનું અંતર $a = 2$ છે.
પ્રમાણિત સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ માં $a = 2$ મૂકતા,આપણને $y^{2} = 4(2)x = 8x$ મળે છે.

(A) પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને નાભિ $(0, 2)$ પર છે.
નાભિ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષ છે.
આવા પરવલયના સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2} = 4ay$ છે.
અહીં,શિરોબિંદુથી નાભિનું અંતર $a = 2$ છે.
સમીકરણમાં $a = 2$ મૂકતા,આપણને $x^{2} = 4(2)y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} = 8y$ થાય છે.

(A) પરવલય $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે અને તેનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે,તેથી સમીકરણ $x^2 = 4ay$ અથવા $x^2 = -4ay$ સ્વરૂપનું છે.
પરવલય બિંદુ $(2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે,જે ચોથા ચરણમાં આવેલું છે,તેથી તે નીચેની તરફ ખુલે છે.
આમ,સમીકરણ $x^2 = -4ay$ સ્વરૂપનું છે.
બિંદુ $(2, -3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2^2 = -4a(-3)$
$4 = 12a$
$a = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$a = \frac{1}{3}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 = -4(\frac{1}{3})y$
$x^2 = -\frac{4}{3}y$
$3x^2 = -4y$.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $y^{2}=12x$ છે.
અહીં,$x$ નો સહગુણક ધન છે. તેથી,પરવલય જમણી તરફ ખુલે છે.
આ સમીકરણની સરખામણી $y^{2}=4ax$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$4a=12 \Rightarrow a=3$.
$\therefore$ નાભિના યામ $= (a, 0) = (3, 0)$.
આપેલ સમીકરણમાં $y^{2}$ હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -a$ છે,એટલે કે $x = -3$ અથવા $x + 3 = 0$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= 4a = 4 \times 3 = 12$.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}=6y$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}=4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=6$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=\frac{3}{2}$.
$y$ નો સહગુણક ધન હોવાથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
$1$. નાભિના યામ: $(0, a) = (0, \frac{3}{2})$.
$2$. પરવલયની અક્ષ: સમીકરણમાં $x^{2}$ હોવાથી,અક્ષ $y$-અક્ષ $(x=0)$ છે.
$3$. નિયામિકાનું સમીકરણ: $y = -a$,તેથી $y = -\frac{3}{2}$.
$4$. નાભિલંબની લંબાઈ: $4a = 6$.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $y^{2} = -8x$ છે.
અહીં,$x$ નો સહગુણક ઋણ છે,તેથી પરવલય ડાબી બાજુ ખુલે છે.
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^{2} = -4ax$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$-4a = -8 \Rightarrow a = 2$.
$\therefore$ નાભિના યામ $(-a, 0) = (-2, 0)$ છે.
સમીકરણમાં $y^{2}$ હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = a$ છે,એટલે કે $x = 2$.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 4(2) = 8$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $x^{2} = -16y$ છે.
અહીં,$y$ નો સહગુણક ઋણ છે,તેથી પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2} = -4ay$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$-4a = -16 \Rightarrow a = 4$.
$\therefore$ નાભિના યામ $(0, -a) = (0, -4)$ છે.
સમીકરણમાં $x^{2}$ હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષ (એટલે કે $x = 0$) છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $y = a$ છે,જે $y = 4$ થાય.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 4(4) = 16$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $y^{2}=10x$ છે.
અહીં,$x$ નો સહગુણક ધન છે.
તેથી,પરવલય જમણી તરફ ખુલે છે.
આ સમીકરણની $y^{2}=4ax$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$4a=10 \Rightarrow a=\frac{5}{2}$.
$\therefore$ નાભિના યામ $= (a, 0) = \left(\frac{5}{2}, 0\right)$.
આપેલ સમીકરણમાં $y^{2}$ હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -a$ છે,એટલે કે $x = -\frac{5}{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= 4a = 10$.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}=-9y$ છે.
અહીં,$y$ નો સહગુણક ઋણ છે.
તેથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
આ સમીકરણની સરખામણી $x^{2}=-4ay$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$-4a = -9 \Rightarrow a = \frac{9}{4}$.
$\therefore$ નાભિના યામ $(0, -a) = (0, -\frac{9}{4})$ છે.
સમીકરણમાં $x^{2}$ હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $y = a$ એટલે કે $y = \frac{9}{4}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 9$ છે.

(A) પરવલયની નાભિ $(a, 0) = (6, 0)$ છે,તેથી $a = 6$.
નિયામિકા $x = -a$ છે,જે $x = -6$ છે.
નાભિ $x$-અક્ષ પર હોવાથી અને નિયામિકા $x$-અક્ષને લંબ હોવાથી,પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ સ્વરૂપનું છે.
સમીકરણમાં $a = 6$ મૂકતા,આપણને $y^{2} = 4(6)x$ મળે છે.
તેથી,પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 24x$ છે.

(A) નાભિ $(0, -3)$ છે અને નિયામિકા $y = 3$ છે.
નાભિ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,$y$-અક્ષ એ પરવલયની ધરી છે.
નાભિ $(0, -a)$ અને નિયામિકા $y = a$ હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
આવા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x^{2} = -4ay$ છે.
અહીં,$a = 3$.
$a$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^{2} = -4(3)y$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} = -12y$ થાય છે.

(A) પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે અને નાભિ $(3, 0)$ છે.
નાભિ ધન $x$-અક્ષ પર હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ છે.
આવા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ છે.
અહીં નાભિ $(a, 0) = (3, 0)$ હોવાથી,$a = 3$ મળે છે.
સમીકરણમાં $a = 3$ મૂકતા,$y^{2} = 4 \times 3 \times x$,એટલે કે $y^{2} = 12x$ મળે છે.

(A) પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે અને નાભિ $(-2, 0)$ છે.
નાભિ ઋણ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ છે.
આવા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y^{2} = -4ax$ છે.
અહીં નાભિ $(-a, 0) = (-2, 0)$ હોવાથી,$a = 2$ મળે છે.
સમીકરણમાં $a = 2$ મૂકતા,$y^{2} = -4(2)x$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y^{2} = -8x$ છે.

(A) શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે અને પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ છે,તેથી પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપનું છે.
પરવલય બિંદુ $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,જે પ્રથમ ચરણમાં છે.
બિંદુ $(2, 3)$ ને સમીકરણ $y^2 = 4ax$ માં મૂકતા:
$3^2 = 4a(2)$
$9 = 8a$
$a = \frac{9}{8}$
આમ,પરવલયનું સમીકરણ:
$y^2 = 4 \left( \frac{9}{8} \right) x$
$y^2 = \frac{9}{2} x$
$2y^2 = 9x$

(B) શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે અને પરવલય $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,પરવલયનું સમીકરણ $x^{2} = 4ay$ સ્વરૂપનું છે.
પરવલય બિંદુ $(5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ $(5, 2)$ ને સમીકરણ $x^{2} = 4ay$ માં મૂકતા:
$(5)^{2} = 4 \times a \times 2$
$25 = 8a$
$a = \frac{25}{8}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} = 4 \left( \frac{25}{8} \right) y$
$x^{2} = \frac{25}{2} y$
$2x^{2} = 25y$

(A) $x^{2}=4y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2}$ મળે છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ વક્ર $x^{2}=4y$ ના અભિલંબનું સ્પર્શ બિંદુ છે. $(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{h}{2}$ છે.
તેથી,$(h, k)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{2}{h}$ થાય.
$(h, k)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y-k = -\frac{2}{h}(x-h)$ છે.
અભિલંબ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$2-k = -\frac{2}{h}(1-h)$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $k = 2 + \frac{2}{h}(1-h) = 2 + \frac{2}{h} - 2 = \frac{2}{h}$ મળે.
$(h, k)$ એ વક્ર $x^{2}=4y$ પર હોવાથી,$h^{2}=4k$ થાય. $k = \frac{2}{h}$ મૂકતા,$h^{2} = 4(\frac{2}{h}) = \frac{8}{h}$ મળે,તેથી $h^{3}=8$,જેનો અર્થ છે કે $h=2$.
ત્યારબાદ $k = \frac{2}{2} = 1$.
બિંદુ $(2, 1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y-1 = -\frac{2}{2}(x-2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y-1 = -(x-2)$ એટલે કે $x+y=3$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્ર $x^{2}=4y$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x = 4 \frac{dy}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$.
ધારો કે સ્પર્શક બિંદુ $(h, k)$ છે. આ બિંદુ વક્ર પર હોવાથી,$h^{2} = 4k$,તેથી $k = \frac{h^{2}}{4}$.
$(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T} = \frac{h}{2}$ છે.
$(h, k)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = -\frac{2}{h}$ છે.
$(h, k)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - k = -\frac{2}{h}(x - h)$ છે.
અભિલંબ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$2 - \frac{h^{2}}{4} = -\frac{2}{h}(1 - h)$
$2 - \frac{h^{2}}{4} = -\frac{2}{h} + 2$
$-\frac{h^{2}}{4} = -\frac{2}{h}$
$h^{3} = 8 \Rightarrow h = 2$.
જો $h = 2$ હોય,તો $k = \frac{2^{2}}{4} = 1$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = -\frac{2}{2} = -1$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 1 = -1(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 1 = -x + 2$,એટલે કે $x + y - 3 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્ર માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+1$ છે.
પરવલય $y^{2}=4x$ ના સમીકરણમાં $y=mx+1$ મૂકતા:
$(mx+1)^{2}=4x$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$m^{2}x^{2}+2mx+1=4x$
$m^{2}x^{2}+x(2m-4)+1=0......(i)$
રેખા વક્રનો સ્પર્શક હોવાથી,તે વક્રને માત્ર એક જ બિંદુમાં સ્પર્શે છે. તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $(i)$ ના બીજ સમાન હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેનો વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = b^{2}-4ac = 0$
$(2m-4)^{2}-4(m^{2})(1)=0$
વિવેચકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4m^{2}-16m+16-4m^{2}=0$
$-16m+16=0$
$16m=16$
$m=1$
આમ,$m$ ની જરૂરી કિંમત $1$ છે.
સાચો જવાબ $A$ છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x^{2}=4y$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = 4 \cdot \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{h}{2}$ છે.
તેથી,$(h, k)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{2}{h}$ થશે.
$(h, k)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - k = -\frac{2}{h}(x - h)$.
અભિલંબ $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$2 - k = -\frac{2}{h}(1 - h) \Rightarrow 2 - k = -\frac{2}{h} + 2 \Rightarrow k = \frac{2}{h}$.
બિંદુ $(h, k)$ એ વક્ર $x^{2} = 4y$ પર હોવાથી,$h^{2} = 4k$ થાય.
$k = \frac{2}{h}$ ને $h^{2} = 4k$ માં મૂકતા:
$h^{2} = 4 \left(\frac{2}{h}\right) \Rightarrow h^{3} = 8 \Rightarrow h = 2$.
હવે,$k$ ની કિંમત શોધીએ:
$k = \frac{2}{h} = \frac{2}{2} = 1$.
સ્પર્શ બિંદુ $(2, 1)$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{2}{h} = -\frac{2}{2} = -1$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 1 = -1(x - 2)$
$y - 1 = -x + 2$
$x + y = 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 2x$ છે. તેને $y^{2} = 4Ax$ સાથે સરખાવતા,$4A = 2$ મળે,તેથી $A = 1/2$.
પરવલય $y^{2} = 4Ax$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ પરનો અભિલંબ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય જો $a > 2A$ હોય.
$A$ ની કિંમત મૂકતા:
$a > 2 \times (1/2)$
$a > 1$.
આમ,ત્રણ ભિન્ન અભિલંબ બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય તે માટે $a$ ની કિંમત $1$ કરતા મોટી હોવી જોઈએ.

(A) કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $5 \, cm$ હોવાથી,આપણી પાસે $a = 5$ છે.
જો ઉગમબિંદુને શિરોબિંદુ પર લેવામાં આવે અને અરીસાની ધરી ધન $x$-અક્ષ પર હોય,તો પેરાબોલિક વિભાગનું સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ છે.
$a = 5$ મૂકતા,આપણને $y^{2} = 4(5)x = 20x$ મળે છે.
અરીસો $45 \, cm$ ઊંડો હોવાથી,$x = 45$ છે.
સમીકરણમાં $x = 45$ મૂકતા,આપણને $y^{2} = 20 \times 45 = 900$ મળે છે.
તેથી,$y = \pm 30$.
$AB$ અંતર એ $x = 45$ પરની જીવાની કુલ લંબાઈ છે,જે $2|y| = 2 \times 30 = 60 \, cm$ છે.

(A) ધારો કે પરવલયનું શિરોબિંદુ સૌથી નીચા બિંદુ $O(0,0)$ પર છે અને અક્ષ $Y$-અક્ષ પર ઊભી છે. પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ છે.
કુલ લંબાઈ $12 \, m$ છે,તેથી છેડાઓ $x = 6 \, m$ અને $x = -6 \, m$ પર છે. કેન્દ્રમાં મહત્તમ વિચલન $3 \, cm = 0.03 \, m$ છે. આમ,પરવલય $(6, 0.03)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા: $(6)^2 = 4a(0.03) \implies 36 = 0.12a \implies a = \frac{36}{0.12} = 300$.
સમીકરણ $x^2 = 4(300)y = 1200y$ છે.
આપણે $x$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે ઉપરથી વિચલન $1 \, cm$ હોય. કુલ વિચલન $3 \, cm$ હોવાથી,શિરોબિંદુ $O$ થી ઊંચાઈ $y = 3 \, cm - 1 \, cm = 2 \, cm = 0.02 \, m$ છે.
સમીકરણમાં $y = 0.02$ મૂકતા: $x^2 = 1200(0.02) = 24$.
તેથી,$x = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \, m$.

(A) યામ સમતલનું ઉગમબિંદુ પેરાબોલિક રિફ્લેક્ટરના શિરોબિંદુ પર એવી રીતે લેવામાં આવે છે કે જેથી રિફ્લેક્ટરની ધરી ધન $x-$અક્ષ પર હોય.
પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે (કારણ કે તે જમણી તરફ ખુલે છે).
રિફ્લેક્ટરની ઊંડાઈ $5 \, cm$ છે,તેથી ધાર પરના બિંદુનો $x-$યામ $5$ છે. વ્યાસ $20 \, cm$ છે,તેથી ધાર પરના બિંદુનો $y-$યામ $10$ (વ્યાસના અડધા) છે.
આમ,પરવલય બિંદુ $A(5, 10)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ કિંમતને $y^{2} = 4ax$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$10^{2} = 4a(5)$
$100 = 20a$
$a = \frac{100}{20} = 5$
તેથી,પરવલયનું નાભિ $(a, 0) = (5, 0)$ છે.

(A) ધારો કે પરવલયનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને તેની ધરી ધન $y-$અક્ષ પર છે. પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ સ્વરૂપનું છે.
કમાન $10 \, m$ ઊંચી અને પાયા આગળ $5 \, m$ પહોળી છે. આનો અર્થ એ છે કે પરવલય $(\frac{5}{2}, 10)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
આ બિંદુને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{5}{2})^2 = 4a(10)$
$\frac{25}{4} = 40a$
$a = \frac{25}{160} = \frac{5}{32}$
તેથી,પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4(\frac{5}{32})y$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 = \frac{5}{8}y$ થાય છે.
આપણે શિરોબિંદુથી $y = 2 \, m$ અંતરે કમાનની પહોળાઈ શોધવાની છે.
$x^2 = \frac{5}{8} \times 2 = \frac{5}{4}$
$x = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx \frac{2.236}{2} = 1.118 \, m$.
કમાનની કુલ પહોળાઈ $2x = 2 \times 1.118 = 2.236 \, m \approx 2.23 \, m$ છે.

(A) શિરોબિંદુ એ કેબલના સૌથી નીચા બિંદુ પર છે. કોઓર્ડિનેટ પ્લેનનું ઉગમબિંદુ પરવલયના શિરોબિંદુ તરીકે લેવામાં આવે છે,જ્યારે તેની ઊભી ધરીને ધન $y-$ અક્ષ સાથે લેવામાં આવે છે.
અહીં,$AB$ અને $OC$ એ કેબલ સાથે જોડાયેલા સૌથી લાંબા અને સૌથી ટૂંકા વાયર છે. $DF$ એ રસ્તા સાથે જોડાયેલ સપોર્ટિંગ વાયર છે,જે મધ્યથી $18 \, m$ દૂર છે.
અહીં,$AB = 30 \, m$,$OC = 6 \, m$,અને $BC = \frac{100}{2} = 50 \, m$.
પરવલયનું સમીકરણ $x^{2} = 4ay$ સ્વરૂપમાં છે (કારણ કે તે ઉપરની તરફ ખુલે છે).
બિંદુ $A$ ના યામ $(50, 30-6) = (50, 24)$ છે.
કારણ કે $A(50, 24)$ એ પરવલય પરનું બિંદુ છે,$(50)^{2} = 4a(24)$.
$\Rightarrow a = \frac{50 \times 50}{4 \times 24} = \frac{625}{24}$.
$\therefore$ પરવલયનું સમીકરણ $x^{2} = 4 \times \frac{625}{24} \times y$ છે,જે $6x^{2} = 625y$ તરીકે સરળ બને છે.
બિંદુ $D$ નો $x-$ યામ $18$ છે.
તેથી,$x = 18$ પર,$6(18)^{2} = 625y$.
$\Rightarrow y = \frac{6 \times 324}{625} = \frac{1944}{625} = 3.1104 \, m$.
$\therefore DE = 3.11 \, m$ (આશરે).
$DF = DE + EF = 3.11 \, m + 6 \, m = 9.11 \, m$.
આમ,મધ્યથી $18 \, m$ દૂર રસ્તા સાથે જોડાયેલા સપોર્ટિંગ વાયરની લંબાઈ આશરે $9.11 \, m$ છે.

(A) આપેલ પરવલય $x^{2}=12y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}=4ay$ સાથે સરખાવતા, આપણને $4a=12$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $a=3$.
પરવલયનું નાભિ $S(0, a) = (0, 3)$ છે.
નાભિલંબ એ પરવલયની અક્ષને લંબ અને નાભિમાંથી પસાર થતો રેખાખંડ છે. $y=3$ માટે, $x^{2}=12(3)=36$, તેથી $x=\pm 6$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $A(-6, 3)$ અને $B(6, 3)$ છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$, $(-6, 3)$, અને $(6, 3)$ ધરાવતા $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(3-3) + (-6)(3-0) + 6(0-3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0 - 18 - 18| = \frac{1}{2} |-36| = 18 \text{ unit}^{2}$.

(A) ધારો કે $OAB$ એ પરવલય $y^{2}=4ax$ માં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણ છે,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
ધારો કે $AB$ એ $x$-અક્ષને લંબ જીવા છે,જે તેને બિંદુ $C(k, 0)$ પર છેદે છે.
પરવલયના સમીકરણ પરથી,$x=k$ માટે,$y^{2}=4ak$,તેથી $y=\pm 2\sqrt{ak}$.
આમ,$A$ અને $B$ ના યામ $(k, 2\sqrt{ak})$ અને $(k, -2\sqrt{ak})$ છે.
બાજુ $AB$ ની લંબાઈ $= 2\sqrt{ak} - (-2\sqrt{ak}) = 4\sqrt{ak}$.
કારણ કે $OAB$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે,$OA=AB$,તેથી $OA^{2}=AB^{2}$.
$OA^{2} = k^{2} + (2\sqrt{ak})^{2} = k^{2} + 4ak$.
$AB^{2} = (4\sqrt{ak})^{2} = 16ak$.
સરખાવતા: $k^{2} + 4ak = 16ak \Rightarrow k^{2} = 12ak$.
$k \neq 0$ હોવાથી,$k = 12a$.
બાજુની લંબાઈ $AB = 4\sqrt{a(12a)} = 4\sqrt{12a^{2}} = 4(2\sqrt{3}a) = 8\sqrt{3}a$.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 8x$ છે. તેનું શિરોબિંદુ $O(0,0)$ છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $OAB$ છે, જ્યાં $A$ અને $B$ પરવલય પર આવેલા છે.
ધારો કે $A$ ના યામ $(2t^2, 4t)$ છે, જ્યાં $t > 0$.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી અને $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી, $B$ ના યામ $(2t^2, -4t)$ થશે.
ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $AB = 4t - (-4t) = 8t$ છે.
ખૂણો $\angle AOx = 30^{\circ}$ છે કારણ કે ત્રિકોણ સમબાજુ છે અને $x$-અક્ષ શિરોબિંદુ પરના ખૂણાને દુભાગે છે.
તેથી, $\tan 30^{\circ} = \frac{4t}{2t^2} = \frac{2}{t}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{t}$, જે આપણને $t = 2\sqrt{3}$ આપે છે.
બાજુની લંબાઈ $s = 8t = 8(2\sqrt{3}) = 16\sqrt{3}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} (16\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (256 \times 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} (768) = 192\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=12x$ છે,તેથી $4a=12$,જેનો અર્થ છે કે $a=3$ છે.
ધારો કે $P = (3t^{2}, 6t)$. $N$ એ ધરી ($x$-અક્ષ) પરનો લંબપાદ હોવાથી,$N = (3t^{2}, 0)$ છે.
$PN$ નું મધ્યબિંદુ $M = (3t^{2}, 3t)$ છે.
$M$ માંથી પસાર થતી અને ધરીને સમાંતર રેખા $y=3t$ છે.
$Q$ એ પરવલય $y^{2}=12x$ પર હોવાથી અને તેનો $y$-યામ $3t$ હોવાથી,$(3t)^{2} = 12x_Q$,તેથી $9t^{2} = 12x_Q$,જે $x_Q = \frac{3}{4}t^{2}$ આપે છે. આમ $Q = (\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ છે.
રેખા $NQ$ એ $N(3t^{2}, 0)$ અને $Q(\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ માંથી પસાર થાય છે.
$NQ$ નો ઢાળ $m = \frac{3t-0}{\frac{3}{4}t^{2}-3t^{2}} = \frac{3t}{-\frac{9}{4}t^{2}} = -\frac{4}{3t}$ છે.
રેખા $NQ$ નું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{4}{3t}(x - 3t^{2})$ છે.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે $x=0$ લેતા: $y = -\frac{4}{3t}(-3t^{2}) = 4t$ મળે છે.
$y$-અંતઃખંડ $\frac{4}{3}$ આપેલ હોવાથી,$4t = \frac{4}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{3}$ છે.
હવે,$MQ$ એ $M(3t^{2}, 3t)$ અને $Q(\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ વચ્ચેનું આડું અંતર છે,તેથી $MQ = |3t^{2} - \frac{3}{4}t^{2}| = \frac{9}{4}t^{2}$ છે.
$t = \frac{1}{3}$ મૂકતા,$MQ = \frac{9}{4}(\frac{1}{3})^{2} = \frac{9}{4} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) પરવલય $y^{2}=4a(x-h)$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=m(x-h)+\frac{a}{m}$ છે.
પરવલય $y^{2}=4(x+1)$ માટે,$a=1$ અને $h=-1$ છે. સ્પર્શક $L_{1}$ એ $y=m(x+1)+\frac{1}{m}$ છે,જે $y=mx+m+\frac{1}{m}$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલય $y^{2}=8(x+2)$ માટે,$a=2$ અને $h=-2$ છે. સ્પર્શક $L_{2}$ એ $y=m'(x+2)+\frac{2}{m'}$ છે,જે $y=m'x+2m'+\frac{2}{m'}$ તરીકે લખી શકાય.
$L_{1}$ અને $L_{2}$ કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m \cdot m' = -1$,તેથી $m' = -\frac{1}{m}$.
$m'$ ની કિંમત $L_{2}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = -\frac{1}{m}x + 2(-\frac{1}{m}) + \frac{2}{-1/m} = -\frac{1}{m}x - \frac{2}{m} - 2m = -\frac{1}{m}x - 2(m+\frac{1}{m})$.
$y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$mx + m + \frac{1}{m} = -\frac{1}{m}x - 2(m+\frac{1}{m})$.
પદોને ગોઠવતા:
$(m+\frac{1}{m})x + (m+\frac{1}{m}) + 2(m+\frac{1}{m}) = 0$.
$(m+\frac{1}{m})(x+3) = 0$.
વાસ્તવિક સ્પર્શકો માટે $m+\frac{1}{m} \neq 0$ હોવાથી,$x+3=0$ મળે.

(A) આપેલ પરવલય $y^{2}=4x$ છે.
રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(x, y)$ નું પ્રતિબિંબ $(y, x)$ થાય છે.
સમીકરણ $y^{2}=4x$ માં $x$ ને $y$ અને $y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને બિંદુપથ $C$ તરીકે $x^{2}=4y$ મળે છે.
$x^{2}=4y$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2x = 4 \frac{dy}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$.
બિંદુ $P(2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,1)} = \frac{2}{2} = 1$ થાય.
$P(2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = 1(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 1 = x - 2$ અથવા $x - y = 1$ થાય છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^{2}=4ax$ ની નાભિ $S(a, 0)$ છે અને પરવલય પરનું ગતિશીલ બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ છે.
રેખાખંડ $SP$ ના મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ માટે:
$h = \frac{at^{2}+a}{2}$ અને $k = \frac{2at+0}{2} = at$.
$k = at$ પરથી,$t = \frac{k}{a}$ મળે.
આ કિંમત $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = \frac{a(\frac{k}{a})^{2}+a}{2} = \frac{\frac{k^{2}}{a}+a}{2} = \frac{k^{2}+a^{2}}{2a}$.
$2ah = k^{2}+a^{2} \Rightarrow k^{2} = 2ah - a^{2} = 2a(h - \frac{a}{2})$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^{2} = 2a(x - \frac{a}{2})$ મળે.
આ $Y^{2} = 4AX$ સ્વરૂપનું પરવલય છે,જ્યાં $Y=y$,$X=x-\frac{a}{2}$,અને $4A = 2a \Rightarrow A = \frac{a}{2}$.
$Y^{2} = 4AX$ ની નિયામિકા $X = -A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2} \Rightarrow x = 0$.

(C) આપેલ પરવલય $y^{2}=6x$ છે,તેથી $4a=6$,જેનો અર્થ છે કે $a=\frac{3}{2}$.
રેખા $2x+y=1$ નો ઢાળ $m_{L}=-2$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times (-2) = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m=\frac{1}{2}$.
પરવલય $y^{2}=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
$a=\frac{3}{2}$ અને $m=\frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $y=\frac{1}{2}x+\frac{3/2}{1/2} = \frac{1}{2}x+3$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2y=x+6$ અથવા $x-2y+6=0$ મળે છે.
હવે,આપેલા બિંદુઓ તપાસો:
$(-6,0)$ માટે: $-6-2(0)+6=0$ (તેના પર છે).
$(4,5)$ માટે: $4-2(5)+6=4-10+6=0$ (તેના પર છે).
$(5,4)$ માટે: $5-2(4)+6=5-8+6=3 \neq 0$ (તેના પર નથી).
$(0,3)$ માટે: $0-2(3)+6=0$ (તેના પર છે).
આમ,બિંદુ $(5,4)$ સ્પર્શક પર નથી.