Hyperbola Questions in Hindi

(C) अतिपरवलय का समीकरण $36x^2 - 25y^2 = 3600$ है। $3600$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{144} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 100$ और $b^2 = 144$ है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ $m = 2$ और $c = \lambda$ दिया गया है,इसलिए $\lambda^2 = (100)(2^2) - 144$ है।
$\lambda^2 = 400 - 144 = 256$ है।
अतः,$\lambda = \pm \sqrt{256} = \pm 16$।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 4y^2 = 5$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है।
अतिपरवलय $x^2 - 4y^2 = 5$ के लिए $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xh - 4yk = 5$ होता है।
इसे दी गई स्पर्श रेखा $3x - 4y = 5$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{h}{3} = \frac{-4k}{-4} = \frac{5}{5}$
$\frac{h}{3} = 1 \implies h = 3$
$k = 1$
अतः,स्पर्श बिंदु $(3, 1)$ है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x x_1}{a^2} - \frac{y y_1}{b^2} = 1$ होता है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (a \sec \theta, b \tan \theta)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x(a \sec \theta)}{a^2} - \frac{y(b \tan \theta)}{b^2} = 1$
सरल करने पर:
$\frac{x}{a} \sec \theta - \frac{y}{b} \tan \theta = 1$.

(A) दिया गया अतिपरवलय $3x^2 - y^2 = 3$ है,जिसे $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 1$ और $b^2 = 3$ है।
रेखा $x + 3y = 2$ की ढाल $m_1 = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times m_1 = -1$ को संतुष्ट करना होगा,अतः $m = 3$।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
$m = 3$,$a^2 = 1$,और $b^2 = 3$ रखने पर:
$y = 3x \pm \sqrt{1(3)^2 - 3} = 3x \pm \sqrt{9 - 3} = 3x \pm \sqrt{6}$।

(C) दिया गया अतिपरवलय $2x^2 - 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 3$ और $b^2 = 2$ है।
रेखा $y = 3x + 4$ की ढाल $m = 3$ है।
ढाल $m$ वाले अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
मान रखने पर,$y = 3x \pm \sqrt{3(3^2) - 2}$.
$y = 3x \pm \sqrt{27 - 2}$.
$y = 3x \pm \sqrt{25}$.
$y = 3x \pm 5$.
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $y = 3x + 5$ और $y = 3x - 5$ हैं।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अतिपरवलय की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ द्वारा दी जाती है।
इसके लंबवत स्पर्श रेखा की प्रवणता $-\frac{1}{m}$ होगी,इसलिए इसका समीकरण $y = -\frac{1}{m}x \pm \sqrt{\frac{a^2}{m^2} - b^2}$ होगा।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अतिपरवलय $3x^2 - 4y^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है।
$m$ ढाल वाले अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा अक्षों से समान अंतःखंड काटती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \pm 1$ है।
$m = 1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = x \pm \sqrt{4(1)^2 - 3} = x \pm 1$ है,जो $y - x = \pm 1$ देती है।
$m = -1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = -x \pm \sqrt{4(-1)^2 - 3} = -x \pm 1$ है,जो $y + x = \pm 1$ देती है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही समीकरण $y - x = \pm 1$ है।

(D) बिंदु $(6, 2)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 2 = m(x - 6)$ है,जिसे $y = mx + (2 - 6m)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा के अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ की स्पर्श रेखा होने के लिए,स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ का पालन होना चाहिए,जहाँ $c = 2 - 6m$,$a^2 = 25$,और $b^2 = 16$ है।
इन मानों को रखने पर: $(2 - 6m)^2 = 25m^2 - 16$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $4 + 36m^2 - 24m = 25m^2 - 16$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $11m^2 - 24m + 20 = 0$.
चूँकि ${m_1}$ और ${m_2}$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार:
मूलों का योग: ${m_1} + {m_2} = -(\frac{-24}{11}) = \frac{24}{11}$.
मूलों का गुणनफल: ${m_1}{m_2} = \frac{20}{11}$.
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2 - 4y^2 = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 0)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $xx_1 - 4yy_1 = 1$ का उपयोग करते हैं।
बिंदु $(1, 0)$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(1) - 4y(0) = 1$
$x - 0 = 1$
$x = 1$.

(A) रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ $c = 6$,$a^2 = 100$,और $b^2 = 49$ दिया गया है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$6^2 = 100m^2 - 49$
$36 = 100m^2 - 49$
$100m^2 = 85$
$m^2 = \frac{85}{100} = \frac{17}{20}$
$m = \sqrt{\frac{17}{20}}$.

(C) वक्र $f(x, y) = x^2 - y^2 - 8x + 2y + 11 = 0$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 - yy_1 - 4(x + x_1) + 1(y + y_1) + 11 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x_1, y_1) = (2, 1)$ का मान रखने पर:
$x(2) - y(1) - 4(x + 2) + 1(y + 1) + 11 = 0$
$2x - y - 4x - 8 + y + 1 + 11 = 0$
$-2x + 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
अतः,समीकरण $x - 2 = 0$ है।

(A) रेखा और अतिपरवलय के समीकरण हैं:
$y = x - 1$ ..... $(i)$
$3x^2 - 4y^2 = 12$ ..... $(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x^2 - 4(x - 1)^2 = 12$
$3x^2 - 4(x^2 - 2x + 1) = 12$
$3x^2 - 4x^2 + 8x - 4 = 12$
$-x^2 + 8x - 16 = 0$
$x^2 - 8x + 16 = 0$
$(x - 4)^2 = 0$
$x = 4$
$x = 4$ को $(i)$ में रखने पर:
$y = 4 - 1 = 3$
अतः,स्पर्श बिंदु $(4, 3)$ है।

(B) रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
इसे $y = -(\cot \alpha) x + p \csc \alpha$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए रेखा $y = mx + c$ के स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2 m^2 - b^2$ है।
यहाँ,$m = -\cot \alpha$ और $c = p \csc \alpha$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(p \csc \alpha)^2 = a^2 (-\cot \alpha)^2 - b^2$
$p^2 \csc^2 \alpha = a^2 \cot^2 \alpha - b^2$
दोनों पक्षों को $\sin^2 \alpha$ से गुणा करने पर:
$p^2 = a^2 \cos^2 \alpha - b^2 \sin^2 \alpha$.

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
दिया गया बिंदु $(x, y) = (2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ है।
$x = 2 \sec \phi$ का $\phi$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dx}{d\phi} = 2 \sec \phi \tan \phi$ प्राप्त होता है।
$y = 3 \tan \phi$ का $\phi$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{d\phi} = 3 \sec^2 \phi$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\phi}{dx/d\phi} = \frac{3 \sec^2 \phi}{2 \sec \phi \tan \phi} = \frac{3}{2 \sin \phi} = \frac{3}{2} \csc \phi$ है।
दी गई रेखा $3x - y + 4 = 0$ है,जिसे $y = 3x + 4$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसकी ढाल $3$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होगी: $\frac{3}{2} \csc \phi = 3$।
इसका अर्थ है $\csc \phi = 2$,अर्थात $\sin \phi = \frac{1}{2}$।
अतः,$\phi = 30^\circ$ है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ होता है।
वृत्त के मानक समीकरण $x^2 + y^2 = r^2$ से तुलना करने पर,हमें $r^2 = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिज्या $r = \sqrt{a^2 - b^2}$ है।

(B) रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।

(D) दिया गया अतिपरवलय $4x^2 - 9y^2 = 36$ है। $36$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
रेखा $x + y = \sqrt{2}p$ है,जिसे $y = -x + \sqrt{2}p$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $y = mx + c$ से करने पर,हमें $m = -1$ और $c = \sqrt{2}p$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
मान रखने पर,हमें $(\sqrt{2}p)^2 = 9(-1)^2 - 4$ प्राप्त होता है।
$2p^2 = 9 - 4$.
$2p^2 = 5$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ होता है।
यहाँ दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$a^2 = 16$ और $b^2 = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,$x^2 + y^2 = 16 - 4$ प्राप्त होता है।
अतः,नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 12$ है।

(A) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ है।
इसे $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 3$ और $b^2 = 2$ प्राप्त होता है।
$y - x + 5 = 0$ (अर्थात $y = x - 5$,ढाल $m = 1$) के समांतर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
$m = 1, a^2 = 3, b^2 = 2$ रखने पर:
$y = 1 \cdot x \pm \sqrt{3(1)^2 - 2}$
$y = x \pm \sqrt{3 - 2}$
$y = x \pm 1$
इससे दो समीकरण प्राप्त होते हैं: $x - y + 1 = 0$ और $x - y - 1 = 0$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x - y - 1 = 0$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया वक्र $b^2 x^2 - a^2 y^2 = a^2 b^2$ है,जिसे $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{b^2 x}{a^2 y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{b \sec \theta}{a \tan \theta}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{a \tan \theta}{b \sec \theta}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - b \tan \theta = -\frac{a \tan \theta}{b \sec \theta} (x - a \sec \theta)$ है।
सरल करने पर,$\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अतिपरवलय के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ है।
दी गई रेखा $lx + my = n$ को $\frac{lx}{n} + \frac{my}{n} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अभिलंब समीकरण $\frac{ax}{(a^2+b^2)\sec \theta} + \frac{by}{(a^2+b^2)\tan \theta} = 1$ की तुलना $\frac{lx}{n} + \frac{my}{n} = 1$ से करने पर:
$\sec \theta = \frac{an}{l(a^2+b^2)}$ और $\tan \theta = \frac{bn}{m(a^2+b^2)}$
सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a^2n^2}{l^2(a^2+b^2)^2} - \frac{b^2n^2}{m^2(a^2+b^2)^2} = 1$
अतः,$\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2+b^2)^2}{n^2}$।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ है।
$a^2 = 16$,$b^2 = 9$,$x_1 = 8$,और $y_1 = 3\sqrt{3}$ रखने पर:
$\frac{16x}{8} + \frac{9y}{3\sqrt{3}} = 16 + 9$
$2x + \frac{3y}{\sqrt{3}} = 25$
$2x + \sqrt{3}y = 25$.

(A) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 3$ है। $3$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{27} - \frac{y^2}{48} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 27$ और $b^2 = 48$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2(x - x_1)}{x_1} + \frac{b^2(y - y_1)}{y_1} = 0$ होता है।
$(x_1, y_1) = (6, 4)$,$a^2 = 27$,और $b^2 = 48$ रखने पर:
$\frac{27(x - 6)}{6} + \frac{48(y - 4)}{4} = 0$
$\frac{9(x - 6)}{2} + 12(y - 4) = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$9(x - 6) + 24(y - 4) = 0$
$9x - 54 + 24y - 96 = 0$
$9x + 24y = 150$
$3$ से भाग देने पर:
$3x + 8y = 50$.

(B) अतिपरवलय का समीकरण $S \equiv 25x^2 - 16y^2 - 400 = 0$ है।
दिए गए मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T = 25xx_1 - 16yy_1 - 400$ और $S_1 = 25x_1^2 - 16y_1^2 - 400$ है।
दिए गए मध्य-बिंदु $(x_1, y_1) = (5, 3)$ के लिए:
$S_1 = 25(5)^2 - 16(3)^2 - 400 = 625 - 144 - 400 = 81$.
अब,$T$ की गणना करते हैं:
$T = 25x(5) - 16y(3) - 400 = 125x - 48y - 400$.
$T = S_1$ को बराबर करने पर:
$125x - 48y - 400 = 81$
$125x - 48y = 481$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए अभिलंब का समीकरण $y = -\frac{a}{b} \sin \theta x + \frac{a^2 + b^2}{b \tan \theta}$ होता है।
यहाँ $a = 4, b = 3$ है।
तुलना करने पर,$\frac{a^2 + b^2}{b \tan \theta} = \frac{25}{3 \tan \theta} = \frac{25\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
यदि हम $\tan \theta = \sqrt{3}$ लें तो $m = -\frac{4}{3} \sin 60^\circ = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण: $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{16} - \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{9x}{16y}$.
बिंदु $(-4, 0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा)।
चूंकि बिंदु $(-4, 0)$ पर स्पर्श रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा $(x = -4)$ है,इसलिए उस बिंदु पर अभिलंब एक क्षैतिज रेखा होगी जो $(-4, 0)$ से होकर गुजरती है।
$(-4, 0)$ से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा का समीकरण $y = 0$ है।

(A) दिया गया अतिपरवलय ${x^2} - 3{y^2} = 1$ है,जिसे मानक रूप $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1/3} = 1$ में लिखा जा सकता है।
यहाँ,${a^2} = 1$ और ${b^2} = \frac{1}{3}$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e'$ का सूत्र $e' = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$ है।
मान रखने पर,$e' = \sqrt{1 + \frac{1}{1/3}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$।

(A) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(i)$ है।
इसका संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ $(ii)$ है।
अतिपरवलय $(i)$ के लिए,उत्केंद्रता $e$,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$।
अतः,$\frac{1}{e^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$ $(iii)$।
संयुग्मी अतिपरवलय $(ii)$ के लिए,उत्केंद्रता $e'$,$a^2 = b^2(e'^2 - 1)$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $e'^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{b^2}$।
अतः,$\frac{1}{e'^2} = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$ $(iv)$।
$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर,हमें $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e'^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2} + \frac{b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं,इसलिए अतिपरवलय क्षैतिज है और $ae = 5$ है।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 8$ है,जिसका अर्थ है $b = 4$ है।
अतिपरवलय के लिए,$a$,$b$,और $e$ के बीच संबंध $c^2 = a^2 + b^2$ है,जहाँ $c = ae = 5$ है।
अतः,$5^2 = a^2 + 4^2$,जिससे $25 = a^2 + 16$ प्राप्त होता है।
$a^2 = 25 - 16 = 9$,इसलिए $a = 3$ है।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
$144$ से गुणा करने पर,हमें $16x^2 - 9y^2 = 144$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_e$ के लिए $b^2 = a^2(1 - e_e^2)$,अतः $9 = 25(1 - e_e^2)$,जिससे $1 - e_e^2 = \frac{9}{25}$ प्राप्त होता है,इसलिए $e_e^2 = \frac{16}{25}$,अर्थात $e_e = \frac{4}{5}$।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae_e, 0) = (\pm 5 \times \frac{4}{5}, 0) = (\pm 4, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 4$। दी गई उत्केंद्रता $e = 2$ है,अतः $a(2) = 4$,जिसका अर्थ है $a = 2$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 2^2(2^2 - 1) = 4(3) = 12$।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$,अर्थात $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।

(B) आयताकार अतिपरवलय का समीकरण $xy = c^2$ है।
इसे $45^\circ$ के कोण पर अक्षों को घुमाकर मानक रूप $X^2 - Y^2 = a^2$ में बदला जा सकता है,जहाँ $a^2 = 2c^2$,इसलिए $a = c\sqrt{2}$ है।
आयताकार अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ होती है।
मानक रूप में नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ होती हैं।
मूल निर्देशांकों में वापस जाने पर,नाभियाँ $(\pm c\sqrt{2}, \pm c\sqrt{2})$ प्राप्त होती हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 = 1$ है,जो आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ के मानक रूप में है,जहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 1$ है।
आयताकार अतिपरवलय के लिए,$a = b$ होता है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + b^2/a^2}$ है।
$a^2 = 1$ और $b^2 = 1$ रखने पर,हमें $e = \sqrt{1 + 1/1} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$(x + y)t = a$ --- $(1)$
$x - y = at$ --- $(2)$
बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,हम प्राचल $t$ को विलुप्त करेंगे।
समीकरण $(2)$ से,$t = \frac{x - y}{a}$।
$t$ के इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + y) \left( \frac{x - y}{a} \right) = a$
$(x + y)(x - y) = a^2$
$x^2 - y^2 = a^2$
यह एक आयताकार अतिपरवलय का समीकरण है।

(B) अतिपरवलय की नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 16$ होती है।
दिया गया है $e = \sqrt{2}$,इसलिए $2a(\sqrt{2}) = 16$,जिसका अर्थ है $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$।
मान रखने पर,$b^2 = (4\sqrt{2})^2 ((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$।
अतः,$b = 4\sqrt{2}$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 32$ और $b^2 = 32$ रखने पर,हमें $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - y^2 = 32$ हो जाता है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ है।
इसे $\frac{x}{a \cos \theta} - \frac{y}{b \cot \theta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $x_0 = a \cos \theta$ और $y_0 = -b \cot \theta$ हैं।
यह दिया गया है कि अंतःखंडों की लंबाई इकाई है,इसलिए $|a \cos \theta| = 1$ और $|-b \cot \theta| = 1$ है।
अतः,$a = |\sec \theta|$ और $b = |\tan \theta|$ है।
वर्ग करके घटाने पर,$a^2 - b^2 = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,बिंदु $(a, b)$ आयताकार अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 1$ पर स्थित है।

(B) दिया गया समीकरण $xy = c^2$ है।
यह एक अतिपरवलय को दर्शाता है जिसके अनंतस्पर्शी निर्देशांक अक्ष हैं।
ऐसे अतिपरवलय को आयताकार अतिपरवलय कहा जाता है क्योंकि इसके अनंतस्पर्शी एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) आयताकार अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ होती है।
अतः,उत्केंद्रता का व्युत्क्रम $\frac{1}{e} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{\sqrt{1999}}{3}(x^2 - y^2) = 1$ है।
इसे $x^2 - y^2 = \frac{3}{\sqrt{1999}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों को $\frac{3}{\sqrt{1999}}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{\frac{3}{\sqrt{1999}}} - \frac{y^2}{\frac{3}{\sqrt{1999}}} = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप में है,जहाँ $a^2 = b^2 = \frac{3}{\sqrt{1999}}$ है।
चूँकि $a = b$ है,इसलिए यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होता है।
आयताकार अतिपरवलय के लिए,$a = b$ होता है,इसलिए $e = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ या $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ होता है।
दिए गए समीकरण $5x^2 + \lambda y^2 = 20$ को $\frac{x^2}{4} + \frac{\lambda y^2}{20} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसके अतिपरवलय होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
आयताकार अतिपरवलय के लिए,यदि समीकरण $Ax^2 + By^2 = C$ के रूप में है,तो $A + B = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = 5$ और $B = \lambda$ है।
अतः,$5 + \lambda = 0$,जिससे $\lambda = -5$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय की नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 16$ होती है।
दी गई उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ के साथ,$2a(\sqrt{2}) = 16$,जिससे $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = (4\sqrt{2})^2 ((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$।
चूंकि $a^2 = 32$ और $b^2 = 32$,यह एक आयताकार अतिपरवलय है जिसका समीकरण $x^2 - y^2 = a^2$ अर्थात $x^2 - y^2 = 32$ है।

(D) एक आयताकार अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ होती है।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = 10$ द्वारा दी जाती है।
$e = \sqrt{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2a}{\sqrt{2}} = 10$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = 10\sqrt{2}$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $2ae = (10\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 10 \times 2 = 20$ इकाई प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 = a^2$ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होता है।
यहाँ,$a^2 = a^2$ और $b^2 = a^2$ है।
अतः,$e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$।

(C) एक आयताकार अतिपरवलय वह अतिपरवलय है जिसमें अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्षों की लंबाई समान होती है,अर्थात $a = b$।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होता है।
$a = b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,आयताकार अतिपरवलय की उत्केंद्रता $\sqrt{2}$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय का समीकरण ${x^2} - 3{y^2} = 2x + 8$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,${x^2} - 2x - 3{y^2} = 8$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,${(x - 1)^2} - 3{y^2} = 9$ प्राप्त होता है।
$9$ से भाग देने पर,$\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
इसका संयुग्मी अतिपरवलय $-\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1$ है,अर्थात $\frac{{{y^2}}}{3} - \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{9} = 1$।
यहाँ $A^2 = 3$ और $B^2 = 9$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{B^2}{A^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{3}} = \sqrt{1 + 3} = 2$।

(B) रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ दी गई रेखा $y = \alpha x + \beta$ के लिए,$m = \alpha$ और $c = \beta$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर,हमें $\beta^2 = a^2\alpha^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = a^2x^2 - b^2$ प्राप्त होता है,जिसे $a^2x^2 - y^2 = b^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a^2 = 16$ और $b^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ है।
मान रखने पर,$e^2 = 1 + \frac{25}{16}$।
$e^2 = \frac{16 + 25}{16} = \frac{41}{16}$।
अतः,$e = \sqrt{\frac{41}{16}} = \frac{\sqrt{41}}{4}$।

(B) दिया गया है: उत्केंद्रता $e = 2$ और नाभियों के बीच की दूरी = $2ae = 8$ है।
चूंकि $2ae = 8$ और $e = 2$,इसलिए $2a(2) = 8$,जिसका अर्थ है $4a = 8$,अतः $a = 2$ है।
इस प्रकार,$a^2 = 4$ है।
अतिपरवलय के लिए,$a, b,$ और $e$ के बीच का संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर: $b^2 = 4(2^2 - 1) = 4(4 - 1) = 4(3) = 12$ है।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 4$ और $b^2 = 12$ रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभिलंब की लंबाई = $\frac{2b^2}{a} = 9$,अतः $2b^2 = 9a$ ... $(i)$.
उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$ है। हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$e = \frac{5}{4}$ रखने पर,$b^2 = a^2(\frac{25}{16} - 1) = a^2(\frac{9}{16}) = \frac{9a^2}{16}$ ... $(ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $2(\frac{9a^2}{16}) = 9a$.
$\frac{9a^2}{8} = 9a \implies a = 8$.
अब,$b^2 = \frac{9(8^2)}{16} = 36$.
अतः,समीकरण $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$ है।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 3$ और $b^2 = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्शरेखा अक्षों पर समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए इसकी ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ या $m = -1$ होगी।
$m = 1$ लेने पर,अतिपरवलय की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ के अनुसार:
$y = 1 \cdot x \pm \sqrt{3(1)^2 - 2}$
$y = x \pm \sqrt{3 - 2}$
$y = x \pm 1$.
अतः,संभावित समीकरण $y = x + 1$ या $y = x - 1$ हैं। विकल्पों के अनुसार,$y = x + 1$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos \theta$ है।
$8$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{8}{r} = 1 + 3 \cos \theta$ प्राप्त होता है।
यह शांकव परिच्छेद का मानक ध्रुवीय रूप $\frac{l}{r} = 1 + e \cos \theta$ है,जहाँ $e$ उत्केंद्रता है।
तुलना करने पर,$e = 3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $e = 3 > 1$ है,इसलिए यह समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।