Hyperbola Questions in Hindi

(A) माना $(h, k)$ दो स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतिपरवलय के लिए स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण को विस्तारित करने और $x^2$ तथा $y^2$ के गुणांकों का उपयोग करने पर,प्रवणताओं का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{A}{B}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2} = c^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अभीष्ट वक्र $y^2 + b^2 = c^2(x^2 - a^2)$ है।

(B) बिंदु $(h, k)$ के लिए अतिपरवलय $S: x^2 - y^2 - 9 = 0$ की स्पर्श-जीवा का समीकरण $T = 0$ अर्थात $xh - yk - 9 = 0$ होता है।
इसे दी गई जीवा $x = 9$ (या $x - 9 = 0$) के साथ तुलना करने पर,हमें $h = 1$ और $k = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(h, k)$ से अतिपरवलय पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ है।
यहाँ,$S = x^2 - y^2 - 9$,$S_1 = (1)^2 - (0)^2 - 9 = -8$,और $T = x - 9$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $(x^2 - y^2 - 9)(-8) = (x - 9)^2$.
$-8x^2 + 8y^2 + 72 = x^2 - 18x + 81$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9x^2 - 8y^2 - 18x + 9 = 0$।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y = 0$ है।
अनंतस्पर्शी का समीकरण $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y + \lambda = 0$ के रूप में होता है।
नियत प्रतिबंध का उपयोग करने पर,$\lambda = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x + 5y + 2 = 0$ है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$ है।
आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ पर किसी भी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(ct, c/t)$ होते हैं।
इन्हें वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(ct)^2 + (c/t)^2 + 2g(ct) + 2f(c/t) + k = 0$
हर को हटाने के लिए $t^2$ से गुणा करने पर:
$c^2t^4 + 2gct^3 + kt^2 + 2fct + c^2 = 0$
यह $t$ में एक द्वि-वर्ग समीकरण है जिसके मूल $t_1, t_2, t_3,$ और $t_4$ हैं।
बहुपद समीकरण $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ के मूलों के गुणों से,मूलों का गुणनफल $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,मूलों का गुणनफल $t_1t_2t_3t_4 = (-1)^4 \frac{c^2}{c^2} = 1$ है।

(B) दिया गया अतिपरवलय $xy = a^2$ है,जिसे $y = \frac{a^2}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0)$ है। अवकलन $\frac{dy}{dx} = -\frac{a^2}{x^2}$ है।
वक्र पर किसी भी बिंदु $(x_0, y_0)$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{a^2}{x_0^2}$ है।
चूंकि $y_0 = \frac{a^2}{x_0}$,स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_0 = -\frac{a^2}{x_0^2}(x - x_0)$ होता है।
$y_0 = \frac{a^2}{x_0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y - \frac{a^2}{x_0} = -\frac{a^2}{x_0^2}x + \frac{a^2}{x_0}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $y = -\frac{a^2}{x_0^2}x + \frac{2a^2}{x_0}$ या $\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 2$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $2x_0$ है और $y$-अंतःखंड $2y_0$ है।
स्पर्शरेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times |2x_0| \times |2y_0| = 2|x_0 y_0|$ है।
चूंकि $x_0 y_0 = a^2$,इसलिए क्षेत्रफल $2|a^2| = 2a^2$ है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{16} - \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$ है।
मानक रूप $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 4$ और $b = 3$ है।
केंद्र $(h, k) = (0, 2)$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ है।
नाभियाँ $(h \pm ae, k)$ द्वारा प्राप्त होती हैं।
मान रखने पर,$(0 \pm 4 \times \frac{5}{4}, 2) = (\pm 5, 2)$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभियाँ $(5, 2)$ और $(-5, 2)$ हैं।

(B) शीर्ष $(0, 0)$ और $(10, 0)$ हैं। अतिपरवलय का केंद्र शीर्षों का मध्यबिंदु है: $(\frac{0+10}{2}, 0) = (5, 0)$.
शीर्षों के बीच की दूरी $2a = 10$ है,इसलिए $a = 5$.
केंद्र $(5, 0)$ से नाभि $(18, 0)$ तक की दूरी $ae = 18 - 5 = 13$ है।
चूंकि $a = 5$,इसलिए $5e = 13$,जिसका अर्थ है $e = \frac{13}{5}$.
संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करते हुए,$b^2 = 25(\frac{169}{25} - 1) = 169 - 25 = 144$,इसलिए $b = 12$.
केंद्र $(h, k) = (5, 0)$ वाले अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{(x - 5)^2}{25} - \frac{y^2}{144} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ है,जिसका अर्थ है $a = 4$ है।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 6$ है,जिसका अर्थ है $b = 3$ है।
अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार,अतिपरवलय पर स्थित किसी भी बिंदु की उसकी दोनों नाभियों से दूरियों का अंतर अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
अतः,दूरियों का अंतर $2a = 8$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $y^2 - 9x^2 + 1 = 0$ है,जिसे $9x^2 - y^2 - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $S(x, y) = 9x^2 - y^2 - 1$ है।
बिंदु $(5, -4)$ के लिए,$S(5, -4) = 9(5)^2 - (-4)^2 - 1 = 225 - 16 - 1 = 208$ है।
चूंकि $S(5, -4) > 0$ है,इसलिए बिंदु अतिपरवलय के अंदर स्थित है।
मानक अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,बिंदु $(x_1, y_1)$ के अंदर होने की शर्त $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} - 1 > 0$ है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ में दी गई शर्त गलत है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{b^2 x}{a^2 y}$।
बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{b^2 (a \sec \theta)}{a^2 (b \tan \theta)} = \frac{b \sec \theta}{a \tan \theta}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{a \tan \theta}{b \sec \theta}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - b \tan \theta = -\frac{a \tan \theta}{b \sec \theta} (x - a \sec \theta)$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $b \sec \theta (y - b \tan \theta) = -a \tan \theta (x - a \sec \theta)$।
$by \sec \theta - ab \sec \theta \tan \theta = -ax \tan \theta + a^2 \sec \theta \tan \theta$।
$ax \tan \theta + by \sec \theta = (a^2 + b^2) \sec \theta \tan \theta$।
दोनों पक्षों को $\sec \theta \tan \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।

(C) यहाँ केंद्र $(0, 0)$,शीर्ष $(4, 0)$ और नाभि $(6, 0)$ है।
चूँकि शीर्ष और नाभि $x$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप में होगा।
यहाँ $a = 4$ और $ae = 6$ है।
$a = 4$ रखने पर,$4e = 6$,जिससे $e = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
$b^2 = 16 \left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 1 \right) = 16 \left( \frac{9}{4} - 1 \right) = 16 \left( \frac{5}{4} \right) = 20$.
$a^2 = 16$ और $b^2 = 20$ को मानक समीकरण में रखने पर,$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $80$ से गुणा करने पर,$5x^2 - 4y^2 = 80$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए ढाल $m$ वाले अभिलंब का समीकरण:
$y = mx - \frac{m(a^2 + b^2)}{\sqrt{a^2 - b^2m^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y - mx)^2 (a^2 - b^2m^2) = m^2(a^2 + b^2)^2$
यदि यह अभिलंब बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरता है,तो:
$(y_1 - mx_1)^2 (a^2 - b^2m^2) = m^2(a^2 + b^2)^2$
यह समीकरण $m$ में $4$ घात का बहुपद समीकरण है।
अतः,$m$ के अधिकतम $4$ मान प्राप्त होते हैं।
इस प्रकार,किसी बाहरी बिंदु से अतिपरवलय पर खींचे जा सकने वाले अभिलंबों की संख्या $4$ है।

(B) रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ अतिपरवलय $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{49} = 1$ के लिए $a^2 = 100$ और $b^2 = 49$ है।
रेखा $y = mx + 6$ है,इसलिए $c = 6$ है।
इन मानों को शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ में रखने पर:
$6^2 = 100m^2 - 49$
$36 = 100m^2 - 49$
$100m^2 = 36 + 49$
$100m^2 = 85$
$m^2 = \frac{85}{100} = \frac{17}{20}$
$m = \sqrt{\frac{17}{20}}$.

(B) दिया गया अतिपरवलय $x^2 - 4y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 36$ और $b^2 = 9$ है।
रेखा $x - y + 4 = 0$ की ढाल $m_1 = 1$ है।
चूंकि स्पर्शरेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times 1 = -1$ को संतुष्ट करना होगा,अतः $m = -1$।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ होता है।
मान रखने पर,$y = (-1)x \pm \sqrt{36(-1)^2 - 9}$।
$y = -x \pm \sqrt{36 - 9}$।
$y = -x \pm \sqrt{27}$।
$y = -x \pm 3\sqrt{3}$।
अतः,स्पर्शरेखा का समीकरण $x + y \pm 3\sqrt{3} = 0$ है।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 8$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है।
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2b = \frac{1}{2}(2ae)$,इसलिए $b = \frac{ae}{2}$,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{a^2e^2}{4}$।
$b^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4a = \frac{a^2e^2}{4}$,इसलिए $16a = a^2e^2$,जिससे $a = \frac{16}{e^2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$।
$b^2 = 4a$ और $a = \frac{16}{e^2}$ रखने पर: $4(\frac{16}{e^2}) = (\frac{16}{e^2})^2(e^2 - 1)$।
$\frac{64}{e^2} = \frac{256}{e^4}(e^2 - 1)$।
$1 = \frac{4}{e^2}(e^2 - 1) = 4 - \frac{4}{e^2}$।
$\frac{4}{e^2} = 3$,इसलिए $e^2 = \frac{4}{3}$,जिससे $e = \frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,उत्केंद्रता $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।

(A) नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 8$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$.
उत्केंद्रता $e = \frac{3}{\sqrt{5}}$ के लिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
$e^2 = \frac{9}{5}$ रखने पर,$\frac{9}{5} = 1 + \frac{4a}{a^2} = 1 + \frac{4}{a}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{4}{5} = \frac{4}{a}$,जिससे $a = 5$ मिलता है।
अब $b^2 = 4(5) = 20$.
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,अर्थात $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{20} = 1$।
$100$ से गुणा करने पर,$4x^2 - 5y^2 = 100$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा $y = mx + c$,अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होती है यदि और केवल यदि $c^2 = a^2m^2 - b^2$ हो।
दी गई रेखा $ℓx + my + n = 0$ के लिए,इसे $y = -(\frac{ℓ}{m})x - (\frac{n}{m})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,ढाल $M = -\frac{ℓ}{m}$ और अंतःखंड $C = -\frac{n}{m}$ है।
इन मानों को $C^2 = a^2M^2 - b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-\frac{n}{m})^2 = a^2(-\frac{ℓ}{m})^2 - b^2$
$\frac{n^2}{m^2} = \frac{a^2ℓ^2}{m^2} - b^2$
दोनों पक्षों को $m^2$ से गुणा करने पर,हमें $n^2 = a^2ℓ^2 - b^2m^2$ प्राप्त होता है,जिसे $a^2ℓ^2 - b^2m^2 = n^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ है।
दिए गए अनुपात के अनुसार:
$\frac{2ae}{2a/e} = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow e^2 = \frac{3}{2}$.
अतिपरवलय के लिए,$a, b,$ और $e$ के बीच का संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ है।
अतः,$\frac{b^2}{a^2} = e^2 - 1$.
$e^2 = \frac{3}{2}$ रखने पर:
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $a : b = \sqrt{2} : 1$.

(B) दिए गए समीकरण $x = 8 \sec \theta$ और $y = 8 \tan \theta$ हैं।
वर्ग करके घटाने पर, हमें $x^2 - y^2 = 64 \sec^2 \theta - 64 \tan^2 \theta = 64(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) = 64$ प्राप्त होता है।
यह $x^2 - y^2 = a^2$ के रूप का एक आयतीय अतिपरवलय है, जहाँ $a = 8$ है।
आयतीय अतिपरवलय के लिए, उत्केंद्रता $e = \sqrt{2}$ होती है।
अतिपरवलय की नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, दूरी $= \frac{2(8)}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8 \sqrt{2}$ है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ के लिए,$a^2 = 25, b^2 = 16$। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$।
नाभियाँ $(\pm ae_1, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_2$ के लिए,$e_1 \times e_2 = 1 \Rightarrow e_2 = \frac{5}{3}$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ है। यह $(\pm 3, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $A^2 = 9$।
अतिपरवलय के लिए,$e_2^2 = 1 + \frac{B^2}{A^2} \Rightarrow (\frac{5}{3})^2 = 1 + \frac{B^2}{9} \Rightarrow \frac{25}{9} = 1 + \frac{B^2}{9} \Rightarrow \frac{B^2}{9} = \frac{16}{9} \Rightarrow B^2 = 16$।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ है।

(B) बिंदु $(h, k)$ से अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 9$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $xh - yk = 9$ है।
$x = 9$ के साथ तुलना करने पर,$h = 1$ और $k = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(1, 0)$ से स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ है।
यहाँ $S = x^2 - y^2 - 9$,$S_1 = -8$ और $T = x - 9$ है।
मान रखने पर,$(x^2 - y^2 - 9)(-8) = (x - 9)^2$ प्राप्त होता है।
$-8x^2 + 8y^2 + 72 = x^2 - 18x + 81$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$9x^2 - 8y^2 - 18x + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा का समीकरण $y = -(\cot \alpha) x + p \csc \alpha$ है।
इसकी तुलना स्पर्शरेखा के रूप $y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 - b^2}$ से करने पर,जहाँ $m = -\cot \alpha$ और $c = p \csc \alpha$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$c^2 = a^2 m^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$(p \csc \alpha)^2 = a^2 (-\cot \alpha)^2 - b^2$.
$p^2 \csc^2 \alpha = a^2 \cot^2 \alpha - b^2$.
$\sin^2 \alpha$ से गुणा करने पर,$p^2 = a^2 \cos^2 \alpha - b^2 \sin^2 \alpha$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं,इसलिए $ae_h = 4$ है। अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_h = 2$ दी गई है,इसलिए $a = \frac{4}{2} = 2$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e_h^2 - 1) = 2^2(2^2 - 1) = 4(3) = 12$ है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।

(A) दिया गया अतिपरवलय $x^2 - 3y^2 = 1$ है,जिसे $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1/3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 1$ और $b^2 = 1/3$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण $-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जो $-x^2 + 3y^2 = 1$ या $\frac{y^2}{1/3} - \frac{x^2}{1} = 1$ है।
$\frac{y^2}{B^2} - \frac{x^2}{A^2} = 1$ प्रकार के अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{A^2}{B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A^2 = 1$ और $B^2 = 1/3$ है।
अतः,$e = \sqrt{1 + \frac{1}{1/3}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है।
उत्केंद्रता $e_e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
अतः नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 4$ है। दिया गया है कि $e = 2$,अतः $a = 2$ है।
अतिपरवलय के लिए $b^2 = a^2(e^2 - 1) = 2^2(2^2 - 1) = 4(3) = 12$ है।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।

(D) $(1, 2\sqrt{2})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 2\sqrt{2} = m(x - 1)$ है,जिसे $y = mx + (2\sqrt{2} - m)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह अतिपरवलय $16x^{2} - 25y^{2} = 400$ की स्पर्श रेखा है,इसे $400$ से विभाजित करने पर $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a^{2} = 25$ और $b^{2} = 16$ है।
स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ है,जहाँ $c = 2\sqrt{2} - m$ है।
मान रखने पर: $(2\sqrt{2} - m)^{2} = 25m^{2} - 16$.
$8 + m^{2} - 4\sqrt{2}m = 25m^{2} - 16$.
$24m^{2} + 4\sqrt{2}m - 24 = 0$.
$4$ से विभाजित करने पर: $6m^{2} + \sqrt{2}m - 6 = 0$.
माना मूल $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं। ढाल का गुणनफल $m_{1}m_{2} = \frac{-6}{6} = -1$ है।
चूंकि ढाल का गुणनफल $-1$ है,इसलिए स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\pi / 2$ है।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए बिंदु $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \sin \theta + by = (a^2 + b^2) \tan \theta$ है।
इसी प्रकार,बिंदु $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \sin \phi + by = (a^2 + b^2) \tan \phi$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $ax(\sin \theta - \sin \phi) = (a^2 + b^2)(\tan \theta - \tan \phi)$।
$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin \phi = \cos \theta$ और $\tan \phi = \cot \theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ के लिए हल करने पर,$y$-निर्देशांक $k = -\frac{a^2 + b^2}{b}$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय $x^{2} - y^{2} = a^{2}$ के बिंदु $P(a \sec \theta, a \tan \theta)$ पर किसी स्पर्शरेखा का समीकरण $x \sec \theta - y \tan \theta = a$ है ......$(i)$
दी गई रेखाएं $x - y = 0$ ......(ii) और $x + y = 0$ ......(iii) हैं।
इन रेखाओं को युग्मों में हल करने पर,हमें त्रिभुज के शीर्ष इस प्रकार मिलते हैं:
$A = \left( \frac{a}{\sec \theta - \tan \theta}, \frac{a}{\sec \theta - \tan \theta} \right)$,
$B = \left( \frac{a}{\sec \theta + \tan \theta}, -\frac{a}{\sec \theta + \tan \theta} \right)$,
और $C = (0, 0)$.
चूंकि एक शीर्ष मूल बिंदु $(0, 0)$ है,त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \left| \left( \frac{a}{\sec \theta - \tan \theta} \right) \left( -\frac{a}{\sec \theta + \tan \theta} \right) - \left( \frac{a}{\sec \theta + \tan \theta} \right) \left( \frac{a}{\sec \theta - \tan \theta} \right) \right|$
क्षेत्रफल $= \frac{a^{2}}{2} \left| \frac{-1}{\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta} - \frac{1}{\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta} \right|$
चूंकि $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$,इसलिए:
क्षेत्रफल $= \frac{a^{2}}{2} |-1 - 1| = \frac{a^{2}}{2} |-2| = a^{2}$.

(D) दिया गया समीकरण: $16(x^{2} - 2x) - 3(y^{2} - 4y) = 44$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $16(x^{2} - 2x + 1) - 3(y^{2} - 4y + 4) = 44 + 16 - 12$.
$16(x - 1)^{2} - 3(y - 2)^{2} = 48$.
$48$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^{2}}{3} - \frac{(y - 2)^{2}}{16} = 1$.
मानक रूप $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 3$ और $b^{2} = 16$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}$.
$e = \sqrt{1 + \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{3 + 16}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}}$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ है।
इस रेखा के अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने के लिए,$y = mx + c$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(mx + c)^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$
$b^2(m^2x^2 + 2mcx + c^2) - a^2x^2 = a^2b^2$
$x^2(b^2m^2 - a^2) + 2b^2mcx + (b^2c^2 - a^2b^2) = 0$.
चूंकि यह एक स्पर्श रेखा है,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए:
$D = (2b^2mc)^2 - 4(b^2m^2 - a^2)(b^2c^2 - a^2b^2) = 0$
$a^2b^2m^2 + a^2c^2 - a^4 = 0$
$b^2m^2 + c^2 - a^2 = 0$,अतः $c^2 = a^2 - b^2m^2$.
$c^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$a^2m^2 - b^2 = a^2 - b^2m^2$
$m^2(a^2 + b^2) = a^2 + b^2$
$m^2 = 1 \implies m = \pm 1$.
$m^2 = 1$ को $c^2 = a^2m^2 - b^2$ में रखने पर:
$c^2 = a^2 - b^2$,अतः $c = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$.
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण $y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $16x^{2} - 9y^{2} = 144$ है। $144$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2} = 9$ और $b^{2} = 16$ है।
रेखा $y = mx + c$,अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ को स्पर्श करती है यदि $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ हो।
$y = 2x + \gamma$ की तुलना $y = mx + c$ से करने पर,$m = 2$ और $c = \gamma$ प्राप्त होता है।
शर्त में मान रखने पर: $\gamma^{2} = (9)(2^{2}) - 16$.
$\gamma^{2} = (9)(4) - 16 = 36 - 16 = 20$.
अतः,$\gamma = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$।

(A) दिया गया समीकरण: $x^{2} - y^{2} - 4x + 4y + 16 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x^{2} - 4x) - (y^{2} - 4y) = -16$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^{2} - 4x + 4) - (y^{2} - 4y + 4) = -16 + 4 - 4$
$(x - 2)^{2} - (y - 2)^{2} = -16$
$-16$ से भाग देने पर: $\frac{(y - 2)^{2}}{16} - \frac{(x - 2)^{2}}{16} = 1$
यह $\frac{Y^{2}}{a^{2}} - \frac{X^{2}}{b^{2}} = 1$ रूप का एक आयताकार अतिपरवलय है,जहाँ $a^{2} = 16$ और $b^{2} = 16$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}$ है।
आयताकार अतिपरवलय के लिए $a = b$ होता है,इसलिए $e = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$।

(B) शंकु $S = 0$ की उस जीवा का समीकरण जिसका मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ है,$T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
अतिपरवलय $S: 25x^{2} - 16y^{2} - 400 = 0$ दिया गया है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (5, 3)$ के लिए:
$S_1 = 25(5)^{2} - 16(3)^{2} - 400 = 25(25) - 16(9) - 400 = 625 - 144 - 400 = 81$.
$T = 25x(x_1) - 16y(y_1) - 400 = 25x(5) - 16y(3) - 400 = 125x - 48y - 400$.
$T = S_1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$125x - 48y - 400 = 81$.
$125x - 48y = 481$.

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $3x^2 + 4y^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
इसकी नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a_h = 2 \sin \theta$ है,इसलिए $a_h = \sin \theta$।
चूंकि अतिपरवलय दीर्घवृत्त के साथ समनाभि है,इसकी नाभियाँ $(\pm 1, 0)$ हैं,इसलिए $a_h e_h = 1$।
अतः,$e_h = \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta$।
अतिपरवलय के लिए,$b_h^2 = a_h^2(e_h^2 - 1) = \sin^2 \theta (\csc^2 \theta - 1) = \cos^2 \theta$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{\sin^2 \theta} - \frac{y^2}{\cos^2 \theta} = 1$ है।
इसे $x^2 \csc^2 \theta - y^2 \sec^2 \theta = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) माना $P(x, y)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है। नाभि $S(1, 1)$ है और नियता $2x + y - 1 = 0$ है।
शंकु परिच्छेद की परिभाषा के अनुसार,$SP = e \cdot PM$,जहाँ $PM$ बिंदु $P$ से नियता की लंबवत दूरी है।
$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 3 \cdot \left( \frac{2x + y - 1}{\sqrt{2^2 + 1^2}} \right)^2$
$(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) = 3 \cdot \frac{(2x + y - 1)^2}{5}$
$5(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2) = 3(4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 2y - 4x)$
$5x^2 + 5y^2 - 10x - 10y + 10 = 12x^2 + 3y^2 + 3 + 12xy - 6y - 12x$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$7x^2 + 12xy - 2y^2 - 2x + 4y - 7 = 0$

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 2y^2 - 2\sqrt{2}x - 4\sqrt{2}y - 6 = 0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x^2 - 2\sqrt{2}x + 2) - 2(y^2 + 2\sqrt{2}y + 2) = 6 + 2 - 4$,जो $\frac{(x - \sqrt{2})^2}{4} - \frac{(y + \sqrt{2})^2}{2} = 1$ में सरल होता है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 2$,इसलिए $a = 2$ और $b = \sqrt{2}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
शीर्ष $A = (2 + \sqrt{2}, -\sqrt{2})$ है।
नाभि $C = (\sqrt{2} + \sqrt{6}, -\sqrt{2})$ है।
दूरी $AC = ae - a = \sqrt{6} - 2$ है।
अर्ध-नाभिलंब की लंबाई $BC = \frac{b^2}{a} = \frac{2}{2} = 1$ है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times (\sqrt{6} - 2) \times 1 = \sqrt{\frac{3}{2}} - 1$ है।

(C) नियता $x$-अक्ष को $(\pm a/e, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
निकटतम नियता के लिए,रेखा $2x + y = 1$ बिंदु $(a/e, 0)$ से गुजरती है।
$(a/e, 0)$ को $2x + y = 1$ में रखने पर,$2(a/e) + 0 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = e$।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,रेखा $y = mx + c$ के स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ,$y = -2x + 1$,इसलिए $m = -2$ और $c = 1$ है।
अतः,$1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,जिससे $1 = 4a^2 - b^2$ या $b^2 = 4a^2 - 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
$e = 2a$ रखने पर,$b^2 = a^2((2a)^2 - 1) = a^2(4a^2 - 1) = 4a^4 - a^2$ प्राप्त होता है।
$b^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4a^4 - a^2 = 4a^2 - 1$।
$4a^4 - 5a^2 + 1 = 0$।
$(4a^2 - 1)(a^2 - 1) = 0$।
चूंकि $2a = e$ और $e > 1$ है,इसलिए $a > 1/2$। यदि $a^2 = 1/4$ है,तो $e = 2(1/2) = 1$,जो अतिपरवलय के लिए संभव नहीं है।
अतः,$a^2 = 1$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$e = 2a = 2(1) = 2$।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$\sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$ $(i)$
$k(\sqrt{3}x + y) = 4\sqrt{3}$ $(ii)$
प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों समीकरणों का गुणा करके $k$ को विलुप्त करते हैं:
$(\sqrt{3}x - y) \times k(\sqrt{3}x + y) = (4\sqrt{3}k) \times (4\sqrt{3})$
$(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 16 \times 3$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है।

(B) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अनंतस्पर्शी $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर,अनंतस्पर्शी $x - \sqrt{2}y = 0$ और $x + \sqrt{2}y = 0$ हैं।
माना $P(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है,इसलिए $x_1^2 - 2y_1^2 = 2$ है।
$P(x_1, y_1)$ से अनंतस्पर्शी पर लंब की लंबाइयाँ $p_1 = \frac{|x_1 - \sqrt{2}y_1|}{\sqrt{3}}$ और $p_2 = \frac{|x_1 + \sqrt{2}y_1|}{\sqrt{3}}$ हैं।
लंबाइयों का गुणनफल $p_1 p_2 = \frac{|x_1^2 - 2y_1^2|}{3}$ है।
चूँकि $x_1^2 - 2y_1^2 = 2$ है,इसलिए गुणनफल $\frac{2}{3}$ है।

(C) नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ दी गई हैं।
अतः,$ae = 2$ है।
उत्केंद्रता $e = 2$ दी गई है,इसलिए $a(2) = 2$,जिसका अर्थ है $a = 1$ है।
अतिपरवलय के लिए,$a, b,$ और $e$ के बीच संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = 1^2(2^2 - 1) = 1(4 - 1) = 3$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 1$ और $b^2 = 3$ रखने पर,हमें $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 - y^2 = 3$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त के लिए,$0 < e < 1$,इसलिए $0 < e^2 < 1$.
परवलय के लिए,$e = 1$,इसलिए $e^2 = 1$.
अतिपरवलय के लिए,$e > 1$,इसलिए $e^2 > 1$.
दिया गया है कि $e^2 + e'^2 = 3$.
यदि $S$ और $S'$ दीर्घवृत्त होते,तो $e^2 < 1$ और $e'^2 < 1$,जिससे $e^2 + e'^2 < 2$ होता,जो दिए गए योग $3$ के विपरीत है।
यदि $S$ और $S'$ परवलय होते,तो $e^2 = 1$ और $e'^2 = 1$,जिससे $e^2 + e'^2 = 2$ होता,जो दिए गए योग $3$ के विपरीत है।
यदि $S$ और $S'$ अतिपरवलय हैं,तो $e^2 > 1$ और $e'^2 > 1$.
उदाहरण के लिए,यदि $e^2 = 1.5$ और $e'^2 = 1.5$,तो $e^2 + e'^2 = 3$,जहाँ $e = \sqrt{1.5} > 1$ और $e' = \sqrt{1.5} > 1$ दोनों संभव हैं।
अतः,$S$ और $S'$ दोनों अतिपरवलय होने चाहिए।

(D) $x$-अक्ष पर नाभियों वाले अतिपरवलय का मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दी गई नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 2$.
दी गई उत्केंद्रता $e = 3/2$ है।
$ae = 2$ में $e$ का मान रखने पर,$a(3/2) = 2$,जिसका अर्थ है $a = 4/3$.
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = (4/3)^2 ((3/2)^2 - 1) = (16/9) (9/4 - 1) = (16/9) (5/4) = 20/9$.
$a^2 = 16/9$ और $b^2 = 20/9$ को मानक समीकरण में रखने पर:
$\frac{x^2}{16/9} - \frac{y^2}{20/9} = 1 \implies \frac{9x^2}{16} - \frac{9y^2}{20} = 1$.
दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिणाम से मेल नहीं खाता है।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ है,जिसे $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय है जिसका मानक रूप $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ है।
$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ रूप के अतिपरवलय के लिए,नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2a^2}{b}$ होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b}$ है।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $4x^2 - 9y^2 = 36$ है।
दोनों पक्षों को $36$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{4x^2}{36} - \frac{9y^2}{36} = 1$
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$.
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 2$ है।
उत्केंद्रता $e$ इस प्रकार है: $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$.
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ होते हैं।
मान रखने पर,हमें $(\pm 3 \times \frac{\sqrt{13}}{3}, 0) = (\pm \sqrt{13}, 0)$ प्राप्त होता है।

(D) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभि के निर्देशांक $(ae, 0)$ हैं और अर्ध-नाभिलंब की लंबाई $\frac{b^2}{a}$ है।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु के निर्देशांक $(ae, \frac{b^2}{a})$ हैं।
केंद्र $(0, 0)$ और बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$ है।
चूंकि नाभिलंब केंद्र पर समकोण बनाता है,इसलिए ढाल $1$ और $-1$ होनी चाहिए।
अतः,$\frac{b^2}{a^2e} = 1$,जिसका अर्थ है $b^2 = a^2e$।
संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,हमें $a^2(e^2 - 1) = a^2e$ प्राप्त होता है।
$e^2 - 1 = e \implies e^2 - e - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $e = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ का उपयोग करने पर,चूंकि $e > 1$,इसलिए $e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$,अतः $a = 3$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{13}}{3}$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$।
मान रखने पर: $(\frac{\sqrt{13}}{3})^2 = 1 + \frac{b^2}{9} \implies \frac{13}{9} = 1 + \frac{b^2}{9}$।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $\frac{4}{9} = \frac{b^2}{9}$,जिससे $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ है।
चूंकि अतिपरवलय $(k, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $x = k$ और $y = 2$ रखने पर: $\frac{k^2}{9} - \frac{2^2}{4} = 1$।
$\frac{k^2}{9} - 1 = 1 \implies \frac{k^2}{9} = 2$।
अतः,$k^2 = 18$।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - y^2 = 3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{x_1}{y_1}$ है।
दी गई रेखा $2x + y + 8 = 0$ है,जिसे $y = -2x - 8$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $-2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के समांतर है,इसलिए ढाल समान होनी चाहिए: $\frac{x_1}{y_1} = -2$,अतः $x_1 = -2y_1$।
इसे अतिपरवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-2y_1)^2 - y_1^2 = 3$।
$4y_1^2 - y_1^2 = 3$,जिससे $3y_1^2 = 3$ प्राप्त होता है,अतः $y_1^2 = 1$,जिसका अर्थ है $y_1 = \pm 1$।
यदि $y_1 = 1$ है,तो $x_1 = -2(1) = -2$। बिंदु $(-2, 1)$ है।
यदि $y_1 = -1$ है,तो $x_1 = -2(-1) = 2$। बिंदु $(2, -1)$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(2, -1)$ मौजूद है।

(A) रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2 m^2 - b^2$ है।
बिंदु $P(m, c)$ का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,हम $m$ को $x$ से और $c$ को $y$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,बिंदुपथ $y^2 = a^2 x^2 - b^2$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $a^2 x^2 - y^2 = b^2$ या $\frac{x^2}{(b/a)^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $16x^2 - 9y^2 = 144$ है।
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{16x^2}{144} - \frac{9y^2}{144} = 1$
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$
इसे मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अतिपरवलय के नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
लंबाई $= \frac{2 \times 16}{3} = \frac{32}{3}$.