अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नियामक वृत्त (director circle) की त्रिज्या है

वक्र $x=a \cosh(t), y=b \sinh(t)$ के लिए किसी भी बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण क्या है?

कथन: अतिपरवलय $9x^2 - 16y^2 = 9$ पर स्थित बिंदुओं $P(\frac{\pi}{4})$ और $P(\frac{\pi}{3})$ के बीच की दूरी $\frac{1}{4} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 18\sqrt{3}}$ है।
कारण: $x = a \cosh t, y = b \sinh t$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के प्राचलिक समीकरण हैं।

मान लीजिए कि एक अतिपरवलय $H$ की नाभियाँ दीर्घवृत्त $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ की नाभियों के संपाती हैं और अतिपरवलय $H$ की उत्केंद्रता दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता का व्युत्क्रम है। यदि $H$ के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $\alpha$ है और इसके संयुग्मी अक्ष की लंबाई $\beta$ है,तो $3 \alpha^2+2 \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

चर $t$ के लिए,रेखाओं $x-2y=t$ और $x+2y=\frac{1}{t}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का बिंदुपथ क्या है?

यदि $16x^2 - 9y^2 = 144$ और $8x - 3y = 24$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ है,तो $3(A + 6 \ln(3))$ का मान . . . . . . . है।