Hyperbola Questions in Hindi

(B) माना $Q$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया है $A = (1, 0)$ और $B = (-1, 0)$।
शर्त है $|AQ - BQ| = 1$,जिसका अर्थ है $AQ - BQ = \pm 1$।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} - \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = \pm 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,हमें $12x^2 - 4y^2 = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण: $x = b \sec \phi$ और $y = a \tan \phi$ हैं।
अतः,$\frac{x}{b} = \sec \phi$ और $\frac{y}{a} = \tan \phi$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^2 \phi - \tan^2 \phi = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{x}{b}\right)^2 - \left(\frac{y}{a}\right)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ है,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(A) अतिपरवलय की परिभाषा वह बिंदुपथ है जहाँ बिंदु $P$ की दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों $A$ और $B$) से दूरियों का अंतर एक स्थिरांक होता है।
गणितीय रूप से,$|PA - PB| = 2a$,जहाँ $2a$ एक स्थिरांक है।
अतः,$P$ का बिंदुपथ एक अतिपरवलय है।

(A) माना बिंदु $P(h, k)$ है।
दिया गया है कि $|PA - PB| = 4$ है।
माना $A = (3, 0)$ और $B = (-3, 0)$ है।
$\sqrt{(h - 3)^2 + k^2} - \sqrt{(h + 3)^2 + k^2} = \pm 4$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(h - 3)^2 + k^2 = 16 + (h + 3)^2 + k^2 \mp 8\sqrt{(h + 3)^2 + k^2}$ प्राप्त होता है।
$h^2 - 6h + 9 + k^2 = 16 + h^2 + 6h + 9 + k^2 \mp 8\sqrt{(h + 3)^2 + k^2}$ है।
$-12h - 16 = \mp 8\sqrt{(h + 3)^2 + k^2}$ है।
$-4$ से विभाजित करने पर: $3h + 4 = \pm 2\sqrt{(h + 3)^2 + k^2}$ है।
पुनः वर्ग करने पर:
$9h^2 + 24h + 16 = 4(h^2 + 6h + 9 + k^2)$ है।
$9h^2 + 24h + 16 = 4h^2 + 24h + 36 + 4k^2$ है।
$5h^2 - 4k^2 = 20$ है।
$20$ से विभाजित करने पर: $\frac{h^2}{4} - \frac{k^2}{5} = 1$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ है।

(C) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ सरल रेखाओं का युग्म दर्शाता है यदि सारणिक $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ हो।
दिए गए समीकरण $3x^2 + 7xy + 2y^2 + 5x + 5y + 2 = 0$ की तुलना करने पर:
$a = 3, b = 2, c = 2, h = 7/2, g = 5/2, f = 5/2$.
सारणिक $\Delta$ की गणना करने पर:
$\Delta = 12 + 125/4 - 75/4 - 50/4 - 98/4 = -12.5 \neq 0$.
चूंकि $\Delta \neq 0$,यह रेखाओं का युग्म नहीं है। विविक्तकर $h^2 - ab = 6.25 > 0$ है,इसलिए यह एक अतिपरवलय (Hyperbola) दर्शाता है।

(C) माना $P(x, y)$ शांकव पर कोई बिंदु है।
शांकव की परिभाषा के अनुसार,नाभि $S(1, -1)$ से $P(x, y)$ की दूरी $SP = e \cdot PM$ है,जहाँ $PM$ बिंदु $P$ से नियता $x - y + 1 = 0$ पर लंबवत दूरी है।
$SP = \sqrt{(x - 1)^2 + (y + 1)^2}$
$PM = \frac{|x - y + 1|}{\sqrt{2}}$
चूँकि $e = \sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $SP^2 = e^2 \cdot PM^2$ होगा।
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2 \cdot \frac{(x - y + 1)^2}{2}$
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = (x - y + 1)^2$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2 = x^2 + y^2 + 1 - 2xy + 2x - 2y$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2xy - 4x + 4y + 1 = 0$.

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ है।
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ जानते हैं।
इसकी तुलना अतिपरवलय के समीकरण से करने पर,हम $\frac{x}{A} = \sec \theta$ और $\frac{y}{B} = \tan \theta$ रख सकते हैं।
अतः,अतिपरवलय पर स्थित बिंदु के निर्देशांक $(A \sec \theta, B \tan \theta)$ हैं।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2}}$ है।
अतः,$\frac{1}{e^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$।
अतिपरवलय $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{\frac{b^2 + a^2}{b^2}}$ है।
अतः,$\frac{1}{e_1^2} = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर,$\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e_1^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2} + \frac{b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $16x^2 - 9y^2 = 144$ है।
$144$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{x^2}{3^2} - \frac{y^2}{4^2} = 1$ है।
यह $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का एक मानक अतिपरवलय है,जहाँ $a = 3$ है।
अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार,अतिपरवलय पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ की दो नाभियों $S_1$ और $S_2$ से दूरियों का अंतर उसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
इसलिए,$|PS_1 - PS_2| = 2a = 2(3) = 6$।

(A) नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 8$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$।
उत्केंद्रता $e = \frac{3}{\sqrt{5}}$ दी गई है,इसलिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर।
$e^2 = \frac{9}{5}$ और $b^2 = 4a$ रखने पर,$\frac{9}{5} = 1 + \frac{4a}{a^2} = 1 + \frac{4}{a}$ प्राप्त होता है।
अतः $\frac{4}{5} = \frac{4}{a}$,जिससे $a = 5$ मिलता है।
इसलिए $b^2 = 4(5) = 20$।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{20} = 1$ हो जाता है।
$100$ से गुणा करने पर,$4x^2 - 5y^2 = 100$ प्राप्त होता है।

(B) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(3, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{3^2}{a^2} - \frac{0^2}{b^2} = 1$ है,जिससे $a^2 = 9$ प्राप्त होता है,अतः $a = 3$ है।
चूंकि यह $(3\sqrt{2}, 2)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{(3\sqrt{2})^2}{a^2} - \frac{2^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 9$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{18}{9} - \frac{4}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो $2 - \frac{4}{b^2} = 1$ में सरल हो जाता है।
इस प्रकार,$\frac{4}{b^2} = 1$,अतः $b^2 = 4$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$।

(A) दिया गया है,संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 5 \implies b = \frac{5}{2}$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 13 \implies ae = \frac{13}{2}$ है।
अतिपरवलय के लिए,संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2e^2 - a^2$ होता है।
मान रखने पर: $(\frac{5}{2})^2 = (\frac{13}{2})^2 - a^2$.
$\frac{25}{4} = \frac{169}{4} - a^2$.
$a^2 = \frac{169}{4} - \frac{25}{4} = \frac{144}{4} = 36$.
अतः,$a^2 = 36$ और $b^2 = \frac{25}{4}$ है।
अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{25/4} = 1$.
$\frac{x^2}{36} - \frac{4y^2}{25} = 1$.
$900$ से गुणा करने पर: $25x^2 - 144y^2 = 900$ प्राप्त होता है।

(C) अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 7$ है,इसलिए $a = \frac{7}{2}$ और $a^2 = \frac{49}{4}$ है।
$x$-अक्ष पर अनुप्रस्थ अक्ष वाले अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = \frac{49}{4}$ रखने पर,हमें $\frac{4x^2}{49} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि अतिपरवलय बिंदु $(5, -2)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{4(5)^2}{49} - \frac{(-2)^2}{b^2} = 1$
$\frac{100}{49} - \frac{4}{b^2} = 1$
$\frac{4}{b^2} = \frac{100}{49} - 1 = \frac{51}{49}$
$b^2 = \frac{196}{51}$ प्राप्त होता है।
अतः समीकरण $\frac{4}{49}x^2 - \frac{51}{196}y^2 = 1$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) अतिपरवलय के शीर्ष $(\pm 4, 0)$ दिए गए हैं,जो $(\pm a, 0)$ के अनुरूप हैं।
अतः,$a = 4$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm 6, 0)$ दी गई हैं,जो $(\pm ae, 0)$ के अनुरूप हैं।
अतः,$ae = 6$ है।
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4e = 6$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$e = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2 - y^2 = 25$ है।
दोनों पक्षों को $25$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{25} = 1$ प्राप्त होता है।
यह मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ में है,जहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 25$ है।
अतः,$a = 5$ और $b = 5$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होता है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{1 + \frac{25}{25}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$।

(C) दिया गया समीकरण: $16x^2 - y^2 + 64x + 4y + 44 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $16(x^2 + 4x) - (y^2 - 4y) = -44$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $16(x^2 + 4x + 4) - (y^2 - 4y + 4) = -44 + 64 - 4$
$16(x + 2)^2 - (y - 2)^2 = 16$
$16$ से भाग देने पर: $\frac{(x + 2)^2}{1} - \frac{(y - 2)^2}{16} = 1$
यह केंद्र $(-2, 2)$ वाला एक क्षैतिज अतिपरवलय है।
अनुप्रस्थ अक्ष $x$-अक्ष के समानांतर है,जो $y = 2$ है।
संयुग्मी अक्ष $y$-अक्ष के समानांतर है,जो $x = -2$ (या $x + 2 = 0$) है।

(A) अतिपरवलय के अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 8$ दी गई है,जिसका अर्थ है $a = 4$.
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 6$ दी गई है,जिसका अर्थ है $b = 3$.
अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार,अतिपरवलय पर स्थित किसी भी बिंदु की नाभीय दूरियों का अंतर अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
अतः,नाभीय दूरियों का अंतर $2a = 8$ होगा।

(C) नाभियाँ $(0, \pm 4)$ दी गई हैं,जो $(0, \pm be)$ के अनुरूप हैं। अतः,$be = 4$ है।
शीर्ष $(0, \pm 2)$ दिए गए हैं,जो $(0, \pm b)$ के अनुरूप हैं। अतः,$b = 2$ है।
$b = 2$ को $be = 4$ में रखने पर,हमें $2e = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $e = 2$ है।
ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय के लिए $a^2 = b^2(e^2 - 1)$ संबंध का उपयोग करने पर,हमें $a^2 = 2^2(2^2 - 1) = 4(4 - 1) = 4(3) = 12$ प्राप्त होता है।
ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$bxt - ayt = ab$ --- $(1)$
$bx + ay = abt$ --- $(2)$
$(2)$ से,$t = \frac{bx + ay}{ab}$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$bx(\frac{bx + ay}{ab}) - ay(\frac{bx + ay}{ab}) = ab$
$ab$ से गुणा करने पर:
$bx(bx + ay) - ay(bx + ay) = (ab)^2$
$(bx - ay)(bx + ay) = (ab)^2$
$(bx)^2 - (ay)^2 = (ab)^2$
$b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$
$a^2b^2$ से भाग देने पर:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
यह अतिपरवलय का मानक समीकरण है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$ax \sec \theta + by \tan \theta = a$ $(1)$
$ax \tan \theta + by \sec \theta = b$ $(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(ax \sec \theta + by \tan \theta)^2 = a^2$
$(ax \tan \theta + by \sec \theta)^2 = b^2$
पहले समीकरण से दूसरे को घटाने पर:
$(ax \sec \theta + by \tan \theta)^2 - (ax \tan \theta + by \sec \theta)^2 = a^2 - b^2$
$a^2 x^2 (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) + b^2 y^2 (\tan^2 \theta - \sec^2 \theta) = a^2 - b^2$
चूँकि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 x^2 - b^2 y^2 = a^2 - b^2$
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है.

(C) दिया गया है: केंद्र $(h, k) = (0, 0)$,शीर्ष $(a, 0) = (4, 0)$,और नाभि $(ae, 0) = (6, 0)$।
शीर्ष से,$a = 4$।
नाभि से,$ae = 6$। $a = 4$ प्रतिस्थापित करने पर,$4e = 6$,अतः $e = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$।
$b^2 = 16 \left( (\frac{3}{2})^2 - 1 \right) = 16 (\frac{9}{4} - 1) = 16 (\frac{5}{4}) = 20$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 16$ और $b^2 = 20$ रखने पर,$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1$ प्राप्त होता है।
$80$ से गुणा करने पर,$5x^2 - 4y^2 = 80$ प्राप्त होता है।

(B) किसी भी अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e$ हमेशा $e > 1$ की शर्त को पूरा करती है।
दिए गए विकल्पों का मूल्यांकन करने पर:
$A) \sqrt{\frac{9}{5}} \approx 1.34 > 1$
$B) 2\sqrt{\frac{1}{9}} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67 < 1$
$C) 3\sqrt{\frac{1}{8}} = 3 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 1.06 > 1$
$D) 2 > 1$
चूंकि अतिपरवलय की उत्केंद्रता $1$ से कम नहीं हो सकती,इसलिए $\frac{2}{3}$ संभव नहीं है। अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(A) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(3, 2)$ से गुजरता है:
$\frac{9}{a^2} - \frac{4}{b^2} = 1$ ..... $(i)$
चूंकि यह $(-17, 12)$ से गुजरता है:
$\frac{289}{a^2} - \frac{144}{b^2} = 1$ ..... $(ii)$
माना $u = \frac{1}{a^2}$ और $v = \frac{1}{b^2}$। समीकरण इस प्रकार होंगे:
$9u - 4v = 1$ ..... $(iii)$
$289u - 144v = 1$ ..... $(iv)$
समीकरण $(iii)$ को $36$ से गुणा करने पर:
$324u - 144v = 36$ ..... $(v)$
समीकरण $(v)$ से $(iv)$ को घटाने पर:
$(324 - 289)u = 36 - 1$
$35u = 35 \implies u = 1 \implies a^2 = 1 \implies a = 1$.
$u=1$ को $(iii)$ में रखने पर:
$9(1) - 4v = 1 \implies 4v = 8 \implies v = 2 \implies b^2 = \frac{1}{2}$.
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 2(1) = 2$ है।

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: \sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$ $(i)$
$L_2: \sqrt{3}kx + ky = 4\sqrt{3}$ (ii)
$(i)$ से,$k = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$.
$k$ का मान (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{3}x(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}) + y(\frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}) = 4\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}x(\sqrt{3}x - y) + y(\sqrt{3}x - y) = 48$
$3x^2 - \sqrt{3}xy + \sqrt{3}xy - y^2 = 48$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ से भाग देने पर:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $9x^2 - 16y^2 = 144$ है।
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 4$।
अतिपरवलय पर किसी भी बिंदु की नाभीय दूरियों का अंतर उसके अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
अतः,अंतर $2 \times 4 = 8$ है।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $4x^2 - 9y^2 = 16$ है।
$16$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16/9} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 4$ और $b^2 = \frac{16}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 2$ और $b = \frac{4}{3}$।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ है।
मान रखने पर,$\frac{16}{9} = 4(e^2 - 1)$।
$\frac{4}{9} = e^2 - 1$।
$e^2 = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$।
अतः,$e = \frac{\sqrt{13}}{3}$।

(D) दिए गए शांकव का समीकरण ${x^2} - 4{y^2} = 1$ है,जिसे अतिपरवलय के मानक रूप $\frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{(1/2)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 1$ और $b^2 = \frac{1}{4}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{1}{4} = 1(e^2 - 1)$ प्राप्त होता है।
$e^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$।
अतः,$e = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$।

(A) दिया गया समीकरण $2x^2 - 3y^2 = 5$ है।
$5$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{5/2} - \frac{y^2}{5/3} = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप में है,जहाँ $a^2 = \frac{5}{2}$ और $b^2 = \frac{5}{3}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5/3}{5/2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{5}{3}}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ पर स्थित हैं।
$ae = \sqrt{\frac{5}{2}} \times \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{25}{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$।
अतः,नाभियाँ $\left( \pm \frac{5}{\sqrt{6}}, 0 \right)$ हैं।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $16x^2 - 9y^2 = 144$ है।
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$.
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 3$ और $b = 4$ है।
नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
मान रखने पर:
$L.R. = \frac{2 \times 16}{3} = \frac{32}{3}$.

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $9x^2 - 16y^2 = 144$ है।
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है,इसलिए $a = 4$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ होते हैं।
मान रखने पर,हमें $(\pm 4 \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 5, 0)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $3x^2 - 4y^2 = 32$ है।
दोनों पक्षों को $32$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{3x^2}{32} - \frac{4y^2}{32} = 1$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{x^2}{32/3} - \frac{y^2}{8} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह अतिपरवलय के मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के समान है,जहाँ $a^2 = \frac{32}{3}$ है।
अतः,$a = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ होती है।
इसलिए,$2a = 2 \times \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ है।
नियता का समीकरण $x = \pm \frac{a}{e}$ होता है।
मान रखने पर,$x = \pm \frac{3}{\sqrt{13}/3} = \pm \frac{9}{\sqrt{13}}$।
अतः,नियता $x = 9/\sqrt{13}$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = m$ .....$(i)$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{1}{m}$ .....$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$\left( \frac{x}{a} - \frac{y}{b} \right) \left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \right) = m \times \frac{1}{m}$
सर्वसमिका $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
यह अतिपरवलय का मानक समीकरण है।

(D) परिभाषा के अनुसार,एक अतिपरवलय (hyperbola) एक समतल में उस बिंदु का बिंदुपथ है जिसका दो स्थिर बिंदुओं (जिन्हें नाभियाँ कहा जाता है) से दूरियों का अंतर हमेशा एक स्थिरांक होता है,जो अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $(2a)$ के बराबर होता है।

(D) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $2x^2 - y^2 = 6$ है।
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 3$ और $b^2 = 6$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{1 + \frac{6}{3}} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$।
अतः,उत्केंद्रता $\sqrt{3}$ है।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,नाभियों के बीच की दूरी शीर्षों के बीच की दूरी की दोगुनी है: $2ae = 2(2a) \implies ae = 2a \implies e = 2$.
हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $4 = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies \frac{b^2}{a^2} = 3 \implies b^2 = 3a^2$.
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 6$ है,जिसका अर्थ है $b = 3$,इसलिए $b^2 = 9$.
$b^2 = 9$ को $b^2 = 3a^2$ में रखने पर,हमें $9 = 3a^2 \implies a^2 = 3$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{9} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $3x^2 - y^2 = 9$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $13[(x - 1)^2 + (y - 2)^2] = 3(2x + 3y - 2)^2$ है।
यह $SP^2 = e^2 PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S$ नाभि है,$P$ एक बिंदु $(x, y)$ है,और $PM$ बिंदु $P$ से नियता की लंबवत दूरी है।
समीकरण का विस्तार करने पर:
$13(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4) = 3(4x^2 + 9y^2 + 4 + 12xy - 8x - 12y)$
$13x^2 + 13y^2 - 26x - 52y + 65 = 12x^2 + 27y^2 + 36xy - 24x - 36y + 12$
$x^2 - 36xy - 14y^2 - 2x - 16y + 53 = 0$.
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 1$,$H = -18$,और $B = -14$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $H^2 - AB = (-18)^2 - (1)(-14) = 324 + 14 = 338$ है।
चूँकि $H^2 - AB > 0$ है,इसलिए यह शांकव परिच्छेद एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(A) शांकव की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P(x, y)$ से नाभि $S(2, 1)$ की दूरी,$e$ गुना बिंदु $P$ से नियता $x + 2y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$SP^2 = e^2 \times \text{dist}(P, \text{directrix})^2$
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2 \times \left[ \frac{x + 2y - 1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \right]^2$
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 4 \times \frac{(x + 2y - 1)^2}{5}$
$5(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5) = 4(x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y)$
$5x^2 + 5y^2 - 20x - 10y + 25 = 4x^2 + 16y^2 + 4 + 16xy - 8x - 16y$
$x^2 - 16xy - 11y^2 - 12x + 6y + 21 = 0$.

(C) दिया गया समीकरण: $x^2 + 2x - y^2 + 5 = 0$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 + 2x + 1) - y^2 + 5 - 1 = 0$
$(x + 1)^2 - y^2 = -4$
$-4$ से भाग देने पर: $\frac{y^2}{4} - \frac{(x + 1)^2}{4} = 1$
यह $\frac{y^2}{b^2} - \frac{(x-h)^2}{a^2} = 1$ के रूप का अतिपरवलय है,जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 4$ है।
यहाँ,$a = 2$ और $b = 2$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{4}} = \sqrt{2}$ है।
इस अतिपरवलय के लिए नियता का समीकरण $y - k = \pm \frac{b}{e}$ होता है।
चूँकि $k = 0$ है,इसलिए $y = \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $9x^2 - 16y^2 + 18x + 32y - 151 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$9(x^2 + 2x) - 16(y^2 - 2y) = 151$.
$x$ और $y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$9(x^2 + 2x + 1) - 16(y^2 - 2y + 1) = 151 + 9 - 16$.
$9(x + 1)^2 - 16(y - 1)^2 = 144$.
$144$ से भाग देने पर:
$\frac{(x + 1)^2}{16} - \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$.
इसे मानक रूप $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,केंद्र $(h, k) = (-1, 1)$ प्राप्त होता है।

(A) नाभियाँ $(6, 4)$ और $(-4, 4)$ हैं।
केंद्र $(1, 4)$ है।
$ae = 5$ और $e = 2$ होने पर $a = 5/2$ प्राप्त होता है।
$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 75/4$ है।
समीकरण: $\frac{(x - 1)^2}{25/4} - \frac{(y - 4)^2}{75/4} = 1$ है।
इसे हल करने पर $12x^2 - 4y^2 - 24x + 32y - 127 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का सहायक वृत्त वह वृत्त है जो अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) को व्यास मानकर खींचा जाता है।
चूंकि अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ है,इसलिए सहायक वृत्त की त्रिज्या $a$ होगी।
अतिपरवलय का केंद्र मूलबिंदु $(0, 0)$ पर स्थित है।
अतः,सहायक वृत्त का समीकरण $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = a^2$ होगा,जिसे सरल करने पर $x^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है।

(C) द्विघात वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण ${x^2} - 16xy - 11{y^2} - 12x + 6y + 21 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 1, h = -8, b = -11, g = -6, f = 3, c = 21$.
सबसे पहले,हम विविक्तकर $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$ की गणना करते हैं:
$\Delta = (1)(-11)(21) + 2(3)(-6)(-8) - (1)(3)^2 - (-11)(-6)^2 - (21)(-8)^2 = -1000 \ne 0$.
अब,हम $h^2 - ab$ की स्थिति की जांच करते हैं:
$h^2 - ab = (-8)^2 - (1)(-11) = 64 + 11 = 75$.
चूंकि $h^2 - ab > 0$,इसलिए यह समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(D) दिया गया समीकरण: $9x^2 - 16y^2 - 18x - 32y - 151 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9(x^2 - 2x) - 16(y^2 + 2y) = 151$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9(x^2 - 2x + 1) - 16(y^2 + 2y + 1) = 151 + 9 - 16$
$9(x - 1)^2 - 16(y + 1)^2 = 144$
$144$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$
मानक रूप $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है,अतः $a = 4$ और $b = 3$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^2 - 4y^2 - 2x + 16y - 40 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(x^2 - 2x) - 4(y^2 - 4y) = 40$
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x^2 - 2x + 1) - 4(y^2 - 4y + 4) = 40 + 1 - 16$
$(x - 1)^2 - 4(y - 2)^2 = 25$
$25$ से विभाजित करने पर:
$\frac{(x - 1)^2}{25} - \frac{(y - 2)^2}{25/4} = 1$
यह $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ के रूप में है,जो एक अतिपरवलय (Hyperbola) को दर्शाता है।

(C) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = 8 \sec \theta$ और $y = 8 \tan \theta$ हैं।
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\left(\frac{x}{8}\right)^2 - \left(\frac{y}{8}\right)^2 = 1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{64} = 1$ के रूप में सरल होता है।
यह एक आयताकार अतिपरवलय है जहाँ $a^2 = 64$ और $b^2 = 64$,इसलिए $a = 8$ और $b = 8$ है।
उत्केंद्रता $e$ का मान $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{64}{64}} = \sqrt{2}$ है।
अतिपरवलय की नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $\frac{2 \times 8}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5x^2 - 4y^2 + 20x + 8y = 4$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$5(x^2 + 4x) - 4(y^2 - 2y) = 4$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$5(x^2 + 4x + 4) - 4(y^2 - 2y + 1) = 4 + 20 - 4$ प्राप्त होता है।
यह $5(x + 2)^2 - 4(y - 1)^2 = 20$ में सरल हो जाता है।
$20$ से भाग देने पर,$\frac{(x + 2)^2}{4} - \frac{(y - 1)^2}{5} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 4$ और $b^2 = 5$ है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
$e = \sqrt{1 + \frac{5}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$9(x^2 + 8x) - 16(y^2 + 2y) = 16$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$9(x^2 + 8x + 16) - 16(y^2 + 2y + 1) = 16 + 144 - 16$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $9(x + 4)^2 - 16(y + 1)^2 = 144$ प्राप्त होता है।
$144$ से भाग देने पर,$\frac{(x + 4)^2}{16} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ (अर्थात $a = 4$) और $b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $5x^2 - 9y^2 = 45$ है। $45$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{5} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है।
स्पर्श रेखा $y = mx + c$ है,जहाँ $m = 1$ और $c = 2$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा $y = mx + c$ का स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1) = \left( \frac{-a^2m}{c}, \frac{-b^2}{c} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x_1 = \frac{-9(1)}{2} = -\frac{9}{2}$ और $y_1 = \frac{-5}{2}$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(-9/2, -5/2)$ है।

(A) रेखा $y = Mx + C$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $C^2 = a^2M^2 - b^2$ है।
दी गई रेखा $lx + my + n = 0$ को $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $y = Mx + C$ से करने पर,हमें $M = -\frac{l}{m}$ और $C = -\frac{n}{m}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $C^2 = a^2M^2 - b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-\frac{n}{m})^2 = a^2(-\frac{l}{m})^2 - b^2$
$\frac{n^2}{m^2} = \frac{a^2l^2}{m^2} - b^2$
दोनों पक्षों को $m^2$ से गुणा करने पर,हमें $n^2 = a^2l^2 - b^2m^2$ प्राप्त होता है,जिसे $a^2l^2 - b^2m^2 = n^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।