वक्र $x^2 - y^2 = 1$ की उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

मान लीजिए कि बिंदु $P_1\left(\frac{\pi}{4}\right), P_2\left(\frac{3 \pi}{4}\right), P_3\left(\frac{5 \pi}{4}\right)$ और $P_4\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ प्राचलिक रूप में दिए गए हैं,जो अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ पर स्थित हैं। तो ये चार बिंदु उस क्रम में क्या बनाते हैं?

अतिपरवलय $16x^{2}-9y^{2}+32x+36y-164=0$ पर स्थित किसी बिंदु $P$ और उसकी नाभियों द्वारा निर्मित त्रिभुज के केंद्रक का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए:

यदि अतिपरवलय (hyperbola) का नाभिलंब (latus rectum) उसके केंद्र पर समकोण बनाता है,तो उसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

रेखा $2x + \sqrt{6}y = 2$ अतिपरवलय $x^2 - 2y^2 = 4$ को किस बिंदु पर स्पर्श करती है?

मान लीजिए कि फलन $f(x) = \log_{3}\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13)$ का प्रांत $(m, n)$ अंतराल है। मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की उत्केंद्रता $\frac{n}{3}$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{8m}{3}$ है। तो $b^{2} - a^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए: