वक्र $x^2 - y^2 = a^2$ की उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

यदि वृत्त $x^2+y^2=a^2$,अतिपरवलय $xy=c^2$ को चार बिंदुओं $(x_i, y_i)$ पर प्रतिच्छेद करता है,जहाँ $i=1, 2, 3, 4$,तो $y_1+y_2+y_3+y_4$ का मान क्या होगा?

शांकवों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ के लिए एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि फलन $f(x) = \log_{3}\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13)$ का प्रांत $(m, n)$ अंतराल है। मान लीजिए कि अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की उत्केंद्रता $\frac{n}{3}$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{8m}{3}$ है। तो $b^{2} - a^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियाँ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ की नाभियाँ हैं और उत्केंद्रता $2$ है।

वक्र $4x^2 - 9y^2 = 36$ पर खींची जा सकने वाली संभावित स्पर्श रेखाओं की संख्या,जो सीधी रेखा $5x + 2y - 10 = 0$ के लंबवत हैं,क्या है?