Hyperbola Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{12 - \lambda} + \frac{y^2}{8 - \lambda} = 1$ है।
मान लीजिए $a^2 = 12 - \lambda$ और $b^2 = 8 - \lambda$ है।
स्थिति $1$: यदि $8 < \lambda < 12$ है,तो $12 - \lambda > 0$ और $8 - \lambda < 0$ होगा।
मान लीजिए $12 - \lambda = a^2$ और $8 - \lambda = -b^2$ (जहाँ $b^2 > 0$ है)।
समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ बन जाता है,जो कि अतिपरवलय का मानक समीकरण है।
अतः,यदि $8 < \lambda < 12$ है,तो समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(D) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जिसे $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय है जिसका अनुप्रस्थ अक्ष $y$-अक्ष पर है।
$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ रूप के अतिपरवलय के लिए,अर्ध-अक्षों $a, b$ और उत्केंद्रता $e$ के बीच संबंध $a^2 = b^2(e^2 - 1)$ होता है।
$e^2$ के लिए हल करने पर: $e^2 - 1 = \frac{a^2}{b^2} \implies e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = \frac{b^2 + a^2}{b^2}$।
वर्गमूल लेने पर,$e = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{b^2}}$ प्राप्त होता है।

(D) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ है।
दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \lambda$
$(2)$ $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{\lambda}$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का गुणा करने पर:
$(\frac{x}{a} + \frac{y}{b})(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) = \lambda \times \frac{1}{\lambda}$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
यह एक अतिपरवलय का मानक समीकरण है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
इसके अनंतस्पर्शी का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ है,जिसका अर्थ है $y = \pm \frac{b}{a} x$।
माना अनंतस्पर्शी की ढाल $m_1 = \frac{b}{a}$ और $m_2 = -\frac{b}{a}$ है।
यदि $2\alpha$ अनंतस्पर्शी के बीच का कोण है,तो $\tan \alpha = \frac{b}{a}$ होगा,इसलिए $\alpha = \tan^{-1}(\frac{b}{a})$।
अतः,अनंतस्पर्शी के बीच का कुल कोण $2\alpha = 2 \tan^{-1}(\frac{b}{a})$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2 - 4y^2 = 1$ है।
यह अतिपरवलय (hyperbola) का मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = \frac{1}{4}$ है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = \frac{1}{2}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर,$e = \sqrt{1 + \frac{1/4}{1}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$e = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $2x^2 - 3y^2 = 6$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d}{dx}(2x^2 - 3y^2) = \frac{d}{dx}(6)$
$4x - 6y \frac{dy}{dx} = 0$
$6y \frac{dy}{dx} = 4x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{4x}{6y} = \frac{2x}{3y}$
अब,बिंदु $(3, 2)$ पर ढाल का मान ज्ञात करते हैं:
ढाल $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(3, 2)} = \frac{2(3)}{3(2)} = \frac{6}{6} = 1$
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $1$ है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि वृत्त अतिपरवलय $xy = 1$ को प्रतिच्छेद करता है,इसलिए $y = \frac{1}{x}$ है।
इसे वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + (\frac{1}{x})^2 + 2gx + 2f(\frac{1}{x}) + c = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ से गुणा करने पर,हमें चतुर्थ घात का समीकरण मिलता है: $x^4 + 2gx^3 + cx^2 + 2fx + 1 = 0$।
माना इस समीकरण के मूल $x_1, x_2, x_3, x_4$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल अचर पद और मुख्य गुणांक का अनुपात होता है: $x_1x_2x_3x_4 = \frac{1}{1} = 1$।

(C) दिया गया समीकरण: $9x^2 - 16y^2 - 18x + 32y - 151 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9(x^2 - 2x) - 16(y^2 - 2y) = 151$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9(x^2 - 2x + 1) - 16(y^2 - 2y + 1) = 151 + 9 - 16$
$9(x - 1)^2 - 16(y - 1)^2 = 144$
$144$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^2}{16} - \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$
यह एक अतिपरवलय है जहाँ $a^2 = 16$ $(a = 4)$ और $b^2 = 9$ $(b = 3)$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $= 2a = 2(4) = 8$.
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(9)}{4} = 4.5$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
नियता के समीकरण $x - 1 = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{16}{5}$ हैं।
अतः $x = 1 \pm \frac{16}{5} \implies x = \frac{21}{5}$ या $x = -\frac{11}{5}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण: $16x^2 - y^2 + 64x + 4y + 44 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $16(x^2 + 4x) - (y^2 - 4y) = -44$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $16(x^2 + 4x + 4) - (y^2 - 4y + 4) = -44 + 64 - 4$
$16(x + 2)^2 - (y - 2)^2 = 16$
$16$ से भाग देने पर: $\frac{(x + 2)^2}{1} - \frac{(y - 2)^2}{16} = 1$
यह $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ के रूप का अतिपरवलय है,जहाँ केंद्र $(h, k) = (-2, 2)$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष $x$-अक्ष के समानांतर है और केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y = k$ है,जो $y = 2$ है।
संयुग्मी अक्ष $y$-अक्ष के समानांतर है और केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $x = h$ है,जो $x = -2$ या $x + 2 = 0$ है।
अतः,अनुप्रस्थ अक्ष $y = 2$ है और संयुग्मी अक्ष $x + 2 = 0$ है।

(A) माना $(h, k)$ अतिपरवलय $3x^2 - 2y^2 + 4x - 6y = 0$ की जीवा का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
$3hx - 2ky + 2(x + h) - 3(y + k) = 3h^2 - 2k^2 + 4h - 6k$
ढाल ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(3h + 2)x - (2k + 3)y = 3h^2 - 2k^2 + 2h - 3k$
इस जीवा की ढाल $m = \frac{3h + 2}{2k + 3}$ है।
चूंकि जीवा $y = 2x$ के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $2$ होगी।
$\frac{3h + 2}{2k + 3} = 2$
$3h + 2 = 4k + 6$
$3h - 4k = 4$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $3x - 4y = 4$ है।

(A) रेखा का समीकरण $2x + \sqrt{6}y = 2$ है,जिसे $x = \frac{2 - \sqrt{6}y}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे अतिपरवलय के समीकरण $x^2 - 2y^2 = 4$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{2 - \sqrt{6}y}{2})^2 - 2y^2 = 4$
$\frac{4 + 6y^2 - 4\sqrt{6}y}{4} - 2y^2 = 4$
$4 + 6y^2 - 4\sqrt{6}y - 8y^2 = 16$
$-2y^2 - 4\sqrt{6}y - 12 = 0$
$y^2 + 2\sqrt{6}y + 6 = 0$
$(y + \sqrt{6})^2 = 0$
$y = -\sqrt{6}$.
$y = -\sqrt{6}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$2x + \sqrt{6}(-\sqrt{6}) = 2$
$2x - 6 = 2$
$2x = 8$
$x = 4$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(4, -\sqrt{6})$ है।

(A) माना अतिपरवलय का केंद्र $(\alpha, \beta)$ है।
चूँकि नाभियाँ $y=5$ रेखा पर स्थित हैं,इसलिए अनुप्रस्थ अक्ष क्षैतिज है।
अतः,समीकरण $\frac{(x-\alpha)^2}{a^2} - \frac{(y-\beta)^2}{b^2} = 1$ के रूप में है।
केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु है: $\alpha = \frac{6+(-4)}{2} = 1$ और $\beta = 5$।
अतः,केंद्र $(1, 5)$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6 - (-4) = 10$ है।
$e = 5/4$ दिया गया है,इसलिए $2a(5/4) = 10$,जिसका अर्थ है $a = 4$।
संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करते हुए,$b^2 = 16(\frac{25}{16} - 1) = 16(\frac{9}{16}) = 9$।
इन मानों को मानक समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{(x-1)^2}{16} - \frac{(y-5)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $3x^2 - y^2 = 8$ $(1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $6x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y}$.
किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{3x}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{y}{3x}$ है।
दी गई रेखा $x + 3y = 4$ है,जिसे $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3} \implies y = x$.
वक्र समीकरण $(1)$ में $y = x$ रखने पर:
$3x^2 - (x)^2 = 8 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
चूंकि $y = x$,इसलिए बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, -2)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(\pm 2, \pm 2)$ हैं।

(A) दिया गया अतिपरवलय समीकरण: $16x^2 - 25y^2 = 400$ है।
$400$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$।
यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का नियामक वृत्त (director circle) $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,नियामक वृत्त $x^2 + y^2 = 25 - 16 = 9$ है।
अब,जाँचें कि क्या बिंदु $(2\sqrt{2}, 1)$ इस वृत्त पर स्थित है: $(2\sqrt{2})^2 + (1)^2 = 8 + 1 = 9$।
चूँकि बिंदु $(2\sqrt{2}, 1)$ नियामक वृत्त पर स्थित है,इसलिए इस बिंदु से अतिपरवलय पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\pi /2$ है।

(B) दिए गए वक्र $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(1)$ और $xy = c^2$ $(2)$ हैं।
$(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{b^2x}{a^2y}$। मान लीजिए यह $m_1$ है।
$(2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$। मान लीजिए यह $m_2$ है।
वक्रों के लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए,$m_1 \times m_2 = -1$ होना चाहिए।
$\left( \frac{b^2x}{a^2y} \right) \left( -\frac{y}{x} \right) = -1$.
$-\frac{b^2}{a^2} = -1 \Rightarrow a^2 = b^2$.

(A) दिया गया समीकरण $x^2 \sec^2 \theta - y^2 \csc^2 \theta = 1$ है,जिसे $\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = \cos^2 \theta$ और $b^2 = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sec \theta$ है।
नाभि के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ होते हैं।
$ae = \sqrt{a^2} \cdot e = \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot \sec \theta = \cos \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 1$ है।
चूंकि नाभि की केंद्र से दूरी $ae = 1$ है,जो $\theta$ से स्वतंत्र है,इसलिए नाभि स्थिर रहती है।

(A) दिया गया है,नाभिलंब की लंबाई = $\frac{2b^2}{a} = 8$,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$.
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b$ है और नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2b = \frac{1}{2}(2ae)$,जो सरल होकर $b = \frac{ae}{2}$ या $b^2 = \frac{a^2e^2}{4}$ हो जाता है।
$b^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4a = \frac{a^2e^2}{4}$,जिससे $ae^2 = 16$ प्राप्त होता है (चूंकि $a \neq 0$)।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
$b^2 = 4a$ प्रतिस्थापित करने पर: $4a = a^2(e^2 - 1)$।
चूंकि $a \neq 0$,हमारे पास $4 = a(e^2 - 1) = ae^2 - a$ है।
$ae^2 = 16$ प्रतिस्थापित करने पर: $4 = 16 - a$,जिससे $a = 12$ प्राप्त होता है।
अब,$ae^2 = 16 \implies 12e^2 = 16$।
$e^2 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$।
अतः,$e = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
चूँकि नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं,$ae = 2$,इसलिए $a^{2}e^{2} = 4$ है।
संबंध $b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1) = a^{2}e^{2} - a^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $b^{2} = 4 - a^{2}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $a^{2} + b^{2} = 4$ है।
चूँकि अतिपरवलय $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से होकर गुजरता है,$\frac{2}{a^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1$ है।
$a^{2} = 4 - b^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2}{4 - b^{2}} - \frac{3}{b^{2}} = 1$ प्राप्त होता है।
$b^{4} + b^{2} - 12 = 0 \Rightarrow (b^{2} + 4)(b^{2} - 3) = 0$ है।
चूँकि $b^{2} > 0$,$b^{2} = 3$ है,जिससे $a^{2} = 1$ मिलता है।
अतिपरवलय का समीकरण $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ है।
$P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ पर स्पर्श रेखा $\sqrt{2}x - \frac{y}{\sqrt{3}} = 1$ है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\sqrt{2}(2\sqrt{2}) - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 - 3 = 1$ है। अतः,यह $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{3})$ से होकर गुजरती है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $4x^2 - y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $PQ$,$T(0, 3)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा (chord of contact) है।
$(x_1, y_1)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ होता है।
$(x_1, y_1) = (0, 3)$,$a^2 = 9$,और $b^2 = 36$ रखने पर:
$\frac{x(0)}{9} - \frac{y(3)}{36} = 1$
$\Rightarrow -\frac{y}{12} = 1$
$\Rightarrow y = -12$.
$P$ और $Q$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,$y = -12$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$4x^2 - (-12)^2 = 36$
$4x^2 - 144 = 36$
$4x^2 = 180$
$x^2 = 45$
$x = \pm 3\sqrt{5}$.
अतः,बिंदु $P(3\sqrt{5}, -12)$ और $Q(-3\sqrt{5}, -12)$ हैं।
आधार $PQ$ की लंबाई $= |3\sqrt{5} - (-3\sqrt{5})| = 6\sqrt{5}$.
$\Delta PTQ$ की ऊंचाई $T(0, 3)$ से रेखा $y = -12$ तक की लंबवत दूरी है,जो $h = |3 - (-12)| = 15$ है।
$\Delta PTQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{5} \times 15 = 45\sqrt{5}$ वर्ग इकाई।

(D) बिंदु $P(x,y)$ का बिंदुपथ $|AP - BP| = 6$ शर्त द्वारा परिभाषित है।
यहाँ,$A = (0,4)$ और $B = (0,-4)$ हैं।
$AP = \sqrt{x^2 + (y-4)^2}$ और $BP = \sqrt{x^2 + (y+4)^2}$ है।
$|\sqrt{x^2 + (y-4)^2} - \sqrt{x^2 + (y+4)^2}| = 6$ है।
यह अतिपरवलय (hyperbola) की परिभाषा है जिसके नाभिक $(0,4)$ और $(0,-4)$ हैं।
नाभिकों के बीच की दूरी $2ae = 8$ है,इसलिए $ae = 4$ है।
स्थिर अंतर $2a = 6$ है,इसलिए $a = 3$ है।
$b^2 = a^2(e^2 - 1) = (ae)^2 - a^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$ है।
केंद्र $(0,0)$ पर है और अनुप्रस्थ अक्ष $y$-अक्ष पर है।
समीकरण $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1$ है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = \cos^2 \alpha$ और $b^2 = \sin^2 \alpha$ है।
अतिपरवलय के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ पर स्थित होती हैं,जहाँ $e$ उत्केंद्रता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} = \sec \alpha$ है।
नाभियों का भुज $\pm ae = \pm \sqrt{\cos^2 \alpha} \cdot \sec \alpha = \pm \cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \pm 1$ है।
चूँकि $\pm 1$ का मान $\alpha$ से स्वतंत्र है,इसलिए नाभियों के भुज स्थिर रहते हैं।

(C) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ है।
अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ के लिए,स्पर्शरेखा $y = mx + c$ होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ और $c^2 = -a^2 + b^2m^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $a^2m^2 - b^2 = b^2m^2 - a^2$.
$(a^2 - b^2)m^2 = b^2 - a^2$.
यहाँ $m^2 = 1$ लेने पर,$c^2 = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y = x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ या $x - y = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ है।

(D) दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 = a^2$ और $xy = c^2$ हैं।
वृत्त के समीकरण में $y = \frac{c^2}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + \frac{c^4}{x^2} = a^2$
$x^4 - a^2 x^2 + c^4 = 0$
यह $x$ में एक द्वि-वर्ग समीकरण है। इसके मूल $x_1, x_2, x_3, x_4$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$ ($x^3$ का गुणांक $0$ है) और मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 x_3 x_4 = c^4$ होता है।
चूंकि दोनों समीकरण $x$ और $y$ के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए सममिति द्वारा $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 0$ और $y_1 y_2 y_3 y_4 = c^4$ प्राप्त होता है।
अतः,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

(A) माना $P(x_1, y_1)$ अतिपरवलय $3x^2 - 2y^2 + 4x - 6y = 0$ की जीवा का मध्य बिंदु है।
मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
$3xx_1 - 2yy_1 + 2(x + x_1) - 3(y + y_1) = 3x_1^2 - 2y_1^2 + 4x_1 - 6y_1$.
जीवा की ढाल ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(3x_1 + 2)x - (2y_1 + 3)y + (2x_1 - 3y_1 - 3x_1^2 + 2y_1^2) = 0$.
इस जीवा की ढाल $m = \frac{3x_1 + 2}{2y_1 + 3}$ है।
चूंकि जीवा $y = 2x$ के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $2$ होनी चाहिए।
$\frac{3x_1 + 2}{2y_1 + 3} = 2$
$3x_1 + 2 = 4y_1 + 6$
$3x_1 - 4y_1 = 4$.
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $3x - 4y = 4$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
माना $(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है,इसलिए $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$,जिसका अर्थ है $b^2x_1^2 - a^2y_1^2 = a^2b^2$।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ पर लंब की दूरी $p_1 = \frac{|bx_1 - ay_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ पर लंब की दूरी $p_2 = \frac{|bx_1 + ay_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
लंबों का गुणनफल $p_1 p_2 = \frac{|b^2x_1^2 - a^2y_1^2|}{a^2 + b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$ है।

(B) एक आयताकार अतिपरवलय वह अतिपरवलय है जिसमें अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्षों की लंबाई समान होती है,अर्थात $a = b$।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
इस सूत्र में $a = b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,आयताकार अतिपरवलय की उत्केंद्रता $\sqrt{2}$ है।

(A) वक्र का समीकरण $x^2 - 2y^2 = 4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x - 4y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2y}$।
स्पर्श रेखा $2x + \sqrt{6}y = 2$ की ढाल $-\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। अतः $\frac{x_1}{2y_1} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$,जिससे $3x_1 = -2\sqrt{6}y_1$,या $y_1 = -\frac{\sqrt{6}x_1}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,$x_1^2 - 2(-\frac{\sqrt{6}x_1}{4})^2 = 4$।
$x_1^2 - 2(\frac{6x_1^2}{16}) = 4 \implies x_1^2 - \frac{3}{4}x_1^2 = 4 \implies \frac{1}{4}x_1^2 = 4 \implies x_1^2 = 16$।
अतः $x_1 = 4$ या $x_1 = -4$।
यदि $x_1 = 4$ है,तो $y_1 = -\frac{\sqrt{6}(4)}{4} = -\sqrt{6}$।
रेखा के समीकरण में जाँच करने पर: $2(4) + \sqrt{6}(-\sqrt{6}) = 8 - 6 = 2$। यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(4, -\sqrt{6})$ है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(ae, \pm \frac{b^2}{a})$ होते हैं।
बिंदु $P(ae, \frac{b^2}{a})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
$(x_1, y_1) = (ae, \frac{b^2}{a})$ रखने पर:
$\frac{x(ae)}{a^2} - \frac{y(b^2/a)}{b^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{xe}{a} - \frac{y}{a} = 1$
$\Rightarrow xe - y = a$
$\Rightarrow y = ex - a$
इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,प्रवणता $m = e$ प्राप्त होती है।
अतः,स्पर्श रेखा की प्रवणता का परिमाण $e$ है।

(A) दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ के लिए,$a^2 = 4$ और $b^2 = 12$ है।
इस अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{12}{4}} = \sqrt{4} = 2$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{12} - \frac{x^2}{4} = 1$ है।
एक अतिपरवलय और उसके संयुग्मी के लिए,उत्केंद्रता $e_1$ और $e_2$ का संबंध $\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ होता है।
$e_1 = 2$ रखने पर,$\frac{1}{4} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{e_2^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
अतः,$e_2^2 = \frac{4}{3}$,जिसका अर्थ है $e_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अनंतस्पर्शी और किसी भी स्पर्श रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $ab$ होता है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $a^2 \tan \lambda$ है,इसलिए $ab = a^2 \tan \lambda$ है।
$a^2$ से विभाजित करने पर,$\frac{b}{a} = \tan \lambda$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ है।
$\frac{b}{a} = \tan \lambda$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^2 = 1 + \tan^2 \lambda$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 + \tan^2 \lambda = \sec^2 \lambda$ का उपयोग करने पर,$e^2 = \sec^2 \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,$e = \sec \lambda$।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{29 - p} + \frac{y^2}{4 - p} = 1$ है।
स्थिति $1$: यदि $p < 4$ है,तो $29 - p > 0$ और $4 - p > 0$ होगा। मान लीजिए $a^2 = 29 - p$ और $b^2 = 4 - p$ है। समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ बन जाता है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।
स्थिति $2$: यदि $4 < p < 29$ है,तो $29 - p > 0$ और $4 - p < 0$ होगा। मान लीजिए $a^2 = 29 - p$ और $b^2 = -(4 - p) = p - 4$ है। समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ बन जाता है,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है।
स्थिति $3$: यदि $p > 29$ है,तो $29 - p < 0$ और $4 - p < 0$ होगा। $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x^2}{p - 29} + \frac{y^2}{p - 4} = -1$ प्राप्त होता है,जो कोई वास्तविक वक्र नहीं दर्शाता है।
अतः,यदि $4 < p < 29$ है तो यह एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(D) दिया गया अतिपरवलय $\frac{y^2}{1/16} - \frac{x^2}{1/9} = 1$ है।
यह $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ के रूप का एक ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय है,जहाँ $a^2 = 1/16$ है।
अतिपरवलय की किसी भी स्पर्शरेखा पर नाभि से खींचे गए लंब के पाद का बिंदुपथ उसका सहायक वृत्त होता है।
अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ के लिए,सहायक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ है।
$a^2 = 1/16$ रखने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 1/16$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: \sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}t$
$L_2: \sqrt{3}tx + ty = 4\sqrt{3} \implies t(\sqrt{3}x + y) = 4\sqrt{3} \implies t = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}x + y}$
$t$ का मान $L_1$ में रखने पर:
$(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 16 \times 3$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ से भाग देने पर:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
यह $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ रूप का अतिपरवलय है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 48$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$
$e = \sqrt{1 + \frac{48}{16}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{5 \cos^2 \alpha} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1^2 = 1 + \frac{5 \cos^2 \alpha}{5} = 1 + \cos^2 \alpha$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25 \cos^2 \alpha} + \frac{y^2}{25} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_2^2 = 1 - \frac{25 \cos^2 \alpha}{25} = \sin^2 \alpha$ है।
दिया है $e_1 = \sqrt{3} e_2$,इसलिए $e_1^2 = 3 e_2^2$.
$1 + \cos^2 \alpha = 3 \sin^2 \alpha$.
$1 + (1 - \sin^2 \alpha) = 3 \sin^2 \alpha \Rightarrow 2 = 4 \sin^2 \alpha$.
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$,अतः $\alpha = \frac{\pi}{4}$।

(D) रेखा का समीकरण $y = mx + \sqrt{9m^2 - 4}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y - mx)^2 = 9m^2 - 4$ प्राप्त होता है।
$y^2 - 2mxy + m^2x^2 = 9m^2 - 4$।
$m$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $m^2(x^2 - 9) - 2mxy + (y^2 + 4) = 0$।
चूंकि रेखा स्पर्श रेखा है,इसलिए $m$ में द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D = 0$ होगा।
$D = (-2xy)^2 - 4(x^2 - 9)(y^2 + 4) = 0$।
$4x^2y^2 - 4(x^2y^2 + 4x^2 - 9y^2 - 36) = 0$।
$-16x^2 + 36y^2 + 144 = 0$।
$-4$ से विभाजित करने पर,$4x^2 - 9y^2 = 36$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय $xy = c^2$ के लिए $(h, k)$ मध्य बिंदु वाली जीवा का समीकरण $xh + yk = 2hk$ होता है।
इस समीकरण को $y = mx + c'$ के रूप में लिखने पर,$y = -(\frac{h}{k})x + 2h$ प्राप्त होता है।
यहाँ जीवा की प्रवणता $m$ दी गई है,इसलिए $m = -\frac{h}{k}$ है।
अतः $h = -mk$ प्राप्त होता है।
इसलिए,बिंदुपथ $x = -my$ अर्थात $x + my = 0$ है।

(B) माना बिंदु $P$ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ है।
चूँकि $N$,$P$ से अनुप्रस्थ अक्ष (x-अक्ष) पर लंब का पाद है,$N$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, 0)$ हैं। अतः,$ON = a \sec \theta$ है।
$P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \sec \theta}{a} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1$ है।
x-अंतःखंड $T$ ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ रखें:
$\frac{x \sec \theta}{a} = 1 \implies x = a \cos \theta$ है।
अतः,$OT = a \cos \theta$ है।
इसलिए,$OT \cdot ON = (a \cos \theta) \cdot (a \sec \theta) = a^2 \cdot 1 = a^2$ है।

(D) आयताकार अतिपरवलय $x^2 - y^2 = a^2$ के अनंतस्पर्शी $y = x$ और $y = -x$ हैं।
माना $P(a \sec \theta, a \tan \theta)$ अतिपरवलय पर एक बिंदु है।
अनंतस्पर्शी $x - y = 0$ पर $P$ से डाला गया लंब $PN$ है।
$PN$ के मध्य बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ ज्ञात करने पर,हमें $x^2 - y^2 = \frac{a^2}{2}$ प्राप्त होता है,जो एक अतिपरवलय है।

(C) आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ के लिए,उस पर स्थित किसी भी बिंदु को $(ct_i, c/t_i)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
माना $\Delta PQR$ के शीर्ष $P(ct_1, c/t_1)$,$Q(ct_2, c/t_2)$ और $R(ct_3, c/t_3)$ हैं।
$\Delta PQR$ का लंबकेंद्र $H$ के निर्देशांक $\left( \frac{-c}{t_1t_2t_3}, -c(t_1t_2t_3) \right)$ होते हैं।
चूंकि चार बिंदु $P, Q, R, S$ अतिपरवलय पर स्थित हैं,उनके प्राचलों का गुणनफल $t_1t_2t_3t_4 = 1$ होता है,जिसका अर्थ है $t_1t_2t_3 = 1/t_4$।
इस मान को लंबकेंद्र के निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $H = \left( \frac{-c}{1/t_4}, -c(1/t_4) \right) = (-ct_4, -c/t_4)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $S(x_4, y_4) = (ct_4, c/t_4)$,इसलिए लंबकेंद्र $(-x_4, -y_4)$ है।

(D) बिंदु $P(x_1, y_1)$ से परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
यह रेखा परवलय $x^2 = 4by$ को स्पर्श करती है,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ लेने पर:
गणना करने पर $x_1y_1 = -2ab$ प्राप्त होता है।
अतः,$P$ का बिंदुपथ $xy = -2ab$ है,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अनंतस्पर्शी के समीकरण $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ और $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ हैं।
अतिपरवलय पर स्थित किसी बिंदु $P(x_1, y_1)$ से अनंतस्पर्शी तक की लंबवत दूरियों का गुणनफल:
$p_1 p_2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ $e = \sqrt{3}$ है,इसलिए $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2(3 - 1) = 2a^2$।
अतः,$p_1 p_2 = \frac{a^2(2a^2)}{a^2 + 2a^2} = \frac{2a^2}{3}$।
दिया गया है कि $p_1 p_2 = 6$,इसलिए $\frac{2a^2}{3} = 6$ $\Rightarrow a^2 = 9$ $\Rightarrow a = 3$।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 2(3) = 6$ है।

(D) अतिपरवलय $xy = c^2$ के लिए बिंदु $P(ct, c/t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{ct} + \frac{yt}{c} = 2$ है।
$y=0$ रखने पर,$x=2ct$ प्राप्त होता है,अतः $T(2ct, 0)$.
$x=0$ रखने पर,$y=\frac{2c}{t}$ प्राप्त होता है,अतः $T'(0, \frac{2c}{t})$.
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{c}{t} = t^2(x - ct)$ है,जिसे सरल करने पर $y = t^2x - ct^3 + \frac{c}{t}$ प्राप्त होता है।
$y=0$ रखने पर,$x = ct - \frac{c}{t^3}$ प्राप्त होता है,अतः $N(ct - \frac{c}{t^3}, 0)$.
$x=0$ रखने पर,$y = \frac{c}{t} - ct^3$ प्राप्त होता है,अतः $N'(0, \frac{c}{t} - ct^3)$.
त्रिभुज $PNT$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |x_P(y_N - y_T) + x_N(y_T - y_P) + x_T(y_P - y_N)| = \frac{c^2(t^4+1)}{2t^4}$ है।
त्रिभुज $PN'T'$ का क्षेत्रफल $\Delta' = \frac{1}{2} |x_P(y_{N'} - y_{T'}) + x_{N'}(y_{T'} - y_P) + x_{T'}(y_P - y_{N'})| = \frac{c^2(1+t^4)}{2}$ है।
अतः,$\frac{1}{\Delta} + \frac{1}{\Delta'} = \frac{2t^4}{c^2(1+t^4)} + \frac{2}{c^2(1+t^4)} = \frac{2(t^4+1)}{c^2(1+t^4)} = \frac{2}{c^2}$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ है,जो $(0, 1)$ पर केंद्रित एक अतिपरवलय है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2(y - 1)\frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y - 1}$।
चूंकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ और स्पर्श बिंदु $(a, b)$ से गुजरती है,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{b}{a} = \frac{a}{b - 1} \Rightarrow a^2 = b(b - 1) = b^2 - b$। $(1)$
चूंकि $(a, b)$ अतिपरवलय पर स्थित है: $a^2 - (b - 1)^2 = 1$ $\Rightarrow a^2 - (b^2 - 2b + 1) = 1$ $\Rightarrow a^2 - b^2 + 2b = 2$। $(2)$
$(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(b^2 - b) - b^2 + 2b = 2 \Rightarrow b = 2$।
अतः $a^2 = 2^2 - 2 = 2$,जिससे $a = \sqrt{2}$ (क्योंकि ढाल धनात्मक है)।
अतिपरवलय का मानक रूप $\frac{x^2}{1^2} - \frac{(y - 1)^2}{1^2} = 1$ है,जहाँ $A^2 = 1$ और $B^2 = 1$ है।
अतिपरवलय $\frac{X^2}{A^2} - \frac{Y^2}{B^2} = 1$ के लिए नाभिलंब की लंबाई $\frac{2B^2}{A}$ होती है।
यहाँ $A = 1$ और $B = 1$ है,अतः नाभिलंब की लंबाई $\frac{2(1)^2}{1} = 2$ है।

(D) शांकव का दिया गया समीकरण $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ है। यह $(0, 1)$ केंद्र वाला एक अतिपरवलय है।
चूंकि समीकरण $\frac{X^2}{A^2} - \frac{Y^2}{B^2} = 1$ के रूप में है जहाँ $A^2 = 1$ और $B^2 = 1$,यह एक आयताकार अतिपरवलय है।
आयताकार अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{B^2}{A^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$A^2 = 1$ और $B^2 = 1$ रखने पर,हमें $e = \sqrt{1 + \frac{1}{1}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,शांकव की उत्केंद्रता $\sqrt{2}$ है।

(C) दिया गया अतिपरवलय $x^2 - 3y^2 = 3$ है,जिसे $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 3$ और $b^2 = 1$,इसलिए $a = \sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ अतिपरवलय का शीर्ष है।
$(\sqrt{3}, 0)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $x = \sqrt{3}$ है।
अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी $y = \pm \frac{b}{a}x$ हैं,जो $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$ हैं।
स्पर्शरेखा $x = \sqrt{3}$ और अनंतस्पर्शी $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ तथा $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के शीर्ष:
$1$. $x = \sqrt{3}$ और $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ है।
$2$. $x = \sqrt{3}$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\sqrt{3}, -1)$ है।
$3$. दोनों अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(0, 0)$,$(\sqrt{3}, 1)$,और $(\sqrt{3}, -1)$ हैं।
रेखा $x = \sqrt{3}$ पर त्रिभुज का आधार $|1 - (-1)| = 2$ है।
मूल बिंदु से रेखा $x = \sqrt{3}$ तक त्रिभुज की ऊँचाई $\sqrt{3}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$ वर्ग इकाई।
त्रिभुज की भुजाएँ $2$,$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$,और $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$ हैं। चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं,यह एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(D) विकल्प $A$ के लिए: $x = \frac{a}{2}(t + \frac{1}{t})$ और $y = \frac{b}{2}(t - \frac{1}{t})$ दिया गया है।
दोनों का वर्ग करने पर,$\frac{4x^2}{a^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2$ और $\frac{4y^2}{b^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$ प्राप्त होता है।
घटाने पर: $\frac{4x^2}{a^2} - \frac{4y^2}{b^2} = 4$,जो $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ में सरल होता है,जो एक अतिपरवलय है।
विकल्प $B$ के लिए: $x^2 - 6 = 2 \cos t$ और $y^2 + 2 = 4 \cos^2 \frac{t}{2}$ दिया गया है।
$2 \cos^2 \frac{t}{2} = 1 + \cos t$ का उपयोग करने पर,$y^2 + 2 = 2 + 2 \cos t$,अतः $y^2 = 2 \cos t$।
$2 \cos t = x^2 - 6$ प्रतिस्थापित करने पर,$y^2 = x^2 - 6$ या $x^2 - y^2 = 6$ प्राप्त होता है,जो एक अतिपरवलय है।
विकल्प $C$ के लिए: $x^2 - y^2 = (e^t + e^{-t})^2 - (e^t - e^{-t})^2 = 4$ प्राप्त होता है,जो एक अतिपरवलय है।
अतः सही उत्तर $D$ है।

(D) माना अतिपरवलय $xy = c^2$ पर बिंदु $P(ct_1, c/t_1)$ और $Q(ct_2, c/t_2)$ हैं।
चूँकि जीवा $PQ$ का ढाल $1$ है,इसलिए $t_1t_2 = -1$ प्राप्त होता है।
व्यास $PQ$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - ct_1)(x - ct_2) + (y - c/t_1)(y - c/t_2) = 0$ है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - c(t_1 + t_2)x + c(t_1 + t_2)y - 2c^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $(x^2 + y^2 - 2c^2) - c(t_1 + t_2)(x - y) = 0$ के रूप में है।
निश्चित बिंदुओं के लिए $x^2 + y^2 - 2c^2 = 0$ और $x - y = 0$ होना चाहिए।
अतः,$x = y$ और $2x^2 = 2c^2$ अर्थात $x = \pm c$।
इस प्रकार,निश्चित बिंदु $(c, c)$ और $(-c, -c)$ हैं।

(D) दिया गया वक्र $x = Kt$ और $y = \frac{K}{t}$ है।
प्राचल $t$ को विलुप्त करने पर,हमें $t = \frac{x}{K}$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = \frac{K}{x/K} = \frac{K^2}{x}$,जिसका अर्थ है $xy = K^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} = -\frac{K^2/x}{x} = -\frac{K^2}{x^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $K^2 > 0$ और $x^2 > 0$,इसलिए सभी $x \neq 0$ के लिए ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{K^2}{x^2} < 0$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ दिया गया है,जिसे $y = -\frac{b}{a}x + b$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{b}{a}$ है।
चूँकि वक्र की ढाल हमेशा ऋणात्मक होती है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल भी ऋणात्मक होनी चाहिए,अतः $-\frac{b}{a} < 0$,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} > 0$।
यह शर्त $\frac{b}{a} > 0$ तभी सत्य है जब $a$ और $b$ दोनों के चिह्न समान हों।
अतः,या तो $a > 0, b > 0$ या $a < 0, b < 0$ होगा।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब के सिरे $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ हैं।
इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं का समीकरण $\pm \frac{ex}{a} \mp \frac{ay}{b^2} = 1$ है।
इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{2a^2}{e^2-1} \times e^2$ होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,क्षेत्रफल $= (ae)^2 = a^2e^2$ है।
अतः,$e^3 = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $xy - 7x - 5y = 0$ है।
दोनों पक्षों में $35$ जोड़ने पर,हमें $(x - 5)(y - 7) = 35$ प्राप्त होता है।
यह $(x - h)(y - k) = c^2$ के रूप का एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है,जहाँ $c^2 = 35$ है।
आयताकार अतिपरवलय $(x - h)(y - k) = c^2$ के नाभिलंब की लंबाई $2\sqrt{2c^2}$ होती है।
$c^2 = 35$ रखने पर,हमें $LR = 2\sqrt{2 \times 35} = 2\sqrt{70} = \sqrt{280}$ प्राप्त होता है।