Hyperbola Questions in Gujarati

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $7x^2 - 9y^2 = 63$ છે.
$63$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 7$,તેથી $a = 3$ અને $b = \sqrt{7}$.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $y = \pm \frac{b}{a}x$ છે,એટલે કે $y = \frac{\sqrt{7}}{3}x$ અને $y = -\frac{\sqrt{7}}{3}x$.
ઢાળ $m_1 = \frac{\sqrt{7}}{3}$ અને $m_2 = -\frac{\sqrt{7}}{3}$ છે.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha$ હોય,તો $\tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
તેથી $\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 - 7/9}{1 + 7/9} = \frac{2/9}{16/9} = \frac{1}{8}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{8}$.

(A) અનંતસ્પર્શકો $L_1 = 0$ અને $L_2 = 0$ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $L_1 L_2 = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ અનંતસ્પર્શકો $L_1: 3x - 4y - 1 = 0$ અને $L_2: 4x - 3y - 6 = 0$ છે.
અતિવલયની અક્ષો એ અનંતસ્પર્શકોના ખૂણાના દ્વિભાજક છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{3x - 4y - 1}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \pm \frac{4x - 3y - 6}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
છેદ સમાન હોવાથી,$3x - 4y - 1 = \pm (4x - 3y - 6)$.
કિસ્સો $1$: $3x - 4y - 1 = 4x - 3y - 6 \implies x + y - 5 = 0$.
કિસ્સો $2$: $3x - 4y - 1 = -(4x - 3y - 6) \implies 3x - 4y - 1 = -4x + 3y + 6 \implies 7x - 7y - 7 = 0 \implies x - y - 1 = 0$.
આમ,અક્ષો $x + y - 5 = 0$ અને $x - y - 1 = 0$ છે.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના અનંતસ્પર્શકો $y = \pm \frac{b}{a}x$ છે.
ધારો કે અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. તેથી $\tan \theta = \frac{b}{a}$.
આપેલ છે કે અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{2}{3}$,એટલે કે $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે $b = \frac{2}{3}a$.
$b^2 = \frac{4}{9}a^2$ ને આપેલ સમીકરણ $a^2 - b^2 = 45$ માં મૂકતા:
$a^2 - \frac{4}{9}a^2 = 45$
$\frac{5}{9}a^2 = 45$
$a^2 = 45 \times \frac{9}{5} = 81$,તેથી $a = 9$.
ત્યારબાદ $b^2 = \frac{4}{9}(81) = 36$,તેથી $b = 6$.
તેથી,$ab = 9 \times 6 = 54$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2-k y^2=3$ છે,જેને $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3/k}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2=3$ અને $b^2=\frac{3}{k}$ છે.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$\frac{b}{a} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
વર્ગ કરતા $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{3/k}{3} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{1}{k} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow k=3$.
અતિવલય $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
રેખા $lx+my+n=0$ નો $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ની સાપેક્ષમાં ધ્રુવ $\left(-\frac{a^2l}{n}, \frac{b^2m}{n}\right)$ છે.
$x+y-1=0$ માટે,$l=1, m=1, n=-1$.
ધ્રુવ $\left(-\frac{3(1)}{-1}, \frac{1(1)}{-1}\right) = (3, -1)$ છે.
$k=3$ અને $e=\frac{2}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$-1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}e}{2}$.
આમ,ધ્રુવ $\left(k, -\frac{\sqrt{3}e}{2}\right)$ છે.

(C) આપેલ અતિવલય $5x^2 - 4y^2 = 20$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેના અનંતસ્પર્શકો $\sqrt{5}x - 2y = 0$ અને $\sqrt{5}x + 2y = 0$ છે.
ધારો કે $(x_0, y_0)$ એ અતિવલય પરનું બિંદુ છે,તેથી $5x_0^2 - 4y_0^2 = 20$.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈ $l_1 = \frac{|\sqrt{5}x_0 - 2y_0|}{3}$ અને $l_2 = \frac{|\sqrt{5}x_0 + 2y_0|}{3}$ છે.
આમ,$l_1 l_2 = \frac{|5x_0^2 - 4y_0^2|}{9} = \frac{20}{9}$.
તેથી,$\frac{l_1^2 l_2^2}{100} = \frac{(20/9)^2}{100} = \frac{4}{81}$.

(D) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - 9y^2 - 24x - 36y - 36 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$4(x^2 - 6x) - 9(y^2 + 4y) = 36$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$4(x - 3)^2 - 9(y + 2)^2 = 36$ મળે.
અનંતસ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ મેળવવા માટે અચળ પદને શૂન્ય લેતા: $\frac{(x - 3)^2}{9} - \frac{(y + 2)^2}{4} = 0$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$4(x - 3)^2 - 9(y + 2)^2 = 0$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$4x^2 - 9y^2 - 24x - 36y = 0$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો અને તેના કોઈપણ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ હંમેશા $ab$ હોય છે.
આપેલ છે કે ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sec \alpha$,તેથી $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \sec^2 \alpha$.
$1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$ હોવાથી,$\frac{b^2}{a^2} = \tan^2 \alpha$,એટલે કે $b = a \tan \alpha$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $ab = a(a \tan \alpha) = a^2 \tan \alpha$ થાય.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{(y-2)^2}{4}=1$ છે.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{5}{13}$,તેથી $\tan \theta = \frac{12}{5}$.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = \left| \frac{2ab}{a^2 - b^2} \right|$ છે.
અહીં $b^2 = 4$,તેથી $b = 2$.
તેથી,$\frac{12}{5} = \left| \frac{4a}{a^2 - 4} \right|$.
ઉકેલતા,$3a^2 - 5a - 12 = 0$ અથવા $3a^2 + 5a - 12 = 0$.
આમ,$a^2 = \frac{16}{9}$ અથવા $9$ મળે છે.

(D) સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ છે.
તેને $(x-1)^2+(y-2)^2 = 2$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલયનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
સહાયક વર્તુળની ત્રિજ્યા $a = \sqrt{2}$ છે.
અનંતસ્પર્શકો કાટખૂણે હોવાથી,તે લંબ અતિવલય છે,તેથી $e = \sqrt{2}$ અને $a = b = \sqrt{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{2} - \frac{(y-2)^2}{2} = 1$ થશે.
જેનું સાદું રૂપ $x^2-y^2-2x+4y-5 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2-2 y^2-8 x+8 y+4=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને મળે છે:
$(x^2-8 x+16) - 2(y^2-4 y+4) + 4 - 16 + 8 = 0$
$(x-4)^2 - 2(y-2)^2 = 4$.
અનંતસ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ મેળવવા માટે અચળ પદને શૂન્ય લેતા:
$(x-4)^2 - 2(y-2)^2 = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2-8 x+16) - 2(y^2-4 y+4) = 0$
$x^2-8 x+16 - 2 y^2+8 y-8 = 0$
$x^2-2 y^2-8 x+8 y+8 = 0$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-3)^2}{3}-\frac{(y-2)^2}{2}=1$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$2(x^2-6x+9) - 3(y^2-4y+4) = 6$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y = 0$ થાય છે.
અનંતસ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ અતિવલયના સમીકરણથી માત્ર એક અચળ પદ દ્વારા અલગ પડે છે.
ધારો કે અનંતસ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y + \lambda = 0$ છે.
આ સમીકરણ રેખાઓની જોડ દર્શાવે તે માટે નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $a=2, b=-3, h=0, g=-6, f=6, c=\lambda$ છે.
શરત $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$-6\lambda - 72 + 108 = 0$ મળે છે,તેથી $\lambda = 6$.
આમ,અનંતસ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y + 6 = 0$ છે.

(A) અતિવલયના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $x+y+1=0$ અને $x-y+4=0$ છે.
આ સમીકરણોને ઉકેલતા અતિવલયનું કેન્દ્ર $(-2.5, 1.5)$ મળે છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $(x+y+1)(x-y+4) = k$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય.
બિંદુ $(1,1)$ સમીકરણમાં મૂકતા,$k = (1+1+1)(1-1+4) = 12$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $(x+2.5)^2 - (y-1.5)^2 = 12$ થાય.
અહીં $a^2 = 12$ અને $b^2 = 12$ હોવાથી,$a = 2\sqrt{3}$ અને $b = 2\sqrt{3}$ મળે.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 12}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ છે.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $bx - ay = 0$ અને $bx + ay = 0$ છે.
ધારો કે $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ એ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
$P$ થી અનંતસ્પર્શક $bx - ay = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $PQ = \frac{|b(a \sec \theta) - a(b \tan \theta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec \theta - \tan \theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
$P$ થી અનંતસ્પર્શક $bx + ay = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $PR = \frac{|b(a \sec \theta) + a(b \tan \theta)|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{ab(\sec \theta + \tan \theta)}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
આ અંતરોનો ગુણાકાર $6$ આપેલ છે:
$\frac{a^2 b^2(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)}{a^2 + b^2} = 6$
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = 6$ મળે.
$e = \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી $b^2 = a^2(e^2 - 1) = a^2(3 - 1) = 2a^2$ થાય.
સમીકરણમાં $b^2 = 2a^2$ મૂકતા:
$\frac{a^2(2a^2)}{a^2 + 2a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2a^4}{3a^2} = 6$ $\Rightarrow \frac{2}{3}a^2 = 6$ $\Rightarrow a^2 = 9$.
તેથી $b^2 = 2(9) = 18$,એટલે કે $b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$ થાય.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે કે અતિવલયના કોઈપણ સ્પર્શક અને તેના અનંતસ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અચળ હોય છે અને તે $ab$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $a^2 \tan(\alpha)$ છે,તેથી $ab = a^2 \tan(\alpha)$,જેનો અર્થ છે કે $b = a \tan(\alpha)$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$b = a \tan(\alpha)$ મૂકતા,આપણને મળે છે $e = \sqrt{1 + \frac{a^2 \tan^2(\alpha)}{a^2}} = \sqrt{1 + \tan^2(\alpha)} = \sqrt{\sec^2(\alpha)} = \sec(\alpha)$.

(B) અતિવલય $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y-4=0$ ના અનંતસ્પર્શકોનું સમીકરણ $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y+\lambda=0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ સમીકરણ રેખાયુગ્મ દર્શાવતું હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$.
અહીં $a=2, b=2, c=\lambda, h=\frac{5}{2}, g=-\frac{11}{2}, f=-\frac{7}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4\lambda + \frac{385}{4} - \frac{49}{2} - \frac{121}{2} - \frac{25\lambda}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા:
$16\lambda + 385 - 98 - 242 - 25\lambda = 0$.
$-9\lambda + 45 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$.
તેથી,સમીકરણ $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y+5=0$ મળે છે.

(B) અનંતસ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ રેખાઓના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=0$.
અતિવલયનું સમીકરણ તેના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણથી માત્ર એક અચળાંક $\lambda$ દ્વારા અલગ પડે છે,તેથી આપણે લખી શકીએ: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=\lambda$.
અતિવલય $(1,1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મુકતા: $(3(1)+4(1)-2)(2(1)+1+1)=\lambda$.
$(5)(4)=\lambda$,જે $\lambda=20$ આપે છે.
$\lambda=20$ ને સમીકરણમાં મુકતા: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=20$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $6x^2+3xy+3x+8xy+4y^2+4y-4x-2y-2=20$.
સાદું રૂપ આપતા: $6x^2+11xy+4y^2-x+2y-2=20$.
આમ,સમીકરણ $6x^2+11xy+4y^2-x+2y-22=0$ છે.

(B) આપેલ અતિવલય $16x^2 - 25y^2 = 400$ છે,જેને $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$,તેથી $a = 5$ અને $b = 4$.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $y = \pm \frac{b}{a}x$,એટલે કે $4x - 5y = 0$ અને $4x + 5y = 0$ છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તેથી $16x_1^2 - 25y_1^2 = 400$.
$P$ થી અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈ $d_1 = \frac{|4x_1 - 5y_1|}{\sqrt{41}}$ અને $d_2 = \frac{|4x_1 + 5y_1|}{\sqrt{41}}$ છે.
ગુણાકાર $p = d_1 d_2 = \frac{|16x_1^2 - 25y_1^2|}{41} = \frac{400}{41}$.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{b}{a} = \frac{4}{5}$ છે.
તેથી,$p \tan \frac{\theta}{2} = \frac{400}{41} \times \frac{4}{5} = \frac{320}{41}$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $14 x^2+38 x y+20 y^2+x-7 y-91=0$ છે.
અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો અતિવલયના સમીકરણથી એક અચળાંક જેટલા અલગ પડે છે.
ધારો કે અનંતસ્પર્શકો $(7 x+5 y+c_1)(2 x+4 y+c_2) = 14 x^2+38 x y+20 y^2+x-7 y+k = 0$ છે.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $14 x^2+28 x y+7 x c_2+10 x y+20 y^2+5 y c_2+2 x c_1+4 y c_1+c_1 c_2 = 14 x^2+38 x y+20 y^2+x(7 c_2+2 c_1)+y(5 c_2+4 c_1)+c_1 c_2$.
આપેલ અતિવલયના સમીકરણ સાથે સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$7 c_2+2 c_1 = 1$
$5 c_2+4 c_1 = -7$
આપેલ છે કે એક અનંતસ્પર્શક $7 x+5 y-3=0$ છે,તેથી $c_1 = -3$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $c_1 = -3$ મૂકતા: $7 c_2 + 2(-3) = 1$ $\Rightarrow 7 c_2 - 6 = 1$ $\Rightarrow 7 c_2 = 7$ $\Rightarrow c_2 = 1$.
આમ,બીજો અનંતસ્પર્શક $2 x+4 y+1=0$ છે.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ છે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$,તેથી $a = 3$ અને $b = 2$.
અનંતસ્પર્શકો $2x - 3y = 0$ અને $2x + 3y = 0$ છે.
ધારો કે $P(x_0, y_0)$ એ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તેથી $\frac{x_0^2}{9} - \frac{y_0^2}{4} = 1$.
$P$ થી $2x - 3y = 0$ નું લંબ અંતર $d_1 = \frac{|2x_0 - 3y_0|}{\sqrt{13}}$ છે.
$P$ થી $2x + 3y = 0$ નું લંબ અંતર $d_2 = \frac{|2x_0 + 3y_0|}{\sqrt{13}}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $d_1 d_2 = \frac{|4x_0^2 - 9y_0^2|}{13} = \frac{36}{13}$ થાય છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $(x+y+3)(2x-y+1) + \lambda = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(1,-2)$ અતિવલય પર હોવાથી,$x=1$ અને $y=-2$ મૂકતા:
$(1-2+3)(2(1)-(-2)+1) + \lambda = 0$
$(2)(5) + \lambda = 0 \implies \lambda = -10$.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $(x+y+3)(2x-y+1) - 10 = 0$ છે.
સંયુગ્મી અતિવલયનું સમીકરણ $(x+y+3)(2x-y+1) + 10 = 0$ થશે.
વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 2y + 3 + 10 = 0$,એટલે કે $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 2y + 13 = 0$.

(B) આપેલ છે,$x=35 \sec \theta$ અને $y=35 \tan \theta$.
બિંદુ $P = (35 \sec \theta, 35 \tan \theta)$.
$\theta$ ની સાપેક્ષે $x$ અને $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 35 \sec \theta \tan \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 35 \sec^2 \theta$
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{35 \sec^2 \theta}{35 \sec \theta \tan \theta} = \frac{\sec \theta}{\tan \theta} = \frac{1}{\sin \theta}$.
બિંદુ $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે:
$y - 35 \tan \theta = \frac{1}{\sin \theta} (x - 35 \sec \theta)$
$y \sin \theta - 35 \tan \theta \sin \theta = x - 35 \sec \theta$
$y \sin \theta - 35 \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = x - \frac{35}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + 35 \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} - \frac{35}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + \frac{35(\sin^2 \theta - 1)}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x + \frac{35(-\cos^2 \theta)}{\cos \theta}$
$y \sin \theta = x - 35 \cos \theta$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $P(x, y)$ છે. અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $A(-5, 0)$ અને $B(6, 0)$ છે.
પરિમિતિ એ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો છે: $PA + PB + AB = 20$.
અંતર $AB = \sqrt{(6 - (-5))^2 + (0 - 0)^2} = 11$.
તેથી,$PA + PB = 20 - 11 = 9$.
યામ મૂકતા,$\sqrt{(x + 5)^2 + y^2} + \sqrt{(x - 6)^2 + y^2} = 9$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદુંરૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $40x^2 - 81y^2 - 40x - 800 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{r} = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos \theta$ છે.
$8r$ વડે ગુણતા:
$8 = r + 3r \cos \theta$
$x = r \cos \theta$ હોવાથી,$r = 8 - 3x$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$r^2 = (8 - 3x)^2$
$x^2 + y^2 = 64 + 9x^2 - 48x$
$8x^2 - y^2 - 48x + 64 = 0$.
અહીં $A = 8$ અને $C = -1$ છે.
$A$ અને $C$ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હોવાથી $(AC < 0)$,આ સમીકરણ અતિવલય દર્શાવે છે.

(A) $f(x) = -3x^2+4x+1$ માટે,મહત્તમ કિંમત $l$ એ $x = -b/(2a) = -4/(2 \times -3) = 2/3$ પર મળે છે.
$l = f(2/3) = -3(4/9) + 4(2/3) + 1 = -4/3 + 8/3 + 1 = 7/3$.
$g(x) = 3x^2+4x+1$ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત $m$ એ $x = -4/(2 \times 3) = -2/3$ પર મળે છે.
$m = g(-2/3) = 3(4/9) + 4(-2/3) + 1 = 4/3 - 8/3 + 1 = -1/3$.
નાભિઓ $(l, 0) = (7/3, 0)$ અને $(7m, 0) = (-7/3, 0)$ છે.
અતિવલયનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે. નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 14/3$ છે.
$e = 2$ આપેલ હોવાથી,$4a = 14/3 \implies a = 7/6$.
$b^2 = a^2(e^2-1) = (49/36)(3) = 49/12$.
અતિવલયનું સમીકરણ $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ છે.
$36x^2 - 12y^2 = 49$.

(B) પ્રથમ અતિવલય માટે,મુખ્ય અક્ષ $2a$ અને અનુબદ્ધ અક્ષ $2b$ છે. આપેલ છે કે $2a = 2(2b)$,તેથી $a = 2b$. ઉત્કેન્દ્રતા $x$ એ $x^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{(2b)^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ દ્વારા મળે છે.
બીજા અતિવલય માટે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે અને નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ છે. આપેલ છે કે $2ae = 3 \times \frac{2a}{e}$,જેનું સાદું રૂપ $e^2 = 3$ થાય છે. આમ,$y^2 = 3$.
તેથી,$y^2 - x^2 = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12-5}{4} = \frac{7}{4}$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$a^2 = 9$,તેથી $a = 3$. નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે અને શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ છે.
ધારો કે નાભિ $S(ae, 0)$ છે અને દૂરનું શિરોબિંદુ $A'(-a, 0)$ છે.
નાભિલંબની રેખા $x = ae$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $L(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $L'(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
સદિશ $\vec{A'L} = (a(e+1), \frac{b^2}{a})$ અને $\vec{A'L'} = (a(e+1), -\frac{b^2}{a})$.
ખૂણો $\angle L A' L' = 90^\circ$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય.
$a^2(e+1)^2 - \frac{b^4}{a^2} = 0 \implies a^4(e+1)^2 = b^4$.
$b^2 = a^2(e^2-1)$ હોવાથી,$b^4 = a^4(e-1)^2(e+1)^2$.
તેથી,$1 = (e-1)^2 \implies e = 2$.
$b^2 = 9(2^2-1) = 27$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{k-\frac{5}{2}} + \frac{y^2}{\frac{7}{3}-k} = 1$ છે.
તે અતિવલય દર્શાવે તે માટે છેદના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ,એટલે કે તેમનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ:
$(k - \frac{5}{2})(\frac{7}{3} - k) < 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $(k - \frac{5}{2})(k - \frac{7}{3}) > 0$ મળે છે.
અહીં $\frac{7}{3} < \frac{5}{2}$ હોવાથી,અસમતા $(k - \frac{7}{3})(k - \frac{5}{2}) > 0$ ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $k < \frac{7}{3}$ અથવા $k > \frac{5}{2}$ હોય.
આમ,$k$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ $\left(-\infty, \frac{7}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{2}, \infty\right)$ છે.

(C) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $(5 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $P(\theta) = (x_1, \frac{3 \sqrt{5}}{2})$ માટે,$y$-યામ સરખાવતા: $3 \tan \theta = \frac{3 \sqrt{5}}{2} \implies \tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ હોવાથી,$\sec^2 \theta = 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$,તેથી $\sec \theta = \frac{3}{2}$ (કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$).
આમ,$x_1 = 5 \sec \theta = 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$.
વળી,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{\sec^2 \theta} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
અંતે,$2 x_1 + 9 \sin^2 \theta = 2(\frac{15}{2}) + 9(\frac{5}{9}) = 15 + 5 = 20$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ આપેલ છે,જ્યાં $a^2=16$ અને $b^2=9$ છે.
બિંદુ $P(5, y_1)$ અતિવલય પર હોવાથી,$x=5$ મુકતા:
$\frac{25}{16}-\frac{y_1^2}{9}=1$
$\Rightarrow \frac{y_1^2}{9}=\frac{25}{16}-1 = \frac{9}{16}$
$\Rightarrow y_1^2 = \frac{81}{16}$ $\Rightarrow y_1 = \pm \frac{9}{4}$.
તેથી,$P = (5, \pm \frac{9}{4})$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$.
ધન $X$-અક્ષ પરનું નાભિ $S = (ae, 0) = (4 \times \frac{5}{4}, 0) = (5, 0)$.
હવે,અંતર $SP = \sqrt{(5-5)^2 + (0 - (\pm \frac{9}{4}))^2} = \sqrt{0 + \frac{81}{16}} = \frac{9}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણો પ્રચલિત સ્વરૂપ $x = a \sec \theta, y = b \tan \theta$ માં છે,જે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ દર્શાવે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$ છે.
પ્રથમ અતિવલય માટે,$a = 1$ અને $b = \sqrt{2}$,તેથી $e_1^2 = 1 + \frac{(\sqrt{2})^2}{1^2} = 1 + 2 = 3$.
બીજા અતિવલય માટે,$a = \sqrt{2}$ અને $b = 1$,તેથી $e_2^2 = 1 + \frac{1^2}{(\sqrt{2})^2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{e_2^2}{e_1^2} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$.

(C) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને $X$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$ આપેલ છે,તેથી $a = 4$ અને $a^2 = 16$.
અતિવલય $(5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{25}{16} - \frac{4}{b^2} = 1$.
$\frac{4}{b^2} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$,જે આપણને $b^2 = \frac{64}{9}$ આપે છે.
અનુબદ્ધ અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ છે.
અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e'$ એ $e' = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$e' = \sqrt{1 + \frac{16}{64/9}} = \sqrt{1 + \frac{16 \times 9}{64}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

(B) પ્રથમ અતિવલય માટે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_1$ છે અને નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e_1}$ છે.
આપેલ છે કે $2ae_1 = 2 \times \frac{2a}{e_1}$,જેનું સાદું રૂપ $e_1^2 = 2$ થાય છે. $e_1 > 1$ હોવાથી,$e_1 = \sqrt{2}$ મળે.
બીજા અતિવલય માટે,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a_2$ છે અને અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ $2b_2$ છે.
આપેલ છે કે $2a_2 = 2(2b_2)$,તેથી $a_2 = 2b_2$ અથવા $b_2 = \frac{a_2}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \sqrt{1 + \frac{b_2^2}{a_2^2}} = \sqrt{1 + \frac{(a_2/2)^2}{a_2^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ મળે.
તેથી,$e_1 e_2 = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $P$ માટે,નાભિ અંતર $SP = |ex - a|$ અને $S^{\prime}P = |ex + a|$ છે.
આપેલ શરત $SP + S^{\prime}P - 2|SP - S^{\prime}P| = 0$ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $|SP - S^{\prime}P| = 2a$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $SP + S^{\prime}P = 2(2a) = 4a$.
અતિવલય માટે,નાભિ અંતરોનો સરવાળો $SP + S^{\prime}P = 2ex$ થાય છે.
તેથી,$2ex = 4a$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{2a}{e}$.
બિંદુ $P(\frac{\pi}{6})$ એ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ છે.
અહીં,$x = a \sec(\frac{\pi}{6}) = a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$x$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $\frac{2a}{e} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$e = \sqrt{3}$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 1$ છે. $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a^2 = 1$ અને $b^2 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1/2}{1}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
નાભિ $S$ એ $(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ છે.
બિંદુ $P(-1, 1)$ અને $S(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{0 - 1}{\sqrt{\frac{3}{2}} - (-1)} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ છે.
રેખા $PS$ નું સમીકરણ $y = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}(x - \sqrt{\frac{3}{2}})$ છે.
$Y$-અંતઃખંડ $(B)$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |OS| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{3}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{3}{2(\sqrt{6} + 2)}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $S = 4x^2 - 3y^2 - 1 = 0$ છે.
અતિવલયના અંદરના ભાગમાં બિંદુ $(\alpha, \beta)$ હોવા માટેની શરત $S_1 < 0$ છે.
બિંદુ $(\alpha, -1)$ ને $S < 0$ માં મૂકતા:
$4\alpha^2 - 3(-1)^2 - 1 < 0$
$4\alpha^2 - 3 - 1 < 0$
$4\alpha^2 - 4 < 0$
$\alpha^2 < 1$
$-1 < \alpha < 1$
તેથી,$\alpha \in (-1, 1)$.

(D) સમીકરણ $\frac{x^2}{\alpha+3} + \frac{y^2}{2-\alpha} = 1$ અતિવલય દર્શાવે તે માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે તેમનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ:
$(\alpha+3)(2-\alpha) < 0$
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા અસમતાનું ચિહ્ન બદલાશે:
$(\alpha+3)(\alpha-2) > 0$
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને બીજ $\alpha = -3$ અને $\alpha = 2$ મળે છે.
આ પદાવલિ બીજની વચ્ચેના અંતરાલની બહાર ધન છે.
તેથી,$\alpha \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

(D) અતિવલયના નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે.
$S$ માંથી પસાર થતા નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $A(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $B(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
$AB$ દ્વારા $S'$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણ $\triangle AS'B$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,રેખા $S'S$ એ $\angle AS'B$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle AS'S = 30^{\circ}$.
$S'A$ નો ઢાળ $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$\frac{b^2/a}{ae - (-ae)} = \frac{b^2}{2a^2e} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આનાથી $\frac{b^2}{a^2} = \frac{2e}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
સંબંધ $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{b^2}{a^2} = e^2 - 1$ મળે.
બંને પદોને સરખાવતા: $e^2 - 1 = \frac{2e}{\sqrt{3}}$,જેનું સાદુરૂપ $\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(\sqrt{3}e + 1)(e - \sqrt{3}) = 0$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોવાથી,$e = \sqrt{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5x^2 - 6y^2 - 10x - 24y - 34 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $5(x^2 - 2x) - 6(y^2 + 4y) = 34$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $5(x^2 - 2x + 1) - 6(y^2 + 4y + 4) = 34 + 5 - 24$
$5(x - 1)^2 - 6(y + 2)^2 = 15$
$15$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^2}{3} - \frac{(y + 2)^2}{2.5} = 1$
અહીં,$a^2 = 3$ અને $b^2 = 2.5 = \frac{5}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5/2}{3}} = \sqrt{1 + \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{11}{6}}$.
નાભિઓ $(h \pm ae, k)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $(h, k) = (1, -2)$.
$ae = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{11}{6}} = \sqrt{\frac{33}{6}} = \sqrt{\frac{11}{2}}$.
તેથી,નાભિઓ $\left(1 \pm \sqrt{\frac{11}{2}}, -2\right)$ છે.

(C) અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
આપેલ છે કે $e = \frac{5}{4}$,તેથી $1 + \frac{b^2}{a^2} = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$.
આમ,$\frac{b^2}{a^2} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = \frac{9}{16} a^2$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 9$ છે.
$b^2 = \frac{9}{16} a^2$ ને નાભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2}{a} \left(\frac{9}{16} a^2\right) = 9$
$\frac{9}{8} a = 9 \Rightarrow a = 8$.
હવે,$b^2 = \frac{9}{16} (8)^2 = \frac{9}{16} \times 64 = 36$,તેથી $b = 6$.
તેથી,$ab = 8 \times 6 = 48$.

(D) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ છે કે ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 16$ છે.
$2ae = 16$ માં $e = \sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને $2a(\sqrt{2}) = 16$ મળે છે.
તેથી,$a = \frac{16}{2\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$,તેથી $a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
કિંમતો મૂકતા,$b^2 = 32((\sqrt{2})^2 - 1) = 32(2 - 1) = 32$.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - y^2 = 32$ થાય છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a = 12$ આપેલ છે,તેથી $a = 6$.
બિંદુ $(8, 2)$ અતિવલય પર હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$\frac{8^2}{a^2} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$a = 6$ મૂકતા:
$\frac{64}{36} - \frac{4}{b^2} = 1$
$\frac{16}{9} - 1 = \frac{4}{b^2}$
$\frac{7}{9} = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = \frac{36}{7}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$e = \sqrt{1 + \frac{36/7}{36}} = \sqrt{1 + \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{8}{7}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2-y^2-4x+2y+c=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-2)^2 - (y-1)^2 = 3-c$ મળે.
ધારો કે $a^2 = 3-c$. સમીકરણ $\frac{(x-2)^2}{a^2} - \frac{(y-1)^2}{a^2} = 1$ બને છે.
આ લંબ અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{2}$ છે.
નાભિ $x = 2 \pm ae = 2 \pm \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2} = 2 \pm \sqrt{2a^2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ નાભિ $S(2+2\sqrt{2}, k)$ પરથી,$\sqrt{2a^2} = 2\sqrt{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4$ મળે.
$a^2 = 3-c$ હોવાથી,$4 = 3-c$,જે $c = -1$ આપે છે.
નિયામિકા $x = 2 \pm \frac{a}{e} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 \pm \sqrt{2}$ છે.
નાભિ $x = 2+2\sqrt{2}$ ની નજીકની નિયામિકા $x = 2+\sqrt{2}$ છે,જે આપેલ શરત સાથે સુસંગત છે.
આમ,$c = -1$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=25$ છે. $b^2 > a^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ મળે.
$e_1 e_2 = 1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{3}{5} e_2 = 1 \Rightarrow e_2 = \frac{5}{3}$ મળે.
ઉપવલયની નાભિઓ $(0, \pm 3)$ છે.
અતિવલય $(0, \pm 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
$(0, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$b^2 = 9$ મળે.
અતિવલય માટે,$e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow (\frac{5}{3})^2 = 1 + \frac{a^2}{9}$ $\Rightarrow \frac{25}{9} = 1 + \frac{a^2}{9}$ $\Rightarrow a^2 = 16$.
આમ,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$ છે.

(B) રેખા $2x + y = 1$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e}$ છે.
રેખા $(\frac{a}{e}, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $2(\frac{a}{e}) + 0 = 1$,જે $2a = e$ આપે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલયનો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં,$y = -2x + 1$,તેથી $m = -2$ અને $c = 1$.
આમ,$1^2 = a^2(-2)^2 - b^2$,જે $4a^2 - b^2 = 1$ માં પરિણમે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
સ્પર્શકની શરતમાં $b^2$ મૂકતા: $4a^2 - a^2(e^2 - 1) = 1$.
$e = 2a$ હોવાથી,$a = \frac{e}{2}$,તેથી $a^2 = \frac{e^2}{4}$.
$a^2$ ની કિંમત મૂકતા: $4(\frac{e^2}{4}) - \frac{e^2}{4}(e^2 - 1) = 1$.
$e^2 - \frac{e^4}{4} + \frac{e^2}{4} = 1$.
$4$ વડે ગુણતા: $4e^2 - e^4 + e^2 = 4$.
$e^4 - 5e^2 + 4 = 0$.
$(e^2 - 4)(e^2 - 1) = 0$.
અતિવલય માટે $e > 1$ હોવાથી,$e^2 = 4$,તેથી $e = 2$.

(D) ધારો કે $f(e) = 2e^3 + 10e - 13$.
અહીં $f(1) = 2(1)^3 + 10(1) - 13 = -1 < 0$ અને $f(2) = 2(8) + 10(2) - 13 = 23 > 0$ છે.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,અંતરાલ $(1, 2)$ માં એક બીજ $e$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
શંકુછેદની ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોવાથી,તે અતિવલય છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ છે.
ઉપવલય માટે,$a_e = 13$ અને $b_e = 5$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b_e^2}{a_e^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
ઉપવલયની નાભિ $(\pm a_e e, 0) = (\pm 13 \times \frac{12}{13}, 0) = (\pm 12, 0)$ છે.
અતિવલય $(\pm 12, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{12^2}{a^2} - \frac{0}{b^2} = 1$,જે $a^2 = 144$ આપે છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e' = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}}$.
ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $1$ હોવાથી,$e \times e' = 1$.
$\frac{12}{13} \times \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = 1$.
$\sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = \frac{13}{12}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + \frac{b^2}{144} = \frac{169}{144}$.
$\frac{b^2}{144} = \frac{169}{144} - 1 = \frac{25}{144}$.
આમ,$b^2 = 25$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$ છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 3y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $(x^2 - 4x) - 3(y^2 + 2y) = 11$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 - 4x + 4) - 3(y^2 + 2y + 1) = 11 + 4 - 3$.
$(x - 2)^2 - 3(y + 1)^2 = 12$.
$12$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 2)^2}{12} - \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$.
અહીં,$a^2 = 12$ અને $b^2 = 4$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2 \times \sqrt{12} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \times 2\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ છે.