Hyperbola Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $e$ અને $e^{\prime}$ એ અતિવલય અને તેના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$.
અહીં $e = \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી $e^2 = 3$.
કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{3} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$.
$\frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$(e^{\prime})^2 = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{\prime} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 = 9$ ને $\frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{(3/4)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a=1, b=3/4$ છે.
અતિવલય પરના પ્રચલ બિંદુઓ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ છે.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે,$P_1 = (\sqrt{2}, \frac{3}{4})$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ માટે,$P_2 = (2, \frac{3\sqrt{3}}{4})$.
અંતર $D = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{3}{4})^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 9\sqrt{3}}$.
વિધાન સાચું છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે અતિવલયના પ્રચલ સમીકરણો $x = a \sec \theta, y = b \tan \theta$ છે.
તેથી,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
નાભિલંબ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
તેથી,કેન્દ્ર અને એક અંત્યબિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a})$ ને જોડતી રેખા $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
માટે,$\tan(60^{\circ}) = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$.
$\sqrt{3} = \frac{a^2(e^2 - 1)}{a^2e} = \frac{e^2 - 1}{e}$ હોવાથી,$e^2 - \sqrt{3}e - 1 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$ મળે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુઓ $A(\theta_1)$ અને $B(\theta_2)$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ:
$\frac{x}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)-\frac{y}{b} \sin \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)=\cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
આ જીવા નાભિ $S(ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=ae$ અને $y=0$ મૂકતા:
$\frac{ae}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
$e \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
સંબંધ $e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
$\sqrt{a^2+b^2} \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)$
આપેલ સમીકરણ $a \cos \left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right) = k \cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right)$ સાથે સરખાવતા:
$k = \sqrt{a^2+b^2}$

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - y^2 = 4a^2$ છે,જેને $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
જીવા $x \cos \phi + y \sin \phi = P$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને અતિવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = \left(\frac{x \cos \phi + y \sin \phi}{P}\right)^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{\cos^2 \phi}{P^2}\right) - y^2 \left(\frac{1}{4a^2} + \frac{\sin^2 \phi}{P^2}\right) - \frac{2xy \cos \phi \sin \phi}{P^2} = 0$ મળે.
જીવા ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે તે માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\left(\frac{1}{a^2} - \frac{\cos^2 \phi}{P^2}\right) - \left(\frac{1}{4a^2} + \frac{\sin^2 \phi}{P^2}\right) = 0$.
$\frac{3}{4a^2} - \frac{1}{P^2} = 0$ $\Rightarrow P^2 = \frac{4a^2}{3}$ $\Rightarrow P = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
$P$ એ ઉગમબિંદુથી જીવા પરના લંબનું અંતર છે,જે વર્તુળની ત્રિજ્યા દર્શાવે છે. તેથી,ત્રિજ્યા $\frac{2a}{\sqrt{3}}$ છે.

(B) અતિવલય $S: 2x^2 - 3y^2 - 12 = 0$ માટે મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,જ્યાં $T = 2xh - 3yk - 12$ અને $S_1 = 2h^2 - 3k^2 - 12$.
આમ,જીવાનું સમીકરણ $2xh - 3yk = 2h^2 - 3k^2$ થાય.
આપેલ જીવા $4x - 3y = 5$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{2h}{4} = \frac{-3k}{-3} = \frac{2h^2 - 3k^2}{5}$.
$\frac{2h}{4} = k$ પરથી,$k = \frac{h}{2}$ મળે.
$k = \frac{h}{2}$ ને $\frac{2h}{4} = \frac{2h^2 - 3(h/2)^2}{5}$ માં મૂકતા:
$\frac{h}{2} = \frac{2h^2 - \frac{3h^2}{4}}{5} = \frac{5h^2}{20} = \frac{h^2}{4}$.
તેથી,$\frac{h}{2} = \frac{h^2}{4}$ $\Rightarrow 2h = h^2$ $\Rightarrow h(h - 2) = 0$.
જીવા અસ્તિત્વ ધરાવતી હોવાથી $h \neq 0$.
આમ,$h = 2$ અને $k = 1$.
મધ્યબિંદુ $(2, 1)$ છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 16$,તેથી $a = 3$ અને $b = 4$.
બિંદુ $P(x_1, y_1) = (3 \sqrt{2}, 4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_1}{a^2} - \frac{y y_1}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x(3 \sqrt{2})}{9} - \frac{y(4)}{16} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x \sqrt{2}}{3} - \frac{y}{4} = 1$ થાય છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e} = \frac{3}{5/3} = \frac{9}{5}$ છે.
બિંદુ $Q(\alpha, \beta)$ નિયામિકા પર હોવાથી,$\alpha = \frac{9}{5}$.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x = \frac{9}{5}$ મૂકતા: $\frac{(9/5) \sqrt{2}}{3} - \frac{y}{4} = 1$.
$\frac{3 \sqrt{2}}{5} - \frac{y}{4} = 1 \implies \frac{y}{4} = \frac{3 \sqrt{2} - 5}{5}$.
તેથી,$y = \beta = \frac{12 \sqrt{2} - 20}{5}$.

(C) નાભિ $S$ એ $(ae, 0)$ છે. આપેલ છે કે $Q = (0, 1)$,તેથી $S Q^2 = (ae)^2 + 1^2 = 26$,એટલે કે $a^2 e^2 = 25$,જેનો અર્થ છે $ae = 5$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1$ માટે,$b^2 = 9$,તેથી $e^2 = 1 + \frac{9}{a^2}$.
$e^2 = \frac{25}{a^2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{25}{a^2} = 1 + \frac{9}{a^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $\frac{16}{a^2} = 1$,તેથી $a = 4$.
પછી $e = \frac{5}{4}$. બિંદુ $P$ એ $(4 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ છે.
અંતર $SP = 6$. $SP^2 = (4 \sec \theta - 5)^2 + (3 \tan \theta - 0)^2 = 36$.
$16 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta + 25 + 9 \tan^2 \theta = 36$.
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$16 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta + 25 + 9 \sec^2 \theta - 9 = 36$.
$25 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta - 20 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $5 \sec^2 \theta - 8 \sec \theta - 4 = 0$ થાય છે.
$(5 \sec \theta + 2)(\sec \theta - 2) = 0$.
$|\sec \theta| \geq 1$ હોવાથી,$\sec \theta = 2$,જે $\theta = \frac{\pi}{3}$ આપે છે.

(B) આપેલ રેખા $2x + \sqrt{6}y = 2$ છે,જેને $2x + \sqrt{6}y - 2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 4$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
અતિવલય $x^2 - 2y^2 = 4$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 - 2yy_1 - 4 = 0$ થાય.
આ રેખા અને આપેલ રેખા સમાન હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હશે:
$\frac{x_1}{2} = \frac{-2y_1}{\sqrt{6}} = \frac{-4}{-2}$
$\frac{x_1}{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 4$
$\frac{-2y_1}{\sqrt{6}} = 2$ $\Rightarrow -2y_1 = 2\sqrt{6}$ $\Rightarrow y_1 = -\sqrt{6}$
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(4, -\sqrt{6})$ છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} + \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
તેથી અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{9x}{x_1} + \frac{4y}{y_1} = 13$ થાય.
આપેલ રેખા $x + y = -k$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{9/x_1}{1} = \frac{4/y_1}{1} = \frac{13}{-k}$.
જેથી $x_1 = -\frac{9k}{13}$ અને $y_1 = -\frac{4k}{13}$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ અતિવલય પર હોવાથી:
$\frac{(-9k/13)^2}{9} - \frac{(-4k/13)^2}{4} = 1$.
$\frac{9k^2}{169} - \frac{4k^2}{169} = 1$.
$\frac{5k^2}{169} = 1$.
$k^2 = \frac{169}{5}$.
$k = \pm \frac{13}{\sqrt{5}}$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x^2+y^2=4$
$xy=\sqrt{3}$
વર્તુળના સમીકરણમાં $y=\frac{\sqrt{3}}{x}$ મૂકતા:
$x^2 + \frac{3}{x^2} = 4$
$x^4 - 4x^2 + 3 = 0$
$(x^2-3)(x^2-1) = 0$
તેથી,$x^2=3$ અથવા $x^2=1$.
કારણ કે $\alpha > \beta > 0$,આપણને $x^2=3$ અને $y^2=1$ મળે છે.
આમ,$\alpha = \sqrt{3}$ અને $\beta = 1$.
બિંદુ $P = (\sqrt{3}, 1)$.
અતિવલય $xy=c^2$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xy_1 + yx_1 = 2c^2$ છે.
અહીં $c^2 = \sqrt{3}$,$x_1 = \sqrt{3}$,$y_1 = 1$.
તેથી,$x(1) + y(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.
$x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેનું નિયામક વર્તુળ છે,જેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ છે.
આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$b^2 = 4$ છે.
તેથી નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2 - 4$ થાય.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ સાથે સરખાવતા,$a^2 - 4 = 5$ મળે.
$a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ (કારણ કે અતિવલય માટે $a > 0$ છે).

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $2x^2-y^2=4$ છે,જેને $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=2$ અને $b^2=4$ છે.
અતિવલય માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$ છે,જે $y=mx \pm \sqrt{2m^2-4}$ બને છે.
સ્પર્શક બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે $x=1$ અને $y=1$ મૂકીએ:
$1 = m(1) \pm \sqrt{2m^2-4}$
$1-m = \pm \sqrt{2m^2-4}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1-m)^2 = 2m^2-4$
$1+m^2-2m = 2m^2-4$
$m^2+2m-5 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$.

(A) અતિવલય $x^2-y^2=c^2$ પરનું બિંદુ $P(c \sec \theta, c \tan \theta)$ લો.
$P$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x \sec \theta - y \tan \theta = c$ છે.
$X$-અંત:ખંડ $T = (c \cos \theta, 0)$.
$P$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $x \cos \theta + y \cot \theta = 2c \sec \theta$ છે.
$Y$-અંત:ખંડ $N = (0, 2c \csc \theta)$.
$TN$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k) = (\frac{c}{2 \cos \theta}, c \csc \theta)$ છે.
તેથી $\cos \theta = \frac{c}{2h}$ અને $\sin \theta = \frac{c}{k}$.
આમ,બિંદુપથ $\frac{c^2}{4x^2} - \frac{y^2}{c^2} = 1$ મળે છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
આપેલ સ્પર્શક $y = mx + 4$ છે,તેથી $c = 4$.
$c^2 = a^2m^2 - b^2$ સરખાવતા,$16 = 25m^2 - 9$ મળે.
$25m^2 = 25 \Rightarrow m^2 = 1$,તેથી $m = 1$.
સ્પર્શબિંદુ $\left(\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
સ્પર્શબિંદુ = $\left(\frac{25 \times 1}{4}, \frac{9}{4}\right) = \left(\frac{25}{4}, \frac{9}{4}\right)$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 4y^2 = 4$ છે, જેને $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં, $a = 2$ અને $b = 1$ છે।
પ્રાચલ યામ $(a \sec \theta, b \tan \theta) = (2 \sec \theta, \tan \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુઓની ગણતરી કરતા:
$P(\frac{\pi}{4}) = (2 \sqrt{2}, 1)$
$Q(\frac{5 \pi}{4}) = (-2 \sqrt{2}, 1)$
$R(\frac{3 \pi}{4}) = (-2 \sqrt{2}, -1)$
$T(\frac{7 \pi}{4}) = (2 \sqrt{2}, -1)$
આ બિંદુઓ એક લંબચોરસ બનાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(2 \sqrt{2}, 1), (-2 \sqrt{2}, 1), (-2 \sqrt{2}, -1),$ અને $(2 \sqrt{2}, -1)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
પહોળાઈ $= |2 \sqrt{2} - (-2 \sqrt{2})| = 4 \sqrt{2}$
ઊંચાઈ $= |1 - (-1)| = 2$
ક્ષેત્રફળ $= \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 4 \sqrt{2} \times 2 = 8 \sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.
તેથી, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે. બિંદુ $(h, k)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - k = m(x - h)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે સ્પર્શકની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે,જ્યાં $c = k - mh$.
તેથી,$(k - mh)^2 = a^2m^2 - b^2$.
આને $m$ ના દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે લખતા: $m^2(h^2 - a^2) - 2mhk + (k^2 + b^2) = 0$.
સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2}$ થાય.
આપેલ છે કે $m_1m_2 = k^2$,તેથી $\frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2} = k^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $y^2 + b^2 = k^2(x^2 - a^2)$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $3x^2 - y^2 = 3$ છે,જેને $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 1$ અને $b^2 = 3$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
આપેલ રેખા $y = 2x + 4$ છે,તેથી ઢાળ $m = 2$ છે.
$m = 2, a^2 = 1, b^2 = 3$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2x \pm \sqrt{1(2)^2 - 3} = 2x \pm \sqrt{4 - 3} = 2x \pm 1$.
બે સમાંતર સ્પર્શકો $2x - y + 1 = 0$ અને $2x - y - 1 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|1 - (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(A) આપેલ અતિવલય $5 x^2-y^2=5$ છે,જેને $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{5}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=1$ અને $b^2=5$ છે.
ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=m x \pm \sqrt{a^2 m^2-b^2}$ છે,જે $y=m x \pm \sqrt{m^2-5}$ બને છે.
સ્પર્શક $(2,8)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$8=2 m \pm \sqrt{m^2-5}$,અથવા $(8-2 m)^2 = m^2-5$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$64+4 m^2-32 m = m^2-5$,જેનું સાદું રૂપ $3 m^2-32 m+69=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(3 m-23)(m-3)=0$,તેથી $m=3$ અથવા $m=\frac{23}{3}$.
$m=3$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=3 x \pm \sqrt{3^2-5} \Rightarrow y=3 x \pm 2$ મળે છે.
આમ,$3 x-y+2=0$ અથવા $3 x-y-2=0$ એ સ્પર્શકો છે.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે $\theta$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ છે.
બિંદુ $P(\theta)$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ છે (સમીકરણ $1$).
બિંદુ $Q(\phi)$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2+b^2$ છે.
કારણ કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,તેથી $\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$ થાય.
આમ,$Q$ આગળનો અભિલંબ $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$ છે (સમીકરણ $2$).
છેદબિંદુ $(h, k)$ શોધવા માટે $x$ અથવા $y$ નો લોપ કરતા:
સમીકરણ $1$ પરથી,$ax \cos \theta = a^2+b^2 - by \cot \theta$.
સમીકરણ $2$ પરથી,$ax \sin \theta = a^2+b^2 - by \tan \theta$.
ક્રામરના નિયમ અથવા આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y$-યામ $k$ મળે છે:
$k = \frac{(a^2+b^2)a(\cos \theta - \sin \theta)}{ab(\sin \theta - \cos \theta)} = \frac{-(a^2+b^2)}{b}$.
તેથી,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x+y+n=0$ છે,જેને $y=-x-n$ તરીકે લખી શકાય.
તેને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=-1$ અને $c=-n$ મળે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નો અભિલંબ હોય તેની શરત $c^2 = \frac{(a^2+b^2)^2 m^2}{a^2-b^2 m^2}$ છે.
અહીં,$a^2=6$ અને $b^2=2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-n)^2 = \frac{(6+2)^2 (-1)^2}{6-2(-1)^2}$ મળે છે.
$n^2 = \frac{8^2 \times 1}{6-2} = \frac{64}{4} = 16$.
તેથી,$n = \pm 4$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
બિંદુ $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ છે.
તે જ રીતે,બિંદુ $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2+b^2$ છે.
આપેલ છે કે $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$. આથી,$\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$.
બે સમીકરણો:
$(1) \quad ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$
$(2) \quad ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,$(1)$ ને $\sin \theta$ વડે અને $(2)$ ને $\cos \theta$ વડે ગુણતા:
$by(\cos \theta - \sin \theta) = (a^2+b^2)(\sin \theta - \cos \theta)$
$by = -(a^2+b^2)$
$y = -\frac{a^2+b^2}{b}$
તેથી,$k = -\frac{a^2+b^2}{b}$.

(A) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ માટે,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$ છે.
$A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ આગળનો અભિલંબ $2x \cos \theta + 3y \cot \theta = 13$ $(i)$ છે.
$B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ આગળનો અભિલંબ $2x \cos \phi + 3y \cot \phi = 13$ (ii) છે.
$\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$ થાય. તેથી,$\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$ થાય.
આ કિંમતો (ii) માં મૂકતા: $2x \sin \theta + 3y \tan \theta = 13$ (iii) મળે.
છેદબિંદુ $(\alpha, \beta)$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ.
ગણતરી કરતા,$3y(\cos \theta - \sin \theta) = 13(\sin \theta - \cos \theta)$ મળે.
તેથી,$3y = -13$ મળે.
આમ,$\beta = -\frac{13}{3}$ થાય.

(C) રેખાનું સમીકરણ $lx + my - 1 = 0$ છે,તેથી $n = -1$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,રેખા $lx + my + n = 0$ અભિલંબ હોવાની શરત $\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2 + b^2)^2}{n^2}$ છે.
$n = -1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a^2}{l^2} - \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2 + b^2)^2}{(-1)^2} = (a^2 + b^2)^2$.

(D) લંબચોરસ અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો યામ અક્ષોને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $(x - h)(y - k) = c$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
બે લંબ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ એ અતિવલયનું કેન્દ્ર હોવાથી,$(h, k) = (1, 1)$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $(x - 1)(y - 1) = c$ થાય.
અતિવલય $(3, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,યામ મૂકતા: $(3 - 1)(2 - 1) = c$ $\Rightarrow 2 \times 1 = c$ $\Rightarrow c = 2$.
$c = 2$ સમીકરણમાં મૂકતા,$(x - 1)(y - 1) = 2$ મળે છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$xy - x - y + 1 = 2$,જેનું સાદું રૂપ $xy = x + y + 1$ થાય છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{4/3} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 20$ અને $b^2 = \frac{4}{3}$ છે.
આપેલ રેખા $x + 3y = 7$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{3}$ છે.
અતિવલયના સ્પર્શકનું ઢાળ સ્વરૂપ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = -\frac{1}{3}x \pm \sqrt{20(-\frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}x \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{1}{3}x \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
આથી બે સમાંતર સ્પર્શકો $x + 3y - 2\sqrt{2} = 0$ અને $x + 3y + 2\sqrt{2} = 0$ મળે છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.

(B) અતિવલય $x^2-y^2=9$ અને સ્પર્શક જીવા $x=9$ આપેલ છે.
$x=9$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$81-y^2=9$ $\Rightarrow y^2=72$ $\Rightarrow y = \pm 6\sqrt{2}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુઓ $P_1(9, 6\sqrt{2})$ અને $P_2(9, -6\sqrt{2})$ છે.
$x^2-y^2=9$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
$P_1(9, 6\sqrt{2})$ આગળ ઢાળ $m_1 = \frac{9}{6\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.
$P_1$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 6\sqrt{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ થાય.
$P_2(9, -6\sqrt{2})$ આગળ ઢાળ $m_2 = \frac{9}{-6\sqrt{2}} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}$.
$P_2$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y + 6\sqrt{2} = -\frac{3}{2\sqrt{2}}(x-9)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x + 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ થાય.
વિકલ્પો તપાસતા,$3x + 2\sqrt{2}y - 3 = 0$ એ વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x^2+y^2=a^2$ અને $xy=c^2$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$x = \frac{c^2}{y}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$\left(\frac{c^2}{y}\right)^2 + y^2 = a^2$
$\frac{c^4}{y^2} + y^2 = a^2$
$c^4 + y^4 = a^2 y^2$
$y^4 - a^2 y^2 + c^4 = 0$
આ $y$ માં દ્વિ-વર્ગ સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $y_1, y_2, y_3, y_4$ છે.
સમીકરણ $Ay^4 + By^3 + Cy^2 + Dy + E = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $B=0$.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $-\frac{B}{A} = -\frac{0}{1} = 0$ થાય.
તેથી,$y_1+y_2+y_3+y_4 = 0$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ છે.
અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી આ અનંતસ્પર્શકો સુધીના લંબ અંતરનો ગુણાકાર $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ થાય છે.
આપેલ છે કે આ ગુણાકાર $\frac{36}{13}$ છે,તેથી $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = \frac{36}{13}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$ થાય.
$e = \frac{\sqrt{13}}{3}$ આપેલ છે,તેથી $e^2 = \frac{13}{9}$.
આમ,$\frac{a^2 + b^2}{a^2} = \frac{13}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $9(a^2 + b^2) = 13a^2$,એટલે કે $9b^2 = 4a^2$.
આથી,$b^2 = \frac{4}{9}a^2$,એટલે કે $b = \frac{2}{3}a$.
$b^2 = \frac{4}{9}a^2$ ને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{a^2 (\frac{4}{9}a^2)}{a^2 + \frac{4}{9}a^2} = \frac{36}{13}$.
$\frac{\frac{4}{9}a^4}{\frac{13}{9}a^2} = \frac{36}{13} \implies \frac{4}{13}a^2 = \frac{36}{13} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$.
તેથી $b = \frac{2}{3}(3) = 2$.
આમ,$a - b = 3 - 2 = 1$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 = 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
નાભિલંબનું સમીકરણ $x = ae = 4 \times \frac{5}{4} = 5$ છે.
અનંતસ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 0$ છે,જે $y = \pm \frac{3}{4}x$ માં પરિણમે છે.
પ્રથમ ચરણ માટે,આપણે $y = \frac{3}{4}x$ લઈએ છીએ.
અનંતસ્પર્શકના સમીકરણમાં $x = 5$ મૂકતા,$q = \frac{3}{4}(5) = \frac{15}{4}$ મળે.
આમ,$q = \frac{15}{4}$.

(A) આપેલ અતિવલય $H: 9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$9(x^2 + 8x) - 16(y^2 + 2y) = 16$
$9(x+4)^2 - 144 - 16(y+1)^2 + 16 = 16$
$9(x+4)^2 - 16(y+1)^2 = 144$
$144$ વડે ભાગતા,$\frac{(x+4)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} = 1$.
સંયુગ્મી અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{(x+4)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} = -1$ થાય.
$144$ વડે ગુણતા: $9(x+4)^2 - 16(y+1)^2 = -144$.
$9(x^2 + 8x + 16) - 16(y^2 + 2y + 1) = -144$
$9x^2 + 72x + 144 - 16y^2 - 32y - 16 = -144$
$9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y + 128 = -144$
$9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y + 272 = 0$.

(D) અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \sec^{-1}(e)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ખૂણો $30^{\circ}$ છે,તેથી:
$2 \sec^{-1}(e) = 30^{\circ}$
$\sec^{-1}(e) = 15^{\circ}$
$e = \sec(15^{\circ})$
$\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ હોવાથી,
$e = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે $(h, k)$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 8$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
તેથી,$h^2 - k^2 = 8$.
અતિવલય $x^2 - y^2 = 8$ ના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $x + y = 0$ અને $x - y = 0$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $x + y = 0$ પરના લંબનું અંતર $d_1 = \frac{|h + k|}{\sqrt{2}}$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $x - y = 0$ પરના લંબનું અંતર $d_2 = \frac{|h - k|}{\sqrt{2}}$ છે.
લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $d_1 d_2 = \frac{|h + k|}{\sqrt{2}} \times \frac{|h - k|}{\sqrt{2}} = \frac{|h^2 - k^2|}{2}$ થાય.
$h^2 - k^2 = 8$ મૂકતા,આપણને $d_1 d_2 = \frac{8}{2} = 4$ મળે છે.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $9x^2-4y^2+36x+8y-4=0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરીને સમીકરણને ફરીથી લખતા:
$9(x^2+4x+4) - 4(y^2-2y+1) = 36$.
$9(x+2)^2 - 4(y-1)^2 = 36$.
અનંતસ્પર્શકોનું સંયુક્ત સમીકરણ અચળ પદને શૂન્ય કરીને મેળવી શકાય છે:
$9(x+2)^2 - 4(y-1)^2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $3(x+2) = \pm 2(y-1)$.
આમ,બે અનંતસ્પર્શકો $L_1: 3x - 2y + 8 = 0$ અને $L_2: 3x + 2y + 4 = 0$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ થી $L_1$ નું લંબ અંતર $d_1 = \frac{|3(1) - 2(1) + 8|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ થી $L_2$ નું લંબ અંતર $d_2 = \frac{|3(1) + 2(1) + 4|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ છે.
અંતરનો ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = \frac{9}{\sqrt{13}} \times \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{81}{13}$ થાય.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $x^2-y^2=16$ છે,જેને $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=16$ અને $b^2=16$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{ગુણાકાર} = \frac{16 \times 16}{16+16} = \frac{256}{32} = 8$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 3y^2 = 3$ છે,જેને $\frac{x^2}{3} - y^2 = 1$ લખી શકાય.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 - 3 y y_1 = 3$ છે.
$(\sqrt{3}, 0)$ મૂકતા,$x(\sqrt{3}) - 3y(0) = 3$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x = \sqrt{3}$ થાય.
અનંતસ્પર્શકોનું સમીકરણ $\frac{x^2}{3} - y^2 = 0$ એટલે કે $x = \pm \sqrt{3}y$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે: $(0, 0)$,$(\sqrt{3}, 1)$ અને $(\sqrt{3}, -1)$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(1 - (-1)) + \sqrt{3}(-1 - 0) + \sqrt{3}(0 - 1)| = \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2-3y^2=3$ છે. $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$ મળે છે.
અહીં,$a^2=3$ અને $b^2=1$,તેથી $a=\sqrt{3}$ અને $b=1$.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $y = \pm \frac{b}{a}x$ છે,જે $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ આપે છે.
ધારો કે ઢાળ $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})(-\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \sqrt{3}$.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
આપેલ અતિવલયના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ છે.
ધારો કે $P_1$ એ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ થી $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ પરના લંબની લંબાઈ છે.
$P_1 = \frac{|\sec \theta + \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$.
ધારો કે $P_2$ એ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ થી $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ પરના લંબની લંબાઈ છે.
$P_2 = \frac{|\sec \theta - \tan \theta|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$.
તેથી $P_1 P_2 = \frac{|\sec^2 \theta - \tan^2 \theta|}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}} = \frac{1}{\frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}} = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.

(C) આપેલ અનંતસ્પર્શકો $L_1=0$ અને $L_2=0$ ધરાવતા અતિવલયનું સમીકરણ $L_1 \times L_2 + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ અનંતસ્પર્શકો $(4x+3y-7)=0$ અને $(x-2y-1)=0$ છે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $(4x+3y-7)(x-2y-1)+k=0$ ...$(i)$ છે.
અતિવલય બિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2$ અને $y=3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(4(2)+3(3)-7)(2-2(3)-1)+k=0$
$(8+9-7)(2-6-1)+k=0$
$(10)(-5)+k=0$
$-50+k=0 \Rightarrow k=50$
$k=50$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(4x+3y-7)(x-2y-1)+50=0$
$4x^2-8xy-4x+3xy-6y^2-3y-7x+14y+7+50=0$
$4x^2-5xy-6y^2-11x+11y+57=0$