(0, a) અને (0, -a) માંથી પસાર થતા અને y = mx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) $(0, a)$ અને $(0, -a)$ માંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + \lambda x - a^2 = 0$ સ્વરૂપનું છે.આ વર્તુળ $mx - y + c = 0$ રેખાને સ્પર્

Vedclass · Accepted Answer

$c^2 = a^2(2 + m^2)$

Vedclass · Answer

(C) $(0, a)$ અને $(0, -a)$ માંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + \lambda x - a^2 = 0$ સ્વરૂપનું છે.આ વર્તુળ $mx - y + c = 0$ રેખાને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(-\lambda/2, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(\lambda/2)^2 + a^2}$ જેટલું છે.તેથી,$\frac{|m(-\lambda/2) - 0 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{\frac{\lambda^2}{4} + a^2}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(c - m\lambda/2)^2}{m^2 + 1} = \frac{\lambda^2}{4} + a^2$.$(c - m\lambda/2)^2 = (m^2 + 1)(\frac{\lambda^2}{4} + a^2)$.$c^2 - mc\lambda + \frac{m^2\lambda^2}{4} = \frac{m^2\lambda^2}{4} + m^2a^2 + \frac{\lambda^2}{4} + a^2$.$\frac{\lambda^2}{4} + mc\lambda + (a^2(m^2 + 1) - c^2) = 0$.આ $\lambda$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જે $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ પરિમાણોવાળા બે વર્તુળો આપે છે. આ વર્તુળો લંબકોણીય હોય તે માટે,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.અહીં,$g_1 = \lambda_1/2, g_2 = \lambda_2/2, f_1 = 0, f_2 = 0, c_1 = -a^2, c_2 = -a^2$.તેથી,$2(\frac{\lambda_1}{2})(\frac{\lambda_2}{2}) = -a^2 - a^2$ $\Rightarrow \frac{\lambda_1\lambda_2}{2} = -2a^2$ $\Rightarrow \lambda_1\lambda_2 = -4a^2$.દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો ગુણાકાર $\lambda_1\lambda_2 = 4(a^2(m^2 + 1) - c^2)$.બંનેને સરખાવતા: $4(a^2(m^2 + 1) - c^2) = -4a^2$.$a^2(m^2 + 1) - c^2 = -a^2$.$c^2 = a^2(m^2 + 1 + 1) = a^2(m^2 + 2)$.

$(0, a)$ અને $(0, -a)$ માંથી પસાર થતા અને $y = mx + c$ રેખાને સ્પર્શતા બે વર્તુળો એકબીજાને કાટખૂણે છેદે,જો

Similar Questions

વર્તુળો $x^2+y^2-4x+12y-216=0$ અને $x^2+y^2+6x-12y+36=0$ ને દોરેલા સામાન્ય સ્પર્શકનો ઢાળ કેટલો છે?

વર્તુળ $x^2 + y^2 - 22x - 4y + 25 = 0$ ને સ્પર્શતી અને રેખા $5x + 12y + 8 = 0$ ને લંબ હોય તેવી સ્પર્શકોના સમીકરણો શોધો.

$3x + 4y = 0$ રેખાને સમાંતર અને $x^{2} + y^{2} = 9$ વર્તુળને પ્રથમ ચરણમાં સ્પર્શતી રેખાનું સમીકરણ શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module