वृत्त x^2 + y^2 = a^2 की दो लंबवत स्पर्श रेखा | vedclass

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Question

(A) माना बिंदु $P$ $(h, k)$ है।चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।एक वृत्त की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु क

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$x^2 + y^2 = 2a^2$

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(A) माना बिंदु $P$ $(h, k)$ है।चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।एक वृत्त की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ 'निर्देशक वृत्त' (director circle) कहलाता है।वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के लिए,त्रिज्या $a$ है और केंद्र $(0, 0)$ है।केंद्र $(0, 0)$ से बिंदु $P(h, k)$ की दूरी $\sqrt{h^2 + k^2}$ है।केंद्र,स्पर्श बिंदु और $P$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,दूरी $PC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ होती है।अतः,$\sqrt{h^2 + k^2} = a\sqrt{2}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2 + k^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है।$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ का समीकरण $x^2 + y^2 = 2a^2$ है।

वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की दो लंबवत स्पर्श रेखाएँ बिंदु $P$ पर मिलती हैं। $P$ के बिंदुपथ (locus) का समीकरण ज्ञात कीजिए:

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$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ और $x^2 + y^2 - 5x + 4y - 2 = 0$ वृत्तों को लंबकोणीय (orthogonally) काटने वाले वृत्तों के केंद्रों का बिंदुपथ है

वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ की उन जीवाओं के मध्य-बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो केंद्र पर $120^\circ$ का कोण बनाती हैं।

$|x+y|+|x-y|=4$ की शर्त के अधीन,जहाँ $x, y$ वास्तविक हैं,$x^2+y^2-4x-6y$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

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