बिंदु $P(3, 11)$ से गुजरने वाली एक रेखा,वृत्त $x^{2} + y^{2} = 9$ को $A$ और $B$ पर काटती है। तो $PA \cdot PB = . . . . .$

वृत्त $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ द्वारा रेखा $4x+3y+1=0$ पर अंतःखंडित जीवा की लंबाई क्या है?

दिखाए गए चित्र में,वृत्त $C_1$ की त्रिज्या $r$ है और $C_2$ की त्रिज्या $\frac{r}{2}$ है,जहाँ $r = \frac{1}{3} PQ$ है। तो $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए (जहाँ $P$ और $Q$ क्रमशः $C_1$ और $C_2$ के केंद्र हैं)।

मान लीजिए $C_1$ तीसरे चतुर्थांश में $3$ त्रिज्या वाला वृत्त है,जो दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है। मान लीजिए $C_2$ केंद्र $(1,3)$ वाला वृत्त है जो $C_1$ को बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करता है। यदि $(\beta-\alpha)^2=\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए:

$x+y=6$,$2x+y=4$ और $x+2y=5$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण क्या है?

यदि $A\left(\frac{\pi}{3}\right)$ और $B\left(\frac{\pi}{6}\right)$ केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $12$ वाले वृत्त पर स्थित बिंदु हैं,जो प्राचलिक रूप में दर्शाए गए हैं,तो जीवा $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।