ધારો કે O એ વર્તુળ x^2 + y^2 = r^2 નું કેન્દ્ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $	riangle OPQ$ ના પરિવર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે.$O(0, 0)$ એ ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ હોવાથી,પરિવર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.જીવા $PQ$

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $	riangle OPQ$ ના પરિવર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે.$O(0, 0)$ એ ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ હોવાથી,પરિવર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $2x + 4y = 5$ છે.$OC$ રેખા $PQ$ ને લંબ છે અને $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $OC$ પર આવેલું છે.$PQ$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.તેથી $OC$ નો ઢાળ $2$ છે.$OC$ રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = 2x$ છે.કેન્દ્ર $C(h, k)$ એ $y = 2x$ પર આવેલું છે,તેથી $k = 2h$.વળી,$C(h, k)$ એ રેખા $x + 2y = 4$ પર આવેલું છે.$k = 2h$ ને $x + 2y = 4$ માં મૂકતા,$h + 2(2h) = 4 \Rightarrow 5h = 4 \Rightarrow h = \frac{4}{5}$.તેથી,$k = 2(\frac{4}{5}) = \frac{8}{5}$,એટલે કે $C = (\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$.$C$ એ $	riangle OPQ$ નું પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$CO = CP = CQ = r_{circum}$.$CO^2 = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{8}{5})^2 = \frac{16+64}{25} = \frac{80}{25} = \frac{16}{5}$.$C(\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$ થી રેખા $2x + 4y - 5 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|2(\frac{4}{5}) + 4(\frac{8}{5}) - 5|}{\sqrt{2^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{20}}$.$	riangle CPQ$ માં,$CP^2 = d^2 + PM^2$. $PM^2 = r^2 - OM^2$.$OM = \frac{|-5|}{\sqrt{20}} = \frac{5}{\sqrt{20}}$.$PM^2 = r^2 - \frac{25}{20} = r^2 - \frac{5}{4}$.$CP^2 = \frac{9}{20} + r^2 - \frac{5}{4} = r^2 - \frac{16}{20} = r^2 - \frac{4}{5}$.$\frac{16}{5} = r^2 - \frac{4}{5} \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2$.

Similar Questions

જો વર્તુળો $x^2+y^2+4x-5=0$ અને $x^2+y^2+2\lambda y-4=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,તો $\lambda=$

જો $(6, -k)$ અને $(-3, 2)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x + 4y + 12 = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી બિંદુઓ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module