Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(C) $ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग ज्ञात करने का सूत्र $-\frac{b}{a}$ है।
$p(x) = 4x^2 + 12x + 5$ की तुलना $ax^2 + bx + c$ से करने पर,हमें $a = 4$,$b = 12$ और $c = 5$ प्राप्त होता है।
शून्यकों का योग = $-\frac{b}{a} = -\frac{12}{4} = -3$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $p(x) = ax^{2} + bx + c$ रूप के द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{शून्यकों का गुणनफल} = c/a$ है।
$p(x) = 4x^{2} + 12x + 5$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 4$,$b = 12$ और $c = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यकों का गुणनफल $c/a = 5/4$ है।

(C) एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं,उसका सूत्र है: $p(x) = k[x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha\beta)]$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिया गया है कि शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = -7$ और शून्यकों का गुणनफल $(\alpha\beta) = 12$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = x^2 - (-7)x + (12)$
$p(x) = x^2 + 7x + 12$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $p(x) = k[x^{2} - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर स्थिरांक है।
यहाँ दिया गया है कि शून्यकों का योग $2$ है और शून्यकों का गुणनफल $3$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p(x) = k[x^{2} - 2x + 3]$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,यदि हम $k = 4$ लेते हैं,तो बहुपद $p(x) = 4(x^{2} - 2x + 3)$ हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) द्विघात बहुपद का सूत्र $p(x) = k[x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि शून्यकों का योग $-3$ है और शून्यकों का गुणनफल $-4$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = k[x^2 - (-3)x + (-4)]$
$p(x) = k[x^2 + 3x - 4]$
अतः,सही द्विघात बहुपद $p(x) = k(x^2 + 3x - 4)$ है।

(D) द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $p(x) = ax^2 + bx + c$ होता है।
यहाँ दिए गए मान $a = 6$,$b = 11$ और $c = 4$ हैं।
इन मानों को सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = (6)x^2 + (11)x + (4)$
$p(x) = 6x^2 + 11x + 4$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) त्रिघात बहुपद का सामान्य रूप $p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ है।
दिए गए गुणांक:
$a = 3$
$b = -5$
$c = -11$
$d = -3$
इन मानों को सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = (3)x^{3} + (-5)x^{2} + (-11)x + (-3)$
$p(x) = 3x^{3} - 5x^{2} - 11x - 3$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) जब बहुपद $p(x) = x^{2} + 6x + 10$ को $x + 2$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) का उपयोग करते हैं।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 2$ है,जिसे $x - (-2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसलिए,$a = -2$ है।
अब,हम $p(-2)$ की गणना करते हैं:
$p(-2) = (-2)^{2} + 6(-2) + 10$
$p(-2) = 4 - 12 + 10$
$p(-2) = 14 - 12$
$p(-2) = 2$
अतः,शेषफल $2$ है।

(B) माना कि दो बहुपद $P(x)$ और $Q(x)$ हैं।
दिया गया है कि $P(x) \cdot Q(x) = x^{2}+8x+15$ है।
हमें एक बहुपद $P(x) = x+3$ दिया गया है।
दूसरा बहुपद $Q(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम गुणनफल को दिए गए बहुपद से विभाजित करेंगे:
$Q(x) = \frac{x^{2}+8x+15}{x+3}$।
हम द्विघात बहुपद $x^{2}+8x+15$ का गुणनखंड कर सकते हैं:
$x^{2}+5x+3x+15 = x(x+5)+3(x+5) = (x+3)(x+5)$।
इस मान को भाग में रखने पर:
$Q(x) = \frac{(x+3)(x+5)}{x+3} = x+5$।
अतः,दूसरा बहुपद $x+5$ है।

(D) मान लीजिए कि दो बहुपद $P(x)$ और $Q(x)$ हैं।
दिया गया है कि $P(x) \times Q(x) = x^{2}-x-72$ है।
एक बहुपद $P(x) = x+8$ है।
दूसरा बहुपद $Q(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम गुणनफल को दिए गए बहुपद से विभाजित करेंगे:
$Q(x) = \frac{x^{2}-x-72}{x+8}$.
हम द्विघात व्यंजक $x^{2}-x-72$ का गुणनखंड कर सकते हैं:
$x^{2}-9x+8x-72 = x(x-9)+8(x-9) = (x+8)(x-9)$.
अतः,$Q(x) = \frac{(x+8)(x-9)}{x+8} = x-9$.
इस प्रकार,दूसरा बहुपद $x-9$ है।

(C) दिया गया है कि $1$ बहुपद $p(x) = ax^2 - 11x + 3$ का एक शून्यक है।
अतः,$p(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a(1)^2 - 11(1) + 3 = 0$
$a - 11 + 3 = 0$
$a - 8 = 0$
$a = 8$.

(C) दिया गया है कि $3$ बहुपद $p(x) = 3x^{3} - x^{2} - ax - 45$ का एक शून्यक है,इसका अर्थ है कि $p(3) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(3)^{3} - (3)^{2} - a(3) - 45 = 0$
$3(27) - 9 - 3a - 45 = 0$
$81 - 9 - 3a - 45 = 0$
$27 - 3a = 0$
$3a = 27$
$a = 9$

(A) जब $2x^3 - x^2 - 2x - 8$ को $x - 2$ से विभाजित किया जाता है,तो भागफल ज्ञात करने के लिए हम संश्लेषित विभाजन (synthetic division) का उपयोग कर सकते हैं:
$\begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & -1 & -2 & -8 \\ & 0 & 4 & 6 & 8 \\ \hline & 2 & 3 & 4 & 0 \end{array}$
भागफल बहुपद के गुणांक $2, 3, 4$ हैं।
अतः,भागफल बहुपद $2x^2 + 3x + 4$ है और शेषफल $0$ है।

(D) $2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
विकल्प $A$ में,$p(x) = 2 - 4x$ एक रैखिक बहुपद है (घात $1$ है)।
विकल्प $B$ में,$p(x) = 2x^3 - 1$ एक त्रिघात बहुपद है (घात $3$ है)।
विकल्प $C$ में,$p(x) = 2x - 5$ एक रैखिक बहुपद है (घात $1$ है)।
विकल्प $D$ में,$p(x) = 1 - x^2$ एक द्विघात बहुपद है क्योंकि चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है।

(B) बहुपद एक ऐसा व्यंजक है जिसमें चर और गुणांक होते हैं,जहाँ चर के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
त्रिघात बहुपद वह बहुपद है जिसकी घात $3$ होती है,अर्थात चर $x$ की उच्चतम घात $3$ है।
विकल्प $A$ में,$\sqrt{x}$ का अर्थ $x^{1/2}$ है,जो पूर्णांक नहीं है।
विकल्प $B$ में,$p(x) = 2 - 3x - x^3$ है। यहाँ $x$ की उच्चतम घात $3$ है और सभी घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। अतः,यह एक त्रिघात बहुपद है।
विकल्प $C$ में,$\sqrt{x^3} = x^{3/2}$ है,जो पूर्णांक नहीं है।
विकल्प $D$ में,घातांक $1/3$ पूर्णांक नहीं है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होता है।
यहाँ,दिया गया गुणनखंड $(x-1)$ है,इसलिए $p(1) = 0$ होना चाहिए।
आइए प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
$A) p(1) = (1)^{2} + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. चूँकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$B) p(1) = (1)^{2} + 4(1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 \neq 0$.
$C) p(1) = (1)^{2} + 5(1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 \neq 0$.
$D) p(1) = (1)^{2} + (1) - 6 = 1 + 1 - 6 = -4 \neq 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड तभी होगा यदि $p(-1) = 0$ हो।
विकल्प $A$ के लिए: $p(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0$। अतः,$(x+1)$ एक गुणनखंड है।
विकल्प $B$ के लिए: $p(-1) = (-1)^3 - 2(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$। अतः,$(x+1)$ एक गुणनखंड है।
विकल्प $C$ के लिए: $p(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$। अतः,$(x+1)$ एक गुणनखंड है।
विकल्प $D$ के लिए: $p(-1) = (-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2$। चूँकि $p(-1) \neq 0$ है,इसलिए $(x+1)$ बहुपद $p(x) = x^3 - 1$ का गुणनखंड नहीं है।

(D) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
रैखिक बहुपद $p(x) = ax + b$ (जहाँ $a \neq 0$) का आलेख हमेशा एक सीधी रेखा होता है।
दिए गए विकल्पों में:
$A) p(x) = x^{2} + 8$ एक द्विघात बहुपद है (घात $2$)।
$B) p(x) = x^{3} - 2$ एक त्रिघात बहुपद है (घात $3$)।
$C) p(x) = x^{2} + 6x + 9$ एक द्विघात बहुपद है (घात $2$)।
$D) p(x) = 5x - 10$ एक रैखिक बहुपद है (घात $1$)।
अतः,$p(x) = 5x - 10$ का आलेख एक रेखा है।

(A) एक द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है।
यदि $a > 0$ है,तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
यदि $a < 0$ है,तो परवलय नीचे की ओर खुलता है।
विकल्प $A$ में,$p(x) = x^2 + 8x + 12$ है,यहाँ $a = 1$ है,जो $0$ से बड़ा है।
अतः,$p(x) = x^2 + 8x + 12$ का ग्राफ ऊपर की ओर खुला एक वक्र है।

(B) एक द्विघात बहुपद $p(x) = ax^{2} + bx + c$ के लिए,इसका आलेख एक परवलय (parabola) होता है।
यदि $a > 0$ है,तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
यदि $a < 0$ है,तो परवलय नीचे की ओर खुलता है।
प्रत्येक विकल्प के लिए $x^{2}$ के गुणांक की जाँच करते हैं:
$A) p(x) = x^{2} - 4x + 3$,यहाँ $a = 1 > 0$ (ऊपर की ओर खुलता है)।
$B) p(x) = 6x - x^{2} - 9$,जिसे $p(x) = -x^{2} + 6x - 9$ लिखा जा सकता है। यहाँ $a = -1 < 0$ (नीचे की ओर खुलता है)।
$C) p(x) = 3 - 6x + 3x^{2}$,यहाँ $a = 3 > 0$ (ऊपर की ओर खुलता है)।
$D) p(x) = x^{2} + 6x + 5$,यहाँ $a = 1 > 0$ (ऊपर की ओर खुलता है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) किसी बहुपद $y = p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y = p(x)$ को दर्शाने वाली रेखा $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः,$y = p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।

(B) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,$y=p(x)$ को दर्शाने वाला वक्र $x$-अक्ष को ठीक $2$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $2$ है।

(D) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,परवलय $y=p(x)$ पूरी तरह से $X$-अक्ष के ऊपर स्थित है और $X$-अक्ष को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद या स्पर्श नहीं करता है।
अतः,बहुपद $p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $0$ है।

(A) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $X$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,परवलय $y=p(x)$ $X$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है,जो कि मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
चूँकि ग्राफ $X$-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद/स्पर्श करता है,इसलिए वास्तविक शून्यकों की संख्या $1$ है।

(B) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$,$x$-अक्ष को $3$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $3$ है।

(B) किसी बहुपद $y = p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,परवलय $y = p(x)$ $x$-अक्ष को कुल $2$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या $2$ है।

(A) किसी बहुपद $y=p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या उन बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है जहाँ बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
दी गई आकृति में,वक्र $y=p(x)$,$x$-अक्ष को $4$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः,$p(x)$ के वास्तविक शून्यकों की संख्या $4$ है।

(A) बहुपद $p(x) = 4x^3 - x$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$4x^3 - x = 0$
व्यंजक से $x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x(4x^2 - 1) = 0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करके,हम $4x^2 - 1$ का गुणनखंड $(2x - 1)(2x + 1)$ के रूप में कर सकते हैं:
$x(2x - 1)(2x + 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 0$,$2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$,और $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$.
अतः,शून्यक $0, 1/2, -1/2$ हैं।
कुल $3$ शून्यक हैं।

(C) बहुपद $p(x) = x^{2} - 2x - 15$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} - 2x - 15 = 0$
हमें द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने के लिए मध्य पद को विभाजित करना होगा। हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $-15$ और योग $-2$ हो।
ये संख्याएँ $-5$ और $3$ हैं।
$x^{2} - 5x + 3x - 15 = 0$
$x(x - 5) + 3(x - 5) = 0$
$(x - 5)(x + 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
अतः,बहुपद के शून्यक $5$ और $-3$ हैं।

(A) शून्यकों $\alpha$ और $\beta$ वाले द्विघात बहुपद का सूत्र है: $p(x) = k[x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta)]$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
दिए गए शून्यक $\alpha = -3$ और $\beta = 4$ हैं।
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = -3 + 4 = 1$.
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (-3) \times 4 = -12$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर ($k=1$ लेने पर): $p(x) = x^{2} - (1)x + (-12) = x^{2} - x - 12$.
अतः,सही बहुपद $p(x) = x^{2} - x - 12$ है।

(B) दिया गया द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2} - 3x + 2$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$b = -3$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -(\frac{-3}{1}) = 3$ होता है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$ होता है।
हमें $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ का मान ज्ञात करना है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार हैं:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
अब,हमें $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ का मान ज्ञात करना है।
हर का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$
संबंधों से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{c/a}{-d/a} = \frac{c}{a} \times \left(-\frac{a}{d}\right) = -\frac{c}{d}.$

(B) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,जहाँ $a, b, c, d$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
माना बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$.
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$.
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$.
यहाँ,$b$ का मान $x^2$ का गुणांक है और $a$ का मान $x^3$ का गुणांक है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$.

(C) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,शून्यकों $\alpha, \beta, \gamma$ और गुणांकों के बीच संबंध विएटा के सूत्रों द्वारा दिया जाता है:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{\text{अचर पद}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
अतः,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$।

(D) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,जहाँ $a \neq 0$,मान लीजिए शून्यक $\alpha, \beta,$ और $\gamma$ हैं।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} = \frac{x \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{\text{अचर पद}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
चूंकि दिए गए विकल्पों में $-\frac{d}{a}$ शामिल नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध विएटा के सूत्रों द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
शून्यकों का योग निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{x^2 \text{ का गुणांक}}{x^3 \text{ का गुणांक}}$
दिए गए बहुपद के गुणांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,जहाँ $a, b, c, d$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$,मान लीजिए कि इसके शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
$3$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
अतः,$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$ का मान $\frac{c}{a}$ है।

(B) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए जिसके शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं:
$1$. शून्यकों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ होता है।
$2$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ होता है।
$3$. शून्यकों का गुणनफल $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$ होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ के रूप वाले त्रिघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग $\alpha + \beta + \gamma$ ज्ञात करने का सूत्र $-\frac{b}{a}$ है।
दिए गए बहुपद $p(x) = x^{3} - 6x^{2} - 7x$ में गुणांक $a = 1$,$b = -6$,$c = -7$ और $d = 0$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{-6}{1} = 6$.

(C) $ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ के रूप वाले त्रिघात बहुपद के लिए,शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma$ ज्ञात करने का सूत्र $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ है।
दिए गए बहुपद $p(x) = x^{3} - 3x^{2} - 6x + 8$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = -3$,$c = -6$ और $d = 8$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha \beta \gamma = -\frac{8}{1} = -8$ प्राप्त होता है।

(A) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ के लिए,गुणांकों और शून्यकों $\alpha, \beta, \gamma$ के बीच का संबंध विएटा के सूत्रों द्वारा दिया जाता है।
विशेष रूप से,दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए बहुपद $p(x) = x^{3} + x^{2} - 17x + 15$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 1$,$c = -17$ और $d = 15$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{-17}{1} = -17$.

(B) बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक हो सकते हैं।
यहाँ बहुपद की घात $k+1$ दी गई है,इसलिए इसके शून्यकों की अधिकतम संख्या इसकी घात के बराबर होगी।
अतः,शून्यकों की अधिकतम संख्या $k+1$ है।

(B) दिया गया व्यंजक $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ एक $4$ घात वाला बहुपद है क्योंकि चर $x$ की उच्चतम घात $4$ है और $a \neq 0$ है।
बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक हो सकते हैं।
चूंकि दिए गए बहुपद की घात $4$ है,इसलिए इसके शून्यकों की अधिकतम संख्या $4$ होगी।

(C) त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए,शून्यकों $\alpha, \beta, \gamma$ और गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}$
$\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$
हमें व्यंजक $\alpha^2 \beta \gamma + \alpha \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma^2$ का मान ज्ञात करना है।
उभयनिष्ठ पद $\alpha \beta \gamma$ को बाहर निकालने पर:
$= \alpha \beta \gamma (\alpha + \beta + \gamma)$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= (-\frac{d}{a}) \times (-\frac{b}{a})$
$= \frac{bd}{a^2}$

(C) दी गई बहुपद $p(x) = 3x^2 - x - 4$ की तुलना $ax^2 + bx + c$ से करने पर,$a = 3$,$b = -1$ और $c = -4$ प्राप्त होता है।
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$ है।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$ है।
हमें $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha \beta$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta(\alpha + \beta)$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\left(-\frac{4}{3}\right) \left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।

(A) $n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक होते हैं।
$A$ के लिए: $p(x) = x^3 + 8$ एक त्रिघात बहुपद है,इसलिए इसके $3$ शून्यक हैं। अतः,यह कथन सत्य है।
$B$ के लिए: $p(x) = x^2 - 36$ एक द्विघात बहुपद है,इसलिए इसके अधिकतम $2$ शून्यक हो सकते हैं। यह कथन असत्य है।
$C$ के लिए: $p(x) = 4x^3 + x = x(4x^2 + 1)$। यहाँ केवल $x = 0$ एक वास्तविक शून्यक है।
$D$ के लिए: $p(x) = 4x^3 - x = x(2x - 1)(2x + 1)$। यहाँ $x = 0, 1/2, -1/2$ तीन शून्यक हैं।
नोट: विकल्प $A$ और $D$ दोनों के $3$ शून्यक हैं,लेकिन $x^3 + 8$ त्रिघात बहुपद का एक मानक रूप है।

(C) बहुपद $p(x) = x^2(1 + x + x^2) + 5$ की घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले व्यंजक का विस्तार करेंगे।
$x^2$ को कोष्ठक के अंदर गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = x^2(1) + x^2(x) + x^2(x^2) + 5$
$p(x) = x^2 + x^3 + x^4 + 5$
पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 5$
बहुपद की घात को व्यंजक में उपस्थित चर $x$ की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस बहुपद में,$x$ की उच्चतम घात $4$ है।
अतः,$p(x)$ की घात $4$ है।

(D) एक कैमरे की कीमत ज्ञात करने के लिए,हम कुल कीमत को कैमरों की संख्या से विभाजित करेंगे।
एक कैमरे की कीमत = $\frac{x^{3}+3x^{2}+5x+3}{x+1}$.
बहुपद के भाग की विधि का उपयोग करते हुए:
$1$. $x^{3}$ को $x$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}(x+1) = x^{3}+x^{2}$ गुणा करें।
$3$. घटाने पर: $(x^{3}+3x^{2}+5x+3) - (x^{3}+x^{2}) = 2x^{2}+5x+3$.
$4$. $2x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $2x$ प्राप्त होता है।
$5$. $2x(x+1) = 2x^{2}+2x$ गुणा करें।
$6$. घटाने पर: $(2x^{2}+5x+3) - (2x^{2}+2x) = 3x+3$.
$7$. $3x$ को $x$ से विभाजित करने पर $3$ प्राप्त होता है।
$8$. $3(x+1) = 3x+3$ गुणा करें।
$9$. घटाने पर: $(3x+3) - (3x+3) = 0$.
भागफल $x^{2}+2x+3$ प्राप्त होता है। अतः,एक कैमरे की कीमत ₹ $(x^{2}+2x+3)$ है।

(A) जब बहुपद $p(x) = x^{3}+2x^{2}+3x+5$ को $x+1$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हैं।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x+1$ है,जिसे $x-(-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$a = -1$ है।
अब,हम $p(-1)$ की गणना करते हैं:
$p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} + 3(-1) + 5$
$p(-1) = -1 + 2(1) - 3 + 5$
$p(-1) = -1 + 2 - 3 + 5$
$p(-1) = 3$
अतः,प्राप्त शेषफल $3$ है।

(C) बहुपद की घात व्यंजक में मौजूद चर की उच्चतम घात होती है।
विकल्प $A$ के लिए: $x^{3} + x^{2}$,घात $3$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $5x + x^{2}$,घात $2$ है।
विकल्प $C$ के लिए: $x^{3}(x^{2} + 1) = x^{5} + x^{3}$,घात $5$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $x(x^{5} - 2) = x^{6} - 2x$,घात $6$ है।
अतः,$5$ घात वाला बहुपद $x^{3}(x^{2} + 1)$ है।