Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$\sqrt{3} x^{2} - 8 x + 4 \sqrt{3} = 0$
हम मध्य पद $-8x$ को $-6x - 2x$ में विभाजित करते हैं क्योंकि $(\sqrt{3}) \times (4\sqrt{3}) = 12$,और हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $12$ और योग $-8$ हो।
$\sqrt{3} x^{2} - 6x - 2x + 4 \sqrt{3} = 0$
$\sqrt{3} x(x - 2\sqrt{3}) - 2(x - 2\sqrt{3}) = 0$
$(x - 2\sqrt{3})(\sqrt{3} x - 2) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 2\sqrt{3} = 0 \implies x = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{3} x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{\sqrt{3}}$
अतः,शून्यक $\frac{2}{\sqrt{3}}$ और $2\sqrt{3}$ हैं।

(B) $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$4x^2 - 256 = 0$
पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - 64 = 0$
इसे वर्गों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है:
$x^2 - 8^2 = 0$
$(x - 8)(x + 8) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 8 = 0 \implies x = 8$
$x + 8 = 0 \implies x = -8$
अतः,द्विघात बहुपद के शून्यक $-8$ और $8$ हैं।

(C) $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$x^{2} + x - 12 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके हम द्विघात समीकरण का गुणनखंड करते हैं:
$x^{2} + 4x - 3x - 12 = 0$
$x(x + 4) - 3(x + 4) = 0$
$(x + 4)(x - 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 4 = 0 \implies x = -4$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
अतः,द्विघात बहुपद $p(x)$ के शून्यक $-4$ और $3$ हैं।

(D) बहुपद $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3x^2 + 15x = 0$
उभयनिष्ठ पद $3x$ को बाहर निकालने पर:
$3x(x + 5) = 0$
चूंकि $3 \neq 0$,इसलिए हमारे पास है:
$x(x + 5) = 0$
इसका अर्थ है कि $x = 0$ या $x + 5 = 0$ है।
अतः,$x = 0$ या $x = -5$ है।
इस प्रकार,द्विघात बहुपद $p(x)$ के शून्यक $0$ और $-5$ हैं।

(N/A) यह सत्यापित करने के लिए कि $3$ बहुपद $p(x) = 4x - 12$ का एक शून्यक है,हमें $x = 3$ पर बहुपद का मान ज्ञात करना होगा।
दिए गए बहुपद में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(3) = 4(3) - 12$
$p(3) = 12 - 12$
$p(3) = 0$
चूंकि $p(3) = 0$ है,अतः यह सत्यापित होता है कि $3$ बहुपद $p(x) = 4x - 12$ का एक शून्यक है।

(A) $ax^{2} + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा और शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बहुपद $4x^{2} - 4x + 1$ में,$a = 4$,$b = -4$ और $c = 1$ है।
शून्यकों का योग $= -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{4} = 1$.
शून्यकों का गुणनफल $= \frac{c}{a} = \frac{1}{4}$.
अतः,शून्यकों का योग $1$ और गुणनफल $\frac{1}{4}$ है।

(A) $ax^{2} + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा और शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया बहुपद: $6x^{2} - 7x - 3$.
यहाँ,$a = 6$,$b = -7$,और $c = -3$ है।
शून्यकों का योग = $-\frac{b}{a} = -(\frac{-7}{6}) = \frac{7}{6}$.
शून्यकों का गुणनफल = $\frac{c}{a} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
अतः,शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः $\frac{7}{6}$ और $-\frac{1}{2}$ है।

(D) $ax^2 + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा और शून्यों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बहुपद $3x^2 + x - 4$ के लिए,$a = 3$,$b = 1$ और $c = -4$ है।
शून्यों का योग $= -\frac{b}{a} = -\frac{1}{3}$.
शून्यों का गुणनफल $= \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$.
अतः,शून्यों का योग और गुणनफल क्रमशः $-\frac{1}{3}$ और $-\frac{4}{3}$ है।

(A) $ax^{2} + bx + c$ के रूप वाले द्विघात बहुपद के लिए,शून्यकों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा और शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बहुपद $x^{2} - 7x + 10$ के लिए,$a = 1$,$b = -7$,और $c = 10$ है।
शून्यकों का योग $= -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7$.
शून्यकों का गुणनफल $= \frac{c}{a} = \frac{10}{1} = 10$.
अतः,शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः $7$ और $10$ है।

(B) $p(x) = 6x^2 - x - 2$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,$p(x) = 0$ रखने पर।
$6x^2 - x - 2 = 0$
$6x^2 - 4x + 3x - 2 = 0$
$2x(3x - 2) + 1(3x - 2) = 0$
$(2x + 1)(3x - 2) = 0$
अतः,शून्यक $x = -1/2$ और $x = 2/3$ हैं।
माना $\alpha = 2/3$ और $\beta = -1/2$ है।
द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के लिए,शून्यकों का योग $-b/a$ और शून्यकों का गुणनफल $c/a$ होता है।
यहाँ,$a = 6, b = -1, c = -2$ है।
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = 2/3 + (-1/2) = (4 - 3)/6 = 1/6$। साथ ही,$-b/a = -(-1)/6 = 1/6$। अतः,$\alpha + \beta = -b/a$।
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (2/3) \cdot (-1/2) = -2/6 = -1/3$। साथ ही,$c/a = -2/6 = -1/3$। अतः,$\alpha \cdot \beta = c/a$।
इस प्रकार,संबंध सत्यापित होता है।

(C) द्विघात बहुपद का सूत्र $p(x) = k[x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$ होता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर अचर है।
यहाँ शून्यकों का योग $\sqrt{2}$ और शून्यकों का गुणनफल $\frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए:
$p(x) = k[x^2 - (\sqrt{2})x + \frac{1}{3}]$
चूँकि शर्त $a < 0$ दी गई है,हम व्यंजक को $-1$ से गुणा करते हैं:
$p(x) = k[-x^2 + \sqrt{2}x - \frac{1}{3}]$
अतः,अभीष्ट बहुपद $k(-x^2 + \sqrt{2}x - \frac{1}{3})$ है।

(D) द्विघात बहुपद $p(x) = 5x^2 + 8x + 3$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$5x^2 + 8x + 3 = 0$
मध्य पद $8x$ को $5x + 3x$ में विभाजित करने पर:
$5x^2 + 5x + 3x + 3 = 0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर:
$5x(x + 1) + 3(x + 1) = 0$
$(5x + 3)(x + 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$5x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{5}$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
अतः,शून्यक $-1$ और $-\frac{3}{5}$ हैं।

(A) द्विघात बहुपद $p(x) = -21x^2 + 16x + 5$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$-21x^2 + 16x + 5 = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए इसे $-1$ से गुणा करने पर:
$21x^2 - 16x - 5 = 0$
हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल $(21 \times -5) = -105$ हो और योग $-16$ हो। ये संख्याएँ $-21$ और $5$ हैं।
$21x^2 - 21x + 5x - 5 = 0$
समूहन द्वारा गुणनखंड करने पर:
$21x(x - 1) + 5(x - 1) = 0$
$(21x + 5)(x - 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$21x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{21}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
अतः,शून्यक $1$ और $-\frac{5}{21}$ हैं।

(B) द्विघात बहुपद $p(x) = 15x^2 + 16x + 4$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$15x^2 + 16x + 4 = 0$
मध्यम पद $16x$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करते हैं कि उनका योग $16x$ हो और उनका गुणनफल $15 \times 4 = 60x^2$ हो। ये गुणनखंड $10x$ और $6x$ हैं।
$15x^2 + 10x + 6x + 4 = 0$
$5x(3x + 2) + 2(3x + 2) = 0$
$(5x + 2)(3x + 2) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$5x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}$
$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$
अतः,शून्यक $-\frac{2}{3}$ और $-\frac{2}{5}$ हैं।

(A) द्विघात बहुपद का सूत्र इस प्रकार है: $p(x) = k[x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$।
दिया गया है:
शून्यकों का योग $= \frac{1}{4}$
शून्यकों का गुणनफल $= -1$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$p(x) = k[x^2 - (\frac{1}{4})x + (-1)]$
$p(x) = k[x^2 - \frac{1}{4}x - 1]$
सरल बनाने के लिए,हम $k = 4$ ले सकते हैं:
$p(x) = 4[x^2 - \frac{1}{4}x - 1] = 4x^2 - x - 4$।
अतः,बहुपद $k(4x^2 - x - 4)$ है।

(D) द्विघात बहुपद का सूत्र $p(x) = k[x^{2} - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$ है,जहाँ $k$ एक शून्येतर वास्तविक अचर है।
दिया गया है कि शून्यकों का योग $= -\frac{1}{4}$ और शून्यकों का गुणनफल $= \frac{1}{4}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$p(x) = k[x^{2} - (-\frac{1}{4})x + \frac{1}{4}]$
$p(x) = k[x^{2} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}]$
सरल बनाने के लिए,हम $k = 4$ (या $4$ का कोई भी गुणज) ले सकते हैं:
$p(x) = 4[x^{2} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}]$
$p(x) = 4x^{2} + x + 1$
अतः,सामान्य रूप $k(4x^{2} + x + 1)$ है।

(A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2$.
$ax^3 + bx^2 + cx + d$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = 1, c = -5, d = 2$ प्राप्त होता है।
शून्यक सिद्ध करने के लिए,मानों को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1/2) = 2(1/8) + (1/4) - 5(1/2) + 2 = 1/4 + 1/4 - 5/2 + 2 = 1/2 - 2.5 + 2 = 0$.
$p(1) = 2(1)^3 + (1)^2 - 5(1) + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$.
$p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$.
चूँकि $p(1/2) = 0, p(1) = 0, p(-2) = 0$,अतः ये शून्यक हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग: $1/2 + 1 + (-2) = -1/2$. सूत्र: $-b/a = -1/2$. (सत्यापित)
शून्यकों के गुणनफल का योग (दो-दो करके): $(1/2)(1) + (1)(-2) + (-2)(1/2) = 1/2 - 2 - 1 = -2.5 = -5/2$. सूत्र: $c/a = -5/2$. (सत्यापित)
शून्यकों का गुणनफल: $(1/2)(1)(-2) = -1$. सूत्र: $-d/a = -2/2 = -1$. (सत्यापित)

(A) दिया गया बहुपद: $p(x) = 2x^3 - 5x^2 - 14x + 8$.
$ax^3 + bx^2 + cx + d$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = -5, c = -14, d = 8$ प्राप्त होता है।
चरण $1$: शून्यकों की जाँच करें।
$p(-2) = 2(-2)^3 - 5(-2)^2 - 14(-2) + 8 = 2(-8) - 5(4) + 28 + 8 = -16 - 20 + 28 + 8 = 0$.
$p(4) = 2(4)^3 - 5(4)^2 - 14(4) + 8 = 2(64) - 5(16) - 56 + 8 = 128 - 80 - 56 + 8 = 0$.
$p(1/2) = 2(1/8) - 5(1/4) - 14(1/2) + 8 = 1/4 - 5/4 - 7 + 8 = -4/4 + 1 = -1 + 1 = 0$.
अतः,$-2, 4, 1/2$ शून्यक हैं।
चरण $2$: संबंधों की जाँच करें।
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -2 + 4 + 0.5 = 2.5 = 5/2 = -b/a$.
दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (-2)(4) + (4)(0.5) + (0.5)(-2) = -8 + 2 - 1 = -7 = -14/2 = c/a$.
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = (-2)(4)(0.5) = -4 = -8/2 = -d/a$.
सभी संबंधों की पुष्टि हो गई है।

(A) मानक रूप में द्विघात बहुपद का व्यंजक $p(x) = ax^{2} + bx + c$ होता है।
दिए गए गुणांकों $a=6$,$b=-7$,और $c=-3$ को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर,
बहुपद $6x^{2} + (-7)x + (-3)$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $6x^{2} - 7x - 3$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात बहुपद का मानक रूप $p(x) = ax^{2} + bx + c$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिए गए गुणांक $a=1$,$b=-10$,और $c=25$ हैं।
इन मानों को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(x) = (1)x^{2} + (-10)x + 25$
$p(x) = x^{2} - 10x + 25$.

(N/A) मानक रूप में त्रिघात बहुपद का सूत्र $P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ होता है।
दिए गए गुणांकों $a=2, b=5, c=1, d=2$ को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर,
अतः,बहुपद $2x^{3} + 5x^{2} + x + 2$ प्राप्त होता है।

(N/A) त्रिघात बहुपद का मानक रूप $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए गुणांक $a=2, b=3, c=-5$ और $d=0$ हैं।
इन मानों को मानक रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(x) = 2x^3 + 3x^2 + (-5)x + 0$।
अतः,अभीष्ट बहुपद $2x^3 + 3x^2 - 5x$ है।

(A) यहाँ भाज्य बहुपद $p(x) = x^{2}+8x+12$ और भाजक बहुपद $s(x) = x+2$ है।
$x^{2}+8x+12$ को $x+2$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
$2$. $x$ को $(x+2)$ से गुणा करने पर $x^{2}+2x$ प्राप्त होता है।
$3$. $(x^{2}+8x+12)$ में से $(x^{2}+2x)$ घटाने पर $6x+12$ प्राप्त होता है।
$4$. नए बहुपद के पहले पद $(6x)$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $6$ प्राप्त होता है।
$5$. $6$ को $(x+2)$ से गुणा करने पर $6x+12$ प्राप्त होता है।
$6$. $(6x+12)$ में से $(6x+12)$ घटाने पर $0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x+6$ है और शेषफल $0$ है।

(N/A) दिया गया भाज्य $p(x) = x^{3}-3x^{2}+5x-3$ और भाजक $s(x) = x^{2}-2$ है।
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है। $x$ को $(x^{2}-2)$ से गुणा करने पर $x^{3}-2x$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{3}-3x^{2}+5x-3) - (x^{3}-2x) = -3x^{2}+7x-3$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: नए बहुपद के पहले पद $(-3x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $-3$ प्राप्त होता है। $-3$ को $(x^{2}-2)$ से गुणा करने पर $-3x^{2}+6$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान बहुपद से घटाने पर: $(-3x^{2}+7x-3) - (-3x^{2}+6) = 7x-9$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $q(x) = x-3$ और शेषफल $r(x) = 7x-9$ है।

(N/A) भाज्य बहुपद $p(x) = x^{4} + 0x^{3} - 3x^{2} + 4x + 5$ है और भाजक बहुपद $s(x) = x^{2} - x + 1$ है।
बहुपद का भाग करने पर:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करने पर $x^{4} - x^{3} + x^{2}$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $x^{3} - 4x^{2} + 4x + 5$ प्राप्त होता है।
$3$. नए बहुपद के पहले पद $(x^{3})$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है। $x$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करने पर $x^{3} - x^{2} + x$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-3x^{2} + 3x + 5$ प्राप्त होता है।
$4$. पहले पद $(-3x^{2})$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $-3$ प्राप्त होता है। $-3$ को $(x^{2} - x + 1)$ से गुणा करने पर $-3x^{2} + 3x - 3$ प्राप्त होता है। घटाने पर शेषफल $8$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $q(x) = x^{2} + x - 3$ और शेषफल $r(x) = 8$ है।

(A) भाज्य $p(t) = 2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12$ है और भाजक $s(t) = t^2 - 3$ है।
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $(2t^4)$ को भाजक के पहले पद $(t^2)$ से विभाजित करने पर $2t^2$ प्राप्त होता है। $2t^2$ को $(t^2 - 3)$ से गुणा करने पर $2t^4 - 6t^2$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाएं।
चरण $2$: परिणाम $3t^3 + 4t^2 - 9t - 12$ प्राप्त होता है। $3t^3$ को $t^2$ से विभाजित करने पर $3t$ प्राप्त होता है। $3t$ को $(t^2 - 3)$ से गुणा करने पर $3t^3 - 9t$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान व्यंजक से घटाएं।
चरण $3$: परिणाम $4t^2 - 12$ प्राप्त होता है। $4t^2$ को $t^2$ से विभाजित करने पर $4$ प्राप्त होता है। $4$ को $(t^2 - 3)$ से गुणा करने पर $4t^2 - 12$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $2t^2 + 3t + 4$ है और शेषफल $0$ है।

(N/A) $x^{3}-6x^{2}+11x-6$ को $x^{2}-8x+27$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करें: $x^{3} / x^{2} = x$.
$2$. भाजक $(x^{2}-8x+27)$ को $x$ से गुणा करें: $x(x^{2}-8x+27) = x^{3}-8x^{2}+27x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाएं: $(x^{3}-6x^{2}+11x-6) - (x^{3}-8x^{2}+27x) = 2x^{2}-16x-6$.
$4$. नए बहुपद के पहले पद $(2x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करें: $2x^{2} / x^{2} = 2$.
$5$. भाजक $(x^{2}-8x+27)$ को $2$ से गुणा करें: $2(x^{2}-8x+27) = 2x^{2}-16x+54$.
$6$. इसे वर्तमान बहुपद से घटाएं: $(2x^{2}-16x-6) - (2x^{2}-16x+54) = -60$.
अतः,भागफल $x+2$ है और शेषफल $-60$ है।

(N/A) $x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-12 x+9$ को $x^{2}-2 x+1$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^4)$ को भाजक के पहले पद $(x^2)$ से विभाजित करने पर $x^2$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^2$ को $(x^2-2x+1)$ से गुणा करने पर $x^4-2x^3+x^2$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $6x^3-3x^2-12x+9$ प्राप्त होता है।
$3$. $6x^3$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $6x$ प्राप्त होता है। $6x$ को $(x^2-2x+1)$ से गुणा करने पर $6x^3-12x^2+6x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर $9x^2-18x+9$ प्राप्त होता है।
$4$. $9x^2$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $9$ प्राप्त होता है। $9$ को $(x^2-2x+1)$ से गुणा करने पर $9x^2-18x+9$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2}+6 x+9$ है और शेषफल $0$ है।

(N/A) $x^{4}-5x+6$ को $2-x^{2}$ से विभाजित करने के लिए,हम पहले बहुपदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं:
भाज्य: $x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-5x+6$
भाजक: $-x^{2}+2$
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $(x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(-x^{2})$ से विभाजित करें: $x^{4} / (-x^{2}) = -x^{2}$. यह भागफल का पहला पद है।
चरण $2$: $-x^{2}$ को भाजक $(-x^{2}+2)$ से गुणा करें: $-x^{2}(-x^{2}+2) = x^{4}-2x^{2}$.
चरण $3$: इसे भाज्य से घटाएं: $(x^{4}+0x^{3}+0x^{2}-5x+6) - (x^{4}-2x^{2}) = 2x^{2}-5x+6$.
चरण $4$: नए भाज्य के पहले पद $(2x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(-x^{2})$ से विभाजित करें: $2x^{2} / (-x^{2}) = -2$. यह भागफल का दूसरा पद है।
चरण $5$: $-2$ को भाजक $(-x^{2}+2)$ से गुणा करें: $-2(-x^{2}+2) = 2x^{2}-4$.
चरण $6$: इसे वर्तमान भाज्य से घटाएं: $(2x^{2}-5x+6) - (2x^{2}-4) = -5x+10$.
अतः,भागफल $-x^{2}-2$ है और शेषफल $-5x+10$ है।

(N/A) $14x^3 - 5x^2 + 9x - 1$ को $2x - 1$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(14x^3)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $14x^3 / 2x = 7x^2$. यह भागफल का पहला पद है।
$2$. $7x^2$ को $(2x - 1)$ से गुणा करने पर $14x^3 - 7x^2$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(14x^3 - 5x^2) - (14x^3 - 7x^2) = 2x^2$. अगला पद $(9x)$ नीचे उतारने पर $2x^2 + 9x$ प्राप्त होता है।
$3$. नए व्यंजक के पहले पद $(2x^2)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $2x^2 / 2x = x$. यह भागफल का दूसरा पद है।
$4$. $x$ को $(2x - 1)$ से गुणा करने पर $2x^2 - x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(2x^2 + 9x) - (2x^2 - x) = 10x$. अंतिम पद $(-1)$ नीचे उतारने पर $10x - 1$ प्राप्त होता है।
$5$. पहले पद $(10x)$ को भाजक के पहले पद $(2x)$ से विभाजित करें: $10x / 2x = 5$. यह भागफल का तीसरा पद है।
$6$. $5$ को $(2x - 1)$ से गुणा करने पर $10x - 5$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(10x - 1) - (10x - 5) = 4$.
अतः,भागफल $7x^2 + x + 5$ है और शेषफल $4$ है।

(N/A) बहुपद $p(x) = -x^{3} + 3x^{2} - 3x + 5$ को $g(x) = -x^{2} + x - 1$ से विभाजित करने के लिए:
चरण $1$: भाज्य के पहले पद $(-x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(-x^{2})$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $x$ को भाजक $(-x^{2} + x - 1)$ से गुणा करने पर $-x^{3} + x^{2} - x$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(-x^{3} + 3x^{2} - 3x + 5) - (-x^{3} + x^{2} - x) = 2x^{2} - 2x + 5$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: नए भाज्य के पहले पद $(2x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(-x^{2})$ से विभाजित करने पर $-2$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $-2$ को भाजक $(-x^{2} + x - 1)$ से गुणा करने पर $2x^{2} - 2x + 2$ प्राप्त होता है। इसे वर्तमान भाज्य से घटाने पर: $(2x^{2} - 2x + 5) - (2x^{2} - 2x + 2) = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x - 2$ है और शेषफल $3$ है।

(N/A) $x^{3}-6 x^{2}+11 x-6$ को $x^{2}+x+1$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
$2$. $x$ को भाजक $(x^{2}+x+1)$ से गुणा करने पर $x^{3}+x^{2}+x$ प्राप्त होता है।
$3$. इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{3}-6 x^{2}+11 x-6) - (x^{3}+x^{2}+x) = -7 x^{2}+10 x-6$.
$4$. नए बहुपद के पहले पद $(-7 x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $-7$ प्राप्त होता है।
$5$. $-7$ को भाजक $(x^{2}+x+1)$ से गुणा करने पर $-7 x^{2}-7 x-7$ प्राप्त होता है।
$6$. इसे वर्तमान बहुपद से घटाने पर: $(-7 x^{2}+10 x-6) - (-7 x^{2}-7 x-7) = 17 x+1$.
अतः,भागफल $x-7$ है और शेषफल $17 x+1$ है।

(A) $x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+20$ को $x^{2}+2x+2$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करेंगे:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x^{2}+2x+2)$ से गुणा करने पर $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}$ प्राप्त होता है।
$3$. इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+20) - (x^{4}+2x^{3}+2x^{2}) = x^{2}+2x+20$ प्राप्त होता है।
$4$. नए बहुपद के पहले पद $(x^{2})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $1$ प्राप्त होता है।
$5$. $1$ को $(x^{2}+2x+2)$ से गुणा करने पर $x^{2}+2x+2$ प्राप्त होता है।
$6$. इसे वर्तमान शेषफल से घटाने पर: $(x^{2}+2x+20) - (x^{2}+2x+2) = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2}+1$ है और शेषफल $18$ है।

(N/A) $x^{3}-3x^{2}-3x+1$ को $x+1$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{3})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}$ को $(x+1)$ से गुणा करने पर $x^{3}+x^{2}$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{3}-3x^{2}-3x+1) - (x^{3}+x^{2}) = -4x^{2}-3x+1$ प्राप्त होता है।
$3$. $-4x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4x$ प्राप्त होता है। $-4x$ को $(x+1)$ से गुणा करने पर $-4x^{2}-4x$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(-4x^{2}-3x+1) - (-4x^{2}-4x) = x+1$ प्राप्त होता है।
$4$. $x$ को $x$ से विभाजित करने पर $1$ प्राप्त होता है। $1$ को $(x+1)$ से गुणा करने पर $x+1$ प्राप्त होता है। इसे घटाने पर: $(x+1) - (x+1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2}-4x+1$ है और शेषफल $0$ है।

(N/A) $3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2$ को $x^{2}+3 x+1$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(3 x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x^{2})$ से विभाजित करने पर $3 x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $3 x^{2}$ को $(x^{2}+3 x+1)$ से गुणा करने पर $3 x^{4}+9 x^{3}+3 x^{2}$ प्राप्त होता है।
$3$. इसे भाज्य से घटाने पर: $(3 x^{4}+5 x^{3}-7 x^{2}+2 x+2) - (3 x^{4}+9 x^{3}+3 x^{2}) = -4 x^{3}-10 x^{2}+2 x+2$ प्राप्त होता है।
$4$. नए बहुपद के पहले पद $(-4 x^{3})$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $-4 x$ प्राप्त होता है।
$5$. $-4 x$ को $(x^{2}+3 x+1)$ से गुणा करने पर $-4 x^{3}-12 x^{2}-4 x$ प्राप्त होता है।
$6$. इसे घटाने पर: $(-4 x^{3}-10 x^{2}+2 x+2) - (-4 x^{3}-12 x^{2}-4 x) = 2 x^{2}+6 x+2$ प्राप्त होता है।
$7$. $2 x^{2}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $2$ प्राप्त होता है।
$8$. $2$ को $(x^{2}+3 x+1)$ से गुणा करने पर $2 x^{2}+6 x+2$ प्राप्त होता है।
$9$. इसे घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $3 x^{2}-4 x+2$ है और शेषफल $0$ है।

(N/A) $x^{6}+5 x^{3}+7 x+3$ को $x^{2}+2$ से विभाजित करने के लिए,हम बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. पहले पद $x^{6}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $x^{4}$ प्राप्त होता है। $x^{4}(x^{2}+2) = x^{6}+2 x^{4}$ होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $-2 x^{4}+5 x^{3}+7 x+3$ प्राप्त होता है।
$2$. $-2 x^{4}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $-2 x^{2}$ प्राप्त होता है। $-2 x^{2}(x^{2}+2) = -2 x^{4}-4 x^{2}$ होता है। घटाने पर $5 x^{3}+4 x^{2}+7 x+3$ प्राप्त होता है।
$3$. $5 x^{3}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $5 x$ प्राप्त होता है। $5 x(x^{2}+2) = 5 x^{3}+10 x$ होता है। घटाने पर $4 x^{2}-3 x+3$ प्राप्त होता है।
$4$. $4 x^{2}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $4$ प्राप्त होता है। $4(x^{2}+2) = 4 x^{2}+8$ होता है। घटाने पर $-3 x-5$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{4}-2 x^{2}+5 x+4$ है और शेषफल $-3 x-5$ है।

(A) माना कि दिया गया बहुपद $P(x) = x^{3}-3x^{2}-x+3$ है और ज्ञात गुणनखंड $g(x) = x+1$ है। दूसरा बहुपद $q(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $P(x)$ को $g(x)$ से विभाजित करेंगे।
बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हुए:
$1$. $x^{3}$ को $x$ से विभाजित करने पर $x^{2}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{2}(x+1) = x^{3}+x^{2}$ गुणा करें।
$3$. घटाने पर: $(x^{3}-3x^{2}-x+3) - (x^{3}+x^{2}) = -4x^{2}-x+3$ प्राप्त होता है।
$4$. $-4x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4x$ प्राप्त होता है।
$5$. $-4x(x+1) = -4x^{2}-4x$ गुणा करें।
$6$. घटाने पर: $(-4x^{2}-x+3) - (-4x^{2}-4x) = 3x+3$ प्राप्त होता है।
$7$. $3x$ को $x$ से विभाजित करने पर $3$ प्राप्त होता है।
$8$. $3(x+1) = 3x+3$ गुणा करें।
$9$. घटाने पर: $(3x+3) - (3x+3) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $x^{2}-4x+3$ है।

(B) माना कि दिया गया गुणनफल $P(x) = 3x^3 - x^2 - 3x + 1$ है और एक बहुपद $A(x) = 3x^2 + 2x - 1$ है।
दूसरा बहुपद $B(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $P(x)$ को $A(x)$ से विभाजित करेंगे:
$B(x) = \frac{3x^3 - x^2 - 3x + 1}{3x^2 + 2x - 1}$
बहुपद का भाग करने पर:
$1$. $3x^3$ को $3x^2$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
$2$. $x$ को $(3x^2 + 2x - 1)$ से गुणा करने पर $3x^3 + 2x^2 - x$ प्राप्त होता है।
$3$. इसे $P(x)$ में से घटाने पर: $(3x^3 - x^2 - 3x + 1) - (3x^3 + 2x^2 - x) = -3x^2 - 2x + 1$ प्राप्त होता है।
$4$. $-3x^2$ को $3x^2$ से विभाजित करने पर $-1$ प्राप्त होता है।
$5$. $-1$ को $(3x^2 + 2x - 1)$ से गुणा करने पर $-3x^2 - 2x + 1$ प्राप्त होता है।
$6$. घटाने पर शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा बहुपद $x - 1$ है।

(C) दिया गया है कि $1$ और $3$ बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं,इसलिए $(x - 1)$ और $(x - 3)$ बहुपद $p(x)$ के गुणनखंड हैं।
अतः,$(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$p(x) = 2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45$ को $(x^2 - 4x + 3)$ से विभाजित करने पर:
$2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45 = (x^2 - 4x + 3)(2x^2 + x - 15)$.
अब,द्विघात बहुपद $2x^2 + x - 15$ का गुणनखंड करने पर:
$2x^2 + 6x - 5x - 15 = 2x(x + 3) - 5(x + 3) = (2x - 5)(x + 3)$.
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x = -3$ और $x = \frac{5}{2}$ प्राप्त होते हैं।
अतः,शेष शून्यक $-3$ और $\frac{5}{2}$ हैं।

(N/A) प्रत्येक छात्र को प्राप्त चॉकलेट की संख्या और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $(x^{3}-3x^{2}+5x-3)$ को $(x^{2}-2)$ से बहुपद विभाजन द्वारा विभाजित करते हैं।
चरण $1$: $x^{3}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $x$ को $(x^{2}-2)$ से गुणा करने पर $x^{3}-2x$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $(x^{3}-3x^{2}+5x-3)$ में से $(x^{3}-2x)$ घटाने पर $-3x^{2}+7x-3$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $-3x^{2}$ को $x^{2}$ से विभाजित करने पर $-3$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: $-3$ को $(x^{2}-2)$ से गुणा करने पर $-3x^{2}+6$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $(-3x^{2}+7x-3)$ में से $(-3x^{2}+6)$ घटाने पर $7x-9$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रत्येक छात्र को $x-3$ चॉकलेट मिलती हैं और बिना बांटी गई चॉकलेट की संख्या $7x-9$ है।

(A) एक मोबाइल की कीमत ज्ञात करने के लिए,हम कुल लागत को खरीदे गए पीस की संख्या से विभाजित करेंगे।
एक मोबाइल की कीमत = $\frac{x^{3}+6x^{2}+11x+12}{x^{2}+2x+3}$.
बहुपद का भाग करने पर:
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^3)$ को भाजक के पहले पद $(x^2)$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है।
$2$. $x$ को भाजक से गुणा करने पर: $x(x^{2}+2x+3) = x^{3}+2x^{2}+3x$.
$3$. इसे भाज्य से घटाने पर: $(x^{3}+6x^{2}+11x+12) - (x^{3}+2x^{2}+3x) = 4x^{2}+8x+12$.
$4$. शेषफल के पहले पद $(4x^2)$ को भाजक के पहले पद $(x^2)$ से विभाजित करने पर $4$ प्राप्त होता है।
$5$. $4$ को भाजक से गुणा करने पर: $4(x^{2}+2x+3) = 4x^{2}+8x+12$.
$6$. इसे शेषफल से घटाने पर: $(4x^{2}+8x+12) - (4x^{2}+8x+12) = 0$.
अतः,एक मोबाइल की कीमत $x+4$ है।

(N/A) संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करके $p(x) = x^{3} - 3x^{2} - 3x + 1$ को $x + 1$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. भाज्य बहुपद $p(x)$ के गुणांकों की पहचान करें: $1, -3, -3, 1$।
$2$. भाजक $x + 1 = 0$ का शून्य ज्ञात करें,जो $x = -1$ है।
$3$. संश्लेषित विभाजन करें:
$\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & -3 & -3 & 1 \\ & & -1 & 4 & -1 \\ \hline & 1 & -4 & 1 & 0 \end{array}$
$4$. अंतिम पंक्ति भागफल के गुणांकों और शेषफल को दर्शाती है। अतः,भागफल $q(x) = x^{2} - 4x + 1$ है और शेषफल $r(x) = 0$ है।

(N/A) संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करके $p(x) = x^{4} - 1$ को $x - 1$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. भाज्य बहुपद $p(x)$ को मानक रूप में लिखें,जिसमें सभी लुप्त पदों के गुणांक $0$ हों: $p(x) = 1x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x - 1$.
$2$. भाजक $x - 1$ है,इसलिए $x - 1 = 0$ रखने पर $x = 1$ प्राप्त होता है। संश्लेषित विभाजन के लिए $1$ का उपयोग करें।
$3$. संश्लेषित विभाजन तालिका इस प्रकार है:
$\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$
$4$. अंतिम पंक्ति भागफल के गुणांकों और शेषफल को दर्शाती है। अंतिम मान शेषफल है।
अतः,भागफल $q(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ है और शेषफल $r(x) = 0$ है।

(A) प्रत्येक छात्र द्वारा प्राप्त पेन की संख्या और शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद $p(x) = x^{3}-3x^{2}+4x-4$ को भाजक $s(x) = x-2$ से संश्लेषित विभाजन (synthetic division) विधि का उपयोग करके विभाजित करेंगे।
भाजक $x-2 = 0$ रखने पर $x = 2$ प्राप्त होता है।
संश्लेषित विभाजन का उपयोग करते हुए:
$\begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -3 & 4 & -4 \\ & & 2 & -2 & 4 \\ \hline & 1 & -1 & 2 & 0 \end{array}$
भागफल $q(x) = x^{2}-x+2$ है और शेषफल $0$ है।
अतः,प्रत्येक छात्र को $x^{2}-x+2$ पेन प्राप्त होते हैं और $0$ पेन बिना वितरित किए शेष बचते हैं।

(N/A) संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करके $p(x) = x^{3} - 4x^{2} + 5x + 3$ को $x - 2$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. $p(x)$ के गुणांक $1, -4, 5, 3$ हैं।
$2$. भाजक $x - 2$ है,इसलिए हम संश्लेषित विभाजन के लिए $x = 2$ का उपयोग करेंगे।
$3$. संश्लेषित विभाजन तालिका तैयार करें:
$2 | 1, -4, 5, 3$
| $2$,-$4$,$2$
-----------------
| $1$,-$2$,$1$,$5$
$4$. भागफल के गुणांक $1, -2, 1$ प्राप्त होते हैं,जो बहुपद $x^{2} - 2x + 1$ के संगत हैं।
$5$. अंतिम मान शेषफल है,जो $5$ है।
अतः,भागफल $x^{2} - 2x + 1$ है और शेषफल $5$ है।

(A) $p(x) = x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x + 1$ को $x + 1$ से विभाजित करने के लिए,हम संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करेंगे।
भाजक $x + 1$ का शून्य $x = -1$ है।
संश्लेषित विभाजन तालिका:
$-1$ | $1$ $0$ $0$ $0$ $1$
| $-1$ $1$ $-1$ $1$
-----------------------
$1$ $-1$ $1$ $-1$ $2$
भागफल के गुणांक $1, -1, 1, -1$ हैं,जो बहुपद $x^{3} - x^{2} + x - 1$ के संगत हैं।
अंतिम मान शेषफल है,जो $2$ है।
अतः,भागफल $x^{3} - x^{2} + x - 1$ है और शेषफल $2$ है।

(A) संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करके $p(t) = 2t^2 + 3t + 1$ को $t + 2$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. भाजक $t + 2 = 0$ का शून्य ज्ञात कीजिए,जो $t = -2$ है।
$2$. भाज्य $p(t) = 2t^2 + 3t + 1$ के गुणांक लिखिए,जो $2, 3, 1$ हैं।
$3$. संश्लेषित विभाजन कीजिए:
- पहले गुणांक को नीचे उतारें: $2$।
- इसे शून्य से गुणा करें: $2 \times (-2) = -4$।
- इसे अगले गुणांक में जोड़ें: $3 + (-4) = -1$।
- इसे शून्य से गुणा करें: $(-1) \times (-2) = 2$।
- इसे अगले गुणांक में जोड़ें: $1 + 2 = 3$।
$4$. परिणामी गुणांक $2$ और $-1$ हैं,जो भागफल $2t - 1$ को दर्शाते हैं।
$5$. अंतिम मान $3$ शेषफल है।
भागफल बहुपद: $2t - 1$;
शेषफल बहुपद: $3$.

(A) संश्लेषित विभाजन विधि का उपयोग करके $p(x) = x^{4} - a^{4}$ को $x - a$ से विभाजित करने के लिए:
$1$. $p(x) = 1x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x - a^{4}$ के गुणांक $1, 0, 0, 0, -a^{4}$ हैं।
$2$. भाजक $x - a$ है,इसलिए हम संश्लेषित विभाजन के लिए $a$ का उपयोग करेंगे।
$3$. संश्लेषित विभाजन तालिका तैयार करने पर:
$a$ | $1$ $0$ $0$ $0$ $-a^{4}$
| $a$ $a^{2}$ $a^{3}$ $a^{4}$
---------------------------
$1$ $a$ $a^{2}$ $a^{3}$ $0$
$4$. भागफल के गुणांक $1, a, a^{2}, a^{3}$ हैं,जो बहुपद $x^{3} + ax^{2} + a^{2}x + a^{3}$ के अनुरूप हैं।
$5$. शेषफल $0$ है।

(N/A) $p(x) = x^{3} - 2x^{2} + x - 2$ को $x + 1$ से संश्लेषित विभाजन विधि द्वारा विभाजित करने के लिए,हम भाजक $x + 1 = 0$ का शून्य ज्ञात करते हैं,जो $x = -1$ है।
$p(x)$ के गुणांक $1, -2, 1, -2$ हैं।
संश्लेषित विभाजन की व्यवस्था:
$-1$ | $1$ $-2$ $1$ $-2$
| $-1$ $3$ $-4$
-------------------
$1$ $-3$ $4$ $-6$
भागफल बहुपद के गुणांक $1, -3, 4$ प्राप्त होते हैं,जो $x^{2} - 3x + 4$ के बराबर है।
शेषफल $-6$ है।

(A) वितरित न किए गए पुरस्कारों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें कुल पुरस्कारों $P(x) = 3x^3 + 10x^2 + 7x - 2$ को छात्रों की संख्या $(x + 2)$ से विभाजित करना होगा।
बहुपद विभाजन विधि का उपयोग करते हुए:
चरण $1$: $3x^3$ को $x$ से विभाजित करने पर $3x^2$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $3x^2(x + 2) = 3x^3 + 6x^2$ का गुणा करें।
चरण $3$: घटाने पर $(3x^3 + 10x^2 + 7x - 2) - (3x^3 + 6x^2) = 4x^2 + 7x - 2$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $4x^2$ को $x$ से विभाजित करने पर $4x$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: $4x(x + 2) = 4x^2 + 8x$ का गुणा करें।
चरण $6$: घटाने पर $(4x^2 + 7x - 2) - (4x^2 + 8x) = -x - 2$ प्राप्त होता है।
चरण $7$: $-x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-1$ प्राप्त होता है।
चरण $8$: $-1(x + 2) = -x - 2$ का गुणा करें।
चरण $9$: घटाने पर $(-x - 2) - (-x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
शेषफल $0$ है। अतः,कोई भी पुरस्कार वितरित होने से शेष नहीं बचता है।