Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) माना कि बहुपद $p(x) = x^{2} + 3x + k$ है।
चूंकि $2$ बहुपद का एक शून्यक है,इसलिए $p(2) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2)^{2} + 3(2) + k = 0$
$4 + 6 + k = 0$
$10 + k = 0$
$k = -10$

(B) माना त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि दो शून्यक $0$ हैं,इसलिए माना $\alpha = 0$ और $\beta = 0$ है।
त्रिघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,शून्यकों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ होता है।
यहाँ $\alpha = 0$ और $\beta = 0$ रखने पर: $0 + 0 + \gamma = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।
अतः,तीसरा शून्यक $\gamma = -\frac{b}{a}$ है।

(C) दिया गया है कि द्विघात बहुपद $p(x) = (k-1)x^2 + kx + 1$ का एक शून्यक $-3$ है।
अतः,$p(-3) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(k-1)(-3)^2 + k(-3) + 1 = 0$
$9(k-1) - 3k + 1 = 0$
$9k - 9 - 3k + 1 = 0$
$6k - 8 = 0$
$6k = 8$
$k = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

(D) माना द्विघात बहुपद $p(x) = k(x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल}))$ है, जहाँ $k$ एक शून्येतर अचर है।
दिए गए शून्यक $\alpha = -3$ और $\beta = 4$ हैं।
शून्यकों का योग $(\alpha + \beta) = -3 + 4 = 1$ है।
शून्यकों का गुणनफल $(\alpha \cdot \beta) = -3 \times 4 = -12$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें $p(x) = k(x^2 - 1x + (-12)) = k(x^2 - x - 12)$ प्राप्त होता है।
यदि हम $k = \frac{1}{2}$ लेते हैं, तो बहुपद $\frac{1}{2}(x^2 - x - 12) = \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} - 6$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि किसी बहुपद को किसी शून्येतर अचर से गुणा करने पर उसके शून्यक नहीं बदलते हैं, इसलिए विकल्प $D$ दिए गए शून्यकों वाला एक मान्य द्विघात बहुपद है।

(A) माना $p(x) = x^{2} + (a+1)x + b$.
दिया गया है कि $2$ और $-3$ द्विघात बहुपद $p(x)$ के शून्यक हैं।
इसलिए,$p(2) = 0$ और $p(-3) = 0$.
$x = 2$ के लिए:
$2^{2} + (a+1)(2) + b = 0$
$4 + 2a + 2 + b = 0$
$2a + b = -6$ ..... $(i)$
$x = -3$ के लिए:
$(-3)^{2} + (a+1)(-3) + b = 0$
$9 - 3a - 3 + b = 0$
$-3a + b = -6$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(2a + b) - (-3a + b) = -6 - (-6)$
$2a + b + 3a - b = 0$
$5a = 0 \Rightarrow a = 0$.
$a = 0$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$2(0) + b = -6 \Rightarrow b = -6$.
अतः,अभीष्ट मान $a = 0$ और $b = -6$ हैं।

(B) माना $p(x) = a(x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल}))$ बहुपद का सामान्य रूप है।
दिए गए शून्यक $\alpha = -2$ और $\beta = 5$ हैं।
शून्यकों का योग $= \alpha + \beta = -2 + 5 = 3$.
शून्यकों का गुणनफल $= \alpha \cdot \beta = -2 \times 5 = -10$.
अतः, बहुपद $p(x) = a(x^2 - 3x - 10)$ के रूप का है, जहाँ $a$ कोई भी शून्येतर वास्तविक अचर है।
चूँकि $a$ कोई भी शून्येतर वास्तविक मान ले सकता है (जैसे $1, 2, 3, \dots, 0.5, \dots$), इसलिए ऐसे अनंत बहुपद हो सकते हैं।
अतः, ऐसे बहुपदों की संख्या $3$ से अधिक है।

(C) माना $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ एक त्रिघात बहुपद है।
माना बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
यह दिया गया है कि एक शून्यक शून्य है,अतः माना $\alpha = 0$ है।
त्रिघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ होता है।
समीकरण में $\alpha = 0$ रखने पर:
$(0)\beta + \beta\gamma + \gamma(0) = \frac{c}{a}$
$0 + \beta\gamma + 0 = \frac{c}{a}$
$\beta\gamma = \frac{c}{a}$
अतः,अन्य दो शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ है।

(D) माना त्रिघात बहुपद $p(x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ है।
माना बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि एक शून्यक $\alpha = -1$ है।
चूंकि $\alpha = -1$ एक शून्यक है,इसलिए $p(-1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -1$ रखने पर:
$(-1)^{3} + a(-1)^{2} + b(-1) + c = 0$
$-1 + a - b + c = 0$
$c = 1 - a + b$ ... $(i)$
हम जानते हैं कि त्रिघात बहुपद $Ax^{3} + Bx^{2} + Cx + D$ के लिए,शून्यकों का गुणनफल $-\frac{D}{A}$ होता है।
यहाँ,शून्यकों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta \cdot \gamma = -\frac{c}{1} = -c$ है।
$\alpha = -1$ रखने पर:
$(-1) \cdot \beta \cdot \gamma = -c$
$\beta \cdot \gamma = c$.
समीकरण $(i)$ से $c$ का मान रखने पर:
$\beta \cdot \gamma = 1 - a + b$.
अतः,अन्य दो शून्यकों का गुणनफल $b - a + 1$ है।

(A) माना कि दिया गया द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2} + 99x + 127$ है।
$p(x)$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c$ से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 99$ और $c = 127$ प्राप्त होता है।
एक द्विघात बहुपद $ax^{2} + bx + c$ के लिए,यदि $a, b, c > 0$ हैं,तो शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a} = 127 > 0$ और शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -99 < 0$ होता है।
चूंकि शून्यकों का गुणनफल धनात्मक है,इसलिए दोनों शून्यकों का चिह्न समान होना चाहिए।
चूंकि शून्यकों का योग ऋणात्मक है,इसलिए दोनों शून्यक ऋणात्मक होने चाहिए।
वैकल्पिक रूप से,द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-99 \pm \sqrt{99^{2} - 4(1)(127)}}{2(1)} = \frac{-99 \pm \sqrt{9801 - 508}}{2} = \frac{-99 \pm \sqrt{9293}}{2}$.
चूंकि $\sqrt{9293} \approx 96.4$ है,इसलिए शून्यक लगभग $\frac{-99 + 96.4}{2} = -1.3$ और $\frac{-99 - 96.4}{2} = -97.7$ हैं।
अतः,दोनों शून्यक ऋणात्मक हैं।

(B) माना $p(x) = x^{2} + kx + k, k \neq 0$ है।
शून्यकों के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ या उससे अधिक होना चाहिए।
$D = b^{2} - 4ac = k^{2} - 4k \geq 0$।
$k(k - 4) \geq 0$।
इसका अर्थ है कि $k \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$। चूँकि $k \neq 0$,इसलिए $k \in (-\infty, 0) \cup [4, \infty)$।
माना शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब:
शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -k/1 = -k$।
शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = k/1 = k$।
स्थिति $I$: यदि $k \in (-\infty, 0)$,तो $k < 0$। चूँकि गुणनफल $\alpha \beta = k < 0$ है,इसलिए शून्यक विपरीत चिह्न के होंगे।
स्थिति $II$: यदि $k \in [4, \infty)$,तो $k > 0$। चूँकि गुणनफल $\alpha \beta = k > 0$ है,इसलिए दोनों शून्यक समान चिह्न के होंगे। योग $\alpha + \beta = -k < 0$ है,इसलिए दोनों शून्यक ऋणात्मक होने चाहिए।
दोनों स्थितियों में,शून्यक कभी भी धनात्मक नहीं हो सकते हैं।

(C) द्विघात बहुपद $ax^{2} + bx + c$ के लिए,शून्यक समान होते हैं यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ हो।
इसका अर्थ है $b^{2} = 4ac$।
किसी भी वास्तविक $b$ के लिए $b^{2}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $4ac$ भी गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
दिया गया है कि $c \neq 0$,यदि $a = 0$ हो तो यह द्विघात बहुपद नहीं रहेगा। अतः,$a \neq 0$।
चूंकि $4ac = b^{2} \geq 0$,इसलिए गुणनफल $ac$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
चूंकि $c \neq 0$ और $a \neq 0$,इसलिए $ac > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $a$ और $c$ के चिह्न समान होने चाहिए।
उदाहरण के लिए:
$(i)$ $x^{2} + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x+2)^{2} = 0 \Rightarrow x = -2, -2$ (यहाँ $a=1, c=4$,दोनों धनात्मक हैं)।
$(ii)$ $x^{2} - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^{2} = 0 \Rightarrow x = 2, 2$ (यहाँ $a=1, c=4$,दोनों धनात्मक हैं)।

(D) माना द्विघात बहुपद $p(x) = x^{2} + ax + b$ के शून्यक $\alpha$ और $-\alpha$ हैं।
शून्यकों का योग = $-\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{$x^{2}$ का गुणांक}} = -a$ है।
चूंकि $\alpha + (-\alpha) = 0$,इसलिए $0 = -a$,जिसका अर्थ है $a = 0$ है।
शून्यकों का गुणनफल = $\frac{\text{अचर पद}}{\text{$x^{2}$ का गुणांक}} = b$ है।
चूंकि $\alpha \times (-\alpha) = -\alpha^{2}$,इसलिए $-\alpha^{2} = b$ प्राप्त होता है।
अशून्य $\alpha$ के लिए $\alpha^{2}$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $-\alpha^{2}$ ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $b < 0$ है।
अतः,बहुपद में कोई रैखिक पद नहीं है $(a = 0)$ और अचर पद ऋणात्मक है $(b < 0)$।

(A) किसी भी द्विघात बहुपद $ax^{2} + bx + c$ $(a \neq 0)$ के लिए,संबंधित समीकरण $y = ax^{2} + bx + c$ का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है,जो या तो ऊपर की ओर खुला होता है (यदि $a > 0$ हो) या नीचे की ओर खुला होता है (यदि $a < 0$ हो)।
$1$. द्विघात बहुपद का ग्राफ $X$-अक्ष को अधिकतम दो बिंदुओं पर काट सकता है।
$2$. विकल्प $(A)$ में दिखाया गया ग्राफ एक वक्र है जो $X$-अक्ष को तीन अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है,जो कि एक त्रिघात बहुपद की विशेषता है,न कि द्विघात बहुपद की।
$3$. इसलिए,विकल्प $(A)$ में दिया गया ग्राफ एक द्विघात बहुपद का ग्राफ नहीं है।

(B) नहीं,$x-1$ शेषफल नहीं हो सकता।
बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm) के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को भाजक $g(x)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $r(x)$ को यह शर्त पूरी करनी चाहिए कि या तो $r(x) = 0$ हो या $r(x)$ की घात $g(x)$ की घात से कम हो।
यहाँ,भाजक $g(x) = 2x+3$ है,जिसकी घात $1$ है।
प्रस्तावित शेषफल $r(x) = x-1$ है,जिसकी घात भी $1$ है।
चूंकि शेषफल की घात भाजक की घात से कम नहीं है,इसलिए $x-1$ शेषफल नहीं हो सकता।

(A) यह कथन सत्य है।
मान लीजिए कि द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं,जहाँ $\alpha < 0$ और $\beta < 0$ है।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ होता है। चूँकि $\alpha$ और $\beta$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए उनका योग $(\alpha + \beta)$ ऋणात्मक होगा। अतः,$-\frac{b}{a} < 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{b}{a} > 0$ है। इसका मतलब है कि $a$ और $b$ के चिह्न समान हैं।
$2$. शून्यकों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ होता है। चूँकि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है,इसलिए $\frac{c}{a} > 0$ है। इसका मतलब है कि $a$ और $c$ के चिह्न समान हैं।
चूँकि $a$ और $b$ के चिह्न समान हैं,और $a$ तथा $c$ के चिह्न भी समान हैं,इसलिए $a, b$ और $c$ तीनों के चिह्न समान हैं।

(B) नहीं। बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि $p(x)$ भाज्य है और $g(x)$ भाजक है,तो $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ होता है,जहाँ $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x))$ होता है।
यहाँ,$\text{deg}(p(x)) = 6$ और $\text{deg}(g(x)) = 5$ दिया गया है।
यदि भागफल $q(x) = x^{2}-1$ है,तो $\text{deg}(q(x)) = 2$ होगा।
गुणनफल $g(x) \cdot q(x)$ की घात $\text{deg}(g(x)) + \text{deg}(q(x)) = 5 + 2 = 7$ होगी।
चूँकि भाज्य $p(x)$ की घात $6$ है,और गुणनफल $g(x) \cdot q(x)$ की घात $7$ है,इसलिए $x^{2}-1$ भागफल नहीं हो सकता क्योंकि गुणनफल की घात भाज्य की घात से अधिक नहीं हो सकती (यह मानते हुए कि शेषफल शून्य है या कम घात वाला है)।
अतः,$x^{2}-1$ भागफल नहीं हो सकता।

(N/A) यहाँ दिया गया है कि भाजक $px^{3} + qx^{2} + nx + s$ $(p \neq 0)$ है और भाज्य $ax^{2} + bx + c$ है।
हम देख सकते हैं कि भाजक की घात $3$ है और भाज्य की घात $2$ है।
बहुपदों के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि भाजक की घात भाज्य की घात से अधिक है,तो विभाजन सामान्य रूप से संभव नहीं है।
अतः,भागफल $0$ होगा और शेषफल भाज्य के बराबर ही रहेगा,जो कि $ax^{2} + bx + c$ है।

(N/A) बहुपदों के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$,जहाँ $q(x)$ भागफल है और $r(x)$ शेषफल है।
दिया गया है कि भागफल $q(x) = 0$ है,इसलिए समीकरण $p(x) = g(x) \cdot 0 + r(x)$ हो जाता है,जो सरल होकर $p(x) = r(x)$ प्राप्त होता है।
बहुपद विभाजन में,शेषफल $r(x)$ की घात हमेशा भाजक $g(x)$ की घात से कम होनी चाहिए,अर्थात $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x))$।
चूंकि $p(x) = r(x)$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $\text{deg}(p(x)) < \text{deg}(g(x))$।
अतः,$p(x)$ की घात $g(x)$ की घात से कम है।

(N/A) यदि एक गैर-शून्य बहुपद $p(x)$ को बहुपद $g(x)$ से विभाजित किया जाता है और शेषफल शून्य आता है,तो इसका अर्थ है कि $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है। बहुपदों के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,$p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$,जहाँ $r(x) = 0$ है। चूँकि $p(x)$ और $g(x)$ गैर-शून्य बहुपद हैं,इसलिए गुणनफल $g(x) \cdot q(x)$ की घात $p(x)$ की घात के बराबर होनी चाहिए। अतः,$g(x)$ की घात $p(x)$ की घात से कम या उसके बराबर होनी चाहिए,अर्थात $\text{deg}(g(x)) \le \text{deg}(p(x))$।

(A) नहीं। मान लीजिए $p(x) = x^{2} + kx + k$ है। यदि $p(x)$ के शून्यक समान हैं,तो इसका विविक्तकर (discriminant) $D$ शून्य के बराबर होना चाहिए।
विविक्तकर का सूत्र $D = B^{2} - 4AC = 0$ है ... $(i)$।
$p(x)$ की तुलना मानक रूप $Ax^{2} + Bx + C$ से करने पर,हमें $A = 1$,$B = k$,और $C = k$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$k^{2} - 4(1)(k) = 0$
$k^{2} - 4k = 0$
$k(k - 4) = 0$
इससे हमें $k = 0$ या $k = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0$ और $4$ दोनों ही $1$ से बड़े विषम पूर्णांक नहीं हैं,इसलिए द्विघात बहुपद $x^{2} + kx + k$ के किसी भी विषम पूर्णांक $k > 1$ के लिए समान शून्यक नहीं हो सकते हैं।

(B) यह कथन असत्य है।
मान लीजिए कि द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं। चूँकि दोनों शून्यक धनात्मक हैं,इसलिए $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ है।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ होता है। चूँकि $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ है,इसलिए उनका गुणनफल $\alpha \cdot \beta > 0$ होगा। अतः,$\frac{c}{a} > 0$,जिसका अर्थ है कि $a$ और $c$ के चिह्न समान होने चाहिए।
$2$. शून्यकों का योग $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ होता है। चूँकि $\alpha > 0$ और $\beta > 0$ है,इसलिए उनका योग $\alpha + \beta > 0$ होगा। अतः,$-\frac{b}{a} > 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{b}{a} < 0$ होगा। इसका मतलब है कि $a$ और $b$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
इस प्रकार,$a$ और $c$ के चिह्न समान हैं,लेकिन $b$ का चिह्न $a$ और $c$ के विपरीत है। अतः,$a, b$ और $c$ तीनों के चिह्न समान नहीं हैं।

(B) यह कथन 'असत्य' है।
एक द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ का आलेख $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद या स्पर्श कर सकता है यदि उसका विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ हो।
इस स्थिति में,द्विघात बहुपद के दो समान वास्तविक शून्यक होते हैं और आलेख $x$-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
अतः,एक द्विघात बहुपद $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकता है।

(A) यह कथन 'सत्य' है।
यदि किसी बहुपद का ग्राफ $x$-अक्ष को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है,तो यह आवश्यक नहीं है कि वह एक द्विघात बहुपद ही हो।
$n > 2$ घात वाला एक बहुपद भी $x$-अक्ष को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकता है यदि उसके दो वास्तविक शून्यक हों और शेष $(n-2)$ शून्यक काल्पनिक (अवास्तविक) हों।
उदाहरण के लिए,$4$ घात वाले एक बहुपद के दो वास्तविक शून्यक और दो काल्पनिक शून्यक हो सकते हैं,जिसके परिणामस्वरूप उसका ग्राफ $x$-अक्ष को केवल दो बिंदुओं पर ही प्रतिच्छेद करता है।

(A) सत्य। मान लीजिए कि त्रिघात बहुपद के शून्यक $\alpha, \beta$ और $\gamma$ हैं। यह दिया गया है कि दो शून्यक $0$ हैं। मान लीजिए $\alpha = 0$ और $\beta = 0$ है।
त्रिघात बहुपद को $f(x) = k(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर स्थिरांक है।
मान रखने पर: $f(x) = k(x - 0)(x - 0)(x - \gamma) = k(x^2)(x - \gamma) = k(x^3 - \gamma x^2) = kx^3 - k\gamma x^2$ प्राप्त होता है।
इसे व्यापक रूप $ax^3 + bx^2 + cx + d$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि रैखिक पद $(c)$ और अचर पद $(d)$ के गुणांक दोनों $0$ हैं। अतः,बहुपद में रैखिक और अचर पद नहीं होते हैं।

(A) यह कथन सत्य है।
माना त्रिघात बहुपद $f(x) = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ है,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma < 0$ ऋणात्मक शून्यक हैं।
माना $\alpha = -p, \beta = -q, \gamma = -r$,जहाँ $p, q, r > 0$ है।
तब $f(x) = a(x + p)(x + q)(x + r)\text{।}$
इसका विस्तार करने पर,हमें $f(x) = a[x^3 + (p + q + r)x^2 + (pq + qr + rp)x + pqr]$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b = a(p + q + r)$
$c = a(pq + qr + rp)$
$d = a(pqr)$
चूँकि $p, q, r > 0$ है,इसलिए $(p + q + r)$,$(pq + qr + rp)$,और $(pqr)$ सभी धनात्मक हैं।
अतः,$a, b, c,$ और $d$ सभी का चिह्न $a$ के समान ही है।

(B) असत्य। मान लीजिए $\alpha, \beta$ और $\gamma$ त्रिघात बहुपद $p(x) = x^{3}+ax^{2}-bx+c$ के तीन शून्यक हैं।
शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार:
$1$. शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \beta \gamma = -\frac{c}{1} = -c$। चूँकि $\alpha, \beta, \gamma > 0$,इसलिए उनका गुणनफल $\alpha \beta \gamma > 0$ होगा। अतः,$-c > 0$,जिसका अर्थ है $c < 0$।
$2$. शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{a}{1} = -a$। चूँकि $\alpha, \beta, \gamma > 0$,इसलिए उनका योग $\alpha + \beta + \gamma > 0$ होगा। अतः,$-a > 0$,जिसका अर्थ है $a < 0$।
$3$. दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग: $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{-b}{1} = -b$। चूँकि $\alpha, \beta, \gamma > 0$,इसलिए उनका योग $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha > 0$ होगा। अतः,$-b > 0$,जिसका अर्थ है $b < 0$।
अतः,तीनों शून्यकों के धनात्मक होने के लिए $a, b$ और $c$ तीनों का ऋणात्मक होना आवश्यक है। इसलिए,यह कथन कि उनमें से कम से कम एक ऋणेतर है,असत्य है।

(B) असत्य।
माना द्विघात बहुपद $f(x) = k x^{2} + x + k$ है।
बहुपद के शून्यक समान होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D$ शून्य के बराबर होना चाहिए।
विविक्तकर का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
यहाँ,$a = k$,$b = 1$,और $c = k$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = (1)^{2} - 4(k)(k) = 0$
$1 - 4k^{2} = 0$
$4k^{2} = 1$
$k^{2} = \frac{1}{4}$
$k = \pm \frac{1}{2}$
अतः,$k$ के दो मान $\frac{1}{2}$ और $-\frac{1}{2}$ हैं,जिनके लिए द्विघात बहुपद के शून्यक समान होते हैं। इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।

(A) शून्यक ज्ञात करने के लिए,बहुपद को शून्य के बराबर रखें: $x^{2}+\frac{1}{6} x-2 = 0$.
सरल बनाने के लिए $6$ से गुणा करें: $6x^{2}+x-12 = 0$.
द्विघात बहुपद का गुणनखंड करने पर: $6x^{2}+9x-8x-12 = 0$.
$3x(2x+3)-4(2x+3) = 0 \implies (3x-4)(2x+3) = 0$.
अतः,शून्यक $\alpha = \frac{4}{3}$ और $\beta = -\frac{3}{2}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = \frac{4}{3} - \frac{3}{2} = \frac{8-9}{6} = -\frac{1}{6}$.
बहुपद $ax^2+bx+c$ से,योग $= -\frac{b}{a} = -\frac{1/6}{1} = -\frac{1}{6}$.
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha \beta = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{2}) = -2$.
बहुपद से,गुणनफल $= \frac{c}{a} = \frac{-2}{1} = -2$.
दोनों संबंध सत्यापित हैं।

(N/A) माना $f(x) = 4x^2 - 3x - 1$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके बहुपद का गुणनखंड करते हैं:
$f(x) = 4x^2 - 4x + x - 1$
$f(x) = 4x(x - 1) + 1(x - 1)$
$f(x) = (x - 1)(4x + 1)$
शून्यक ज्ञात करने के लिए $f(x) = 0$ रखते हैं:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$4x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{4}$
अतः,शून्यक $\alpha = 1$ और $\beta = -\frac{1}{4}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= \alpha + \beta = 1 + (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{4} = -\frac{-3}{4} = -\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों का गुणनफल $= \alpha \cdot \beta = 1 \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} = \frac{-1}{4} = \frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}}$.
अतः,शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित होता है।

(N/A) माना $f(x) = 3x^2 + 4x - 4$ है।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके बहुपद का गुणनखंड करते हैं:
$3x^2 + 6x - 2x - 4 = 3x(x + 2) - 2(x + 2) = (x + 2)(3x - 2)$।
$f(x) = 0$ रखने पर शून्यक प्राप्त होते हैं:
$(x + 2)(3x - 2) = 0$,जिससे $x = -2$ या $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= -2 + \frac{2}{3} = \frac{-6 + 2}{3} = -\frac{4}{3}$।
बहुपद $ax^2 + bx + c$ में $a=3, b=4, c=-4$ है,अतः शून्यकों का योग $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{3}$ है।
शून्यकों का गुणनफल $= (-2) \times \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$।
बहुपद से,शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a} = \frac{-4}{3}$ है।
अतः,शून्यकों का योग और गुणनफल गुणांकों के साथ मेल खाते हैं,जिससे संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना $f(t) = 5 t^{2}+12 t+7$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके बहुपद का गुणनखंड करते हैं:
$5 t^{2}+12 t+7 = 5 t^{2}+5 t+7 t+7$
$= 5 t(t+1)+7(t+1)$
$= (5 t+7)(t+1)$
शून्यक ज्ञात करने के लिए $f(t) = 0$ रखने पर:
$5 t+7 = 0 \implies t = -7/5$
$t+1 = 0 \implies t = -1$
अतः,शून्यक $\alpha = -7/5$ और $\beta = -1$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= \alpha + \beta = -7/5 - 1 = -12/5$.
बहुपद $5 t^{2}+12 t+7$ में,$t$ का गुणांक $12$ है और $t^{2}$ का गुणांक $5$ है।
शून्यकों का योग $= -(t \text{ का गुणांक}) / (t^{2} \text{ का गुणांक}) = -12/5$.
शून्यकों का गुणनफल $= \alpha \cdot \beta = (-7/5) \cdot (-1) = 7/5$.
बहुपद में,अचर पद $7$ है और $t^{2}$ का गुणांक $5$ है।
शून्यकों का गुणनफल $= (\text{अचर पद}) / (t^{2} \text{ का गुणांक}) = 7/5$.
अतः,शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच हो गई है।

(A) माना $f(t) = t^{3}-2 t^{2}-15 t$.
$= t(t^{2}-2 t-15)$
$= t(t^{2}-5 t+3 t-15)$ [मध्य पद को विभाजित करके]
$= t[t(t-5)+3(t-5)]$
$= t(t-5)(t+3)$
अतः,$f(t)$ का मान शून्य है जब $t=0, t-5=0$ या $t+3=0$ हो।
इस प्रकार,शून्यक $t=0, t=5$ और $t=-3$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= 0 + 5 + (-3) = 2 = -(-2)/1 = -(\text{t}^{2} \text{ का गुणांक}) / (\text{t}^{3} \text{ का गुणांक})$.
दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग $= (0)(5) + (5)(-3) + (-3)(0) = 0 - 15 + 0 = -15 = (-15)/1 = (\text{t} \text{ का गुणांक}) / (\text{t}^{3} \text{ का गुणांक})$.
शून्यकों का गुणनफल $= (0)(5)(-3) = 0 = -(0)/1 = -(\text{अचर पद}) / (\text{t}^{3} \text{ का गुणांक})$.
अतः,संबंध सत्यापित हुआ।

(N/A) माना $f(x) = 2x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{4}$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = 0$ रखते हैं,अतः $2x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{4} = 0$.
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर,हमें $8x^2 + 14x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
मध्य पद को विभाजित करने पर: $8x^2 + 12x + 2x + 3 = 0$.
$4x(2x + 3) + 1(2x + 3) = 0$.
$(2x + 3)(4x + 1) = 0$.
अतः,शून्यक $x = -\frac{3}{2}$ और $x = -\frac{1}{4}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= -\frac{3}{2} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{6}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$.
गुणांक संबंध: $-\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}} = -\frac{7/2}{2} = -\frac{7}{4}$.
शून्यकों का गुणनफल $= (-\frac{3}{2}) \times (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{8}$.
गुणांक संबंध: $\frac{\text{अचर पद}}{x^2 \text{ का गुणांक}} = \frac{3/4}{2} = \frac{3}{8}$.
चूंकि दोनों संबंध समान हैं,अतः शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच हो गई है।

(N/A) माना $f(x) = 4x^{2} + 5\sqrt{2}x - 3$.
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं: $4x^{2} + 6\sqrt{2}x - \sqrt{2}x - 3$.
$= 2\sqrt{2}x(\sqrt{2}x + 3) - 1(\sqrt{2}x + 3)$.
$= (\sqrt{2}x + 3)(2\sqrt{2}x - 1)$.
$f(x) = 0$ रखने पर,हमें $\sqrt{2}x + 3 = 0$ या $2\sqrt{2}x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $x = -\frac{3}{\sqrt{2}}$ और $x = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= -\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{-6 + 1}{2\sqrt{2}} = -\frac{5}{2\sqrt{2}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$.
$x$ का गुणांक $5\sqrt{2}$ है और $x^{2}$ का गुणांक $4$ है। अतः,$-\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^{2} \text{ का गुणांक}} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$. (सत्यापित)
शून्यकों का गुणनफल $= (-\frac{3}{\sqrt{2}}) \times (\frac{1}{2\sqrt{2}}) = -\frac{3}{4}$.
अचर पद $-3$ है और $x^{2}$ का गुणांक $4$ है। अतः,$\frac{\text{अचर पद}}{x^{2} \text{ का गुणांक}} = -\frac{3}{4}$. (सत्यापित)

(N/A) माना $f(s) = 2s^{2} - (1 + 2\sqrt{2})s + \sqrt{2}$.
$= 2s^{2} - s - 2\sqrt{2}s + \sqrt{2}$
$= s(2s - 1) - \sqrt{2}(2s - 1)$
$= (2s - 1)(s - \sqrt{2})$
$f(s)$ का मान शून्य होता है जब $2s - 1 = 0$ या $s - \sqrt{2} = 0$ हो।
अतः,$s = \frac{1}{2}$ या $s = \sqrt{2}$।
इसलिए,बहुपद के शून्यक $\frac{1}{2}$ और $\sqrt{2}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= \frac{1}{2} + \sqrt{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{-[-(1 + 2\sqrt{2})]}{2} = \frac{-(\text{s का गुणांक})}{\text{s}^{2} \text{ का गुणांक}}$।
शून्यकों का गुणनफल $= \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\text{अचर पद}}{\text{s}^{2} \text{ का गुणांक}}$।
अतः,शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच होती है।

(A) माना $f(v) = v^{2} + 4 \sqrt{3} v - 15$.
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करते हैं: $v^{2} + (5 \sqrt{3} - \sqrt{3}) v - 15 = 0$.
$= v^{2} + 5 \sqrt{3} v - \sqrt{3} v - 15 = 0$.
$= v(v + 5 \sqrt{3}) - \sqrt{3}(v + 5 \sqrt{3}) = 0$.
$= (v + 5 \sqrt{3})(v - \sqrt{3}) = 0$.
अतः,शून्यक $v = -5 \sqrt{3}$ और $v = \sqrt{3}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= -5 \sqrt{3} + \sqrt{3} = -4 \sqrt{3} = -\frac{v \text{ का गुणांक}}{v^{2} \text{ का गुणांक}}$.
शून्यकों का गुणनफल $= (-5 \sqrt{3})(\sqrt{3}) = -5 \times 3 = -15 = \frac{\text{अचर पद}}{v^{2} \text{ का गुणांक}}$.
अतः,संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना $f(y) = y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $f(y) = 0$ रखते हैं,जिसका अर्थ है $y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5 = 0$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2y^{2} + 3\sqrt{5}y - 10 = 0$ प्राप्त होता है।
मध्य पद को विभाजित करने पर: $2y^{2} + 4\sqrt{5}y - \sqrt{5}y - 10 = 0$.
$2y(y + 2\sqrt{5}) - \sqrt{5}(y + 2\sqrt{5}) = 0$.
$(y + 2\sqrt{5})(2y - \sqrt{5}) = 0$.
अतः,शून्यक $y = -2\sqrt{5}$ और $y = \frac{\sqrt{5}}{2}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग $= -2\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{-4\sqrt{5} + \sqrt{5}}{2} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
बहुपद $y^{2} + \frac{3}{2} \sqrt{5} y - 5$ में,$y$ का गुणांक $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ है और $y^{2}$ का गुणांक $1$ है। अतः,$-\frac{y \text{ का गुणांक}}{y^{2} \text{ का गुणांक}} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
शून्यकों का गुणनफल $= (-2\sqrt{5}) \times (\frac{\sqrt{5}}{2}) = -5$.
अचर पद $-5$ है और $y^{2}$ का गुणांक $1$ है। अतः,$\frac{\text{अचर पद}}{y^{2} \text{ का गुणांक}} = -5$.
इस प्रकार,संबंध सत्यापित होता है।

(A) माना $f(y) = 7y^2 - \frac{11}{3}y - \frac{2}{3}$ है।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$f(y) = 0$ रखें,जिसका अर्थ है $\frac{1}{3}(21y^2 - 11y - 2) = 0$,अतः $21y^2 - 11y - 2 = 0$ है।
मध्य पद को विभाजित करने पर: $21y^2 - 14y + 3y - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
$7y(3y - 2) + 1(3y - 2) = 0$।
$(3y - 2)(7y + 1) = 0$।
अतः,शून्यक $y = \frac{2}{3}$ और $y = -\frac{1}{7}$ हैं।
सत्यापन:
शून्यकों का योग = $\frac{2}{3} + (-\frac{1}{7}) = \frac{14 - 3}{21} = \frac{11}{21}$ है।
बहुपद $7y^2 - \frac{11}{3}y - \frac{2}{3}$ में,$y$ का गुणांक $-\frac{11}{3}$ है और $y^2$ का गुणांक $7$ है।
शून्यकों का योग = $-\frac{y \text{ का गुणांक}}{y^2 \text{ का गुणांक}} = -\frac{-11/3}{7} = \frac{11}{21}$ है।
शून्यकों का गुणनफल = $(\frac{2}{3})(-\frac{1}{7}) = -\frac{2}{21}$ है।
अचर पद $-\frac{2}{3}$ है,$y^2$ का गुणांक $7$ है।
शून्यकों का गुणनफल = $\frac{\text{अचर पद}}{y^2 \text{ का गुणांक}} = \frac{-2/3}{7} = -\frac{2}{21}$ है।
अतः,संबंध सत्यापित होता है।

(N/A) माना द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ है और इसके शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है,शून्यकों का योग $\alpha + \beta = \sqrt{2}$ और शून्यकों का गुणनफल $\alpha \beta = -\frac{3}{2}$ है।
द्विघात बहुपद का सूत्र $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta]$ होता है।
मान रखने पर,हमें $k[x^2 - \sqrt{2}x - \frac{3}{2}]$ प्राप्त होता है।
यदि $k=2$ लें,तो बहुपद $2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3$ होगा।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$ रखें।
$2x^2 - 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}x - 3 = 0$.
$\sqrt{2}x(\sqrt{2}x - 3) + 1(\sqrt{2}x - 3) = 0$.
$(\sqrt{2}x + 1)(\sqrt{2}x - 3) = 0$.
अतः,शून्यक $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = \frac{3}{\sqrt{2}}$ हैं।

(A) माना $p(x) = x^{3}+2 x^{2}+k x+3$.
शेषफल प्रमेय के अनुसार,चूंकि $p(x)$ को $x-3$ से विभाजित किया जाता है,शेषफल $p(3)$ है।
दिया है $p(3) = 21$,अतः:
$3^{3}+2(3)^{2}+k(3)+3 = 21$
$27 + 18 + 3k + 3 = 21$
$48 + 3k = 21$
$3k = 21 - 48 = -27$
$k = -9$.
अब,$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3$ को $x-3$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+2 x^{2}-9 x+3 = (x-3)(x^{2}+5x+6) + 21$.
भागफल $x^{2}+5x+6$ है।
$x^{3}+2 x^{2}-9 x-18$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,इसका गुणनखंड करते हैं:
$x^{3}+2 x^{2}-9 x-18 = x^{2}(x+2) - 9(x+2)$
$= (x^{2}-9)(x+2)$
$= (x-3)(x+3)(x+2)$.
बहुपद को $0$ के बराबर रखने पर,शून्यक $x = 3, -3, -2$ प्राप्त होते हैं।

(N/A) दिया गया है कि,शून्यकों का योग $(S) = -\frac{8}{3}$ और शून्यकों का गुणनफल $(P) = \frac{4}{3}$ है।
द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ होता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर अचर है।
मान रखने पर,$f(x) = x^2 - (-\frac{8}{3})x + \frac{4}{3} = x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
सरल बनाने के लिए,हम बहुपद को $3x^2 + 8x + 4$ के रूप में लिख सकते हैं।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$3x^2 + 8x + 4$ का गुणनखंडन करते हैं:
$3x^2 + 6x + 2x + 4 = 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (3x + 2)(x + 2)$.
$f(x) = 0$ रखने पर,$(3x + 2)(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$ और $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
इस प्रकार,बहुपद के शून्यक $-2$ और $-\frac{2}{3}$ हैं।

(A) दिया गया है कि,शून्यकों का योग $S = \frac{21}{8}$ और शून्यकों का गुणनफल $P = \frac{5}{16}$ है।
वांछित द्विघात बहुपद $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। हर को हटाने के लिए $k = 16$ लेने पर:
$f(x) = 16(x^2 - \frac{21}{8}x + \frac{5}{16}) = 16x^2 - 42x + 5$.
शून्यक ज्ञात करने के लिए,$f(x) = 0$ रखने पर:
$16x^2 - 42x + 5 = 0$.
मध्य पद को विभाजित करने पर: $16x^2 - 40x - 2x + 5 = 0$.
$8x(2x - 5) - 1(2x - 5) = 0$.
$(8x - 1)(2x - 5) = 0$.
अतः,शून्यक $x = \frac{1}{8}$ और $x = \frac{5}{2}$ हैं।

(N/A) दिया गया है कि,शून्यकों का योग $(S)$ = $-2 \sqrt{3}$ और शून्यकों का गुणनफल $(P)$ = $-9$ है।
द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $f(x) = x^{2} - Sx + P$ होता है।
मान रखने पर,हमें $f(x) = x^{2} - (-2 \sqrt{3})x + (-9) = x^{2} + 2 \sqrt{3}x - 9$ प्राप्त होता है।
गुणनखंडन द्वारा शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद $2 \sqrt{3}x$ को $3 \sqrt{3}x - \sqrt{3}x$ में विभाजित करते हैं:
$f(x) = x^{2} + 3 \sqrt{3}x - \sqrt{3}x - 9$
$f(x) = x(x + 3 \sqrt{3}) - \sqrt{3}(x + 3 \sqrt{3})$
$f(x) = (x + 3 \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$
$f(x) = 0$ रखने पर,हमें $x + 3 \sqrt{3} = 0$ या $x - \sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $-3 \sqrt{3}$ और $\sqrt{3}$ हैं।

(N/A) दिया गया है कि,शून्यकों का योग $(S)$ = $-\frac{3}{2 \sqrt{5}}$ और शून्यकों का गुणनफल $(P)$ = $-\frac{1}{2}$।
द्विघात बहुपद का सामान्य रूप $f(x) = k(x^2 - Sx + P)$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
मान रखने पर,$f(x) = x^2 - (-\frac{3}{2 \sqrt{5}})x + (-\frac{1}{2}) = x^2 + \frac{3}{2 \sqrt{5}}x - \frac{1}{2}$।
सरल बनाने के लिए,$2\sqrt{5}$ से गुणा करने पर हमें $2\sqrt{5}x^2 + 3x - \sqrt{5}$ बहुपद प्राप्त होता है।
अब,$2\sqrt{5}x^2 + 3x - \sqrt{5}$ का गुणनखंडन करने पर:
$= 2\sqrt{5}x^2 + 5x - 2x - \sqrt{5}$
$= \sqrt{5}x(2x + \sqrt{5}) - 1(2x + \sqrt{5})$
$= (2x + \sqrt{5})(\sqrt{5}x - 1)$
$f(x) = 0$ रखने पर,$2x + \sqrt{5} = 0$ या $\sqrt{5}x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शून्यक $x = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ और $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ हैं।

(A) माना $f(x) = x^{3}-6x^{2}+3x+10$ है।
दिया गया है कि $a, (a+b),$ और $(a+2b)$ बहुपद $f(x)$ के शून्यक हैं।
शून्यकों का योग $= -\frac{x^{2} \text{ का गुणांक}}{x^{3} \text{ का गुणांक}} = -\frac{-6}{1} = 6$.
अतः,$a + (a+b) + (a+2b) = 6 \Rightarrow 3a + 3b = 6 \Rightarrow a+b = 2 \Rightarrow b = 2-a \dots (i)$.
शून्यकों का गुणनफल $= -\frac{\text{अचर पद}}{x^{3} \text{ का गुणांक}} = -\frac{10}{1} = -10$.
अतः,$a(a+b)(a+2b) = -10$.
$a+b=2$ और $b=2-a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $a(2)(a+2(2-a)) = -10$.
$2a(a+4-2a) = -10 \Rightarrow 2a(4-a) = -10 \Rightarrow 8a - 2a^{2} = -10$.
$2a^{2} - 8a - 10 = 0 \Rightarrow a^{2} - 4a - 5 = 0$.
$(a-5)(a+1) = 0$.
इस प्रकार,$a = 5$ या $a = -1$.
यदि $a = 5$,तो $b = 2-5 = -3$. शून्यक $5, 5-3, 5-6$ अर्थात $5, 2, -1$ हैं।
यदि $a = -1$,तो $b = 2-(-1) = 3$. शून्यक $-1, -1+3, -1+6$ अर्थात $-1, 2, 5$ हैं।
अतः,मान $(a=5, b=-3)$ या $(a=-1, b=3)$ हैं और शून्यक $-1, 2, 5$ हैं।

(B) माना $f(x) = 6x^{3}+\sqrt{2}x^{2}-10x-4\sqrt{2}$.
चूंकि $\sqrt{2}$ बहुपद $f(x)$ का एक शून्यक है,इसलिए $(x-\sqrt{2})$ बहुपद $f(x)$ का एक गुणनखंड है।
$f(x)$ को $(x-\sqrt{2})$ से विभाजित करने पर:
$6x^{3}+\sqrt{2}x^{2}-10x-4\sqrt{2} = (x-\sqrt{2})(6x^{2}+7\sqrt{2}x+4)$.
अब,द्विघात बहुपद $6x^{2}+7\sqrt{2}x+4$ का गुणनखंड करने पर:
$6x^{2}+3\sqrt{2}x+4\sqrt{2}x+4 = 3\sqrt{2}x(\sqrt{2}x+1) + 4(\sqrt{2}x+1) = (3\sqrt{2}x+4)(\sqrt{2}x+1)$.
इन गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखने पर:
$\sqrt{2}x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$3\sqrt{2}x+4 = 0 \implies x = -\frac{4}{3\sqrt{2}}$.
अतः,अन्य दो शून्यक $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $-\frac{4}{3\sqrt{2}}$ हैं।

(C) दिया गया है कि $(x^{2}+2x+k)$,$2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ का एक गुणनखंड है,इसलिए भाग देने पर शेषफल शून्य होना चाहिए।
$2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ को $(x^{2}+2x+k)$ से भाग देने पर:
$1$. $2x^{4}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $2x^{2}$ प्राप्त होता है। $(x^{2}+2x+k)$ को $2x^{2}$ से गुणा करने पर $2x^{4}+4x^{3}+2kx^{2}$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-3x^{3}-(2k+14)x^{2}+5x+6$ प्राप्त होता है।
$2$. $-3x^{3}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $-3x$ प्राप्त होता है। $(x^{2}+2x+k)$ को $-3x$ से गुणा करने पर $-3x^{3}-6x^{2}-3kx$ प्राप्त होता है। घटाने पर $(-8-2k)x^{2}+(3k+5)x+6$ प्राप्त होता है।
$3$. $(-8-2k)x^{2}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $(-8-2k)$ प्राप्त होता है। $(x^{2}+2x+k)$ को $(-8-2k)$ से गुणा करने पर $(-8-2k)x^{2} + 2(-8-2k)x + k(-8-2k)$ प्राप्त होता है।
अंतिम शेषफल: $(7k+21)x + (2k^{2}+8k+6)$ प्राप्त होता है।
शेषफल शून्य होने के लिए,दोनों गुणांक शून्य होने चाहिए:
$7k+21=0 \Rightarrow k=-3$.
$2k^{2}+8k+6=0 \Rightarrow 2(k+1)(k+3)=0 \Rightarrow k=-1$ या $k=-3$.
दोनों शर्तों को पूरा करने के लिए $k=-3$ लेते हैं।
$k=-3$ के लिए,भाजक $x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1)$ है,अतः इसके शून्यक $x=-3, 1$ हैं।
भागफल $2x^{2}-3x-2 = (2x+1)(x-2)$ है,अतः इसके शून्यक $x=-1/2, 2$ हैं।
अतः,$x^{2}+2x-3$ के शून्यक $1, -3$ हैं और $2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ के शून्यक $1, -3, 2, -1/2$ हैं।

(D) माना $f(x) = x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5}$.
चूंकि $(x-\sqrt{5})$ एक गुणनखंड है,हम $f(x)$ को $(x-\sqrt{5})$ से विभाजित करते हैं:
$x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5} = (x-\sqrt{5})(x^{2}-2 \sqrt{5} x+3)$.
अब,द्विघात गुणनखंड $x^{2}-2 \sqrt{5} x+3 = 0$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए द्विघाती सूत्र का उपयोग करते हैं:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{(-2 \sqrt{5})^{2}-4(1)(3)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20-12}}{2} = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \sqrt{5} \pm 2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{5} \pm \sqrt{2}$.
अतः,बहुपद के शून्यक $\sqrt{5}, (\sqrt{5}+\sqrt{2})$ और $(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ हैं।

(A) दिया गया है कि $q(x) = x^{3} + 2x^{2} + a$ के शून्यक,$p(x) = x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ के भी शून्यक हैं,जिसका अर्थ है कि $q(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$p(x)$ को $q(x)$ से विभाजित करने पर:
$x^{5} - x^{4} - 4x^{3} + 3x^{2} + 3x + b$ को $x^{3} + 2x^{2} + a$ से भाग देने पर भागफल $x^{2} - 3x + 2$ प्राप्त होता है और शेषफल $-(1+a)x^{2} + (3+3a)x + (b-2a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q(x)$ एक गुणनखंड है,इसलिए शेषफल शून्य होना चाहिए,अतः गुणांक शून्य होने चाहिए:
$-(1+a) = 0 \Rightarrow a = -1$
$3+3a = 0 \Rightarrow 3+3(-1) = 0$ (संगत)
$b-2a = 0 \Rightarrow b = 2(-1) = -2$.
अतः,$a = -1$ और $b = -2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$p(x) = (x^{3} + 2x^{2} - 1)(x^{2} - 3x + 2)$.
भागफल का गुणनखंड करने पर: $x^{2} - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
$p(x)$ के शून्यक,$q(x)$ के शून्यक और भागफल के शून्यकों का समूह हैं,जो $x=1$ और $x=2$ हैं। इसलिए,$p(x)$ के वे शून्यक जो $q(x)$ के शून्यक नहीं हैं,वे $1$ और $2$ हैं।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = 3.14x^2 + 1.57x + 1$ है।
बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
इस व्यंजक में $x$ की उच्चतम घात $2$ है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$p(x)$ एक द्विघात बहुपद है।